第七届全国大学生数学竞赛预赛答案（非数学类）.pdf

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1、 2015 年第七届预赛（非数学类）参考答案年第七届预赛（非数学类）参考答案一、每小题 6 分，共计 30 分。(1)极限2222sinsinsin2lim12nnnnnnnn+=+L。解：由于11sin1sin1nniiiininnnn=+11sin,niinn=而11limsin1nniinn=+=0112limsinsin(1)nninixdxnnn=+，11limsinnniinn=11limsinnniinn=012sin xdx=。所以所求极限是2.（2）设函数(,)zz x y=由方程(,)0zzF xyyx+=所决定，其中(,)F u v具有连续偏导数，且0uvxFyF+。则z

2、zxyzxyxy+=。（本小题结果要求不显含 F 及其偏导数）解：方程对 x 求导，得到 21110uvzzzFFyxxxx+=即2()vuuvzy zFx FxxxFyF=+。同样，方程对 y 求导，得到2()uvuvzx zFy FyyxFyF=+。于是()()uvuvuvzzz xFyFxy xFyFxyzxyxyxFyF+=+（3）曲面221zxy=+在点 M(1,1,3)的切平面与曲面22zxy=+所围区域的体积为2。解：曲面221zxy=+在点 M(1,1,3)的切平面：2(1)2(1)(3)0 xyz+=，即221zxy=。联立22221zxyzxy=+=，得到所围区域的投影 D

3、 为：22(1)(1)1xy+。所求体积2222(221)()1(1)(1)DDVxyxydxdyxydxdy=+=+令1cos1sinxrtyrt=+=，21200(1)2Vdtrrdr=。（4）函数3,5,0)()0,0,5)xf xx=在(5,5的傅立叶级数在 x=0 收敛的值 3/2 。解：由傅里叶收敛定理，易知 f(0)=3/2.（5）设区间(0,)+上的函数()u x定义为20()xtu xedt+=，则()u x的初等函数表达式为2 x。解解 由于22222()000,0()xtxsx ststuxedtedsedsdt+=,故有 222/2220000()()444xxxuxd

4、ededxexxx=+=。所以()2u xx=。二、（12 分）设 M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。解：显然，O(0,0,0)为 M 的顶点，A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)在 M 上。由 A,B,C 三点决定的平面1xyz+=与球面2221xyz+=的交线 L 是 M 的准线。4 分设P(x,y,z)是M上的点，(u,v,w)是M的母线OP与L的交点，则OP的方程为1xyzuvwt=，即 u=xt,v=yt,w=zt。8 分代入准线方程，得2222()1()1xyz txyzt+=+=。消除 t，得到圆锥面 M 的方程0 xyyzzx+=。12 分三、（12

5、 分）设()f x在(,)a b内二次可导，且存在常数,，使得对于(,)xa b ()()()fxf xfx=+，则()f x在(,)a b内无穷次可导。证明 1.若0=。对于(,)xa b，有()()fxf x=，2()()(),fxfxf x=L()()()nnfxf x=。从而()f x在(,)a b内无穷次可导。4 分 2.若0。对于(,)xa b，有 11()()()()(),fxf xfxA fxB f x=+（1）其中111/,/AB=。6 分因为（1）右端可导，从而 11()()()fxA fxB fx=+。8 分 设()(1)(2)11()()(),1nnnfxA fxB f

6、x n=+，则(1)()(1)11()()()nnnfxA fxB fx+=+。故()f x任意阶可导。12 分四、（14 分）求幂级数=+0n3)1()!1(2nxnn的收敛域与和函数解：因0)2)(2(2)1(331limlim=+=+nnnaannnn。固收敛半径+=R，收敛域为),(+。4 分由)!1(1!1)!2(1)!1(1)!1(1)!1()1()1()!1(23+=+=+nnnnnnnnnnnn)2(n及幂级数nnxn)1()!2(12=，nnxn)1(!10=和nnxn)1()!1(10+=的收敛域皆为),(+得nnnnnnnxnxnxnxnn)1()!1(1)1(!1)1(

7、)!2(1)1()!1(20020n3+=+=。7 分用)(1xS，)(2xS和)(3xS分别表示上式右端三个幂级数的和函数。依据xe的展开式得到=01221,)1()1(!1)1()(nxnexxnxxS 12)(=xexS再由1)1(!1)1()!1(1)()1(11103=+=+=xnnnnexnxnxSx 得到，当1x时)1(11)(13=xexxS。10 分又1)1(3=S。12 分 综合以上讨论，最终得到所给幂级数的和函数=)(xS?1)1(11)22(112+xexexxxx，2 1=x 14 分五、（16 分）设函数f在0,1上连续，且1100()0,()1f x dxxf x

8、 dx=。试证：（1）00,1x使0()4f x（2）10,1x使1()4f x=证明：（1）若0,1x，()4f x，则1110001111()()()41222xf x dxxf x dxxdx=4 分因此101()12xf x dx=。而101412xdx=，故101(4()02xf xdx=，8 分所以对于任意的0,1x，()4,f x=由连续性知()4f x 或()4f x 。这就与条件10()0f x dx=矛盾。故00,1,4xf x0使（)10 分 （2）先证20,1x，使4f x2（)。若不然，对任何0,1x，4f x（)成立。则，()4f x 恒成立，或者()4f x 恒成

9、立，与10()0f x dx=矛盾。再由()f x的连续性及（1）的结果，利用介值定理10,1x使4f x=1（)。16 分六、（16 分）设(,)f x y在221xy+上有连续的二阶偏导数，2222xxxyyyfffM+。若(0 0)0f=，(0,0)(0,0)0 xyff=，证明 221(,)4xyMf x y dxdy+。证明：在点(0,0)展开(,)f x y得 2222222211(,)(,)=2(,)22f x yxyfxyxxyyfxyxyxx yy=+，其中(0,1)。-6 分 记22222(,),(,)u v wfxyxx yy=，则()221(,)22f x yuxvxywy=+。由于222|(,2,)|2uv wuvwM=+以及2222|(,2,)|xxy yxy=+，我们有 ()2222|(,2,)(,2,)|uv wxxy yMxy+，即()221|(,)|2f x yM xy+。-13 分 从而 22222211(,)()24xyxyMMf x y dxdyxy dxdy+=。-16 分