第六届决赛三四年级（数学类）试题及答案.pdf

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1、%_少v汩数级2lY爿舯 巾u馊剁舯皂垡灶奏眇坩舯婴丨l丨|l丨(|l|l|0邸巷刺驷卧K玄e FF煎邸吝l i.第六届中国大学生数学竞赛决赛三、四年级试卷(数学类,15年3月)考试形式:闭卷 考试时间:1 分钟满分:1o o 分注意:1前5大题是必答题,再从 1i 大题中任选两题,题 号要填人上面的表中2所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效3密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记4如答题空自不够,可写在当页背面,并标明题号得分评阅人、(本题分,每小题5分)填空题(1)实二次型2Tl T.=13+5T莎3的规范型为(3)计算第一型曲面积分的值:的和为丨 r=丿:E

2、2+2v 2+3z 2)d s=多2+9J2+,2l(4)=j)为 屁阶实对称矩阵l l l)1),茈酿)=冗-1,的每行元素之和均为o 设2,3,冖 为 的全部非零特征值 用凡l 表示 的元素 劬l 所对应的代数佘子式 贝 刂 有l l=_怦崽题 号四五总分满分201520101010100得分二、(本题15分)设空间中定点P至刂一定直线 的距高为p 一族球面中的每个球面都过点P,且截直线 氵 得到的弦长都是定值a 求该球面族的球心的轨迹)V,J准得c 标便 an Il八丫l丨l锶驾刊剜路(室圊狲 贺裾裨 ll亠丫 爿抄 眇逻翟羽舯邱蓝#凝巾爿舯掣怏蚩l|得分评阅人得 分评阅人求满足不等式的

3、最大常数 四、(本题分)设()=嬲L号:笮早0,a 1,V舌肽JF幽=+已知C2函数 满足/(犭)+(犭)T(艺)0,w R求证:在,+)有上界得分评阅人的非常值整函数 氵)六、(本题10分)设,b 是两个不同的复数 求满足方(z)2=(z)-色)(z)-Dl“)|丶“flll人丨l丨ll勰罴刺剃嘶(室铟鲰 锶裾奸l丨l火l爿抄 巾羽圃剞舯邱迟世叠眇岩狎婴得分评阅人七、(本题10分)设()是z 勿s c 九讠 殄z 常数为,则对任意的均有m(El)l J2证明:上述迭代格式对任何初始向量 x l Ol 收敛怦崽得分评阅人十、(本题10分)设加法为普通的函数加法,的一个极大左理想 证明:有公共的

4、零点R为阳,丬上的连续函数环,其乘法为普通的函数乘法J为用V,夕r,与口在阳,刂上必ll丨I八T郴骂刺靼嘶室预铷 锶硐种I丨lY丨爿舯 巾日划舯懋垡世荃屮甲舯楚洱鞍得分评阅人费保养费用1万元求:十一、(本题10分)设在国际市场上对我国某种 出口商品每年的需求量X(单位:吨)是随机变量,X服从卜o O,q 上的均匀分布 每出售这种商品一吨,可以为国家挣得外汇3万元i 若销售不出而囤积于仓库,则 每吨需要花应组织多少货源,才能使国家的收益最大?食lIIIIl丨丫郴刘劂洲K室鄢铷 勰布忡 llI爿抄d型川舯邱垡世志巾门柙娑岬崽第六届中国大学生数学竞赛决赛三、四年级试卷(答案 勘误)第3页,第13行:

5、P_l 应为P1第衽 页:第五题的分值误为15分,应为10分.另外,题设中要求函数J是C2的.(考试试题中的分数和题设都是正确的)第6页,第3行:第一个 )应为 凹)第7页 第11行;所有的下标氵 均改为 幻第7页,第叼行:不妨设E是有限测度,从而在E上可积.第10页,第4行:v 应为y第10页:十、(本题1o 分)设R为D,川上的连续函数环,法,乘法为普通的函数乘法.r 为R的一个极大左理想.在阳,丬上必有公共的零点。其加法为普通的函数加证明:,乡J,r 与乡|。在p,刂上恒大于o证明:若F,乡在,上无公共零点,则连续函数 F+1F结果瀚R 5分注意到J为左理想,r,了R,从而=7,同样防,

6、故2+协2,进而舸w 舢=k 曳矛盾于r 为刀 的一个极大左理想 1o 分|第1页(共1页)/Oll邸驾冽靼熊K一甬婶锶车邸 目抄屮d国剁狎烬墼糙凝甲舯黉鞍第六届中国大学生数学竞赛决赛三、四年级试卷(数学类,15年3月)考试形式:闭卷 考试时间:18o 分钟 满分:100分注意:1 前5大题是必笞题,再从 11大题中任选两题,题号要填如上面的表中2所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效3密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记4如答题空白不够,可写在当页背面,并标明题号一、(本题20分)填空题(每小题5分)(实二次型2l r 2t 1T3+5T2t“的规范型=z?+彳

7、一z:级 数手的 和=堂 计算第一型曲面积分的值:=2+2v z+即,d s=(%)为阶实对称矩阵l),r m k(=-1,的每行元素之和均为0设2,3,/|为H的仝部非零特征值勺用n 表示的元素 吼l 所对应的代数余子式 贝 刂 有】1=(n-1)!(解:1)秩=n 1秩艹=l 且=o 的解空间维lJ/1 1为/ll数 为阵矩.称对实为于由又丶/丶2)注意到艹=O,从 而严 的每一列 均形 如G页丶/页t弗故严也为实对称矩阵.故4=3)考虑特征多项式(人)=入r _=入(X-2)(入一”)其一次项系数为l l 旷W 另一方面,由(入)=入 一刖又知,其一次项系数为(-1)n l(凡1+钔结果

8、G=l-1)l二、(本题 15分)设空间中定点P到一定直线 氵 的距离为p 一族球面中的每个球面都过点P,且截直线J得到的弦长都是定值 求该球面族的球心的轨迹解:以 为氵 轴,以过点P且垂直于 氵 轴的直线为r 轴来建立直角坐标系。可设P“p,0,0l,氵 的参数方程 氵:r=o,v=0z=艺设球面C的球心为。,0,z o),由于C过点P,则c(-r O)2+(v 如)2+(z-z Q)2=-r。)2+诏+喘求 与C的交点:将J的参数方程代入 C,碥+碉+0孔=2+鲳+碍攻 分(DR卩由此得到两个解为-2z。钅+(2夕方o )=。故弦长G=r l 饧|=2z 8(2p o p 勹,从而z:-2

9、P0+P2一竺=o反之,如果球面的 球心 满足,如果过点P,=4褚-4(2p o )=沪方程有两个实根古12从而C和J相交,而且截出来弦长为o)1。分此时二次方程(1)的判别式0,_oZz古l 冫=劫士z 8-(即o p 2)笫2页(共11页)谂罴冽剃邸K玄剥铷 邸南郯 TT爿抄屮d创圳狎邱垡挝志眇甲鞭掣故所求的轨迹为z 2-2p+l 92-普=01b 卜=、证 明 题(15分)设=(明:V,的Jo r d m 标准形几得Pl P=损黝 卿雄 鼬鲰 硎)J丿存c 还 步助 钆 进l/P勿一h尉竹一燃试证使证明:对=(f 缶娶),其特征方程为o=x r _|=-2Re z 1入+z 12+z 2

10、2=4(R召z l)2-4(21卩+z 22)o2分情形1=0此时,z 2=O,z l=R1.从而=(R卩R:z 1)=1逵 蔹P=r 即有凡1P=Ji.8分、情形20此时 的特征值为人l=Re z l+讠z l P+z 2P-(Re z l)2,入2=Re z 1一讠v 氵12+饧2(Re z l)2,杨=入l,入l 人从 而 几=(l 是)现取关于 入1的一个爿 仁 0特征向量(丨)贝 刂 有(1告 嬖)(;)=人l(;)IF:;直接检验知(了)=瓦(了),因此(了)为关于 丌的一个非0窍绶i 且J,P l P=J 15分(共1】页)页逆 3刖 第有贝丶.刊 _ /丶P令旦里向四、(本题分

11、)设求最大常数 满足(岔)=|(1(v)t 0,T=o+QQn 0r扌丨 即蜘u _卩证 明:若):,的 最大 值为吉2分5分取氵n=0)_l,弘1|(t、1)-(饬1)|岔放-弘i 卩(乃+言)丌)1 贝 刂2 2a 1(1+嘉)1下证 汕p氵V|/()/(v)+0o不妨设0兰r(莎令z=s u p(-v(u)=(r)l,渤棚由于)则z 1兰v l+2|(T)(v)_一 一_ _ 扌|(z)-(v)1。分 o2O夕卜。,G(扌)1五、(本题15分)设G(,为实连续函数,W R有)JFd 犭=+己知T(满 足/+00,v R求证:r 在l O.+)有上界证明:由T()兰-口(饣)()0.第d

12、页(共n 页)O谂司冽靼卧K一匝剽铷锶韶押 TIllOT丨懈垡趔志屮嘿柙燮忡崽r 是上凸的 故h l n I/存在或为-若 石扌 t(=+,则(讠)0,h m r=+故兰o(古)J(古)(艺)-t(艺)岔(),分 分2 姓爿抄d,(s)炯 玖 ry积分得令 得、由此可知-+叫卢是无零点的整函数可设卩+屮=屮出其中是一个整函数 由(2)得+一旦 卫一竺 二绕由),“)得G+b(本题10分)设乙 是两个不同的复数 求满足方程()2=(氵)一色)(z)亠b)l 01-+屮)(/+屮)=(屮)21n lm:0n,民)Kl l On 岛)=Km(n 禹D=K 氵(ol n 1 l 七、(本题10分)设(

13、J)是骢l 上的厶 氵Ps c 诳z 函数,乙Jp s c 九订 z 常数为Fx,则对任意的可测集E c Rl,均有m(口)K刂门(l证明:(方法1)1)在题设的条件下,对任何可测集E,有i 凹)Km()(若j 为区间,由r 的连续性知:/)是区间 又()是乙 氵p s c 几祝z 函数,有|(El|K到,即m(p l)K刂n(1分若 为开集,由开集的构造知E=(n n),其 中(阳,乩)互不相交n!由(1)得:)(Fl)=矿(n,GD)=m(n D)氵 J分(3)若 为可测,则c)0,彐 开集CD第6页(共,使得m -(f11页)爿抄巾口围剁柙烬迟肥这眇甲柙燮崽|l|ll|l0勰闺剧靼卧K古

14、囝珈勰布x l iQ|lI|l丨0|丨l由(2)及(G)D(0知:沪()m(C)K m(C)=K m(z,(c-E)K m()+/x m(C)(Km()+Ft c由c 的任意性知:m(臼)f r 犰臼)6分劾在题设条件下,若 P可测,则)可测可测 彐马一型集=E1,凡闭集,刀l(E_=。n=l又()=(只D,由的连续性知亻(凡)闭 8分 饣=l那么()是岛一型 集 且()c/()由1)知 俨(-)Fr m(-)=O,即 m(A)=o而-肉Dr()-(A),从而m()-()=0,故r(刀)可测综合1)2)可得:对任何可测集,有(刀)可测且m(Fl)=m 艹(凹)KKPl 1分|(方法勿o 若(孑

15、)为R1上 的绝对连续函数,c Rl,讠)=。,则m()=0R1)V0,彐)0,对任意至多可数个互不相交的开区间(%,沙Dh】当(0讠一%)o,彐开集GD,l l。)d令C=以,9吼=峦葫 品d=d,A r t=卜 =/氵(怖一内)(喊-c 芮),V(夙)(k),走l七1灯i而 矿 Q=矿 D唱 酬s又(G)D(l),)(,由 的任意性知m)=。碴分讠若)为Rl 上的绝对连续函数,可测.则()可测 可测 彐马-型集 召=u 挂】凡,几闭,Bc,m“_=0(B)=(E1),由的连续性知(凡)闭,(功是凡一型集,(B)c(=l由讠)知:m/(-l B)=O ,又(-匀D()-(),犰()(B)=0

16、,故()可测 0乓岔 悦o 是酽 上的 犭p s c 万疣z 函数)为R1上的 绝对连续函 数/在酽上 几乎 处 处存在且V),/是-可积.即彐z c R1i n(Z)=0,/)存在第7贞(共l l 页)目|()臼 m +mD 旧矢囗:形钔o F础 郦r机_ 丶J V mKc +宀 脐 勹、dr丿cry丶 m丶凵 凵 沼/+r丨刀 _一 阢m m d一 勹品兑_ 炫 n赢仰啷帜 得:性 意m 任的由-Z)m()9,()厶|力lr r|/d ml d m 0,0,e c,若m c 1刀(0,)C(0,。)10彡卜九、(本题10分)考虑求解线性方程组x=b 的如下迭代格式(D-)x(+”=(-1)

17、p+C1)x(勺+b,其中D为实对称正定方阵 C是满足C+CT=D_的实方阵,为实数.若是实对称正定方阵,且D_C可逆,1/2。证明:上述迭岱挣式对r I何初始向量x 收敛.证明:令G=(c Lz,-C)1(-1)D+T).人 为C,的特征值,x 是对应的特征向量,y=l r Qx。则(D-C)y=(D-)x-(-1)D+CT)x=(Dc T)x=x(D-D+CT)y=(DC)y=(D C)x(r,_C)Cx=(c l p C)x(-1)D+Ct)x+r x=Cx=入x以上两个方程两遍分别 与y 做内积得Dy,y Cy.y)=x,y)第9页(共11页)分i0,则必有入-1,若入|=1,则y=O

18、,从而x=(I,y=0,进而x=0,矛盾.因此N(1,即(1故迭代收敛,l l l 分十、(本题10分)设R为,川上的连续函数环,其加法为普通的函数加法,乘法为普通的函数乘法./为R的一个极大左理想.证明:,9r,与夕征,l l 上必有公共的 零点。证明:若,口在阳,川上无公共零点,则V在,刂上恒大于0结果满Rb 分注意到r 为左理想,从而f+忉|R,进而蹦+,l=“矛 盾 于r 为刀 的一个 极 大左 理想 0 10分十一、(本题1o 分)设在国际市场上对我国某种出口商品每年的需求量X(单位:吨)是随机变量,X服从u OO,o q 上的均匀分布 每出售这种蔺品一吨、可以为国家挣得外汇3万元:

19、若销售不出而囤积于仓库,则每吨需要花费保养费用1万元 求:应组织多少货源,才能使国家的收益最大?解 设需要组织苫 吨货源预备出口,则国家收益“单位:万元)是随机变量X的函数y=9(x),表达式为氵 显然,1o Ot o邾司刘靼郢K玄唰珈 鄹南忡 l丨ll丨熙崽逐分由于y 是随机变量,因此,题中所指的国家收益最大可理解为均值最大,因而问题转化为求y 的均值,即求陌(X丬的均值 简单计算可得z 9忉(/Y丬爿抄巾迥型划舯3氵d J 8分记九(o=-+35_l OJt l O令h C)=+350=0,可得=175而=-20 因此,当舌=l r D时函数汔(o 达到最大值,亦即k(X丬达到最大 故应组织175电 这种商品,能使国家获得的收益均值最大 1。分栩厂丿氵牮 _“_一 一_ I督垡世凝中甲柙掣第11页(共l 1页)