2025高考帮备考教案数学第六章　平面向量、复数第5讲　解三角形应用举例含答案.docx

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1、2025高考帮备考教案数学第六章平面向量、复数第5讲解三角形应用举例课标要求命题点五年考情命题分析预测能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.余弦定理、正弦定理应用举例2021全国卷乙T9；2021全国卷甲T8本讲知识单一，主要考查利用正、余弦定理求解距离、高度、角度问题，对数学建模能力的要求较高，一般以选择题形式出现，难度中等.在2025年高考的备考中要提升阅读理解能力，要能够从文字信息中提取出解三角形的模型.学生用书P129测量中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在竖直平面内的目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角.方位

2、角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.方位角的范围是02.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）.北偏东南偏西坡角与坡度坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角.坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫坡度.设坡角为，坡度为i，则ihltan .1.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B与树所在的直线在同一平面内），从A，B两点测得树尖P的仰角分别为30和45，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为（A）A.（30303）mB.（30153）mC.（15303）mD.（1533）m解析解法一在ABP中，由正弦定

3、理可得60sin（4530）PBsin30，则PB6012sin1530（62）.设树的高度为h m，则hPBsin 4530303.解法二设树的高度为h m，则ABhtan30htan4560，解得h30303.2.易错题两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的（B）A.北偏东10B.北偏西10C.南偏东10D.南偏西10解析灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得ACB80，CABCBA50，则605010，即北偏西10，故选B.3.教材改编已知A船在灯塔C的北偏东85方向且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C的西偏北25

4、方向且B到C的距离为3 km，则A，B两船的距离为（A）A.13 kmB.15 kmC.23 kmD.32 km解析画出图形如图所示，由题意可得ACB（9025）85150，又AC2，BC3，在ABC中，由余弦定理可得AB2AC2BC22ACBCcos 15013，所以AB13，即A，B两船的距离为13 km.学生用书P130命题点余弦定理、正弦定理应用举例角度1距离问题例1 2023合肥市二检如图，某地需要经过一座山两侧的D，E两点修建一条穿山隧道.工程人员先选取直线DE上的三点A，B，C，在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为15，B处的俯角为45，C处的俯角为30，且测得AB1.4

5、km，BD0.2 km，CE0.5 km，则拟修建的隧道DE的长为0.7km.解析由题意知，PAB15，PBC45，PCB30，所以APBPBCPAB30，BPC180PBCPCB105，在PAB中，由正弦定理得ABsinAPBPBsinPAB，则1.4sin30PBsin15，所以PB2.8sin 15（km）.在PBC中，由正弦定理得PBsinPCBBCsinBPC，则PBsin30BCsin105，所以BCPBsin30sin 1052PBsin 1055.6sin 15sin 1055.6sin 15cos 152.8sin 301.4（km），所以DEBCBDEC1.40.20.50

6、.7（km），即拟修建的隧道DE的长为0.7 km.角度2高度问题例2 2021全国卷甲2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86 （单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C满足ACB45，ABC60.由C点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为（31.732）（B）A.346B.373C.446D.473解析如图所示，根据题意过C作CECB，交BB于E，过B作BDAB，交

7、AA于D，则BE100，CBCE100tan15.在ACB中，CAB75，则 BDABCBsin45sin75.又在B点处测得A点的仰角为45，所以ADBDCBsin45sin75，所以高度差AACCADBECBsin45sin75100100tan15sin45sin75100100sin45sin1510010022624100100（31）100373.故选B.角度3角度问题例3 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos

8、 2114.解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120.由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，所以BC207.由正弦定理，得sinACBABBCsinBAC217.由BAC120，知ACB为锐角，故cosACB277，从而cos cos（ACB30）cosACBcos 30sinACBsin 3027732217122114.方法技巧1.解三角形实际问题的一般求解步骤（1）分析.理解题意，分析已知与未知，画出示意图.（2）建模.根据已知条件与求解目标，把已知量与所求量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解三角形的模型.（3）求解.利用正、余弦定理解三角形，求得

9、数学模型的解. （4）检验.检验上述所求出的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解.2.对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一类是竖直放置的平面，通常要解直角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形.训练 （1）如图，为测量某塔的高度CD，在点A测得塔底在北偏东60方向的点D处，塔顶C的仰角为30.在点A的正东方向且距离D点50 m的B点测得塔底在北偏西45方向，则塔的高度CD约为（参考数据：62.4）（C）A.30 mB.35 mC.40 mD.45 m解析由题意知，BD50 m，DABDAC30，DBA45，在ABD中，由正弦定理得ADsin4550sin30，则AD50

10、2 m，所以tanDACCDADCD50233，得CD506340（m），故塔的高度CD约为40 m.故选C.（2）多选一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75方向，距离为126 海里，灯塔C在A的北偏西30方向，距离为123 海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60方向，则下列结论正确的有（ABD）A.AD24海里B.CD12海里C.CDA60或CDA120D.CDA60解析如图，由题意得BAD75，CAD30，ADB60，AB126海里，AC123海里，在ABD中，易得B45，由正弦定理得ADsin45ABsin60，则AD126223224（海里），故A正确

11、.在ACD中，由余弦定理得CD2AC2AD22ACADcos 30，得CD2（123）224221232432144，所以CD12海里，故B正确.在ACD中，由正弦定理得CDsin30ACsinCDA，得sinCDA121231232，故CDA60或CDA120，因为ADAC，所以CDA为锐角，所以CDA60，故C错误，D正确.故选ABD.1.角度1如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，使活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处.设连杆AB长200 mm，曲柄CB长70 mm，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2时，活塞移

12、动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）约为36mm.（结果保留整数，取sin 53.245）解析解法一在ABC中，AB200 mm，BC70 mm，ACB53.2，sinACB45.由正弦定理得sinBACBCsinACBAB725，由题意知BAC，ACB均为锐角，所以cosBAC1（725）22425，cosACB1（45）235，所以sinABCsin（ACBBAC）45242535725117125，所以ACABsinABCsinACB20011712554234（mm），故A0A（A0B0B0C）AC（20070）23436（mm），即曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2时，活塞移

13、动的距离约为36 mm.解法二因为ACB53.2，sinACB45，且ACB为锐角，所以cosACB1sin2ACB35.在ABC中，由余弦定理可得AB2AC2BC22ACBCcosACB，解得AC234 mm（负值舍去），故A0A（A0B0B0C）AC（20070）23436（mm），即曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2时，活塞移动的距离约为36 mm.2.角度2如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角MAN60，点C的仰角CAB45以及MAC75；从点C测得MCA60，已知山高BC100 m，则山高MN150m.解析在ABC中，因为BAC45，AB

14、C90，BC100，所以AC100sin451002.在AMC中，因为MAC75，MCA60，所以AMC45，由正弦定理可得AMsin601002sin45，解得AM1003.在RtAMN中，MNAMsinMAN1003sin 60150.所以山高MN为150 m.学生用书练习帮P3251. 2024黑龙江省实验中学开学考试中国古代四大名楼之一鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作登鹳雀楼而闻名遐迩.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37 m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30和

15、45，在A处测得鹳雀楼顶部M的仰角为15，则鹳雀楼的高度MN约为（B）A.64 mB.74 mC.52 mD.91 m解析在RtABC中，ABBC，AB37，ACB30，所以AC2AB74，在RtMNC中，NCMN，MCN45，所以MNMCsin 4522MC.由题意，MAC153045，MCA1804530105，故AMC1801054530.在ACM中，由正弦定理MCsinMACACsinAMC，得MCsin4574sin30，故MC74sin45sin30742，所以MN2274274，故选B.2. 设问创新/多选/2024江苏南通阶段检测重庆的解放碑是重庆的地标性建筑，吸引了众多游客打

16、卡拍照.某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，如图所示，A为解放碑的顶端，B为基座（B在A的正下方），在步行街（与B在同一水平面内）上选取C，D两点，测得CD的长为100 m.小组成员利用测角仪已测得ACB6，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB的是（ABD）A.BCD，BDCB.ACD，ADCC.BCD，ACDD.BCD，ADC解析对于A，根据CD，BCD，BDC，可解三角形求得CB，从而在RtABC中求得AB，所以A符合题意.对于B，根据CD，ACD，ADC，可解三角形求得AC，从而在RtABC中求得AB，所以B符合题意.对于C，根据CD，ACB，

17、BCD，ACD四个条件，无法通过解三角形求得AB，所以C不符合题意.对于D，第一步，ACB已知，在RtABC中，用AB表示出BC，AC；第二步，在BCD中，根据余弦定理用AB表示出BD，在ACD中，根据正弦定理用AB表示出AD；第三步，在RtABD中，利用勾股定理列方程，即可求得AB.所以D符合题意.3. 2023皖豫名校联考如图，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得某山的底部C在北偏东15方向上，匀速向北航行20 min到达B处，此时测得该山的底部C在北偏东60方向上，测得山顶P（P在C正上方）的仰角为60，已知山的高度为23 km.则巡逻船的航行速度为6（31）km/h.解析由题意知，在BC

18、P中，PC23 km，PBC60，故tanPBCPCBC3，得BC2 km.在ABC中，BCA601545，则BCsinBACABsinBCA，即2sin 15ABsin 45，而sin 15sin（4530）624，所以AB24622（31）（km）.所以巡逻船的航行速度为2（31）136（31）（km/h）.4.2023郑州一中期中如图所示，遥感卫星发现某海域上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75的60海里处，在小岛B北偏东15方向上，相距（30330）海里处有一个小岛C.（1）求小岛A与小岛C之间的距离；（2）如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向.解析（1）在ABC中

19、，AB60，BC30330，ABC1807515120，根据余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcosABC602（30330）2260（30330）cos 1205 400，得AC306，小岛A与小岛C之间的距离是306海里.（2）根据正弦定理得，ACsinABCABsinACB，306sin12060sinACB，得sinACB22，又0ACB60，ACB45，CAB1801204515.由751560得，游船应该沿北偏东60的方向航行.5.2023贵州诊断镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中，已知人眼距离地面高度h1.5 m，某建筑物高h14.5 m，将镜子（平面

20、镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物顶部的位置，测量人与镜子间的距离a11.2 m，将镜子后移a m，重复前面的操作，测量人与镜子间的距离a23.2 m，则a（A）A.6 B.5 C.4 D.3 解析如图，设建筑物最高点为A，建筑物底部为O，第一次观察时镜面位置为B，第一次观察时人眼睛位置为C，第二次观察时镜面位置为D，设O到B之间的距离为a0 m，由光线反射性质得ABOCBD，所以tanABOtanCBD，即h1a0ha1，同理可得h1a0aha2，由可得a0aa0a2a1，解得a0a1aa2a1，代入整理得ah1（a2a1）h4.5（3.21.2）1.56，故选A.6.背景创新14

21、71年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端引出的两条光线在眼球内交叉而成的角）？这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山顶上的铁塔，塔高90 m，山高160 m，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（B）A.12B.941C.1625D.916解析如图，由诺德尔教授对米勒问题的解答，设此时

22、的视角为，易知塔底距离地面的高度为BC160 m，塔顶离地面的高度为AC90160250（m），则人距塔的距离CDACBC200 m，由C90得BDBC2CD24041（m），ADAC2CD25041（m），则在ABD中cos AD2BD2AB22ADBD4041，故sin 1cos21（4041）2941.故选B.7.2024青岛市检测海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图所示某蓝洞口边缘A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD8海里，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则A，B两点间的距离为85海里.解析如图所示

23、，在ACD中，ADCADBBDC13515150，DCA15，则DAC1801501515，即ACD为等腰三角形，又CD8，所以AD8.在BCD中，BDC15，DCBDCAACB15120135，则DBC1801513530，又CD8，所以由BDsinDCBCDsinDBC，得BDsin1358sin30，所以BD82.在ABD中，AD8，BD82，ADB135，所以AB2AD2BD22ADBDcosADB82（82）22882（22）825，所以AB85海里.8.2024北京市密云二中月考某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12 km的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测

24、该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得BAC30，ABC60，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得BAD75，ABD45.（注：点A，B，C，D在同一平面内）（1）求ABD的面积；（2）求点C，D之间的距离.解析（1）在ABD中，BAD75，ABD45，所以ADB60.由正弦定理ADsinABDABsinADB，得ADsin45ABsin60，所以ADsin45sin60AB22321246（km）.因为sinBADsin 75sin（4530）22（3212）624，所以ABD的面积SABD12ABADsinBAD121246624（36123）（km2）.（2）由BAD75，BAC30，ABC60，得CAD45，AC32AB63（km）.在ACD中，由余弦定理，得CD2AC2AD22ACADcosCAD363166263462260.所以CD60215（km）.即点C，D之间的距离为215 km.