第六届决赛试题（非数学）答案.pdf

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1、第六属全国大学生数学竞赛诀赛试卷参考答案(非数学类、2015年3月)(2设实数口0,微分方程 冫(0r f;i 呙1 1的解是-。答案;冫=_铒+1)解:记=/,则=卵2丰0,就是 丝=d d 尢,从而一=+c 9 由(0)=-1得c l=0.故有鲁一去9冫l l+c 2).再有冫(0)=0得9=l,故夕=l 则s O=。i_l l l l+l)。夕o丨尸渊叫o 力 1 5乇讠吒姒 r川k 记 镞 解:,则B2为零矩阵,故彳=(庀+B)0妒尸o跏一2力+力0彳s 50尤雷t;=(4)不定不 只 分=劳潋 是-.=日万a r c t a n 告(x-)+c 或 J=告a Kt a n(V.v 1

2、)+a r c t a n(V犭x+1)+c)=亻莹a r c t a n 亻吉(丫-)+c(5 设曲线积分J=乙千争 干i 钅年,其中是l,(1,0),(0,l),(-1,0),(0,-1)为顶点的正方形的边界曲线,方向为逆时针,则=.答案:4解;曲线z 的方程为x|+|冫=1,记该曲 线所围区 域为D。由 格林公式=由x 矽-帅=1+l l r z Y匆=双=4(6)设D是平面上由光滑封闭曲线围成的有界区域,其面积为)0,尹数/p 1y)在该区丿 嫩 勒 耻 槭醐仰 砂琏 续且r l.i l 巩吁天o 玎严,求极限 1i m 答 案;Cx p;刂1n v)解 设R=去J尸(丌,Il J,则

3、袒 哏凡=墚Ck/l l=墚Cx p h 尸晌u l Fl/l=m h m 轧只=(n Fl/,l 怔0=珊=川r 旷 苫 矿 扌-ok 一,9:故 有1i m J=c x p(F【0)=Cx p(击u l n f(x,y)二(本题满分12分)设亏,=l,2,是平面 上点PO处的2个方向向量,相邻两个向量之间的夹角为丝.若函数/(x,)在点PO有连续偏导,证明吝g 簧?=。刀证:不妨设1为单位向量,且设亏=哔)对n O+钊,w。%)=(岢罂),贿 竿邶忡 砌毗荏1竿=1J 虹 J钔j 1=设饿,孔,a,鸟均为n 阶方阵,其中鸽,凡可逆.证明;存在可逆阵P,C,使弘0=母C=1,2)成立的充荽条

4、仵是鸽石l 和凸钌I相似,证若 存 在 可 逆 阵P,2使凡40=窍(氵=1,2),则鸟丬=C,丬孔P丬,所以召1凡丬=乃氏彳2P丬,故4t 和鸟B1相似.“6分)反 之,若l 2和BIB丬2相似,则存 在 可逆 阵C,使Cl 坞丬c 奂:于 是c 丬4尸c z 12=夙.令=C丬,g=鸽丬CB,则P,2可逆,且满足P呜g=且C=l,2)喃=亻褶l,l l 么o,证明痦丁T收敛并求辄,由 题 设,冫 刊冫+石9 几_,/=艿0,所 以分)0。从而彳=+彳2,所以A=0,矛盾。故兄+。“8分)由=汽+l l,即六=秸币=+-击得如 坛 噶-击)号-六责=4P四 设p)0,凡=,解】记,/=x 几

5、丬几 (2设兄收敛,即 有上界,丿l一4一几mA记冫冖;氵9=五(l)展卜万,刀)上的函数l l)爿x|成傅里叶级数,(求 枳 分r=1 v r l z r 的值解(D(F)为偶函数,其傅里叶级数是余弦级数口0=旁1磁=z,%=旁j i c。s d 丫=士+圭-紊所以r+s 1=s l 再由(l)所证得=-三由 于l x)连续,所以 当艿 卜z,丌)有(v)=膏一旁(c o s x+,c o s 3I+:c o s 5x+)令x=0得到亳 面廾了=等 记宀=客诺得 凡=手卜=龟卜Q)记跃o=十彭 则在巴+)上啦i婀=雒 一 沪+昭记该级数的前刀 项和为凡(),余项为1()=g()一凡()则由交

6、错(单调 级数的性质陀 臼丬轫尸澜”因为f g d l,=,就有*%(v d 兰(+吖这样就有g()=1Sk 洳+1汐=喜1/J告哺 “13钔由 于丨虫f)r r z f=o,故6矿yk明证并l一刃刀0c。厶,衬刀o,刀=1,3,刀=2,4,马=晷击测 冖厂故 阝分)l 0 艹 “o 芬,六 设(I,)为灭2上的非负的连续l l 数,若=i m 1+、/(x,冫)存在有限,则称广义 积 分,(x,冫)收 敛 于(l)设(芏,)为r 上非 负且 连 续若JR/(丌,D收 敛 于,证明 极 限坦吧 纸”+l J,)存在且收敛于r2设j c。加+收敛于,其中实二次型 砑2+2勃v+哕2在正交变换下的

7、术标准型为厶2+九v 2 证明么和九都小于o解(1)由于/(x,冫)非负,v,(x,)洳止 厶 丿y(J,D拓,+v t、r l:,)d c,当+,上式中左右两端的极限都收敛于r,故中间项也收敛于r l 3分)记叼=、儿e 沪咖铲劬,则墚艹记 彳=()9贝刂 纰2+2乃+。12=(x,y)彳(;)甲彳实只 寸 称,在正T罕阵P使得,lp 彳P=(1 t)其中厶,朽是的特征值,也就是标准型的系数在变换(;=P(;)下,有t LY2+2v+c 2=厶l r 2+九v 2 又由于柑却G屹)/罚叻PP宀故变换把圆盘”刃变为谜引 繁午矧爿引议 r 矿拼|渤J夕尸珈由 m 乃=r 和(l)所证 得:1i m f l-19c+炬z z I汕=1-k,c 1叱枷 汕=在矩形上分离积分辈量得,-9=e 刃丿”1 泸r J=几()几()因为l 和厶都是严格单调增妣 故 崾1同理九oc 冯=d l J收敛,就有o 、灿一,1