2025高考帮备考教案数学第六章　平面向量、复数第1讲　平面向量的概念及线性运算含答案.docx

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1、2025高考帮备考教案数学第六章平面向量、复数第六章平面向量、复数第1讲平面向量的概念及线性运算课标要求命题点五年考情命题分析预测1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.平面向量的有关概念2022新高考卷T3本讲命题热点为平面向量的线性运算、共线向量定理的应用，一般以选择题、填空题的形式出现，难

2、度不大.预计2025年高考命题稳定，备考时注意对向量的几何意义的理解和应用.平面向量的线性运算2022新高考卷T3；2020全国卷T14；2020新高考卷T3共线向量定理的应用学生用书P1121.平面向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或模）.平面向量是自由向量.零向量长度为0的向量.零向量记作0，其方向是任意的.单位向量长度等于1个单位长度的向量.与非零向量a共线的单位向量为aa和aa.平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量.0与任意向量平行（共线）.相等向量长度相等且方向相同的向量.相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量.相反向量长

3、度相等且方向相反的两个向量.若a，b互为相反向量，则ab.0的相反向量为0.注意 （1）0是一个向量，0是一个实数，00.（2）两个向量不能比较大小，只能判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小.2.平面向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算.三角形法则平行四边形法则（1）abba.（2）（ab）ca（bc）.减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差.三角形法则aba（b）.数乘求实数与向量a的积的运算.（1）aa.（2）当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0.（1）（a）a（a）.（2）（）aaa.（3）（ab）ab.注意

4、利用三角形法则时，两向量要首尾相连；利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点.常用结论向量运算的常用结论（1）若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP12（OAOB）.（2）对于任意两个向量a，b，都有：ababab；ab2ab22（a2b2）.注意 当a，b不共线时：式的几何意义是三角形中两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边；式的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系.3.共线向量定理向量a（a0）与b共线的充要条件：存在唯一一个实数，使ba.注意 （1）只有非零向量才能表示与之共线的其他向量.（2）两向量共线包含同向共线和反向共线两种情况.1.下列说法正

5、确的是（D）A.零向量是唯一没有方向的向量B.单位向量都相等C.a与b同向，且ab，则abD.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件2.新高考卷若D为ABC的边AB的中点，则CB（A）A.2CDCAB.2CACDC.2CDCAD.2CACD解析解法一因为D是AB的中点，所以AB2AD，所以CBCAABCA2ADCA2（CDCA）2CDCA，故选A.解法二因为D是AB的中点，所以CD12（CACB），即2CDCACB，所以CB2CDCA，故选A.3.已知向量a，b，若a2，b4，则ab的取值范围是2，6.解析由ababab，得2ab6.4.已知a与b是两个不共线的向量，且向量ab与（b3a

6、）共线，则13.解析由题意知存在kR，使得abk（b3a），所以k，1=3k，解得k13，13.学生用书P113命题点1平面向量的有关概念例1 （1）下列说法正确的是 （B）A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B.若A，B，C，D是不共线的四点，且ABDC，则四边形ABCD为平行四边形C.ab的充要条件是ab且abD.已知，为实数，若ab，则a与b共线解析A错误，两个向量是否相等只与模及方向有关，与位置无关；B正确，因为ABDC，所以ABDC且ABDC，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当ab且ab时还可能是ab，所以“ab且ab”是“ab”的必

7、要不充分条件；D错误，当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线.故选B.（2）设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使aabb成立的充分条件是（C）A.abB.abC.a2bD.ab且ab解析因为向量aa的方向与向量a的方向相同，向量bb的方向与向量b的方向相同，且aabb，所以向量a与向量b的方向相同，故可排除选项A，B，D.当a2b时，aa2b2bbb，故a2b是aabb成立的充分条件.方法技巧向量有关概念的关注点（1）向量定义的关键是方向和长度.（2）非零向量的平行具有传递性.（3）平行向量即共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.（4）向量可以平移，平移后的向量

8、与原向量是相等向量.（5）向量aa是与向量a同方向的单位向量.训练1 下列说法正确的是（B）A.相反向量就是方向相反的向量B.a，b，c为非零向量，若ab，bc，则acC.若a与b共线，则ab或abD.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则aaa0解析对于A，相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，故A错误；对于C，若向量a与b共线，则a与b的方向相同或相反，但长度不一定相等，故C错误；对于D，a与aa0 的模相等，但方向不一定相同，故D错误；易知B正确.故选B.命题点2平面向量的线性运算角度1向量加、减法的几何意义例2 （1）多选P是ABC所在平面内一点，且满足PBPCPBPC2PA0，

9、则ABC不可能是（AD）A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析设D为边BC的中点，则PBPC2PD，由已知有CB2PD2PA2AD，所以ABC为直角三角形，故选AD.（2）全国卷设a，b为单位向量，且ab1，则ab3.解析解法一如图，四边形OACB为平行四边形，设OAa，OBb，利用平行四边形法则得OCab，abab1，OAC为正三角形，BAab232a3.解法二a，b为单位向量，且ab1，（ab）21，112ab1，ab12，ab2a2b22ab112（12）3，ab3.方法技巧利用向量加、减法的几何意义解决问题的思路（1）根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三

10、角形，再结合其他知识求解；（2）平面几何中，如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，那么可考虑利用向量知识来求解.角度2向量的线性运算例3 2022新高考卷在ABC中，点D在边AB上，BD2DA.记CAm，CDn，则CB（B）A.3m2nB.2m3nC.3m2nD.2m3n解析因为BD2DA，所以AB3AD，所以CBCAABCA3ADCA3（CDCA）2CA3CD2m3n.故选B.方法技巧向量的线性运算问题的求解策略（1）利用三角形法则或平行四边形法则求解；（2）利用相等向量、相反向量、共线向量以及三角形中位线等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.角度3根据向

11、量线性运算求参数例4 在ABC中，点D在线段BC上，且BD2DC，点O在线段CD上（与点C，D不重合）.若AOxAB（1x）AC，则x的取值范围是（C）A.（0，1）B.（23，1）C.（0，13） D.（13，23）解析设BOBC，（23，1），则AOABBOABBC（1）ABACxAB（1x）AC，则x1（0，13）.故选C.方法技巧求参数问题可以通过向量的线性运算将向量表示出来，进行比较，构造方程（组）求解.训练2 （1）多选在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，AC与BD相交于点O，则下列结论正确的是（ABD）A.ACAD12ABB.OA2OC0C.OA23CD13CBD.ABBCC

12、DDA0解析对于A，ACADDC12AB，故A正确.对于B，由题知COAOCDAB12，所以OA2OC0，故OA2OC0，故B正确.对于C，OA23CA23（CBAB）23（CB2CD）23CB43CD，故C错误.对于D，ABBCCDDAACCA0，故D正确.故选ABD.（2）在ABC中，AB2，BC33，ABC30，AD为BC边上的高.若ADABAC，则13.解析如图，AD为BC边上的高，ADBC.AB2，ABC30，BD313BC，ADABBDAB13BCAB13（ACAB）23AB13AC.又ADABAC，23，13，故13.命题点3共线向量定理的应用例5 （1）已知O为ABC内一点，且

13、AO12（OBOC），ADtAC，若B，O，D三点共线，则t（B）A.14B.13C.12D.23解析设E是BC边的中点，则12（OBOC）OE，由题意得AOOE，所以AO12AE14（ABAC）14AB14tAD，又因为B，O，D三点共线，所以1414t1，解得t13.故选B.（2）全国卷设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数12.解析因为ab与a2b平行，所以存在R，使得ab（a2b），即（）a（12）b0.因为向量a，b不平行，所以0，120，解得12.方法技巧利用共线向量定理解题的策略（1）利用abab（b0）求解.（2）当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，

14、C三点共线AB，AC共线.（3）若a与b不共线且ab，则0.（4）OAOBOC（，为实数），若A，B，C三点共线，则1.注意 OAOBOC中的三个向量的起点相同时，才有A，B，C三点共线1.训练3 （1）已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，OA3e12e2，OB4e1ke2，OC5e14e2，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（A）A.1B.0C.1D.2解析解法一因为OA3e12e2，OB4e1ke2，OC5e14e2，所以ABOBOA（4e1ke2）（3e12e2）e1（k2）e2，ACOCOA（5e14e2）（3e12e2）2e16e2，又A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数，使

15、得ABAC，即e1（k2）e2（2e16e2），所以2=1，6k2，解得k1，12，故选A.解法二根据题意，设OAxOB（1x）OC，则3e12e24x5（1x）e1kx4（1x）e2，因为e1，e2是平面内两个不共线的向量，所以4x+5（1x）=3，kx4（1x）=2，得x=2，k1.故选A.（2）2023湖北天门中学、仙桃中学等校5月联考如图，在ABC中，AD为BC边上的中线，G为ABC的重心，M，N分别为线段AB，AC上的动点，且M，N，G三点共线，若AMAB（0），ANAC（0），则4的最小值为（B）A.32B.3C.2D.94解析由题意得AG23AD2312（ABAC）13（ABAC

16、）13（1AM1AN），由于M，N，G三点共线，故13131.故4（4）（1313）534335324333，当且仅当433，即1，12时等号成立，故4的最小值为3，故选B.学生用书P115等和线的应用例6 全国卷在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若APABAD，则的最大值为（A）A.3B.22C.5D.2解析解法一如图，过点C作CEBD交直线AB于点E，因为APABAD，则由等和线定理可知，当等和线l与圆相切时，最大，设此时l与直线AB交于点F，则易知ABBEEF，此时AFABABBEEFAB3ABAB3.解法二以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为

17、x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2）.可得直线BD的方程为2xy20，点C到直线BD的距离d2221225，所以圆C的方程为（x1）2（y2）245.因为点P在圆C上，所以可设P（1255cos ，2255sin ）.易知AB（1，0），AD（0，2），APABAD（，2），所以1+255cos，2+255sin=2，所以2255cos 55sin 2sin（）3，其中满足tan 2.所以的最大值为3.方法技巧等和线定理：如图，对于平面内一组基底OA，OB及任一向量OP，OPOAOB（，R），若点P在直线AB上或在平行于AB的直线A1

18、B1上，则k（定值）且kOPOFOB1OBOA1OA（F为OP与AB的交点），反之也成立.我们把直线AB以及与直线AB平行的直线A1B1称为等和线.推导：由三点共线结论推导等和线定理，由三点共线结论可知，若OFxOAyOB（x，yR），则xy1，由OAB与OA1B1相似，必存在一个常数k（kR），使得OPkOF，则OPkOFkxOAkyOB，又OPOAOB（，R），所以k（xy）k.反之也成立.训练4 在扇形AOB中，C为弧AB上的一个动点，AOB60.若OCxOAyOB，则x3y的取值范围是1，3.解析解法一如图1，在OB上取一点D，使OB3OD，连接AD，与OC交于点E，过C作CFAD，交

19、OB于点F，则OCxOAyOBxOA3yOD，所以x3yOCOEOFOD.当C，A重合时，OFOD最小，为1；当C，B重合时，OFOD最大，为3，所以x3y的取值范围是1，3.图1图2解法二（坐标法）设扇形AOB的半径为1，以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则B（1，0），A（12，32），设BOC，03，则C（cos ，sin ），OC（cos ，sin ）x（12，32）y（1，0），即cosx2y，sin32x，解得x23sin3，ycos3sin3，所以x3y23sin33cos 3sin 3cos 33sin .令g（）3cos 33sin （03），易知g（）在0，3上单

20、调递减，所以g（3）1g（）g（0）3，所以x3y的取值范围是1，3.解法三（构造函数法）设扇形AOB的半径为r，因为OCxOAyOB，所以OC2（xOAyOB）2x2OA22xyOAOBcos 60y2OB2，即r2x2r2xyr2y2r2，整理得关于y的方程y2xyx210.易知x，y0，1，43x20，所以yx43x22，所以x3yx3x+343x2212x343x22.令f（x）12x343x22（x0，1），易知f（x）在0，1上单调递减，所以f（1）1f（x）f（0）3，所以x3y的取值范围是1，3.1.命题点1设a，b为非零向量，则“ab”是“a与b方向相同”的（B）A.充分不必

21、要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析因为a，b为非零向量，所以当ab时，a与b方向相同或相反，因此“ab”是“a与b方向相同”的必要不充分条件.2.命题点3在ABC中，点P满足BP2PC，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若AMmAB，ANnAC（m0，n0），则m2n的最小值为（A）A.3B.4C.83D.103解析如图，连接AP，易知APABBPAB23（ACAB）13AB23AC13mAM23nAN.因为M，P，N三点共线，所以13m23n1，因为m0，n0，所以m2n（m2n）（13m23n）532n3m2m3n5322n3m2m3n3，当且

22、仅当2n3m2m3n，即mn1时等号成立.3.命题点3/2023河南省重点中学测试已知D，E分别是ABC的边AB，AC上的点，且满足AD13AB，AE23AC.F为直线DE与直线BC的交点.若AFABAC（，为实数），则的值为（C）A.1B.53C.53D.12解析由题意，得AFADDF13ABDF.因为D，E，F三点共线，所以DFkDEk（DAAE）k（23AC13AB），k为实数，所以AF13ABk（23AC13AB）（1313k）AB23kAC.因为B，C，F三点共线，所以（1313k）23k1，即k2，所以AF13AB43AC.又AFABAC，所以13，43，所以53.学生用书练习帮P

23、3161.2024云南文山州月考已知平面向量 a，b不共线，AB4a6b，BCa3b，CDa3b，则（D）A.A，B，D 三点共线B.A，B，C三点共线C.B，C，D 三点共线D.A，C，D三点共线解析BDBCCD6b，得不出ABBD，AB，BD不共线，A，B，D三点不共线，A错误；由已知得不出ABBC，AB，BC不共线，A，B，C三点不共线，B错误；由已知得不出BCCD，BC，CD不共线，B，C，D三点不共线，C错误；ACABBC3a9b3CD，AC，CD共线，A，C，D三点共线，D正确.故选D.2.2024河南济源市第六中学月考设a，b是两个非零向量，则下列说法正确的是（C）A.若abab

24、，则abB.若ab，则ababC.若abab，则存在实数，使得abD.若存在实数，使得ab，则abab解析abab成立的充要条件是向量a，b方向相反，且ab，易知C正确.3.如图，P是线段OB，AB的延长线所围成的阴影区域（含边界）内任意一点，且OPxOAyOB， 则（C）A.xy1B.xy1 C.xy1D.xy1解析设OP与线段AB的延长线交于点E，则OEOA（1）OB，设OPmOE，根据题意易知m1，当且仅当P，E重合时m1.所以OPmOAm（1）OBxOAyOB，所以xm，ym（1），xym1.故选C.4.已知平面向量a，b满足b2，2ab1，则a的取值范围为（C）A.32，52B.（1

25、，3）C.12，32D.（2，4）解析因为2ab1，所以b2ab2ab2ab，所以12a3，可得a12，32，故选C.5.2023武汉市调研在正六边形ABCDEF中，用AC和AE表示CD，则CD（B）A.23AC13AEB.13AC23AEC.23AC23AED.13AC13AE解析解法一如图，记正六边形的中心为O，连接BE，交AC于点G，则点O在BE上，G为AC的中点，且G为OB的中点，所以AG12AC，CD23GE23（AEAG）23（AE12AC）13AC23AE，故选B.解法二如图，以A为坐标原点，AB，AE所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，不妨设正六边形ABCDEF的边长为

26、2，则A（0，0），C（3，3），D（2，23），E（0，23），所以AC（3，3），AE（0，23），CD（1，3）.设CDxACyAE，则（1，3）x（3，3）y（0，23）（3x，3x23y），得3x1，3x+23y3，解得x13，y23，所以CD13AC23AE，故选B.6.2024四川资阳模拟在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是线段DE上的点，且FC78AB14AD，则（D）A.FD2EFB.EF2FDC.FD3EFD.EF3FD解析解法一由四边形ABCD 是平行四边形可知ABDC ，因为E 为AB 的中点，所以AB2AE ，FDFCCD78AB14ADCD14AD18AB1

27、4AD14AE14ED ，所以EF3FD .故选D.解法二设FDED ，0，1，因为EDADAEAD12AB ，所以FCFDDCEDAB（AD12AB）AB（112）ABAD ，又FC78AB14AD ，所以14，所以FD14ED，即EF3FD.故选D.7.2024河南信阳部分学校联考已知向量a（6，2），则与a方向相反的单位向量b的坐标为（31010，1010）.解析解法一baa（31010，1010）.解法二设ba（6，2），0，则（6）2（2）21，得1020，故b（31010，1010）.8.2024天津四中月考在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，若AP4ABABACAC，则

28、ABC的面积为252.解析AP4ABABACAC4ABAB1ACAC.由题可知B，P，C三点共线，所以4AB1AC1.又因为ABAC，所以AB5，故ABC的面积S1255252.9.多选如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若APAB，OCOA3OB，则（AC）A.P为线段OC的中点时，12B.P为线段OC的中点时，13C.无论取何值，恒有34D.存在R，使12解析OPOAAPOAABOA（OBOA）（1）OAOB，因为OP与OC共线，所以13，解得34，故C正确，D错误；若P为OC的中点，则OP12OC，则112，123，解得12，故A正确，B错误.故选AC.

29、10.2023天津模拟如图，点G为ABC的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，AB3mAD（m0），AC3nAE（n0），则mn1.解析设F为BC的中点，即BFFC，连接AF，所以AFABACAF，即AF12（ABAC），因为点G为ABC的重心，所以AG23AF13AB13AC，因为AB3mAD（m0），AC3nAE（n0），所以AGmADnAE，因为D，G，E三点共线，所以mn1.11.2024辽宁部分学校联考在ABC中，点D在线段AC上，且满足AD13AC，点Q为线段BD上任意一点，若实数x，y满足AQxAByAC，则1x1y的最小值为423.解析由题意知点D满足AD13A

30、C，故AQxAByACxAB3yAD，由点Q，B，D三点共线可得x3y1，x0，y0，则1x1y（1x1y）（x3y）43yxxy423，当且仅当3yxxy，即x312，y336时等号成立.12.角度创新正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以P，T，S，R，Q为顶点的多边形为正五边形，且PTAT512.则下列关系中正确的是（A）A.BPTS5+12RSB.CQTP5+12TSC.ESAP512BQD.ATBQ512CR解析由题意，知BPTSTETSSE，RSSEPTAT512，所以SE5+12RS，故A正确；CQTPPATPTA5+12ST，故

31、B错误；ESAPRCQCRQ512QB，故C错误；ATBQSDRD，512CRRSRDSD，若ATBQ512CR成立，则SD0，不合题意，故D错误.故选A. 第2讲平面向量基本定理及坐标表示课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.平面向量基本定理的应用该讲命题热点为平面向量的坐标运算、共线的坐标表示等，一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大.预计2025年高考命题稳定，备考时要关注坐标法在求解向量问题中的应用.平面向量

32、的坐标运算2023新高考卷T3；2022北京T10；2021全国卷甲T14；2021新高考卷T10；2019全国卷T3向量共线的坐标表示2021全国卷乙T13学生用书P1151.平面向量基本定理（1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.（2）基底：若e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.注意 （1）基底向量e1，e2必须是同一平面内的两个不共线的向量，零向量不能作为基底向量；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一. 2.平面向量的坐标表示（1）把一个向量分解为两个互相垂直的

33、向量，叫做把向量作正交分解.（2）平面向量运算的坐标表示坐标表示和（差）已知a（x1，y1），b（x2，y2），则ab（x1x2，y1y2），ab（x1x2，y1y2）.数乘已知a（x1，y1），则a（x1，y1），其中是实数.任一向量的坐标已知A（x1，y1），B（x2，y2），则 AB（x2x1，y2y1）.说明 （1）相等向量的坐标相同；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关.（3）平面向量共线的坐标表示如果a（x1，y1），b（x2，y2），那么ab的充要条件为x1y2x2y10.注意 ab的充要条件不能表示成x1x2y1y2的形式，因为x2，y2有可能等

34、于0.1.下列说法正确的是（B）A.平面内的任意两个向量都可以作为一个基底B.设a，b是平面内的一个基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b，则12，12C.若a（x1，y1），b（x2，y2），则ab的充要条件可以表示成x1x2y1y2D.平面向量经过平移后其坐标改变解析对于A，共线向量不可以作为基底，故A错误；对于B，同一向量在给定基底下的分解是唯一的，B正确；对于C，若b（0，0），则x1x2y1y2无意义，故C错误；对于D，平面向量不论经过怎样的平移，其坐标都不变，故D错误.2.教材改编已知M（2，7），N（10，2），点P是线段MN上的点，且PN2PM，则点P的坐标为（A）A.

35、（2，4）B.（14，16）C.（6，1）D.（2，11）解析设P（x，y），则PN（10x，2y），PM（2x，7y），又PN2PM，所以10x2（2x),2y2（7y),解得x=2，y=4，所以点P的坐标为（2，4）.故选A.3.已知e1，e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使a，b能作为平面内所有向量的一个基底，则实数的取值范围是（，4）（4，）.学生用书P116命题点1平面向量基本定理的应用 例1 （1）全国卷在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB（A）A.34AB14ACB.14AB34ACC.34AB14ACD.14AB34AC解析解法一根据向量的运算法则可

36、得，在ABE中，EBEAAB.因为E为AD的中点，所以EA12DA，在ABD中，DADBBADBAB.因为D为BC的中点，所以DB12CB.在ABC中，CBABAC.逐步代入，可得EBEAAB12DAAB12（DBAB）AB12（12CBAB）AB14CB12AB14（ABAC）12AB34AB14AC.故选A.解法二由D为BC的中点，得AD12（ABAC），由E为AD的中点，得AE12AD14（ABAC）.在ABE中，EBABAEAB14（ABAC）34AB14AC.故选A.（2）如图，在直角梯形ABCD中，DC14AB，BE2EC，且AErABsAD，则2r3s（C）A.1B.2C.3D.

37、4解析根据题图，由题意可得AEABBEAB23BCAB23（BAADDC）13AB23（ADDC）13AB23（AD14AB）12AB23AD.因为AErABsAD，所以r12，s23，所以2r3s123.故选C. 方法技巧1.应用平面向量基本定理表示向量，实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将相关向量表示出来，再通过向量的运算来解决.注意 同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在同一基底下的分解是唯一的.训练1 （1）2024昆明市模拟在平行四边形ABCD中，点T为CD的中点，则（A）A.AT

38、12ABADB.ATAB12ADC.AT13AB23ADD.AT23AB13AD解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以DCAB.因为T为CD的中点，所以DT12DC，则ATADDTAD12DC12ABAD，故选A.（2）2024广东省模拟已知OAB中，OCCA，OD2DB，AD与BC相交于点M，OMxOAyOB，则有序数对（x，y）（D）A.（12，13）B.（13，12）C.（12，14）D.（14，12）解析如图，依题意A，M，D三点共线，故AMAD，所以OMOAAMOAADOA（ODOA）OA（23OBOA）23OB（1）OA，又C，M，B三点共线，故CMCB，则OMOCCMOCCBO

39、C（OBOC）（1）OCOB12OAOB，所以12=1，23，解得34，12，所以OM12OB14OA，又OMxOAyOB，所以x14，y12，所以有序数对（x，y）（14，12）.故选D.命题点2平面向量的坐标运算例2 （1）全国卷已知点A（0，1），B（3，2），向量AC（4，3），则向量BC（A）A.（7，4）B.（7，4）C.（1，4）D.（1，4） 解析因为AB（3，2）（0，1）（3，1），所以BCACAB（4，3）（3，1）（7，4）.故选A.（2）已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，以a，b为基底，则（C）A.c2a3bB.c3a2bC.c3a2bD.c2a3b解析建立如图所示的平面直角坐标系，则a（1，1），b（2，3），c（7，3）.设cxayb，则x2y=7，x+3y3，解得x=3，y2，故c3a2b.故选C.方法技巧1.利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程（组）进行求解.2.向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.训练2 （1）如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，ADDC，ADDC2AB，E为AD的中点，若CACEDB（，R），则的值为（B）A.65B