第四届全国大学生数学竞赛决赛试题评分细则（数学类）.pdf

《第四届全国大学生数学竞赛决赛试题评分细则（数学类）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四届全国大学生数学竞赛决赛试题评分细则（数学类）.pdf（6页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1第四届全国大学生数学竞赛决赛试题标准答案一、(本题15分):设A为正常数，直线与双曲线x2 y2=2(x 0)所围的有限部分的面积为A.证明：(i)所有上述与双曲线x2 y2=2(x 0)的截线段的中点的轨迹为双曲线.(ii)总是(i)中轨迹曲线的切线.证明：将双曲线图形进行45度旋转，可以假定双曲线方程为y=1x,x 0.设直线交双曲线于(a,1/a)和(ta,1/ta),t 1,与双曲线所围的面积为A.则有A=12(1+1t)(t 1)taa1xdx=12(1+1t)(t 1)logt=12(t 1t)logt.令f(t)=12(t 1t)logt.由于f(1)=0,f(+)=+,f(t

2、)=12(1 1t)2 0,(t 1),所以对常数A存在唯一常数t使得A=f(t)(5分).与双曲线的截线段中点坐标为x=12(1+t)a,y=12(1+1t)1a.于是，中点的轨迹曲线为xy=14(1+t)(1+1t).(10分)故中点轨迹为双曲线,也就是函数y=14(1+t)(1+1t)1x给出的曲线.该曲线在上述中点处的切线斜率k=14(1+t)(1+1t)1x2=1ta2,它恰等于过两交点(a,1/a)和(ta,1/ta)直线的斜率:1ta1ata a=1ta2.故为轨迹曲线的切线.(15分)二、(本题15分):设函数f(x)满足条件:1)a f(x)b +,a x b;2)对于任意不

3、同的x,y a,b有|f(x)f(y)|f(x0)+f(x0)(xx0),则称x0为f(x)的凹点.类似地,若存在x0的邻域U使得任意的x U x0有f(x)f(x0)+f(x0)(x x0),则称x0为f(x)的凸点.证明:若f(x)为区间(a,b)上的可导函数,且不是一次函数,则f(x)一定存在凹点或凸点.证明：因为f(x)不是一次函数,故存在a x1 x2 x3 0.(3分)令g(x)=(x x2)2+f(x2)+f(x3)f(x1)x3 x1(x x2).取定 0充分小,使得g(x1)f(x1)和g(x3)f(x3).令h(x)=g(x)f(x).则有h(x1)0和h(x3)0,且h(

4、x2)=0.令h()=minxx1,x3h(x),则h()0,(x1,x3),并且f()=g()(10分).故f(x)g(x)h(),x (x1,x3).注意到g(x)h()的图像是一个开口向下的抛物线,故对x=有g(x)h()g()(x )+g()h()=f()(x )+f(),即f(x)0,P(x)Ab+ab|P(x)|dxan+1 0.证明：我们证明对任意n次首一实系数多项式,都有b+ab|P(x)|dx cnan+1,其中cn满足c0=1,cn=n2n+1cn1,n 1(3分).我们对n用归纳法.n=60时P(x)=1.则b+ab|P(x)|dx=a c0a,结论成立(5分).下设结论在k n 1时成立.设P(x)是一个n次首一多项式,则对任意给定的a 0来说Q(x)=2na(P(x+a2)P(x)是一个(n 1)次首一多项式.由归纳法假设,有b+a/2b|Q(x)|dx cn12nan.(10分)由此推出b+ab|P(x)|dx=b+a/2b(|P(x)|+|P(x+a/2)|)dxb+a/2b(|P(x+a/2)P(x)|)dx=na2b+a/2b|Q(x)|dx na2cn1(a2)n=cnan+1.(20分)