浙江省杭州学军中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题含答案.pdf

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1、第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司2023 学年第二学期高二数学学科测试卷（五）学年第二学期高二数学学科测试卷（五）命题人：命题人：一一.单选题：本题共单选题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分1.已知集合()2ln 1,11My yxNxx=+，若()()g xf xm=有三个零点，则实数 m 的取值范围是（）A.71,4 B.(1,2 C.41,3 D.1,3 8.张衡是中国东汉时期伟大天文学家、数学家，他曾在数学著作算罔论中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五 已知在菱形ABCD中，2 3ABBD=，将ABD沿BD进行翻折，使得2 6AC=按

2、张衡的结论，三棱锥ABCD外接球的表面积约为（）A.72 B.24 10 C.28 10 D.32 10 二二.多选题：本题共多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，在每小题给出的选项中有多项符合题目分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得要求，全部选对得 6 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.ABC中，D为边AC上一点，且满足12ADDC=，若P为边BD上的一点，且满足()0,0APmABnAC mn=+，则下列结论正确的是（）A.21mn+=B.mn的最大值为112 C.41mn+的最小值为64 2

3、+D.229mn+的最小值为12 10.对于数列 na，若存在正数 M，使得对一切正整数 n，都有naM，则称数列 na是有界的.若这样的正数 M 不存在，则称数列 na是无界的.记数列 na的前 n 项和为nS，下列结论正确的是（）A.若1nan=，则数列 na是无界的 B.若1sin2nnan=，则数列 nS是有界的 C.若()1nna=，则数列 nS是有界的 D.若212nan=+，则数列 nS是有界的 11.已知函数()f x及其导函数()fx的定义域均为R，若()f x是奇函数，()()210ff=，且对任意 x，Ry，()()()()()f xyf x fyfx fy+=+，则（）

4、A.()112f=B.()90f=的的 第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 C.()2011kf k=D.()2011kfk=三三.填空题：本题共填空题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知复数z满足()()12i1 iz=+（其中i虚数单位），则z=_.13.某艺校在一天的 6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 （用数字作答）.14.已知()221:21O xy+=，()()222:369Oxy+=，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，求

5、PMPN+的最小值为_.四四.解答题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分，其中第分，其中第 15 题题 13 分，第分，第 16 题和第题和第 17 题每题题每题 15 分，第分，第18 题和第题和第 19 题每题题每题 17 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC的角,A B C的对边分别为,a b c，且sin(coscos)sinsinsinA cBbCcBcCbB+=+，（1）求角A;（2）若AD平分BAC交线段BC于点D，且2,2ADBDCD=，求ABC的周长.16.如图，在正方体1111ABCDA

6、BC D中，E.F分别是棱1DD，11AD的中点.（1）证明：1B E 平面ACF.（2）求二面角BAFC的余弦值.17.已知某系统由一个电源和并联的,A B C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立.（1）电源电压X（单位：V）服从正态分布()40 4N，且X的累积分布函数为()()F xP Xx=，求()()4438FF.（2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔.已知随机变量T（单位：天）表示某元件的使为 第4页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 用寿命，T服从指数分布，其累积分布函数为()()001104

7、ttG tP Ttt，证明：()()1212P Tt TtP Ttt=；（）若第n天只有元件A发生故障，求第1n+天系统正常运行的条件概率.附：若随机变量Y服从正态分布()2N，则()0.6827P Y =，()20.9545P Y =，()30.9973P Y 实轴长为 2，离心率为3，圆O的方程为222xy+=，过圆O上任意一点P作圆O的切线l交双曲线于A，B两点.（1）求双曲线的方程；（2）求证：2AOB=；（3）若直线l与双曲线的两条渐近线的交点为C，D，且ABCD=，求实数的范围.19 给定常数0c，定义函数()24f xxcxc=+，数列123,a a a 满足*1(),nnaf

8、anN+=.（1）若12ac=，求2a及3a；（2）求证：对任意*1,nnnNaac+，；（3）是否存在1a，使得12,na aa成等差数列？若存在，求出所有这样的1a，若不存在，说明理由.的.第1页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 2023 学年第二学期高二数学学科测试卷（五）学年第二学期高二数学学科测试卷（五）命题人：崔舒静命题人：崔舒静 审题人：詹长刚审题人：詹长刚 一一.单选题：本题共单选题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 1.已知集合()2ln 1,11My yxNxx=，即(,0M=，所以MN，(1,0MN=，()()R1,MN=+，即 A、

9、B、C 三选项错误，D正确.故选：D 2.已知角的终边上一点()4,3A，且()tan2+=，则()tan 3=（）A.12 B.12 C.52 D.52【答案】B【解析】【分析】先通过三角函数的定义求出tan，代入()tantantan1tan tan+=求出tan，继而求出()tan 3的值.【详解】角的终边上一点()4,3A 3tan4=()3tantantan4tan231tan tan1tan4+=，解得1tan2=.()1tan 3tan2=.第2页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 故选：B.3.函数()2ln23yxx=+的单调递减区间为（）A.(),1 B.()1,+C.

10、()1,1 D.()1,+【答案】C【解析】【分析】先求出定义域，再利用复合函数同增异减求出函数的单调递减区间.【详解】令2230 xx+得31x 此时()f x在(),0，()0,+单调递增，D选项符合此种情况.第3页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 当0m 时()430mxmf xxxx=有两个解4m，且()2230mfxxx=+此时()f x在(),0，()0,+单调递增，B选项符合此种情况.当0m 时()43mxmf xxxx=当0 x 时易知()0f x 时()0f x 所以函数图像不可能是 C.故选：C 5.已知向量a，b满足1a=，()1,1b=，5ab+=，则a在b上的投

11、影向量的坐标为（）A.1 1,2 2 B.22,22 C.()1,1 D.22,22【答案】A【解析】【分析】根据投影向量的定义以及向量的坐标运算求解即可.【详解】因为(1,1)=b，所以222|112b=+=，又|1,a=把|5ab+=两边平方得 22|25aba b+=，即1225a b+=，解得1a b=，所以a在b的投影向量坐标为211 1(1,1),22 2|a bbb=，故选：A.6.“欢乐颂”是尊称为“乐圣”“交响乐之王”的神圣罗马帝国音乐家贝多芬一生创作的重要作品之一如图，以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点在函数(

12、)4sin0,2yx=+的图象上，且图象过点,224，相邻最大值与最小值之间的水平距离为2，则是函数的单调递增区间的是（）第4页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 A.,34 B.75,24 24 C.53,248 D.53,84【答案】B【解析】【分析】由题意求出最小正周期，从而求出，再利用特殊点求出的值，从而得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解单调增区间，即可得到结果【详解】因为函数图象相邻最大值与最小值之间的水平距离为2，所以函数的周期为22=，所以22=，又图象过点(224)，所以4sin 2224+，可得1sin122+=，则有2126k+=+或52,126kkZ+=+，即

13、212k=+或32,4kkZ=+，又2=+，若()()g xf xm=有三个零点，则实数 m 的取值范围是（）A.71,4 B.(1,2 C.41,3 D.1,3 第5页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【答案】C【解析】【分析】由题可知1x 时，函数()()g xf xm=至多有一个零点，进而可得1x 时，要使得()()222mg xf xmxmx=有两个零点，然后根据二次函数的性质结合条件即得.【详解】当1x 时，()lnf xxx=+单调递增且()ln1f xxx=+，此时()()g xf xm=至多有一个零点，若()()g xf xm=有三个零点，则1x 时，函数有两个零点；当1x

14、 时，()ln1f xxx=+，故1m；当1x 时，要使()()222mg xf xmxmx=有两个零点，则280214202mmmmm=，所以403m，所以实数 m的取值范围是41,3.故选：C.8.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作算罔论中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五 已知在菱形ABCD中，2 3ABBD=，将ABD沿BD进行翻折，使得2 6AC=按张衡的结论，三棱锥ABCD外接球的表面积约为（）A.72 B.24 10 C.28 10 D.32 10【答案】B【解析】【分析】由球的性质确定三棱锥ABCD外接球的球心位置和球的半径，由此可求球的表面积.

15、【详解】如图 1，第6页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 取 BD的中点 M，连接AMCM，由2 3ABADBD=，可得ABD为正三角形，且32 332AMCM=，所以22233(2 6)1cos23 33AMC+=，则21sin13AMC=2 23=，以 M为原点，MC为x轴，MD为y轴，过点 M且与平面BCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系如图 2，则(3,0,0)C，(10 2 2)A ，设O为三棱锥ABCD的外接球球心，则O在平面BCD的投影必为BCD的外心，则设(10)Oh，由222|ROAOC=可得22222220(2 2)20hh+=+，解得2h=，所以22|6ROC=由

16、张衡的结论，25168，所以10，则三棱锥ABCD的外接球表面积为2424 10R，故选：B 二二.多选题：本题共多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，在每小题给出的选项中有多项符合题目分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得要求，全部选对得 6 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.ABC中，D为边AC上的一点，且满足12ADDC=，若P为边BD上的一点，且满足()0,0APmABnAC mn=+，则下列结论正确的是（）第7页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 A.21mn+=B.mn的最大值为11

17、2 C.41mn+的最小值为64 2+D.229mn+的最小值为12【答案】BD【解析】【分析】根据平面向量共线定理可知 A 错误；根据()133mnmn=，利用基本不等式可求得最大值，知 B 正确；由()41413mnmnmn+=+，利用基本不等式可求得最小值，知 C错误；利用基本不等式可得()222392mnmn+，知 D正确.【详解】对于 A，3APmABnACmABnAD=+=+，,B P D三点共线，31mn+=，A错误；对于 B，31mn+=，()21131333212mnmnmn+=（当且仅当3mn=时取等号），B正确；对于 C，()41411212377274 3nmn mmn

18、mnmnmnmn+=+=+=+（当且仅当12nmmn=，即2 3mn=时取等号），C 错误；对于 D，()22231922mnmn+=（当且仅当3mn=时取等号），D 正确.故选：BD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10.对于数列 na，若存在正数 M，使得

19、对一切正整数 n，都有naM，则称数列 na是有界的.若这 第8页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 样的正数 M 不存在，则称数列 na是无界的.记数列 na的前 n 项和为nS，下列结论正确的是（）A.若1nan=，则数列 na是无界的 B.若1sin2nnan=，则数列 nS是有界的 C.若()1nna=，则数列 nS是有界的 D.若212nan=+，则数列 nS是有界的【答案】BC【解析】【分析】利用有界数列与无界数列的定义，结合放缩法与等比数列的前n项和公式即可得解.【详解】对于 A，111nann=恒成立，存在正数1M=，使得naM恒成立，数列 na是有界的，A错误；对于 B，

20、1sin1n，111sin222nnnnan=，212111221111111222212nnnnnSaaa=+=+=+，所以存在正数1M=，使得nSM恒成立，则数列 nS是有界的，B正确；对于 C，因为()1nna=，所以当n为偶数时，0nS=；当n为奇数时，1nS=；1nS，存在正数1M=，使得nSM恒成立，数列 nS是有界的，C正确；对于 D，()()22144114421212121nnnnnn=+，第9页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 222111111112124 1233352121nSnnnnn=+18224 1222212121nnnnnnn=+=+=+；221yxx

21、=+在()0,+上单调递增，21,213nn+，不存在正数M，使得nSM恒成立，数列 nS是无界的，D错误.故选：BC.11.已知函数()f x及其导函数()fx的定义域均为R，若()f x是奇函数，()()210ff=，且对任意 x，Ry，()()()()()f xyf x fyfx fy+=+，则（）A.()112f=B.()90f=C.()2011kf k=D.()2011kfk=【答案】BD【解析】【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.【详解】令1xy=，得()()()2211fff=，因为()()210ff=，所以()112f=，所

22、以 A 错误；令1y=，得()()()()()111f xf x ffx f+=+，所以()()()()()111fxfx ffx f=+，因为()f x是奇函数，所以()fx是偶函数，所以()()()()()111fxf x ffx f=+，由，得()()()()()()12111f xf x ffxf xf x+=+，即()()()21f xf xf x+=+，所以()()()()()()()32111f xf xf xf xf xf xf x+=+=+=，所以()f x，()fx是周期为 3的函数，所以()()900ff=，第10页/共21页 学科网（北京）股份有限公司()()()()(

23、)()2011236120kf kfffff=+=，所以 B正确，C 错误；因为()()()12112fff=，在中令0 x=得()()()()()10101fffff=+，所以()01f=，()()()()()()2011236121kfkfffff=+=，所以 D 正确 故选：BD【点睛】对于可导函数()f x有：奇函数的导数为偶函数 偶函数的导数为奇函数 若定义在 R上的函数()f x是可导函数，且周期为 T，则其导函数()fx是周期函数，且周期也为 T 三三.填空题：本题共填空题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知复数z满足()()12i1 i

24、z=+（其中i为虚数单位），则z=_.【答案】10【解析】【分析】根据复数的乘法运算求出复数 z，即可求得答案.【详解】由题意得()()12i1 i1 3iz=+=+，故()221310z=+=，故答案为：10 13.某艺校在一天的 6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 （用数字作答）.【答案】：35【解析】【分析】三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入 1 节艺术课，则排法种数为32332A A，若两个 第11页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 空中只插入 1节艺术课，则排法种数为311

25、33233()216AA AA=，三门文化课中相邻排列，则排法种数为3434144A A=，而所有的排法共有66720A=种，由此求得所求事件的概率【详解】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有33A种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，若每个空各插入 1 节艺术课，则排法种数为32133272A A A=，若两个空中只插入 1节艺术课，则排法种数为31133233()216AA AA=，若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体，然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为3434144A A=，而所有的排法共有66720A=种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔

26、 1 节艺术课的概率为7221614437205+=，故答案为：35【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题 14.已知()221:21O xy+=，()()222:369Oxy+=，过x轴上一点P分别作两圆切线，切点分别是M，N，求PMPN+的最小值为_.【答案】57【解析】【分析】根据圆的切线的几何性质可推出()()()()2222003303 3PMPNtt+=+，可看作点(0)P t,到()()0,3,3,3 3AB的距离的和，结合几何意义即可求得答案.【详解】由题意知()221:21O xy+=的圆心为(0,2)，半径11r=，()()222:369

27、Oxy+=的圆心为(3 6),，半径23r=，的 第12页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 设(0)P t,，则22221|14 13PMPOtt=+=+，()()222222|3369327PNPOtt=+=+，则()()()()()2222223327003303 3PMPNtttt+=+=+，设()()0,3,3,3 3AB，则|PMPNPAPBAB+=+，当且仅当,P A B三点共线时取等号，此时PMPN+的最小值为()()22303 3357AB=+=，故答案为：57 四四.解答题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分，其中第分，其中第 15 题题 13 分，第

28、分，第 16 题和第题和第 17 题每题题每题 15 分，第分，第18 题和第题和第 19 题每题题每题 17 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC的角,A B C的对边分别为,a b c，且sin(coscos)sinsinsinA cBbCcBcCbB+=+，（1）求角A;（2）若AD平分BAC交线段BC于点D，且2,2ADBDCD=，求ABC的周长.【答案】（1）23A=（2）93 7+【解析】【分析】（1）先利用余弦定理化简coscoscBbC+，然后代入已知式子中利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角A

29、，（2）由ABCBADCADSSS=+结合AD平分BAC，23A=可得22bcbc=+，作AEBC于E，则 第13页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 由ABDACDSS结合已知条件可得2cb=，解方程组可求得,b c，再利用余弦定理可求出a，从而可求出三角形的周长.【小问 1 详解】由余弦定理得222222coscos22acbabccBbCcbaacab+=+=所以sin(coscos)sinsinsinA cBbCcBcCbB+=+可化为sinsinsinsinaAcBcCbB=+再由正弦定理，得222acbcb=+，得222cbabc+=，所以2221cos22bcaAbc+=.因

30、(0,)A，所以23A=【小问 2 详解】因为AD平分BAC，所以3BADCAD=.由1211sinsinsin232323ABCBADCADSSSb cc ADb AD=+=+，得22bcbc=+.作AEBC于E，则11sin232211sin232ABDACDc ADBD AEScBDSbDCb ADCD AE=.由222bcbccb=+=，解得6,3,cb=由余弦定理，得2222cos63abcbcA，所以3 7a 故ABC的周长为93 7+16.如图，在正方体1111ABCDABC D中，E.F分别是棱1DD，11AD的中点.为 第14页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 （1）证

31、明：1B E 平面ACF.（2）求二面角BAFC的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）53【解析】分析】（1）法一：建立空间直角坐标系，得到10AF EB=，10AC EB=，所以1AFEB，1ACEB，证明出线面垂直；法二：作出辅助线，先由线面垂直得到1ACEB，再根据三角形全等得到1AFAE，进而得到AF 平面11AB E，得到1AFEB，从而证明出1B E 平面ACF；（2）利用空间向量求解二面角余弦值.【小问 1 详解】法一：以D为坐标原点，1,DA DC DD所在直线分别为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，则()2,0,

32、0A，()2,2,0B，()0,2,0C，()1,0,2F，()0,0,1E，()12,2,2B.()1,0,2AF=，()2,2,0AC=，()12,2,1EB=.因为10AF EB=，10AC EB=，所以1AFEB，1ACEB.【的 第15页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 因为AFACA=，,AF AC 平面ACF，所以1B E 平面ACF.法二：连接1AE，BD，11B D.在正方体1111ABCDABC D中，1B B 平面ABCD，所以1B BAC.因为BDAC，1B BBDB=，1,B B BD 平面11B BDD，所以AC 平面11B BDD.因为1EB 平面11B B

33、DD，所以1ACEB.因为11AB 平面11ADD A，AF 平面11ADD A，所以11ABAF.在正方形11ADD A，E，F分别是边1DD，11AD的中点，可得111A AFD AE，所以111A AFD AE=，1111190EA AA AFEA AD AE+=+=，所以1AFAE.因为1111ABAEA=，111,AB AE 平面11AB E，所以AF 平面11AB E.因为1EB 平面11AB E，所以1AFEB.因为ACAFA=，,AF AC 平面ACF，所以1B E 平面ACF.【小问 2 详解】结合（1）可得1EB为平面ACF的一个法向量.()0,2,0AB=.设平面ABF的

34、法向量为(),nx y z=，则()()()()0,2,0,201,0,2,20AB nx y zyAF nx y zxz=+=，解得0y=，令2x=，得1z=，所以()2,0,1n=，()()1112,2,14 15cos,32414 14 13 5,0,EnB nEB nEB+=+.由图可知二面角BAFC为锐角，故二面角BAFC的余弦值为53.第16页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 17.已知某系统由一个电源和并联的,A B C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立.（1）电源电压X（单位：V）服从正态分布()4

35、0 4N，且X的累积分布函数为()()F xP Xx=，求()()4438FF.（2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔.已知随机变量T（单位：天）表示某元件的使用寿命，T服从指数分布，其累积分布函数为()()001104ttG tP Ttt，证明：()()1212P Tt TtP Ttt=；（）若第n天只有元件A发生故障，求第1n+天系统正常运行条件概率.附：若随机变量Y服从正态分布()2N，则()0.6827P Y =，()20.9545P Y =，()30.9973P Y =.【答案】（1）0.8186 （2）（）证明见解析（）716【解析】【分析】（1）根据正态分布的对称性

36、即可结合()()F xP Xx=的定义求解;（2）（）根据条件概率的计算公式集合()()F xP Xx=的定义以及()G t的定义域即可求解，（）根据独立事件的概率公式求解即可.【小问 1 详解】由题设得()738420.682PX=，()536440.954PX=的 第17页/共21页 学科网（北京）股份有限公司()12111122222()()()1()1()()()1()1()P TtTtP TtP TtG tP Tt TtP TtP TtP TtG t=112122111(1)444111(1)44tttttt=，()()2112121211()4ttP TttP TttG tt=,所

37、以()()1212P Tt TtP Ttt=（）由（）得()()1111(1)1(1)4P TnTnP TP TG+=，所以第1n+天元件,B C正常工作的概率均为14 为使第1n+天系统仍正常工作，元件,B C必须至少有一个正常工作，因此所求概率为2171(1)416=.18.已知双曲线()2222:10,0 xyabab=的实轴长为 2，离心率为3，圆O的方程为222xy+=，过圆O上任意一点P作圆O的切线l交双曲线于A，B两点.（1）求双曲线的方程；（2）求证：2AOB=；（3）若直线l与双曲线的两条渐近线的交点为C，D，且ABCD=，求实数的范围.【答案】（1）2212yx=（2）证明

38、见解析 （3）222,第18页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】（1）由题意列式求出2132a,c,b=，即可得答案；（2）分类讨论，求出00y=和00 x=时，结论成立；当000 x y 时，利用圆222xy+=在()00,P xy处的切线方程为002x xy y+=，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，计算OA OB 的值，即可证明结论；（3）求出弦长AB以及CD的表达式，可得20832x=，再结合特殊情况下的取值，即可确定答案.【小问 1 详解】由题意知双曲线()2222:10,0 xyabab=的实轴长为 2，离心率为3，故222223acacab=+，解得213

39、2a,c,b=，故双曲线的方程为2212yx=；【小问 2 详解】证明：设()00,P xy，则22002xy+=，当00y=时，不妨取()2,0P，此时不妨取()()2,2,2,2AB，则0OA OB=，即2AOB=；同理可证当00 x=时，有2AOB=；当000 x y 时，圆222xy+=在()00,P xy处的切线方程为()0000 xyyxxy=，即002x xy y+=；由2200122yxx xy y=+=可得()222000344820 xxx xx+=，因为切线l交双曲线于A，B两点，故2002x，设()()1122,A x yB xy，则20012122200482,343

40、4xxxxxxxx+=，第19页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 故()()121212010220122OA OBx xy yx xx xxxy=+=+()212012012201422x xxxxx x xx=+()222200002222000082828143423434xxxxxxxx=+22002200828203434xxxx=，故OAOB ，综合上述可知2AOB=；【小问 3 详解】由（2）可得当000 x y 时，2002x，()220121201()4xABxxxxy=+222000220004821()43434xxxyxx=+()()222000220004238

41、4 833434xxxyxx=；2212yx=的渐近线方程为2yx=，联立0022yxx xy y=+=，得000022 2,22Cyxyx+，同理可得000022 2,22Cyxyx+，则22000000221()22xCDyyxyx=+0222000088234|y|y|xy|x|=，第20页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 由于ABCD=，故()2022002048334838234xxABxCDx=，由于2002x，定义函数()24f xxcxc=+，数列123,a a a 满足*1(),nnaf anN+=.（1）若12ac=，求2a及3a；（2）求证：对任意*1,nnnNaa

42、c+，；（3）是否存在1a，使得12,na aa成等差数列？若存在，求出所有这样的1a，若不存在，说明理由.【答案】见解析【解析】【详解】（1）因为0c，1(2)ac=+，故2111()242af aacac=+=，3122()2410af aacacc=+=+（2）要证明原命题，只需证明()f xxc+对任意xR都成立，()24f xxcxcxcxc+即只需证明24+xcxcxc+若0 xc+，显然有24+=0 xcxcxc+成立；若0 xc+，则24+4xcxcxcxcxc+显然成立 第21页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 综上，()f xxc+恒成立，即对任意的*nN，1nnaac+（3）由（2）知，若na为等差数列，则公差0dc，故 n 无限增大时，总有0na 此时，1()2(4)()8nnnnnaf aacacac+=+=+即8dc=+故21111()248af aacacac=+=+，即111248acacac+=+，当10ac+时，等式成立，且2n 时，0na，此时na为等差数列，满足题意；若10ac+，则11448acac+=，此时，230,8,(2)(8)naacanc=+=+也满足题意；综上，满足题意的1a的取值范围是,)8cc+【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题