第四届 全国大学生数学竞赛数学类决赛试卷.pdf

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1、 第 1 页（共 6 页）专业：考生座位号：线 所在院校：封 密 准考证号：姓名：第第四四届届全全国大学生数学竞赛国大学生数学竞赛决赛决赛试卷试卷（数学类，数学类，2012013 3）考试形式：闭卷 考试时间：150 分钟 满分：100 分.题 号 一 二 三 四 五 六 总分 满 分 15 15 15 15 20 20 100 得 分 注意：注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.3、如当题空白不够，可写

2、在当页背面，并标明题号、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.一、（本 题 15 分）设A为 正 常 数，直 线L与 双 曲 线222(0)xyx所围的有限部分的面积为A.证明：(i)上述L被双曲线222(0)xyx所截线段的中点的轨迹为双曲线.(ii)L总是(i)中轨迹曲线的切线.得得 分分 评阅人评阅人 第 2 页（共 6 页）二、（本题 15 分）设函数()f x满足条件：1)()af xb ,axb；2)对任意不同的x,ya,b 有()(),其中f xf yL xyL是大于 0 小于 1 的常数.设1,xa b令11(),1,2,.2nnnxxf xn.证明limnnxx存在，且

3、().f xx 得得 分分 评阅人评阅人 第 3 页（共 6 页）专业：考生编号：线 所在院校：封 密 准考证号：姓名：三、（本题 15 分）设实n阶方阵A的每个元素的绝对值为2.证明：当n3 时，112!3nAn.得得 分分 评阅人评阅人 第 4 页（共 6 页）四、（本题 15 分）设()f x为区间,a b上的可导函数.对0,xa b，若存在0 x的邻域U使得任意的 0 xUx有000()()()()f xf xf xxx，则称0 x为()f x的凹点.类似地，若存在0 x的邻域U使得任意的 0 xUx有000()()()()f xf xf xxx，则称0 x为()f x的凸点.求证：若

4、()f x是区间,a b上的可导函数且不是一次函数，则()f x一定存在凹点或凸点.得得 分分 评阅人评阅人 第 5 页（共 6 页）专业：考生编号：线 所在院校：封 密 准考证号：姓名：五、（本题 20 分）设111213212223313233aaaAaaaaaa为实对称矩阵,*A为A的伴随矩阵.记212342111213123432122234313233(,)xxxxxaaaf xxxxxaaaxaaa.若A的行列式为12,A的所有特征值的和为1,且(1,0,2)T为*(4)0AI x一个解.试给出一正交变换11223344xyxyQxyxy使得1234(,)f xxxx化为标准型.得得 分分 评阅人评阅人 第 6 页（共 6 页）六、（本题 20 分）令R为实数域,n为给定的正整数，A表示所有n次首一实系数多项式组成的集合.证明：1,0,()()inf0b cbnbcP xAP x dxcR.得得 分分 评阅人评阅人