长沙市2022年新高考适应性考试--数学试卷.pdf

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1、数学试题第 1页（共 6页）长沙市 2022 年新高考适应性考试数学一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合1Ax x，2230Bx xx，则AB A.1,B.1,3C.1,1D.1,32.已知i为虚数单位，若复数31izi,则|iz A.1B.5C.2D.23.若数列 na的前n项和为232nSnna，则“0a”是“数列 na为等差数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数11cosyxxx在(5,0)(0,5)上的图象大致为ABCD5已知2sin(2)33，则co

2、s(2)6A.53B.23C.23D.53数学试题第 2页（共 6页）6若双曲线22221(0,0)xyabab与直线3yx有交点，则其离心率的取值范围是A(2,)B1,2C(1,2)D2,7.已知mnst、R，4mn，9mnst，其中mn、是常数，且st的最小值是89，点 M(,)m n是曲线22812yx的一条弦 AB 的中点，则弦 AB 所在的直线方程为A460 xyB460 xy C4100 xyD4100 xy8数学家欧拉于 1765 年在其著作三角形中的几何学首次指出：ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线

3、.若4AB，2AC，则下列各式中不正确的是A.4=0AG BC B.2=GOGH C.6=0AO BC D.OHOAOBOC 二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）9若0ab，则A.222ababB.0abC.()0a abD.2baab10.下列选项中，正确的是A.若*12,2nnnnnnNCCC则B.若二项式3(5)nxx的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中常数项是第5 项C.若p：nN，22nn，则p：nN，22nn D.设随机变量22,N，若(32)(1

4、)PaPa，则1a 数学试题第 3页（共 6页）11.在正方体1111ABCDABC D中，N 为底面 ABCD 的中心，P 为棱11AD上的动点（不包括两个端点），M 为线段 AP的中点，则A.CM 与 PN 是异面直线B.CMPN C.过 P，A，C 三点的正方体的截面一定不是等腰梯形D.平面PAN 平面11BDD B12.若00000,limxf xx yf xyx 存在，则称00000,limxf xx yf xyx 为二元函数,zf x y在点00,xy处对x的偏导数，记为00,xfxy；若00000,limyf xyyf xyy 存在，则称00000,limyf xyyf xyy

5、为二元函数,zf x y在点00,xy处对y的偏导数，记为00,yfxy若二元函数23,2zf x yxxyy（0 x，0y），则A.1,210yf B.1,22xf C.,f x y的最小值为427D.,xyfm nfm n的最小值为1三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.函数1()xf xe的图象在点(0,(0)f处的切线方程为_.14.某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，这 5 次试验的数据列（个数 x,加工时间 y）为：（10，62），（20，a），（30，75），（40，81），（50，89）.若用最小二乘法求得其

6、回归直线方程为0.6754.9yx，则a的值为_.数学试题第 4页（共 6页）15.已知事件 A、B，且 0.5P A，0.2P B，如果 A 与 B 互斥，令mP AB;如果 A 与 B 相互独立，令nP AB,则nm_.16.已知函数 2f xx，21g xa x，a为常数，若对于任意1x，20,2x，且12xx，都有1212f xf xg xg x则实数a的取值范围为_.四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 c2，2 coscoscosbBcAaC且ABC 的面

7、积332S，求 b18（12 分）已知数列 na满足11a，121nnaa，*()nN.（1）求证：数列1na 是等比数列；（2）设21nnbna，求数列 nb的前 n 项和nT.19（12 分）如图，三棱柱111ABCA B C中，侧面11BCC B为矩形，若平面11BCC B 平面11ABB A，平面11BCC B 平面1ABC（1）求证：1ABBB；（2）记平面1ABC与平面111A B C所成角为，直线1AC与平面11BCC B所成角为，异面直线1AC与BC所成角，当,满足：coscos(01)mmm，为常数时，求sin的值数学试题第 5页（共 6页）20（12 分）2022 年电商即

8、将开展“欢度春节”促销活动，某电商为了尽快占领市场，对某地区年龄在 10 到 70 岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了 100 人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示：（年龄单位：岁）年龄段10 20，20 30，30 40，40 50，50 60，60 70，频率0.10.320.280.220.050.03使用网上购物人数828241221（1）若以 40 岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“网上购物”与年龄有关？年龄低于 40 岁年龄不低于 40 岁总计使用网上购物人数不使用网上购物人数总

9、计（2）若从年龄在50 60，60 70，的样本中各随机选取 2 人进行座谈，记选中的 4人中“使用网上购物”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.参考数据：20P Kk0.0250.0100.0050.0010k3.8416.6357.87910.828参考公式：22n adbcKabcdacbd数学试题第 6页（共 6页）21（12 分）已知离心率为12的椭圆22122:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，P 为椭圆上的一点，12PFF的周长为 6，且1F为抛物线22:2Cypx，(0)p 的焦点（1）求椭圆1C与抛物线2C的方程；（2）过椭圆1C的左顶点 Q 的直线 l 交抛物线2C于 A、B 两点，点 O 为原点，射线OA、OB分别交椭圆于 C、D 两点，OCD的面积为1S，OAB的面积为2S问：是否存在直线 l 使得21133SS？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由22.（12 分）已知112b，函数 2xf xexb，其中2.71828e 为自然对数的底数.（1）求函数 yf x的单调区间；（2）记0 x为函数 yf x在0,上的零点，证明：02142bxb.