2025高考帮备考教案数学第三章一元函数的导数及其应用第1讲　导数的概念及其意义、导数的运算含答案.docx

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1、2025高考帮备考教案数学第三章一元函数的导数及其应用第三章一元函数的导数及其应用第1讲导数的概念及其意义、导数的运算课标要求命题点五年考情命题分析预测1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.2.体会极限思想.3.通过函数图象直观理解导数的几何意义.4.能根据导数定义求函数yc，yx，yx2，yx3，y1x，yx的导数.5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f（axb）的导数.6.会使用导数公式表.导数的运算2022全国卷甲T6

2、；2020全国卷T15本讲是高考的必考内容.命题热点有导数的运算、求切线方程、已知切线方程求参数、公切线问题等，题型以选择题、填空题为主，有时也会以解答题的形式考查，难度中等偏下.导数的运算一般不单独命题，而是贯穿于导数应用的整个过程中，是整个导数部分的基础.预计2025年高考，命题依然稳定，备考时注重常规题型训练的同时强化知识的灵活运用.导数的几何意义2023全国卷乙T21；2023全国卷甲T8；2022新高考卷T15；2022新高考卷T14；2022全国卷乙T21；2021新高考卷T7；2021新高考卷T16；2021全国卷甲T13；2020全国卷T6；2020新高考卷T21；2019全国

3、卷T13；2019全国卷T6与公切线有关的问题2022全国卷甲T20；2020全国卷T10；2019全国卷T20学生用书P0501.导数的概念及其几何意义（1）函数f（x）在xx0处的导数：如果当x0时，平均变化率yx无限趋近于一个确定的值，即yx有极限，则称yf（x）在xx0处可导，并把这个确定的值叫做yf（x）在xx0处的导数（也称为瞬时变化率），记作f （x0）或yxx0，即f （x0）limx0yxlimx0f（x0x）f（x0）x.（2）函数f（x）的导函数：当x变化时，yf （x）就是x的函数，我们称它为yf（x）的导函数（简称导数）. yf（x）的导函数有时也记作y，即f （x）

4、ylimx0f（xx）f（x）x.说明函数yf（x）的导数f （x）反映了函数f（x）的变化趋势，其大小f （x）反映了变化的快慢，在某一范围内f （x）越大，函数在相应范围内变化得越快，函数的图象越“陡峭”（向上或向下）.辨析比较f （x）与f （x0），f（x0）的区别与联系：f （x）是一个函数，f （x0）是函数f （x）在xx0时的函数值（常数），不一定为0，f（x0）是函数值f（x0）的导数，且f（x0）0.（3）导数的几何意义：f （x0）的几何意义就是曲线yf（x）在点P（x0，f（x0）处的切线的斜率k，即kf（x0），相应的切线方程为yf（x0）f（x0）（xx0）.说明函

5、数yf（x）在某点处的导数、曲线yf（x）在该点处切线的斜率和倾斜角，这三者之间是可以相互转化的.2.导数的运算（1）基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f（x）c（c为常数）f （x）0f（x）x（R，且0）f （x）x1f（x）sin xf （x）cosxf（x）cos xf （x）sin xf（x）ax（a0，且a1）f （x）axlnaf（x）logax（a0，且a1）f （x）1xlna特别地，若f（x）ex，则f （x）ex；若f（x）ln x，则f （x）1x；若f（x）1x，则f （x）1x2.（2）导数的四则运算法则若f （x），g（x）存在，则a.f（x）g（x）f（x

6、）g（x）；b.f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）g（x）；c.f（x）g（x） f（x）g（x）f（x）g（x）gx2（g（x）0）；d.cf（x）cf（x）.规律总结奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.（3）复合函数的导数复合函数yf（g（x）的导数和函数yf（u），ug（x）的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.注意 （1）要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆.（2）对于含有参数的函数，要分清哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零.1.下列说法正确的是（C）A.f （x

7、0）是函数yf（x）在xx0附近的平均变化率B.f （x）与f （x0）（x0为常数）表示的意义相同C.曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点D.奇函数的导数还是奇函数解析对于A，f （x0）是函数yf（x）在xx0处的瞬时变化率；对于B，f （x）是一个函数，而f （x0）（x0为常数）是函数f （x）在xx0时的函数值；对于C，例如曲线ycos x在点（0，1）处的切线与曲线ycos x有无数个公共点；对于D，奇函数的导数是偶函数.故C正确.2.教材改编下列式子不正确的是（C）A.（3x2cos x）6xsin xB.（ln x2x）1x2xln 2C.（2sin 2x）2cos 2xD.（

8、sinxx）xcosxsinxx2解析由导数公式和运算法则可知A，B，D正确.（2sin 2x）4cos 2x2cos 2x，故C不正确.3.全国卷函数f（x）x42x3的图象在点（1，f（1）处的切线方程为（B）A.y2x1B.y2x1C.y2x3D.y2x1解析f（x）x42x3，f （x）4x36x2，f （1）2，又f（1）121，所求的切线方程为y12（x1），即y2x1.故选B.4.2024河北省邢台市月考在一次10米跳台跳水运动中，某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：h（t）4t24t11.该运动员在t1 s时的瞬时速度

9、（单位：m/s）为（A）A.4B.4C.11D.11解析由h（t）4t24t11可得h（t）8t4，故h（1）4，即该运动员在t1 s时的瞬时速度为4 m/s.故选A.学生用书P051命题点1导数的运算例1 （1）2024河南省商丘市部分学校质检下列求导正确的是（D）A.（2x1）22（2x1）B.（2xx2）2x2xC.（sin xcos3）cos x13sin3D.（log2x）log2ex解析 （2x1）22（2x1）24（2x1），故A错误；（2xx2）2xln 22x，故B错误；（sin xcos3）cos x，故C错误；（log2x）1xln2log2ex，故D正确.故选D.（2）

10、全国卷设函数f（x）exxa.若f （1）e4，则a1.解析由于f（x）ex（xa）ex（xa）2，故f（1）ea（1+a）2e4，解得a1.方法技巧（1）求导之前，先把函数简化成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.（2）复合函数求导，要正确分析函数的复合层次，由外到内逐层求导，必要时要进行换元.注意 （1）牢记导数公式和导数的四则运算法则；（2）若函数解析式中含有待定系数（如f （x0），a，b等），则求导时把待定系数看成常数，再根据题意求解即可.训练1 （1）多选/2023湖北省黄冈市黄州中学质检下列求导运算正确的是（BD）A.cos（2x）2sin xB.（lnxx）1ln

11、xx2C.（e3）3e2D.（lg 2x）1xln10解析 cos（2x）sin（2x）（2x）2sin（2x），故A错误；（lnxx）x（lnx）-xlnxx21lnxx2，故B正确；（e3）0，故C错误；（lg 2x）12xln10（2x）1xln10，故D正确.故选BD.（2）已知函数f（x）的导函数为f （x），且满足f（x）3xf （1）2ln x，则f （2）（B）A.e1B.2C.0D.e1解析设f （1）a，则f（x）3ax2ln x，f （x）3a2x，所以f （1）3a2a，解得a1，所以f （2）3（1）12.故选B.命题点2导数的几何意义角度1求切线方程例2 （1）20

12、23全国卷甲曲线yexx+1在点（1，e2）处的切线方程为（C）A.ye4xB.ye2xC.ye4xe4D.ye2x3e4解析由题可得yex（x+1）ex（x+1）2xex（x+1）2，则曲线yexx+1在点（1，e2）处的切线斜率kyx1e4，所以曲线yexx+1在点（1，e2）处的切线方程为ye2e4（x1），即ye4xe4，故选C.（2）2022新高考卷曲线ylnx过坐标原点的两条切线的方程为y1ex，y1ex.解析先求当x0时，曲线yln x过坐标原点的切线方程，设切点为（x0，y0），则由y1x，得切线斜率为1x0，又切线的斜率为y0x0，所以1x0y0x0，解得y01，代入yln

13、x，得x0e，所以切线斜率为1e，切线方程为y1ex.同理可求得当x0时的切线方程为y1ex.综上可知，两条切线方程为y1ex，y1ex.方法技巧求切线方程的方法（1）已知切点A（x0，f（x0），则切线方程为yf（x0）f （x0）（xx0）.（2）已知过点P（x0，y0）（非切点），可设切点为（x1，y1），由y1f（x1）,y0y1f (x1)(x0x1)求出x1，y1后即可得切线方程.注意 曲线yf（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一定为切点.角度2求参数的值或取值范围例3 （1）全国卷已知

14、曲线yaexxln x在点（1，ae）处的切线方程为y2xb，则（D）A.ae，b1B.ae，b1C.ae1，b1D.ae1，b1解析因为yaexln x1，所以yx1ae1，所以曲线在点（1，ae）处的切线方程为yae（ae1）（x1），即y（ae1）x1，所以ae+1=2，b1，解得ae1，b1.故选D.（2）2022新高考卷若曲线y（xa）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（，4）（0，）.解析因为y（xa）ex，所以y（xa1）ex.设切点为A（x0，（x0a）ex0），O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOAyxx0（x0a1）ex0（x0a）ex0x0，化简得x02ax0a

15、0.因为曲线y（xa）ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x02ax0a0有两个不同的根，所以a24a0，解得a4或a0，所以a的取值范围是（，4）（0，）.方法技巧利用导数的几何意义求参数的方法利用切点处的导数等于切线的斜率、切点在切线上、切点在曲线上列方程（组）求解.训练2 （1）2024广州市中山大学附中月考过点（3，0）作曲线f（x）xex的两条切线，切点分别为（x1，f（x1），（x2，f（x2），则x1x2（D）A.3B.3C.3D.3解析因为f（x）xex，所以f （x）（x1）ex，设切点为（x0，x0ex0），所以f （x0）（x01）ex0，所以切线方程为yx0e

16、x0（x01）ex0（xx0），代入（3，0）得x0ex0（x01）ex0（3x0），即（x023x03）ex00，依题意关于x0的方程（x023x03）ex00有两个不同的根x1，x2，即关于x0的方程x023x030有两个不同的根x1，x2，由根与系数的关系得x1x23.故选D.（2）2024江苏省常州市调考已知直线2ax2ya0与曲线yln（2x1）相切，则实数a（A）A.2eB.e2eC.2eD.e2解析设切点为（x0，y0），则y22x1，故切线方程为y22x01（xx0）ln（2x01），即y22x01x2x02x01ln（2x01），由yaxa2是切线方程，得22x01a，2x0

17、2x01ln（2x01）a2，故4x02x012ln（2x01）22x010，化简得1ln（2x01）0，解得x0e+12，所以a22x012e，故选A.命题点3与公切线有关的问题例4 （1）已知曲线yex在点（x1，ex1）处与曲线yln x在点（x2，ln x2）处的切线相同，则（x11）（x21）2.解析易知曲线yex在点（x1，ex1）处的切线方程为yex1ex1（xx1），即yex1xex1x1ex1，曲线yln x在点（x2，ln x2）处的切线方程为yln x21x2（xx2），即y1x2x1ln x2，于是ex11x2，ex1ex1x11+ln x2，由得x21ex1，代入得e

18、x1ex1x11ln 1ex11x1，即ex1x1+1x11，所以x2x11x1+1，所以x21x11x1+112x1+1，得（x11）（x21）2.（2）全国卷若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln（x1）的切线，则 b1ln2.解析设ykxb与曲线yln x2，yln（x1）分别相切于点（x1，y1），（x2，y2），则ky1y2x1x2，即k1x11x2+1ln x1+2ln（x2+1）x1x2，解得k2，（另解：yln（x1）的图象向右平移一个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到yln x2的图象，故k2）x112，y12ln 2，因为点（12，2ln 2）在直线yk

19、xb上，所以2ln 2212b，解得b1ln 2.方法技巧曲线的公切线问题的求解方法（1）求出两曲线各自的切线方程，利用两曲线的切线重合列方程组求解.（2）设公切线与两曲线yf（x），yg（x）的切点分别为（x1，f（x1），（x2，g（x2），则有f （x1）g（x2）f（x1）g（x2）x1x2，根据此列式求解.训练3 （1）已知函数f（x）ax2与g（x）ln x的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为12e.解析设公共点为P（x0，y0）（x00），则ax02ln x0.由f（x）ax2，得f （x）2ax，由g（x）ln x，得g（x）1x.因为函数f（x）与g（x）的图象在公共

20、点P（x0，y0）处有共同的切线，所以f （x0）g（x0），即2ax01x0，得a12x02，代入得12x02x02ln x0，即ln x012，得x0e12，所以a12x0212（e12）212e.（2）曲线y1x（x0）与曲线yln x的公切线的条数为1.解析设（x1，y1）是公切线与曲线y1x（x0）的切点，x10，则切线斜率k1（1x）xx11x12，切线方程为y1x11x12（xx1），整理得y1x12x2x1.设（x2，y2）是公切线与曲线yln x的切点，则切线斜率k2（ln x）xx21x2，切线方程为yln x21x2（xx2），整理得y1x2xln x21.由得1x121

21、x2，2x1ln x21，消去x2得2x1ln x1212ln（x1）1.设tx10，则2ln t2t10，只需探究此方程解的个数.易知函数f（x）2ln x2x1在（0，）上单调递增，f（1）30，f（e）12e0，所以f（x）0有唯一解，即2ln t2t10有唯一解，所以两曲线的公切线的条数为1.1.命题点1已知f（x）（x1）（x2）（x3）（x4）（x5）（x6），则f （3）12.解析易得f （x）（x3）（x1）（x2）（x4）（x5）（x6）（x3）（x1）（x2）（x4）（x5）（x6），则f （3）21（1）（2）（3）12.2.命题点2角度2/2021新高考卷若过点（a，b

22、）可以作曲线yex的两条切线，则（D）A.ebaB.eabC.0aebD.0bea解析解法一（数形结合法）设切点为（x0，ex0），则切线方程为yex0ex0（xx0），因为切线过点（a，b），所以bex0ex0（ax0），ex0（1x0a）b，则由题意知关于x0的方程ex0（1x0a）b有两个不同的解.设f（x）ex（1xa），则f（x）ex（1xa）exex（xa）.由f（x）0得xa，当xa时，f （x）0，f（x）单调递增，当xa时，f （x）0，f（x）单调递减，所以f（x）maxf（a）ea（1aa）ea.当xa时，ax0，所以f（x）0，当x时，f（x）0，当x时，f（x），（提

23、示：判断函数极值点左右两侧的图象特征很重要，需掌握用极限思想判断函数图象的趋势，从而能准确作出草图）则函数f（x）ex（1xa）的大致图象如图1所示.因为f（x）的图象与直线yb有两个交点，所以0bea.故选D.图1图2解法二（用图估算法）作出曲线yex，如图2所示，过点（a，b）可以作曲线yex的两条切线，则点（a，b）在曲线yex的下方且在x轴的上方，得0bea.故选D.3.命题点2角度2若点P（1，a）不在f（x）x3ax的图象上，且过点P仅能作一条直线与f（x）的图象相切，则a的取值范围为（，0）（12，）.解析点P（1，a）不在f（x）x3ax的图象上，则f（1）1aa，即a12.设

24、过点P（1，a）的直线与 f（x）x3ax的图象切于点Q（t，t3at），f （x）3x2a，则切线的斜率kf（t）t3atat1，即3t2at3atat1，整理得2t33t22a0，问题转化为g（t）2t33t22a仅有1个零点.g（t）6t26t，令g（t）0，得t0或t1，所以g（0）g（1）0，（数形结合可得）即2a（2a1）0，所以a12或a0.4.命题点2/2021新高考卷已知函数f（x）ex1，x10，x20，函数f（x）的图象在点A（x1，f（x1）和点B（x2，f（x2）处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则AMBN的取值范围是（0，1）.解析解法一（构造函数法）

25、f（x）ex1ex1，x0，1ex，x0，则当x0时，f （x）ex，f （x2）ex2；当x0时，f （x）ex，f （x1）ex1.因为函数f（x）的图象在点A，B处的两条切线互相垂直，所以ex1ex21，即ex1x21，所以x1x20.因为A（x1，1ex1），B（x2，ex21），所以函数f（x）的图象在点A，B处的切线方程分别为y（1ex1）ex1（xx1），y（ex21）ex2（xx2），分别令x0，得M（0，x1ex11ex1），N（0，x2ex2ex21），所以AM2x12（x1ex1）2，BN2x22（x2ex2）2，所以AM2BN2x12（x1ex1）2x22（x2ex2）

26、2x12（x1ex1）2（x1）2（x1ex1）21+e2x11+e2x1e2x1（1+e2x1）e2x1+1e2x1，即AMBNex1，又x10，所以AMBN的取值范围是（0，1）.解法二（不等式性质法）当x0时，f（x）ex1，f （x）ex，所以kBNex2，同理可得kAMex1.因为两条切线互相垂直，所以ex2（ex1）1，所以x1x20，所以AMBN1+kAM2x101+kBN2x20x11+e2x1x21+e2x21ex2.因为x20，所以01ex21，即AMBN的取值范围是（0，1）.5.命题点3/2023河南省部分重点中学联考已知函数f（x）ln x的图象在点P（1，f （1）

27、处的切线也是函数g（x）aex的图象的一条切线，则ae2.解析由f（x）ln x，得f（1）0，f （x）1x，所以切线的斜率kf （1）1，切线方程为y01（x1），即yx1.设直线yx1与函数g（x）aex的图象相切于点（x0，y0），易得g（x）aex，则kg（x0）aex01，又y0g（x0）aex0x01，所以x02，得ae2.学生用书练习帮P2751.全国卷曲线y2sin xcos x在点（，1）处的切线方程为（C）A.xy10B.2xy210C.2xy210D.xy10解析依题意得y2cos xsin x，yx2cos sin 2，因此所求的切线方程为y12（x），即2xy210

28、.故选C.2.2024福建泉州模拟若直线xya0与曲线yx2ln x相切，则实数a的值为（C）A.0B.1C.2D.3解析由yx2ln x，得y12x.设直线xya0与曲线yx2ln x相切于点（x0，y0），则12x01，y0x02ln x0，x0y0a=0，解得x0=1，y0=1，a2.故选C.3.易错题已知函数f（x）f （1）x22x2f（1），则f （2）的值为（D）A.2B.0C.4D.6解析因为f （x）2f （1）x2，所以f （1）2f （1）2，解得f （1）2，所以f （x）4x2，所以f （2）6，故选D.4.全国卷设函数f（x）x3（a1）x2ax.若f（x）为奇函数

29、，则曲线yf（x）在点（0，0）处的切线方程为（D）A.y2xB.yxC.y2xD.yx解析解法一因为函数f（x）x3（a1）x2ax为奇函数，所以f（x）f（x），所以（x）3（a1）（x）2a（x）x3（a1）x2ax，所以2（a1）x20，因为xR，所以a1，所以f（x）x3x，所以f（x）3x21，所以f（0）1，所以曲线yf（x）在点（0，0）处的切线方程为yx.故选D.解法二因为函数f（x）x3（a1）x2ax为奇函数，所以f（1）f（1）0，所以1a1a（1a1a）0，解得a1，所以f（x）x3x，f（x）3x21，所以f（0）1，所以曲线yf（x）在点（0，0）处的切线方程为y

30、x.故选D.解法三易知f（x）x3（a1）x2axxx2（a1）xa，因为f（x）为奇函数，所以函数g（x）x2（a1）xa为偶函数，所以a10，解得a1，所以f（x）x3x，所以f（x）3x21，所以f（0）1，所以曲线yf（x）在点（0，0）处的切线方程为yx.故选D.5.曲线f（x）x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则点P的坐标为（D）A.（1，3）B.（1，3）C.（1，3）或（1，1）D.（1，3）或（1，3）解析设切点P（x0，y0），由f （x）3x21，可得切线的斜率kf （x0）3x021，因为曲线f（x）x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，所以3x0212，解

31、得x01，当x01时，可得f（1）3，此时P（1，3）；当x01时，可得f（1）3，此时P（1，3），综上，点P的坐标为（1，3）或（1，3），故选D.6.已知曲线C：f（x）x33x，直线l：yax3a，则“a6”是“直线l与曲线C相切”的（A）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由f（x）x33x，可知f （x）3x23.设直线l与曲线C相切，且切点的横坐标为x0，则切线方程为y（3x023）x2x03，所以3x023=a，2x033a，解得x03，a=6或x032，a34，所以“a6”是“直线l与曲线C相切”的充分不必要条件.故选A.7.2024福

32、建省宁德市模拟曲线yx3x28x3在某点处的切线的倾斜角为锐角，且该点坐标为整数，则该曲线上这样的切点个数为（C）A.1B.2C.3D.4解析由yx3x28x3，得y3x22x8，曲线yx3x28x3在某点处的切线的倾斜角为锐角，3x22x80，即3x22x80，解得43x2.又切点坐标为整数，x1，0，1，此时对应的y值也为整数.该曲线上这样的切点的个数为3.故选C.8.多选函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数为f （x），若f （x）0，且对x1，x2R，x1x2，总有f（x1）f（x2）2f（x1x22），则下列选项正确的是（BD）A.f（）f（e）f（2）B.f （）f （

33、e）f （2）C.f （1）f（2）f（1）f （2）D.f （2）f（2）f（1）f （1）解析由f （x）0，得f（x）在R上单调递增，因为e2，所以f（）f（e）f（2），故A不正确；对x1，x2R，x1x2，总有f（x1）f（x2）2f（x1x22），可得函数的大致图象如图所示.f （x）表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着x的增大，f（x）的图象上升得越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f （）f （e）f （2），故B正确；又f（2）f（1）f（2）f（1）21表示点（1，f（1）与点（2，f（2）连线的斜率，结合图象可知f （2）f（2）f（1）f （1），D

34、正确，C不正确.9.2024河南省名校调考已知幂函数f（x）（m26m9）xm满足f （1）2，则f（2）4.解析由幂函数的定义可得m26m91，解得m2或m4，当m2时，f（x）x2，f （x）2x，f （1）2，符合题意；当m4时，f（x）x4，f （x）4x3，f （1）4，不符合题意.故f（x）x2，f（2）4.10.新高考卷已知函数f（x）aex1ln xln a.（1）当ae时，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）1，求a的取值范围.解析f（x）的定义域为（0，），f （x）aex11x.（1）当ae时，f（x）exln x1，f

35、 （1）e1，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y（e1）（e1）（x1），即y（e1）x2.直线y（e1）x2在x轴，y轴上的截距分别为2e1，2.因此所求三角形的面积为2e1.（2）当0a1时，f（1）aln a1.当a1时，f（x）ex1ln x，f （x）ex11x.当x（0，1）时，f （x）0；当x（1，）时，f （x）0.所以当x1时，f（x）取得最小值，最小值为f（1）1，从而f（x）1.当a1时，f（x）aex1ln xln aex1ln x1.综上，a的取值范围是1，）.11.条件创新已知曲线yln x在xx0处的切线经过点（1，0），则x0的大致范围是（参考数

36、据：e2.718，e27.389）（C）A.（2，e）B.（e，3）C.（3，4）D.（4，5）解析y1x，曲线yln x在xx0处的切线方程是yln x01x0（xx0），由切线经过点（1，0），得1x0ln x010.令g（x）1xln x1（x0），显然g（x）单调递减，g（3）43ln 3lne4ln273ln 72ln2730，g（4）54ln 4ln e5ln2564ln 35ln25640，x0的大致范围是（3，4）.12.2024南昌市模拟若函数f（x）cos x，a（2，则函数f（x）在2，a上平均变化率的取值范围为（B）A.（1，0B.（1，2C.（，0D.（，2解析记平均

37、变化率为g（a），则g（a）cosacos2a2cosaa2，g（a）（2a）sinacosa（a2）2.记h（a）（2a）sin acos a，则h（a）（2a）cos a.a（2，h（a）0，h（a）在（2，上单调递增，h（a）（22）sin2cos20，g（a）0，从而g（a）在（2，上单调递增，g（a）maxg（）2.f（x）cos x，f（x）sin x，当a2时，g（a）f（2）sin21，a（1，2.故选B.13.多选/2024惠州市一调若过点P（1，）可作3条直线与函数f（x）（x1）ex的图象相切，则实数的值可以是（BC）A.4eB.2eC.1eD.e解析设切点坐标为（x0，

38、（x01）ex0），因为f（x）xex，所以f（x0）x0ex0，切线方程为y（x01）ex0x0ex0（xx0），又切线过P（1，），所以（x01）ex0x0ex0（1x0），整理得ex0（x022x01）.令g（x）ex（x22x1），则g（x）ex（x21），由g（x）0得x1，当x1或x1时，g（x）0，g（x）单调递减；当1x1时，g（x）0，g（x）单调递增.故当x1时，g（x）取得极小值g（1）4e；当x1时，g（x）取得极大值g（1）0.由g（x）ex（x1）2可知，当x1时，g（x）0，所以函数g（x）的大致图象如图，由图可知，当4e0时，直线y与函数g（x）的图象有3个交点

39、，此时过点P（1，）可作3条直线与函数f（x）（x1）ex的图象相切，由此可知，B，C符合题意.故选BC.14.曲线yx2ln x上的点到直线xy20的最短距离是2.解析设曲线在点P（x0，y0）（x00）处的切线与直线xy20平行，则切线的斜率k2x01x01，x01，y01，则P（1，1），则曲线yx2ln x上的点到直线xy20的最短距离d11212（1）22.15.2021全国卷乙节选已知函数f（x）x3x2ax1.求曲线yf（x）过坐标原点的切线与曲线yf（x）的公共点的坐标.解析记曲线yf（x）过坐标原点的切线为l，切点为P（x0，x03x02ax01）.因为f （x0）3x022

40、x0a，所以切线l的方程为y（x03x02ax01）（3x022x0a）（xx0）.由l过坐标原点，得2x03x0210，即（2x032x02）（x021）（x01）（2x02x01）0，解得x01，所以切线l的方程为y（1a）x.令x3x2ax1（1a）x，则x3x2x10，解得x1，所以曲线yf（x）过坐标原点的切线与曲线yf（x）的公共点的坐标为（1，1a）和（1，1a）.16.2022全国卷甲已知函数f（x）x3x，g（x）x2a，曲线yf（x）在点（x1，f（x1）处的切线也是曲线yg（x）的切线.（1）若x11，求a；（2）求a的取值范围.解析（1）当x11时，f（1）0，所以切点坐标为（1，0）.由f（x）x3x，得f（x）3x21，所以切线斜率kf（1）2，所以切线方程为y2（x1），即y2x2.将y2x2代入yx2a，得x22xa20.由切线与曲线yg（x）相切，得（2）24（a2）0，解得a3.（2）由f（x）x3x，得f（x）3x21，所以切线斜率kf（x1）3x121，所以切线方程为y（x13x1）