五一物理2班电磁学模拟卷（三）答案.pdf

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1、电磁学模拟卷（三）答案电磁学模拟卷（三）答案一、参考解答：一、参考解答：（1）洛伦兹力应该提供圆环的向心力?香?分因此?香?分（2）当小环距离轴为?是一个小量的时候，必须有惯性离心力大于洛伦兹力，因此?香?分即?分设当杆运动到?处时具有的径向速度为?，由能量守恒知（洛伦兹力不做功）?香?分洛伦兹力对环和杆组成的系统的力矩为?香?分由转动定理得?香?分将(6)代入(7)得?香?香?香?分积分得?香?香?香?分因此?香?分假设环能够在?处相对杆静止，则此时(5)(10)化为?香?分?香?分联立(11)(12)可得?香?分此处应取负号，因此-114-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 2班-?

2、香?分但要使得小环能够在此处停止，则仍然要满足?香?分即?香?分由(14)(16)知，此时?香?分这与(4)矛盾，因此第 2 小问所说的情况不可能发生。（2 分）（3 4 一分 5 四分 6 7 8 9 10 11 12 13 14 两分 15 16 一分 17 两分结论两分）（3）根据题意，要使得轨迹相同，则要有相同的?，即?，由(5)得（2 分）?香?由(10)得?香?因此?香?分只要把磁场?相应的变为?即可。（2 分）评分标准：评分标准：本题 40 分，第 1）问 4 分，第 2）问 30 分，第 3）问 6 分；二、参考解答：按照下图所示的方式设电流：采用电流叠加原理，分别算出?情况和

3、?情况时?的电势差，再将两个电势差相加即得总的电势差。（2 分）普适的讨论：?的情况是所有的红色电流加上绿色电流，?的情况是所有的红色电流-214-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 2班-加上蓝色电流。显然这种设电流的方法满足所有的节点电流方程。“洞数”等于电压回路方程，因此也就等于在只考虑节点电流方程时电流的自由度数。不考虑边界情况的递推公式：?香?分特征根为?满足以下方程：?t?t?香?因此?香?香?分所有电流可以表示为?香?绕?的一圈电压回路方程：?香?香?接下来对于不同的边界条件（任意取 2 个边界方程还有(5)式）解?三个待定常数即可。计算?：(1)式不取?香?的特殊情况，即

4、还差两个电压回路方程。边界条件：“?号小矩形回路”以及“最外面的大回路”（后者等价于取?号小矩形回路）?香?香?香?联立(5)(7)?香?另取边界条件：对称性：?香?（以下(10)-(13)其实不需要，可以由对称性直接得出(14)式）即?香?利用(6)边界条件：?香?香?联立(10)(11)解得（利用?香?，由(10)可得到?香?）?香?香?两节点电势差为?香?其中?香?香?香?因此?香?分-314-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 2班-计算?：将所有编号向逆时针方向移动一格，(6)(7)改写为?香?香?香?因此?香?利用(6)边界条件：?香?利用对称性：（首位两个差一个负号）?香?

5、利用?香?，由(20)可得到?香?再由(19)可以得到?香?香?香?代入?表达式?香?得到?香?分因此总的电阻为?香?香?分代入数值结果?香?分评分标准：电流叠加 2 分，递推方程式 4 分（有理即可，形式可能不一样），特征根 4分。算出两种情况的电势差分别位 10 分和 16 分，结果正确即满分，结果错误则对每个方法的可行性和完成度进行给分。最终答案 4 分（有效位数不足一律不给分）。三、参考解答：三、参考解答：1）使用电像法，?的电像带电为?，距离导体球中心?，则有?香?分?香?分点电荷所受电场力为-414-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 2班-?香?分利用牛顿第二定律?香?分联

6、立(3)(4)解得?香?分?香?分由于点电荷位于外部，舍去?的解，因此?香?分2）写出径向运动方程?香?香?分由于系统仅仅受径向的电场力，因此角动量?香?守恒?香?香?分将(9)代入(8)得?香?香?记 t 香?香?将(10)改写为?香?t?t?t?t?t?此时等效的劲度系数?可以对等效径向作用力?对?求导得到?香?香?t?t?t?t?t?t?分当 t 香?时?香?t?t?t?t?t?t?t?t?香?分因此振动周期?为?香?香?分3）仍然使用电像法，但此时受力会有不同?香?香?分利用牛顿第二定律?香?解得-514-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 2班-?香?分4）仿照（2）小问的过程

7、，等效径向作用力仍为?香?香?t?t?t?t?t?分与（2）形式完全一样（因为固定电势扣除了原本补偿在原点的?的排斥力，这个力是三次方反比的力，正好与角动量带来的离心力形式一样），因此自然周期也与（2）答案相同?香?香?分评分标准：评分标准：本题 40 分，第 1）问 12 分，第 2）问 12 分，第 3）问 8 分，第 4）问 8 分；四、参考解答：四、参考解答：（1）边界条件是?香?，因此由磁像法，磁偶极子的像仍然是一个同方向的磁偶极子。因此受力为（3 分）?香?分小量近似得到?香?分（2）在小球圆心?点处我们近似为匀强磁场，磁场强度为?香?香?分假设磁介质小球的极化满足余弦分布?香?c

8、os?分在介质球外部的等效磁偶极子为（?方向沿着?方向）?香?分由?产生的磁场为?香?香?分故内部产生的磁场为-614-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 2班-?香?香?分外部产生的磁场为原来的?和?叠加而成。要求?连续?香?分解得?香?分因此极化而产生的磁偶极为?香?香?分?的磁场作用在?上产生的力为（其中sin?香?）?香?cos?sin?分将(3)(10)代入得到?香?分（3）小球内部磁感应强度为?香?香?分完全抗磁性使得?香?，（完全抗磁性 1 分）因此?晦香?分（4）根据题意?，两个距离较远的磁荷距离非常大。可以只考虑两个最近的磁荷之间相互作用?和?以及?和?（说明只考虑最近

9、的磁荷 3 分）?香?分（5）观察发现，只有?模式是斥力，必须选择。这里要求一个长程引力才可能稳定平衡，因此选择?模式。现在写出小车受力（引力和斥力选择 1 分，长程力或通过计算说明 3 分）?香?分平衡条件为?香?分对?求一阶导?香?稳定要求?香?（1 分）因此-714-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 2班-?香?分评分标准：本题 40 分，第 1）问 7 分，第 2）问 15 分，第 3）问 3 分，第 4）问 5 分，第 5）问 10 分；五、参考解答：五、参考解答：1）正入射时?光与 晦 光没有差别，不妨假设为?光，（晦 光的话(1)(2)相差一个正负号）由?连续：?香?分?

10、连续：?香?分对于电磁波?香?分将(3)代入(2)得到?香?因此?香?香?分2）将线偏振光分解为两个圆偏振叠加：?香?t?t?香?分反射光就是?香?分将(6)代入(7)得到?香?t?分显然当?时?的两个方向振幅不同且不为零。是椭圆偏振光。（4 分）-814-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 2班-两个方向上的相对光强分别为?t?香?分?香?分总的相对光强为?香?香?分3）最大值显然为?t香?t?分最小值为?香?分因此?香?分评分标准：评分标准：本题 40 分，第 1）问 10 分，第 2）问 26 分，第 3）问 4 分；六、参考解答：六、参考解答：（A1）使用电像法，?的电像位于?处

11、。如下图所示，?点处的电场强度矢量为?香?分其中?香?分-914-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 2班-?香?分将式(2)(3)代入式(1)得到?香?分（A2）若?则(4)中?分将式(5)代入式(4)，可得?点的电场强度矢量为?香?分（A3）由式(6)可知,当?时，?点处的电场趋近于零，即接地的金属球完全屏蔽点电荷?所产生的电场。（4 分）（A4）电像法告诉我们，由于要使得金属球净电荷为零，还需在原点放置一个带电量为?香?香?的像电荷，因此以上每一个式子都应加上?对电场的贡献。（2 分）?香?分近似得到?香?分可见在?时电场的变化行为和不放置金属球完全一样。（2 分）（B1）如下图所

12、示,点电荷?至金属球中心的距离为-1014-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 2班-?香?cos?分作用于点电荷?的静电力的大小为?香?香?分将式(9)代入式(10)，可得作用在点电荷?上的静电力大小为?香?cos?cos?分静电力的方向如下图所示。（2 分）（B2）由上图中的几何关系可得?sin?香?sin?分?香?分静电力在垂直于细绳方向上的分量为?香?sin?香?cos?cos?sin?分其中?香 arcsin?sin?香 arcsin?sin?cos?分（B3）点电荷?做单摆运动的动力学方程为?香?d?d?分就小角度振动而言，?。利用近似关系：sin?和cos?香?，并在展开式

13、中保留至的一次项，由式(13)和式(15)可得?sin?香 arcsin?sin?cos?分?香?分由式(14)可得?香?香?分将式(19)代人式(16),可得-1114-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 2班-?d?d?香?分故点电荷?做小角度振动的角频率为?香?分评分标准：评分标准：本题 60 分，A 部分 8+4+4+8=24 分，B 部分 10+10+16=36 分；七、参考解答：七、参考解答：1.1）题图所示电场线对应的?为锐角，无限靠近?处，总场强?几乎完全由?单独存在时的场强确定，其方向即为锐角?方向。而后?对?的贡献不可略，使场强?更朝右偏转，电场线进一步引向右方，并接

14、近?，最后终止于?。?为直角时，无限靠近?处，?几乎完全由?单独贡献而成，其方向即为?方向，即电场线尚未朝右偏转。而后?的作用不可略，?中朝右的分量开始起作用，使?得方向朝右偏转，电场线被引向右方，最后终止于?。结论：?香?的电场线必定能过?轴并终止于?。（言之有理 4 分）电通量守恒：?香?香?d?分求出?处的电场：?香?分求出积分：?香?香?香?d?香?分因此?香?分1.2）电通量守恒：?香?香?d?其中?对应的立体角为：?香?cos?分将(3)(6)代入(5)得?cos?香?分化简得到?香?cos?cos?cos?分-1214-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 2班-两个?值对应

15、的两个?值：?香?香?分?香?香?分?t?平面上电场线分布如下图（2 分）2）此时在真实的三维空间中，静电场高斯定理不成立。将真实三维空间中?t?坐标系所在平面单独取出，局限于该平面的静电场对应的二维空间高斯定理成立。?t?平面上的电场结构属于真实三维空间中的电场结构，题图中的那条电场线既属于真实三维空间静电场，也属于?t?平面的二维电场。（描述二维与三维的关系 2 分）电通量守恒：?香?香?d?分求出?处的电场：?香?分求出积分：?香?d?香?香?d?香?arctan?分其中?对应的立体角为：?香?分将(14)(13)代入(11)得?香?arctan?分因此?香?时代入(15)得?香?分3）

16、此时在真实的三维空间中，静电场高斯定理不成立。将真实的三维空间处理为抽象的四维空间中的三维子空间，在抽象的四维空间中静电场高斯定理仍成立。真实空间电场结构属于抽象的四维空间电场结构，题图中那条电场线既属于真实三维空间电场，也属于抽象四维空间电场。（描述四维与三维的关系 2 分）电通量守恒：?香?香?d?分d?表示“t 香?，并且距离原点距离为?d?范围内四维面元”求出?处的电场：-1314-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 2班-?香?分四维面元表达式：d?香?d?分求出积分：?香?d?香?香?d?令?香?得到?香?d?香?香?d?令?香 tan?香 arctan?得到?香?d?香?香

17、?arctan?sin?d?香?sin?分其中?对应的立体角为：（取无穷小三维环带，环带半径为?香 sin?，宽度为 d?）?香?d?香?sin?当?香?时?香?分将(24)(22)代入(17)得到?香?sin?分所求方程为?香 arctan?sin?arctan?分解得?香?附：?香?香?d?的另外一种解法：?可以分解为?和?，总电通量可以通过两个电场的电通量直接线性叠加。即有?香?香?d?香?d?香?由对称性?香?因此?香?香?香?sin?结果与(22)相同评分标准：评分标准：本题 60 分，第 1）问 16+14=30 分，第 2）问 14 分，第 3）问 16 分；-1414-培尖教育2020年学科竞赛五一集训物 理 2班-