2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学六校联考高一（下）期末数学试卷含答案.docx

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1、2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学六校联考高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设i为虚数单位，复数z满足（1+i）z1+2i，则zz为（）A102B5C2D522（5分）从小到大排列的数据1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的下四分位数为（）A3B3+x2C8D8+y23（5分）已知平面向量a=（1，2），b=（3，4），那么b在a上的投影向量的坐标是（）A（1155，255）B（55，255）C（115，225）D（5，25）4（5分）圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的

2、母线长为5，则该圆台的体积是（）A30B31C32D335（5分）在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则APAB的取值范围是（）A4，20B1，5C0，20D4，206（5分）某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为1，方差为1；高三（2）班答对题目的平均数为1.5，方差为0.35，则这10人答对题目的方差为（）A0.61B0.675C0.74D0.87（5分）某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是

3、球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60和20，且BCa米，则该球体建筑物的高度为（）米Aa4cos10Ba2cos10Casin102sin40Dasin10sin408（5分）已知正四棱锥SABCD的底面边长为1，侧棱长为2，SC的中点为E，过点E作与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥SABCD所得的截面面积为（）A33B63C23D23二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（

4、5分）已知复数z1，z2，z3是方程z310的三个解，则下列说法正确的是（）Az1+z2+z31Bz1z2z31Cz1，z2，z3中有一对共轭复数Dz1z2+z2z3+z3z11（多选）10（5分）伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次实验的结果，设事件M“n次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N“n次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（）A若n2，则M与N不互斥B若n2，则M与N相互独立C若n3，则M与N互斥D若n3，则M与N相互独立（多选）11（5分）已知P是ABC

5、所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A若AP=13AB+13AC，则P是ABC的重心B若P与C不重合，PBPC=PAPC，则P在AB的高线所在的直线上C若AP=-23AB+53AC，则P在CB的延长线上D若AP=mAB+nAC且m+n=15，则PBC的面积是ABC面积的45（多选）12（5分）如图，在四边形ABCD中，ACD和ABC是全等三角形，ABAD，ABC90，BAC60，AB1下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥折法；将ACD沿着AC折起，得到三棱锥D1ABC，如图1折法：将ABD沿着BD折起，得到三棱锥A1BCD，如图2下列说法正确的是（）A按照折法，三棱锥D1ABC的外接

6、球表面积恒为4B按照折法，存在D1满足ABCD1C按照折法，三棱锥A1BCD体积的最大值为38D按照折法，存在A1满足A1C平面A1BD，且此时BC与平面A1BD所成线面角正弦值为63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）在正三角形ABC中，AB2，D是BC的中点，E是AC的中点，则ADBE= 14（5分）从A，B等5名自愿者中随机选3名参加核酸检测工作，则A和B至多有一个入选的概率为 15（5分）已知向量a，b满足（a+b）b=0，|a+4b|4，则|a+b|+|b|的最大值为 16（5分）如图是一座山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1km，峰底A到峰顶

7、S的距离为4.8km，B是山坡SA上一点，且AB=AS，（0，1）为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路若从A出发沿着这条公路到达B的过程中，要求先上坡，后下坡则当公路长度最短时，的取值范围为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组60，70），第二组70，80），第三组8

8、0，90），第四组90，100（单位：分），得到如下的频率分布直方图（1）求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖（以每组中点作为该组数据的代表）18（12分）某电视台举行冲关直播活动，该活动共有三关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关已知第一关的通过率为0.7，第二关通过率为0.5，第三关的通过率为0.3，三关全部通过可以获得一等奖（奖金为300元），通过前两关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二

9、等奖又获得一等奖，则奖金可以累加为500元假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动（）求甲最后没有得奖的概率；（）已知甲和乙都通过了第一关，求甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率19（12分）已知ABC为锐角三角形，且cosA+sinB=3（sinA+cosB）（1）若C=3，求A；（2）已知点D在边AC上，且ADBD2，求CD的取值范围20（12分）已知四棱锥CABED的底面是直角梯形，ABDE，D90，AB2，DE1，AD=3，侧面BCE是正三角形，侧棱长AC=6，如图所示（1）证明：平面BCE平面ABED；（2）求直线CD与平面BCE所成角的余弦值21（12分）在

10、ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足sin2C-sin2a=12sin2B（1）当tanA2时，求tanC的值；（2）当a2，且CA取得最大值时，求ABC的面积22（12分）如图，在四面体ABCD中，ABC是边长为2的等边三角形，DBC为直角三角形，其中D为直角顶点，DCB60E、F，G、H分别是线段AB、AC、CD、DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形（1）当二面角ABCD从0增加到90的过程中，求线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积；（2）设=AEAB，（0，1），且ACD是以CD为底的等腰三角形，当为何值时，多面体ADEFGH的体积恰好为142022

11、-2023学年湖北省武汉市部分重点中学六校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设i为虚数单位，复数z满足（1+i）z1+2i，则zz为（）A102B5C2D52【解答】解：（1+i）z1+2i，则z=-1+2i1+i=(-1+2i)(1-i)(1+i)(1-i)=12（1+3i2i2）=12（1+3i）=12+32i，z=12-32i，zz=（12+32i）（12-32i）=14+94=52故选：D2（5分）从小到大排列的数据1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的下四分

12、位数为（）A3B3+x2C8D8+y2【解答】解：1225%3，故该组数据的下四分位数为第3个和第4个数的平均数，即3+x2故选：B3（5分）已知平面向量a=（1，2），b=（3，4），那么b在a上的投影向量的坐标是（）A（1155，255）B（55，255）C（115，225）D（5，25）【解答】解：平面向量a=（1，2），b=（3，4），ab=3+811，|a|=12+22=5，b在a上的投影向量的坐标为ab|a|a|a|=115a=（115，225）故选：C4（5分）圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（）A30B31C32D33【解答】解：圆台的上、

13、下底面半径分别是r1，R5，且圆台的母线长为5，则圆台的高为52-(5-1)2=3，则该圆台的体积是13(52+12+51)3=31故选：B5（5分）在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则APAB的取值范围是（）A4，20B1，5C0，20D4，20【解答】解：APAB=|AP|AB|cosAP，AB=4|AP|cosAP，AB，所以|AP|cosAP，AB为AP在AB上的投影，当点P在点N处时，AP在AB上的投影最小为|AN|1，当点P在点M处时，AP在AB上的投影最大为|AM|5，所以APAB的取值范围为4，20故选：

14、A6（5分）某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为1，方差为1；高三（2）班答对题目的平均数为1.5，方差为0.35，则这10人答对题目的方差为（）A0.61B0.675C0.74D0.8【解答】解：根据题意，由分层抽样定义，可得高三（1）班抽取的人数为4545+3010=6，高三（2）班抽取的人数为3045+3010=4，设高三（1）班（6人）答对题目数依次为x1，x2，x6，高三（2）班（4人）答对题目数依次为y1，y2，y3，y4，则16i=16 xi=1，16i=16 (x

15、i-1)2=16(i=16xi2-6)=1，14i=14 yi=1.5，14i=14 (yi-1.5)2=14(i=14yi2-41.52)=0.35，可得i=16 xi=6，i=16 xi2=12，i=14 yi=6，i=14 yi2=10.4，则这10人答对题目的平均数110(i=16 xi+i=14 yi)=1.2，方差为110(i=16 xi2+i=14 yi2-101.22)=0.8故选：D7（5分）某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大

16、仰角为60和20，且BCa米，则该球体建筑物的高度为（）米Aa4cos10Ba2cos10Casin102sin40Dasin10sin40【解答】解：由题意如图所示：由圆的切线性质：可得OBA30，OCA10，设球的半径R，设ABx，则Rx=tan30=33，可得x=3R，且Rx+a=tan10，可得Rxtan10+atan10=3Rtan10+atan10，可得R=atan101-3tan10=asin10cos10-3sin10=asin102cos(10+60)=asin102sin20=asin104sin10cos10=a4cos10，所以球体的高度为2R=a2cos10故选：B8

17、（5分）已知正四棱锥SABCD的底面边长为1，侧棱长为2，SC的中点为E，过点E作与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥SABCD所得的截面面积为（）A33B63C23D23【解答】解：在正四棱锥SABCD中，连接AC，则AC=2=SA=SC，SAC是正三角形，由SC的中点为E，得AESC，而SC，SCE，则AE，在SBC中，cosBSC=SB2+SC2-BC22SBSC=2+2-1222=34，sinBSC=1-cos2BSC=74，令平面与直线SB交于F，连EF，AF，则SCEF，SF=SEcosBSC=2234=2232，即点F在棱SB上，同理平面与棱SD相交，令交点为G，连EG，AG，于是

18、四边形AFEG为平面截正四棱锥SABCD所得的截面，由对称性知AEGAEF，在SEF中，EF=SFsinBSC=22374=146，而AE=ACsin3=62，在SAF中，cosASF=34，由余弦定理得AF=(2)2+(2232)-2222334=223，在AEF中，cosEAF=AE2+AF2-EF22AEAF=(62)+(223)-(146)262223=32，sinEAF=12，所以所得截面面积SAFEG=2SAEF=212AEAFsinEAF=6222312=33故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分

19、选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知复数z1，z2，z3是方程z310的三个解，则下列说法正确的是（）Az1+z2+z31Bz1z2z31Cz1，z2，z3中有一对共轭复数Dz1z2+z2z3+z3z11【解答】解：由z310，得（z1）（z2+z+1）0，即z10或z2+z+10，解得z1或z=-12+32i或z=-12-32i，z=-12+32i与z=-12-32i互为共轭复数，故C正确；由题意知，不妨取z1=1，z2=-12+32i，z3=-12-32i，所以z1+z2+z3=1+-12+32i+(-12-32i)=0，故A错误；所以z1z2z3=1(-12+32i)(-1

20、2-32i)=(-12)2-(32i)2=1，故B正确；所以z1z2+z2z3+z3z1=1(-12+32i)+(-12+32i)(-12-32i)+(-12-32i)1=-12+32i+(-12)2-(32i)2+(-12-32i)=0，故D错误故选：BC（多选）10（5分）伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次实验的结果，设事件M“n次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N“n次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（）A若n2，则M与N不互斥B若n2，则M与N相互独立C

21、若n3，则M与N互斥D若n3，则M与N相互独立【解答】解：2次实验结果中，共正反，反正，正正，反反四种情况，事件M正反，反正，事件N正反，反正，正正，显然M与N不互斥，故A正确；P（M）=12，P（N）=34，P（MN）=12，P（MN）P（M）P（N），故n2，则M与N不独立，故B错误；3次实验结果中，共正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反八种情况，事件M正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，事件N正正正，正正反，正反正，反正正，显然M与N不互斥，故C错误；P（M）=68=34，P（N）=12，P（MN）=38，P（MN）P（M）P（N），故n3，则M与N

22、相互独立，故D正确故选：AD（多选）11（5分）已知P是ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A若AP=13AB+13AC，则P是ABC的重心B若P与C不重合，PBPC=PAPC，则P在AB的高线所在的直线上C若AP=-23AB+53AC，则P在CB的延长线上D若AP=mAB+nAC且m+n=15，则PBC的面积是ABC面积的45【解答】解：选项A，设D为BC中点，则AD=12(AB+AC)，若AP=13AB+13AC，则AP=23AD，即点P位于中线AD上，且是靠近点D的三等分点，故P是ABC的重心，A正确；选项B，由PBPC=PAPC，可得PC(PB-PA)=0，即PCAB=0，所以

23、PCAB，则P在AB的高线所在的直线上，选项B正确；选项C，若AP=-23AB+53AC，则有AP-AC=23(AC-AB)，即CP=23BC，故点P在BC的延长线上，选项C错误；选项D，如图，延长AP交BC于点M，由AP=mAB+nAC，且m+n=15，则可得5AP=5mAB+5nAC，且5m+5n1，故有5AP=AM，则PM：AM4：5，则PBC的面积是ABC面积的45，选项D正确故选：ABD（多选）12（5分）如图，在四边形ABCD中，ACD和ABC是全等三角形，ABAD，ABC90，BAC60，AB1下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥折法；将ACD沿着AC折起，得到三棱锥D1

24、ABC，如图1折法：将ABD沿着BD折起，得到三棱锥A1BCD，如图2下列说法正确的是（）A按照折法，三棱锥D1ABC的外接球表面积恒为4B按照折法，存在D1满足ABCD1C按照折法，三棱锥A1BCD体积的最大值为38D按照折法，存在A1满足A1C平面A1BD，且此时BC与平面A1BD所成线面角正弦值为63【解答】解：对于A：由题意，ACDABC，ABC90，BAC60，AB1，则AC的中点O到A，B，C，D的距离相等，故O为棱锥D1ABC外接球的球心，AC为直径，所以外接球的半径为1，所以该外接球的表面积为4124，故A正确；按照折法，在折起过程中，点D1在平面ABC内的投影D1在线段BD上

25、（不包括端点） 而线段BD（不包括端点）不存在D1使得CDAB，故不存在D1满足ABCD1，故B选项错误；按照折法，取BD的中点H，A1H=12，当平面A1BD平面BCD时，三棱锥A1BCD体积取得最大值，此时体积V=13AHSBCD=131212（3）232=38，故C选项正确；当A1C=2时，A1C2+A1B2=BC2，A1C2+A1D2CD2，故此时A1CA1B，A1CA1D，又因为A1BA1DA1，A1B，A1D平面A1BD，故A1C平面A1BD，A1BC为BC与平面A1BD所成线面角，则sinA1BC=A1CBC=23=63，故D选项正确故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5

26、分，共20分13（5分）在正三角形ABC中，AB2，D是BC的中点，E是AC的中点，则ADBE=-32【解答】解：由题意可得ADBE=12（AB+AC）12（BA+BC）=14（ABBA+ABBC+ACBA+ACBC）=144+22（-12）+22（-12）+2212=-32故答案为：-3214（5分）从A，B等5名自愿者中随机选3名参加核酸检测工作，则A和B至多有一个入选的概率为 710【解答】解：由题可知则A和B至多有一个入选的概率为P=C21C32+C33C53=710，故答案为：71015（5分）已知向量a，b满足（a+b）b=0，|a+4b|4，则|a+b|+|b|的最大值为 410

27、3【解答】解：设c=a+b，则bc=0，|c+3b|=4，则c2+6bc+9b2=|c|2+9|b|2=16，设|c|=4sin，|b|=43cos，则|a+b|+|b|=|c|+|b|=4sin+43cos=4103sin(+)4103，所以|a+b|+|b|的最大值为4103故答案为：410316（5分）如图是一座山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1km，峰底A到峰顶S的距离为4.8km，B是山坡SA上一点，且AB=AS，（0，1）为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路若从A出发沿着这条公路到达B的过程中，要求先上坡，后下坡则当公路长度最短时，的取值范围为

28、 （0，4-2+64）【解答】解：根据题意，作出圆锥的侧面展开图，由两点之间线段最短，显然当公路长度最短时，观光公路为图中的AB，过点S作AB的垂线，垂足为H，如图：圆锥的底面半径为1km，AS4.8km，则AA=2，则ASB=24.8=512，记点P为AB上任意一点，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的AB，当H在线段AB上时，上坡即P到山顶S的距离PS越来越小，下坡即P到山顶S的距离PS越来越大，此时满足从A出发沿着这条公路到达B的过程中，先上坡，后下坡；反之，当H不在线段AB上时，不能满足从A到B的过程中，先上坡，后下坡；过点A作AMSA，交SA于点M，当B在AM之间时，满足从A到B的

29、过程中，先上坡，后下坡；如图：由于ASB=512，则SMSA=6-24，此时AM=（1-6-24）AB=4-2+64AB，若从A到B的过程中，先上坡，后下坡，必有（0，4-2+64）故答案为：（0，4-2+64）四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组60，70），第二组70，80），第三组

30、80，90），第四组90，100（单位：分），得到如下的频率分布直方图（1）求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖（以每组中点作为该组数据的代表）【解答】解：（1）由图知第一组频率为1（0.03+0.04+0.02）100.10，所以第一组矩形的高为m0.1010=0.01因为前两组的频率为（0.01+0.03）100.40.5，前三组的频率为（0.01+0.03+0.04）100.80.5，所以得分的中位数在第三组内，设中位数为x，（0.01+0.03）10

31、+（x80）0.040.5，解得x82.5，所以估计此次得分的中位数是82.5分（2）由频率分布直方图知，学生得分的平均值为x=65100.01+75100.03+85100.04+95100.0282参赛的500名学生中得分不低于82分的人数为10000.0210+（9082）0.04520，所以估计此次参加比赛活动学生得分的平均值为82分，参赛的1000名学生中有520名学生获奖18（12分）某电视台举行冲关直播活动，该活动共有三关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关已知第一关的通过率为0.7，第二关通过率为0.5，第三关的通过率为0.

32、3，三关全部通过可以获得一等奖（奖金为300元），通过前两关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，则奖金可以累加为500元假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动（）求甲最后没有得奖的概率；（）已知甲和乙都通过了第一关，求甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率【解答】解：（）第一关没通过的概率为0.3，第一关通过第二关没通过的概率为0.7（10.5）0.35，故甲没有得奖的概率P0.3+0.350.65（）记甲和乙通过了第二关时最后获得二等奖为事件E，通过了第二关时最后获得一等奖为事件F，则P（E）0.5（10.3）0.35，P（F）0.50.3

33、0.15，甲和乙最后所得奖金总和为700元，甲和乙一人得一等奖，一人得二等奖，则甲得了一等奖，乙得了二等奖的概率为P10.350.150.0525，乙得了一等奖，甲得了二等奖的概率为P20.350.150.0525，甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率为：PP1+P20.0525+0.05250.10519（12分）已知ABC为锐角三角形，且cosA+sinB=3（sinA+cosB）（1）若C=3，求A；（2）已知点D在边AC上，且ADBD2，求CD的取值范围【解答】解：（1）C=3，又cosA+sinB=3（sinA+cosB），cosA+sin（23-A）=3sinA+3cos（23-

34、A），cosA+32cosA+12sinA=3sinA+3（-12cosA+32sinA），(1+3)cosA=(1+3)sinA，tanA1，又A（0，），A=4；（2）cosA+sinB=3（sinA+cosB），3sinAcosAsinB-3cosB，2sin（A-6）2sin（B-3），A-6=B-3或A-6+B-3=，AB-6或A+B=32（舍），又ADBD2，AABD，CBD=6，在BCD中，由正弦定理可得|CD|sinCBD=|BD|sinC，|CD|12=2sinC，|CD|=1sinC，又sinCsin（76-2B），又ABC为锐角三角形，0A=B-620B20C=76-2B

35、2，B（3，2），76-2B（6，2），sinCsin（76-2B）（12，1），|CD|=1sinC（1，2）20（12分）已知四棱锥CABED的底面是直角梯形，ABDE，D90，AB2，DE1，AD=3，侧面BCE是正三角形，侧棱长AC=6，如图所示（1）证明：平面BCE平面ABED；（2）求直线CD与平面BCE所成角的余弦值【解答】（1）证明：取BE的中点F，连接AE、AF、CF，在直角梯形ABED中，AEABBE2，所以AF=3，又CF=3，AC=6，所以AF2+CF2AC2，即CFAF由题意知，CFBE，且AFBEF，AF、BE平面ABED，所以，CF平面ABED，又CF平面BCE，

36、所以平面BCE平面ABED（2）解：过D作 DHBE 交BE于H，因为平面BCE平面ABED，平面BCE平面ABEDBE，DH平面ABED，所以DH平面BCE， 设点D到平面BCE的距离为d，则d|DH|DE|sin60=32，连接DF，在DEF中，因为DEEF1，DEF=23，由余弦定理可知DF=3，又DCF为直角三角形，于是DC=DF2+CF2=6，设直线CD与平面BCE所成角为，则sin=dDC=326=24，(0，2)，所以cos=14421（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足sin2C-sin2a=12sin2B（1）当tanA2时，求tanC的值；（2

37、）当a2，且CA取得最大值时，求ABC的面积【解答】解：（1）由sin2C-sin2A=12sin2B，根据正弦定理得：c2-a2=12b2，又由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=32b22bc=3b4c=3sinB4sinC，4sinCcosA3sinB3sinAcosC+3sinCcosA，sinCcosA3sinAcosC，tanC3tanA6； （2）由（1）可知，若cosA0，则cosC0，则A=C=2，与题设矛盾所以tanC3tanA，于是有tan（CA）=tanC-tanA1+tanCtanA=2tanA1+3tan2A=21tanA+3tanA33，当且仅当tanA=

38、33时，tan（CA）有最大值，此时CA最大此时A=6，B=2，C=3，由正弦定理得c=asinCsinA=2sin3sin6=23，所以S=12ac=12223=2322（12分）如图，在四面体ABCD中，ABC是边长为2的等边三角形，DBC为直角三角形，其中D为直角顶点，DCB60E、F，G、H分别是线段AB、AC、CD、DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形（1）当二面角ABCD从0增加到90的过程中，求线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积；（2）设=AEAB，（0，1），且ACD是以CD为底的等腰三角形，当为何值时，多面体ADEFGH的体积恰好为14【解答】解：（1）

39、ABAC，A在平面BCD上的投影满足ABAC，即A在线段BC的中垂线上如右图所示，将RTBCD补成边长为2的正BCM，当二面角ABCD为180角时，即点A在平面BCD上，此时A为M，当二面角ABCD为0角时，此时A为BC中点N，故DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域为DMN，而SDMN=14SMBC=34，故线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积为34（2）AC2，CD1，且ACD是以CD为底的等腰三角形，AD2取BC中点O，由题意得：OABC，OA=3，OD=BC2=1，满足OA2+OD2AD2，根据勾股定理可知OAODOA平面BCDVA-BCD=13SBCDOA=1312C

40、DBDOA=12而多面体ADEFGH的体积恰好为14，即多面体ADEFGH的体积恰为四面体ABCD体积的一半连接AH、AGVA-EFGHV四面体ABCD=2VA-EFHV四面体ABCD=2VA-EFHV四面体ABCD=2VA-EFHVC-ABD =213SAEH(F到平面ABD的距离)13SABD(C到平面ABD的距离)=2SAEHAFSABDAC=22（1），VAEFGH22（1）V四面体ABCDV四面体ADGHV四面体ABCD=V四面体A-DGHV四面体A-BCD=13SDGH(A到平面BCD的距离)13SBCD(A到平面BCD的距离)=SDGHSDBC=2，V四面体ADGH2V四面体ABCDV多面体ABCDEFGHVAEGH+V四面体ADGH2（32）V四面体ABCD=12V四面体ABCD，2(3-2)=12，整理得（-12）（2221）0，解得=12（=132舍去）