五一物理1班模拟卷（一）.pdf

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1、培尖教育培尖教育 2020 年学科竞赛物理综合模拟卷（一）年学科竞赛物理综合模拟卷（一）考试时间：考试时间：180 分钟总分：分钟总分：280 分分一（30 分）1.如下图所示，有两根均匀细杆 AB,BC 铰接于 B 点，A 点铰接于固定的墙上，C 点自由。两杆的质量均为 m，长度均为 L，BC 杆与水平面的夹角60。在 C 点施加力 F使 AB，BC 杆保持初始状态不变，设 F 与竖直面的夹角为，求出平衡时与 F 的值。（13分）2.在 AB 杆水平时撤去力 F，求撤去瞬间 AB 杆与 BC 杆的角加速度12与（17 分）-17-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 1班-二（45 分）

2、我们构想一种长条状的分子，在其长度方向的线度远大于其横截面方向的线度，以至于可以将其视作一条长杆。但在宏观层面看，分子的长度又很小（事实上这样的分子也存在，比如很多链状的有机高分子）。1.设单个长条分子的长度为 L，质量为 m，分子内存在两个可以在分子的长度方向自由移动的等效电荷，电量分别为 Q,-Q。在分子所处环境中外加电场 E。由于电场力的作用，等效电荷会处于分子的两端，分子会趋向于沿电场方向分布。求分子在平衡位置附近小振动的周期。（5 分）2.事实上，由于分子的热运动，分子并非都沿电场方向，而是会有一定的偏转。取电场方向为极轴，分子与电场方向的夹角为。求分子的能量。（5 分）3.设分子的

3、分布满足玻尔兹曼关系。求分子的分布概率与角的关系P。（15 分）4.由于等效电荷能在分子内自由移动，当一束光射入分子时，平行于分子方向的电场能量会被分子共振吸收。有一束光垂直于电场入射分子，入射光的光强为0I。求出射光的平均光强大小。(以EQLkT表示)（10 分）5.接上一问，若光平行于电场入射，求出射光的平均光强大小。（10 分）三（45 分）长距离输电电路在不甚低频的情况下会比直流电路多出寄生电容，电感等杂散成分。在历史上，为了考虑这类杂散量的干扰，发展出了一类特殊的电路方程，称为电报方程。本小题中，我们将以近似的方式考虑杂散量对长距离输电的影响。1.考虑两根平行长电缆，半径为 a，中轴

4、间的距离 D()aD，空气的相对介电常数，相对磁导率均可视为 1，求单位长度的电缆间的电容与电感。（6 分）2.对一般的电缆，电感造成的影响远远大于电容造成的影响，所以我们可以将电容略去，将电路等效为下图所示。在输电电路的输入端施加交流变化的电压0cosUUt，若电缆的电阻率为，请以节点处的电压与电压对时间的一阶导数表示电压 U 的递推式。（14分）-27-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 1班-3.为了求解 2 小问中得到的递推方程，我们需要作出一些显而易见的猜想。我们猜想电压的幅值在传播中成 e 指数衰减，且每两点间的电压存在一个相移。请基于以上猜想与递推式，求出输电电缆上电压与节

5、点数的关系Un。（20 分）4.在低频近似（即20a）的情况下，求出 U 的近似表达式（近似至一阶小量）。（5 分）四（40 分）在无重力且高度真空的宇宙空间中有一圆柱状的容器，初始时容器内装有压强为0p，共0n mol的理想单原子气体，气体分子的摩尔质量为0。容器的体积为0V。若在0t 时刻在圆柱底面中心打开一面积为0S的小孔（300SV）。1.此后气体分子会从小孔中泻流而出，设容器内气体状态始终均匀1.1 求此后容器内气体物质的量与气体温度的关系（10 分）1.2 求此后容器内气体物质的量与时间的关系（15 分）2.若圆柱容器始终不会转动，求此后容器的速度与时间的关系（15 分）五（40

6、分）光子火箭是理想中的以光子作为推进媒介的火箭，由于喷出物质为光子，速度极高，光子火箭可以获得最大的推重比。本题中我们将计算光子火箭的推进原理以及如何在地面上获知光子火箭的功率。1.已知光子火箭的初始静质量为 M，在火箭系中，单位时间内以光子形式向后喷出的静质量为。火箭初始时相对地面静止。设地面系为 S，火箭的瞬时相对静止系为 S，当0 xx时，对齐地面与火箭中的钟，使0tt。求此后火箭速度与火箭系中时间的关系。（17 分）-37-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 1班-2.在地面上的火箭控制中心需要得知火箭的速度，有一种方法是测量火箭发动机喷出光子的频率。已知在火箭系中观测，喷出光子

7、的频率始终为0。光子火箭匀速在观测者上方 L 处以匀速度飞行。当火箭飞到观测者正上方时，火箭系与地面系中的时间对齐为0tt。以观测者接收到的光频率与光传播方向与火箭速度的夹角表示火箭的速度。（6 分）3.火箭为了得知自己发动机的功率，有时需要外界的帮助。在火箭后方放置一块全反射镜。设火箭以匀速度 v 垂直于反射镜运动，火箭系中，火箭发动机的功率为 P,求火箭接收到反射光的总功率。（17 分）六（80 分）光在介质中传播速度会变慢是个常识，然而仔细想想这是个复杂的问题。因为考虑微观结构，在介质的分子之间是真空。在分子之间传播时，光的前进速度仍然是光速。但是加入了介质分子后，光的传播速度神奇的变慢

8、了，本题将要探究光传播速度变慢的原因。A.（13 分）为了解决上文提出的问题，我们先解决几个小问。本小题中，我们探究光在介质分界面上的反射与折射。A.1（3 分）写出介质分界面上的电场与磁场连续性方程。两介质的相对介电常数与相对磁导率分别为1122,与。连续性方程用1/2/121/2/12,EEEEBBBB与表示A.2（4 分）已知入射光（单色电磁波）传播方向与界面法向夹角为1i，折射光传播方向与界面法向夹角为2i。两介质的相对介电常数分别为12与，考虑入射光的电场分量在入射光线平面内，介质的分界面为 y-z 平面（见下左图），求电场振幅的透射率1r，反射率1t。答案以1212,i i 表示。

9、（虽然2i可以用其他量表示，但为了简化式子，你仍然可以在答案中保留2i）-47-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 1班-A.3（4 分）接上题，若入射光的电场分量垂直于入射平面（见上右图），再求求电场振幅的透射率2r，反射率2t。答案以1212,i i 表示。A.4（2 分）接 A.2 小题，假设两种介质均为非磁性介质，从而121。当入射角取一特殊值时，反射光的振幅将会趋于零，此即为布儒斯特角，求出这个特殊的入射角B，以两介质的折射率12,n n表示。B.（14 分）因为后续证明过程的要求，本小题中，我们将引入磁矢势的概念。并对磁矢势的一些基本性质进行计算。磁场的高斯定理告诉我们，在空

10、间中任意做一个闭合曲面，曲面上的磁通量之和为零。即0B d S。那么如右图 所 示，曲 面 1 与 曲 面 2 上 的 磁 通 量 相 等，即12B dSB dS 。由此可知，通过一个曲面的磁通量仅与该曲面的边界线有关，那么我们可以构造一个矢量场A，使得空间中任意一个曲面均满足LSA dlB dS 。B.1（4 分）为了导出A 的表达式，我们先考虑一个电流元产生的磁场。设此电流元的大小为1Idl，位于坐标原点且电流向 z 轴正方向传播。求在柱坐标系中位于（z，）点的磁感应强度大小。（为了统一零点，我们假设 z 轴上的 A 大小为 0）B.2（6 分）不妨设A 仅有 z 方向分量，通过上面一小题

11、的结果，计算此电流元在（z，）点产-57-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 1班-生的A。B.3（4 分）有一无限长密绕螺线管，半径为 R，单位长度内线圈匝数为 n，单匝电流为 I，求空间内任意一点的磁矢势。C（20 分）本小题我们将运用磁矢势计算一块很大的（但并非无限大，这意味着无穷远处电流为 0，请仔细思考这两者的区别，这能让你在之后的计算中避免结果的发散）带电运动平板所产生的的电场。在本小题中，我们均在真空中考虑问题。C.1（4 分）根据麦克斯韦方程，有0B，则根据矢量分析，我们必然可以找到一个矢势A，使得AB 能唯一的确定 B 的值。虽然我们暂时不具有通过泊松方程解出 A 的数

12、学方法，但 是可 以通 过类 比，得 到 A 的 表达 式。已知20AJ ，请类 比静 电场20014VVdr（d为体积微元）给出 A 的积分表达式，以空间中的电流密度 J，r 及其他常数表示。C.2（16 分）根据电动力学理论，有AEVt 。我们考虑一块很大的平板，平板上施加了随时间变化的面电流密度 yJJ t e ，k 为一常数。平板的厚度为 h。请证明 t 时刻距离平板为 xxh处的电场强度为02chxEJ tc。（提示：注意在电动力学中，电磁作用的传播速度为光速而非无限大）D（17 分）有了上面两个小题的铺垫，我们可以着手解决一开始提出的问题。根据 Griffiths 的理论，光进入介

13、质后的场可以视作介质被反复极化后产生的叠加场。D.1（4 分）简单起见，我们考虑从真空垂直射入介质的光。介质的折射率为 n。入射光的电场振幅为0E，求反射电场振幅RE，透射电场振幅TE。D.2（7 分）若介质是非磁性介质，即1r，则介质的折射率可用极化强度e进行表示。设界面位于x=0处。入射光电场为0i kxtEEej。求透射光，反射光的电场强度,TEx t，,REx t。（用e，x，t，E 表示）D.3（6 分）-67-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 1班-对于1e的情况，我们可以对上小题中得到的,TEx t，,REx t关于e进行泰勒展开（虽然此展开对e并非很小时也成立）。请写出

14、,TEx t，,REx t的展开式（保留前三项）E（16 分）本小题中我们将探讨反复极化所产生的的电场，并与 D 小问中得到的展开式进行对比。说明这个模型的正确性。E.1（4 分）由于介质会受到电场的反复极化，我们先考虑零级电场（即入射光）产生的极化作用。由于介质整体呈电中性，没有自由电荷。在介质中可能存在的电流分布仅可能由变化的极化电荷产生。假设入射光的电场强度为00,i kxtEx tE ej，介质的极化强度为e。求零级电场导致的介质中的电流密度分布。E.2（6 分）设分界面为 x=0 平面，则在 x0 的半无穷大空间内会存在上小问中描述的电流分布。求在 x=s 处（s0）被这些电流分布激发的电场强度。E.3（6 分）上小题中的结果应与 D.3 中展开式的第二项相同。之后的每一项电场将会再激发一个电流分布，产生下一级电场。可以证明，每一级电场的大小均与泰勒展开中的一项一一对应。再考虑反射光，求在 x=-s 处被零级电流激发的电场强度。-77-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 1班-