1-37th复赛模拟1标答.pdf

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1、2020 年暑期刷题班培训专用清北学堂第37届全国中学生物理竞赛复赛模拟题1答案一（1）先构造体系来计算渐开线的曲率半径，设想一小球以匀速作渐开线运动（在光滑平面上与绕柱的细线相连，作平动）由于速度大小不变，只是方向改变，所以：?由角动量定理，关于圆柱中心的角动量变化率为：?t?再由几何关系：t?t?代入得到：?t?（2）不打滑要求：?由牛二：?由几何关系：?h且有：?能量是守恒的：?轐?其中：?t?轐所以：?t?t?轐?得到：?t?轐?t?则：?t?轐?t?t?轐?t?t?t?t?评分标准：1-5，9-14 各 2 分 6，8 各 4 分，7，15 各 6 分2020 年暑期刷题班培训专用二

2、解答：1.由毕萨定律可得：?t?轐?t?对于线圈?，有：?轐?h?轐?轐?h?对于线圈?，同理：?轐?h?那么合磁场为：?轐?h?h?h?h?利用小量展开公式：?方括号中的结果为：?h?h?h?h?因此，磁感应强度为：?轐?h?h?h?h?h2.利用二阶系数为 0 的条件（四阶远远小于二阶），有：?所以实际上线圈的距离为?，对应求解磁感应强度为：?轐?h?h?3.由磁场的高斯定理：?轐?轐我们取一个圆柱形的高斯面，那么有：?h?h?h?h?h?解得：2020 年暑期刷题班培训专用?h?hh?h?轐?h?所以比例为：?h?h?h?1-4 各 3 分，5-7 各 5 分，8 式 2 分，9 式 4

3、 分，10-12 各 3 分，13 式 4 分三解答：小球滚到斜面底部，机械能守恒：?sin?轐?h?h?作斜面底部的水平线，容易求得质心的相对高度：?利用等边三角形的性质，在双轨上：?由此可知，曲线轨道实际上是一条直线轨道，将碰撞过程进行细致化，细节图如下：不打滑意味着存在摩擦力冲量，作用在?上，由于弹力冲量较大，实际上?点是一个虚接触，考虑对?的角动量守恒：?解得：?所以竖直方向的冲量为：2020 年暑期刷题班培训专用?h?h水平方向的冲量为：?h?容易检验，上述冲量的方向远离斜面（2）椭圆上的运动近似成在曲率圆上的运动，写出几何约束：?由角动量定理：?轐?轐得到周期：?我们已经利用了曲率

4、半径公式：?h?考虑斜面上的过程，下滚过程的角加速度和时间为：?h?考虑球返回的时候的速度“缩放”关系，利用对?的角动量守恒关系“?h?所以在第一个周期内的震动的周期为：2020 年暑期刷题班培训专用?h?h轐?h?h轐?1-4 各 2 分，5-8 各 3 分，说明圆轨道实际是直轨道 2 分，结果检验 2 分；9-12 各 3 分，13，14 各 2 分，15-17 各 3 分，18 式 1 分四解答：（1）容易得出：?得到：?由玻尔兹曼熵的性质：?ln?ln?ln?ln?ln?（2）有热力学第二定律和热力学第一定律：?晦?注意到?实际上是一个?的单元函数，所以：?得到：?ln?h（3）从负温

5、度系统流向正温度系统，考察系统的熵的变化，若从正流向负，则熵减，违反热力学第二定律1，2 各 3 分，3，4 各 5 分；5，6 各 4 分，7 式 6 分；结论 4 分，论证 6 分（用反证法2 分）2020 年暑期刷题班培训专用五解答;由高斯定理：?线?轐?h?线?轐?那么电势可以积分得到：晦?线?轐?h?晦?线?轐?铅核的质量很大，所以可以忽略铅核的运动，有玻尔条件：线?以及：?线?线?对于?h?时，?子轨道半径（?轐是氢原子的玻尔半径）：?线?轐?h对于?，玻尔半径为：?轐?线?总能量为：?线 晦?分别代入可得：?h?轐?h?线?轐?轐?线?代入数据：?u?u?能量：?u?线晦?uh?

6、线晦?波长：2020 年暑期刷题班培训专用?u?轐?1，2 各 2 分；3-14 各 3 分六（1）设出入射光线和出射光线与两个法线分别的夹角?；对应的折射角为?sini?nsini（?）小角近似：sini?i?sin?i?和几何关系：i?（?）得到偏向角为：?n?（?）（2）对于普通透镜距离中心 y 的环带面，在傍轴近似下，轴上物体（距光心为 u），其发出指向环带面的光线的偏转角为：?yu?注意到，透镜成像公式：?u?v?f（?）可得:?yf（h）得到了等效的透镜焦距为:?（?）轴线方向，像也做整体平动，将 v 用 u，f 解出：v?（?）像的轴向速度 V为：V?dvdt?dudt?晦（?轐

7、）对于 y 上的点，垂直于轴向的速度为：Vy?晦?，沿着垂直轴向增长的方向（?）其中，f?（3）由磨镜者公式：?n?利用相交弦定理:?h h?h?R?2020 年暑期刷题班培训专用得到：?R?h?平凸透镜的体积为：?dx?质量为：m?R?h（4）现求解?:hn?N?（?）不考虑衬底，菲涅尔透镜的体积可以写作：晦轐?轐?第一项的计算：V?轐第二项的计算：V?轐?轐?求和的计算：?轐?衬底的体积：V?（?）所以，菲涅透镜的体积为：V?（?）对应的质量：?（?）求出对于 N 的限制：hN?轐（?）当?h?，解不存在（?）1-4 各 2 分；5-9 各 2 分，10，11 各 3 分；12，13 各

8、2 分，14-17 各 3 分；18-26 各 2 分2020 年暑期刷题班培训专用（包括 21*）七（1）根据电像法，像电荷在距离球心?处，电荷量为：?为了保证电荷守恒，在像电荷的贡献之外，球心的等效电荷变为：?所以受力为：?轐?轐?轐?轐?轐?h?轐轐?（2）内部的像电荷位于?处，电荷量为：?受力为：?轐?轐?轐?轐?（3）初态，系统的电势为：?轐?轐?轐?壳?轐?h?轐?轐?壳?末态，系统的电势变为：?壳末?壳?轐?末?末?轐?末?轐?轐?末?轐?做功为系统静电能之差，静电能为：?代入得到：?末?初?轐?轐?1-5 各 3 分；6，7，9，10 各 2 分，8，11 各 3 分；12 式 5 分，13 式 6 分