函数的单调性例题 .doc

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1、1.3.1函数的单调性题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间（1） ; （2）;（3） ; （4）相应作业1：课本P32第3题.题型二、用定义法证明函数的单调性用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论取值，即_；作差变形,作差_,变形手段有_、_、_、_等；定号，即_;下结论，即_。例2.用定义法证明下列函数的单调性（1） 证明：在上是减函数.定义法证明单调性的等价形式：设，,那么在上是增函数；在上是减函数.(2) 证明：在其定义域内是减函数；（3） 证明：在上是增函数；法一： 作差 法二：作商（4） 已知函数在上为增函数，且，

2、试判断在上的单调性，并给出证明过程；方法技巧归纳判断函数单调性的方法：1、 直接法：熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等；如，练习册P27（2）P31（上5、1）2、 图象法；3、 定义法；4、 运算性质法：当时，函数与有相同的单调性；当时，函数与有相反的单调性；当函数恒不等于零时，与单调性相反；若，则与具有相同的单调性；若、的单调性相同，则的单调性与之不变；即：增+增=增 减+减=减若、的单调性相反，则的单调性与同.即：增-减=增 减-增=增 注意：（1）可熟记一些基本的函数的单调性，一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式，再利用上述结论判断；（2）与的单调性不能确定.相应作业2

3、：（1）讨论函数在上的单调性（）；（2）务必记住“对勾”函数的单调区间（见练习册P29探究之窗.探究1）知识拓展复合函数单调性（难点）一、复习回顾：复合函数的定义：如果函数的定义域为A，函数的定义域为D，值域为C，则当时，称函数为与在D上的复合函数，其中叫做中间变量，叫内层函数，叫外层函数。二、引理1 已知函数y=fg(x).若t=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(t)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数. 引理2 已知函数y=fg(x).若t=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=

4、f(t)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.引理1的证明：重要结论1：复合法则若则增增增减减增增减减减增减规律可简记为“_”（四个字）重要结论2：若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定:若减函数有偶数个，则复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则复合函数为减函数.规律可简记为“_”（四个字）题型三、求复合函数的单调区间例3. 求下列函数的单调区间.（1） （2）小结：1、注意：（1）求单调区间必先求定义域；（2） 单调区间必须是定义域的子集；（3） 写多个单调区间时，区间之间不能用“”并起来，应用“，

5、”隔开.2、 判断复合函数单调性步骤：求函数的定义域；将复合函数分解成基本初等函数：与；确定两个函数的单调性；由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性.相应作业3：求下列函数的单调区间.（1） （2）（3）单调性的应用题型四、比较函数值的大小例4.已知函数在上是减函数，试比较与的大小.题型五、已知单调性，求参数范围例5.已知函数（1） 若的减区间是，求实数的值；（2） 若在上单调递减，求实数的取值范围.例6.若函数在R上为增函数，求实数的取值范围.题型六、利用单调性，求解抽象不等式例7.已知函数是上的减函数，且，求实数的取值范围.例8.已知是定义在上的增函数，且，且，解不等式.相应作业4：已知

6、是定义在上的增函数，且，且，解不等式. 题型七、抽象函数单调性的判断定义法解决此类问题有两种方法：“凑”，凑定义或凑已知条件，从而使用定义或已知条件得出结论；赋值法，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.例9.已知函数对任意实数、都有，且当时，求证：在R上单调递增.例10.已知定义在上的函数对任意、，恒有，且当时，判断在上单调性.相应作业5：定义在上的函数对任意、，满足，且当时.（1） 求的值；（2） 求证：；（3）求证：在上是增函数；（4）若，解不等式；函数的最大（小）值1、 函数的最大（小）值定义2、 利用单调性求最值常用结论（1） 若函数在闭区间上单调递增，则，；（2

7、） 若函数在闭区间上单调递减，则，；（3） 若函数在开区间上单调递增，则函数无最值，但值域为；（4） 若函数在闭区间上单调递增，在闭区间上单调递减，那么函数，在处有最大值，即；（5） 若函数在闭区间上单调递减，在闭区间上单调递增，那么函数，在处有最小值，即.题型八、单调性法求函数最值（值域）例11、（1）函数在上的最大值为_,最小值为_;（2） 函数在上的最大值为_,最小值为_;（3） 函数的值域为_;（4） 函数的值域为_;（5） 函数的值域为_;（6）函数的值域为_;二次函数的区间最值的求法二次函数在给定区间上求最值，常见类型：（1） 定轴定区间：对称轴与区间均是确定的；（2） 动轴定区间：（3） 定轴动区间：（4） 动轴动区间：1、 定轴定区间可数形结合，较易解决，注意对称轴与区间位置关系。例12.当时，求函数的最值.相应作业6：求函数在上的最值.2、动轴定区间例13.已知函数，求在上的最值.动轴定区间问题一般解法：对对称轴在区间左侧、右侧、内部三种情况进行讨论，从而确定最值在区间端点处还是在顶点处取得.相应作业7：求函数在上的最值.3、 定轴动区间例14.已知函数，当时，求的最小值.相应作业8：已知函数，当时，求的最大值.4、 动轴动区间解决方法：可将对称轴和区间之一看做不动，进行讨论.例15.求函数在上的最大值.相应作业9：求函数在上的最值.