汇智起航 2021 年（寒假）高中物理竞赛复赛-力学2答案.pdf

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1、第 1 页 共 9 页汇智起航 2021 年（寒假）高中物理竞赛复赛-力学模拟测试卷二答案一、解：（1）考虑电子的角动量附加的势能后，体系的有效势能可以写为?电子平衡条件?即?稳定平衡条件?即?联立上式?得到?（2）利用摄动法（也就是迭代法）求解水星的运动，由比耐方程化简可得?注意到（10）中?，不妨设?，其中?由?导致，?由?导致，以此类推.在求解?时，我们可以忽略?这一项，从而解出：?这就是我们熟悉的天体运动轨道参数方程，接下来求解?，由于?，故?利用题给公式，我们可以解出?更高阶的修正并没有继续计算.注意到（11）式中，只有?会在时间的平均意义上导致水星的近（远）日点发生变化，故水星的轨

2、道参数方程可以写为?从（12）式容易得到，水星的进动角第 2 页 共 9 页?沿顺时针方向进动?二、解：（1.1）利用转动定理和牛顿第二定律写出质点的运动方程?（1.2）不可能.实际上，欲使质点在沿径向离开平板前便与平板脱离，必须有?，此时，必定有?.但是，注意到体系运动最开始的时候，有?，在这段时间内显然存在?，考虑能量守恒，平板将无法回到?位置，也就是说不可能在某个时刻有?，亦即质点不可能沿“切向”被弹离平板.?（2）（2）分析可知，由于是轻绳，故在边界上应有?建立笛卡尔坐标系，设?，可以写出质点的运动轨迹参数?对（5）二次微分可以得到?不妨设真实加速度为上述比例关系乘以?，利用虚功原理，

3、在微小时间?内?解得?进一步地，考虑牛顿第二定律，注意到绳对质点的作用只能沿绳?联立上式，化简可得?第 3 页 共 9 页三、解：设当圆盘运动到最低处时，圆盘相对圆环速度为?，圆环相对地面速度为?，圆盘的转动角速度为?，圆环的转动角速度为?，圆环与地面摩擦力为?，圆盘与圆环的摩擦力为.方向规定：以上各参量均大于零考虑动量定理，角动量定理，能量守恒牛顿第二定律?（1）由题意?解得?（2）由题意?解得?（3）由题意?解得?（4）由题意?解得?第 4 页 共 9 页四、解：考虑速度与加速度的分解与合成，如图所示由几何关系?由速度关联?cos?解得?由加速度关联?其中?联立上式?综上，利用速度、加速度

4、叠加原理?第 5 页 共 9 页五、解：（1）分析可知，地球表面为一个等势体，也就是说?#?对（1）微分?对（2）积分，代入?，得到地球为一旋转椭球体?（2）引力势能的准确表达式?分析可知，应当展开至二阶（一阶积分后对总引力势能不做贡献）?（3）注意到?对（5）式积分，可以得到?（4）地球同步卫星所处位置为?，结合角动量守恒，给出有效势能?同步卫星条件?再考虑进动角速度?化简，考虑近似条件?方向与公转方向相同（5）此时，根据小量阶数可以判定，地球引力势能修正项在最终表达式中为二阶项，也就是说我们可以将地球质量等效在球心处.实际上，在远场条件下，依照上面的计算方法，引力势能可以写作?其中第 6

5、页 共 9 页?故?（6）注意到在卫星质心参考系中，惯性离心势能不发生变化，故只需考虑引力势能.?平衡位置?稳定平衡位置?由（4）可以给出?振动周期?六、解：（1）分析可知，“彭罗斯楼梯”可以平衡的条件为?由对称性，棒与棒的接触位置作用力可以由力矩平衡导出?考虑竖直方向的力平衡，绳的张力?再考虑接触位置处的摩擦力，各接触位置摩擦力在临界情况下相同?故第 7 页 共 9 页?（2）写出杆的受力平衡与力矩平衡方程?临界条件?联立上式，解得?讨论：当?时，平衡条件为?此时?为稳定平衡位置?当?时，平衡条件仅有?此时?为不稳定平衡位置?七、解：（1）在?与?碰撞前，体系能量?弹性碰撞过程损失能量?离开

6、地面的最低能量?联立上式，解得?（2）碰撞过程结束后，零点修正，方向向下为正，?两质点的速度第 8 页 共 9 页?在?脱离地面前，?作简谐运动，?做自由落体?sin?当?运动到?处时?脱离地面?从而可以计算得到?arcsin?由题意，应当有?，即?arcsin?且要求（11）式有意义，即?（3）本题答案不唯一，解答合理即可.要求说明周期性运动形式，描述碰撞及运动过程，给出周期性条件.?试题难度分级及点评注：难度为相对复赛的难度，“=”为复赛难度，“-”为稍低于复赛难度，“+”为稍高于复赛难度,“+”为远高于复赛难度题目难度考点一=有心力场的运动；进动；迭代思想二=牛顿第二定律；过程分析（定性）三=牛顿第二定律；转动定理；参考系；约束关联第 9 页 共 9 页四-运动学五+(40pt)/+(75pt)引力势（四偶极矩）；进动六-静力学七+碰撞；能量守恒；周期性条件