2024年福建省高中数学竞赛试卷含答案.pdf

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1、水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢20242024 年全国高中数学联赛福建赛区预赛年全国高中数学联赛福建赛区预赛暨暨 20242024 年福建省高中数学竞赛试卷年福建省高中数学竞赛试卷(考试时间:2024 年 6 月 22 日上午 9:00-11:30,满分 160 分)一、填空题一、填空题(共共 1010 小题小题,每小题每小题 6 6 分分,满分满分 6060 分分.请直接将答案写在题中的横线上请直接将答案写在题中的横线上)1在 ABC 中,已知 AB=4,BC=2,AC=2 3,若动点 P 满足 CP=1,则 AP BP 的最大值为.2已知 z1,z2,z3为方程

2、z3=-i 的三个不同的复数根,则 z1z2+z2z3+z3z1=.3设 a=66610个6,b=3336个3,则 a,b 的最大公约数为.4某校三个年级举办乒乓球比赛,每个年级选派 4 名选手参加比赛.组委会随机将这 12 名选手分成 6 组,每组 2 人,则在上述分组方式中每组的 2 人均来自不同年级的概率 为.5如图,在棱长为 6 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 E,F分别为 AB,BC 的中点,点 G 在棱 CC1上.若平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为3 1717,则平面 EFG 截正方体 ABCD-A1B1C1D1所得截面多边形的周长为.6对于实数 x,y

3、,z,记 maxx,y,z 为 x,y,z 中的最大者,例如:max1,2,3=3,max2,2,9=9,max5,5,5=5.若非负实数 a,b 满足 a+b=9,则 max a2,4b2,2ab的 最小值为.7已知 Sn为数列an的前 n 项和,且 Sn=98an-383n+38,则使ni=1Siai0,k1k2=1.若点 P65,0满足PM PNMN2=1425,则AMN 的面积为.10若 x1,x2,x100是 1,2,100 的一个排列,则 S=x1-x2+x2-x3+x99-x100+x100-x11水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢的最大值为.二、解答题二、

4、解答题(共共 5 5 小题小题,每小题每小题 2020 分分,满分满分 100100 分分.要求写出解题过程要求写出解题过程)11已知 F1、F2分别为椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点,过点 F2的直线 l 交椭圆C 于 A,B 两点(点 A 在第一象限),且 AF2=5F2B,AF1=5 AF2.(1)求椭圆 C 的离心率;(2)若 F1AB 的面积为245,求点 A 的坐标.12已知函数 f x=x+2ex-m-2x-ln x+2+1-2m mR.(1)当 m=1 时,求 f x的最小值;(2)若 f x0 恒成立,求 m 的取值范围.2水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不

5、撩不知深浅人不拼怎知输赢13如图,O 为锐角 ABC 外接圆圆心,AD 为 O 的一条直径,H 是 ABC 的垂心,BE,CF 是 ABC 的两条高,M 是边 BC 的中点,S 是点 M 关于圆心 O 的对称点.已知直线 EF 过点 S 且与直线 BC 相交于点 T.(1)求证:H,M,D 三点共线;(2)求证:A,S,M,T 四点共圆;(3)若 ABC 外接圆半径为 R,求线段 AM 的长(用 R 表示).14已知非负实数 a,b,c,d,e 的和为 1.求证:a b+1+b c+1+c d+1+d e+1+e a+1 52.3水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢15设正

6、整数 n 是合数,d1,d2,dkk3是 n 的全部正因数,且 1=d1d20,解得 t=2.所以 G 0,6,2,CG=2.延长 EF 交直线 DC 于点 M,由 E,F 分别为 AB,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上,且 CM=3.由 CGDD1=26=39=MCMD 知,M,G,D1 三点共线.于是 GD1 是截面多边形的一条边.延长 FE 交直线 DA 于点 N,连接 D1N 交 AA1 于点 P,则 D1P 也是截面多边形的一条边.另由 AN=3=12A1D1 可知,AP=12A1P,所以 AP=2,A1P=4.连接 PE,则五边形 EFGD1P 为平面 EFG 截正方体

7、ABCD-A1B1C1D1 所得的截面多边形.易知 EF=32+32=3 2,FG=32+22=13,GD1=42+62=2 13,D1P=62+42=2 13,PE=22+32=13.所以截面五边形的周长为 6 13+3 2.注:作 CH EF 与 H,则 GH EF,GHC 为二面角 G-EF-D 的平面角,于是 tanGHC=CGCH=CG3 22=2 23,因此 CG=2。6对于实数 x,y,z,记 maxx,y,z 为 x,y,z 中的最大者,例如:max1,2,3=3,max2,2,9=9,max5,5,5=5.若非负实数 a,b 满足 a+b=9,则 max a2,4b2,2ab

8、的 最小值为.【答案】36【解答】设 M=max a2,4b2,2ab,则 Ma2,M4b2,M2ab.因为 a,b 非负实数,且 a+b=9,3水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢所以 4M+M+4M4a2+4b2+8ab=4 a+b2481,因此 M36.又当 a=6,b=3 时,a2=4b2=2ab=36,M=36.所以 M 的最小值为 36,即 max a2,4b2,2ab 的最小值为 36.7已知 Sn为数列an的前 n 项和,且 Sn=98an-383n+38,则使ni=1Siai2024 成立的最大正整数 n 的值为.【答案】1799【解答】依题意 a1=98

9、a1-383+38,解得 a1=6.当 n2 时,an=Sn-Sn-1=98an-an-1-38 3n-3n-1,即 an=9an-1+23n.于是 an+3n=9 an-1+3n-1.因为 a1+31=90,所以数列 an+3n 为等比数列,公比为 9.所以 an+3n=99n-1=9n,因此 an=9n-3n.所以 Sn=989n-3n-383n-1=383n-13n+1-1,Snan=383n-13n+1-19n-3n=383n+1-13n=98-3813n,于是 ni=1Snan=ni=198-3813i=98n-38131-13n1-13=98n-316 1-13n.因为 98179

10、9=2023.875,981800=2025,而 0316 1-13n316,所以使 ni=1Siai0,k1k2=1.若点 P65,0满足PM PNMN2=1425,则AMN 的面积为.【答案】4 27【解答】依题意直线 l1 方程为 y=k1x-2,直线 l2 方程为 y=k2x-2.由 y=k1x-2x24-y2=1,得 4k21x-22=x2-4,于是 M8k21+24k21-1,4k14k21-1.所以 kPM=4k14k21-18k21+24k21-1-65=54k1k21+1.同理,N8k22+24k22-1,4k24k22-1,kPN=54k2k22+1.因为 k1k2=1,所

11、以 kPN=54k2k22+1=541k11k12+1=54k1k21+1=kPM.所以 M,N,P 三点共线.因此 PM PNMN2=yM-yP yN-yPyM-yN2=yMyNyM-yN2=1425.又由 k1k2=1,得 yN=4k24k22-1=41k141k12-1=4k14-k21,所以 4k14k21-14k14-k21=14254k14k21-1-4k14-k212.不妨设 k2k1,则 0k1b0的左、右焦点,过点 F2的直线 l 交椭圆C 于 A,B 两点(点 A 在第一象限),且 AF2=5F2B,AF1=5 AF2.(1)求椭圆 C 的离心率;(2)若 F1AB 的面积

12、为245,求点 A 的坐标.【解答】(1)由 AF1=5 AF2,AF1+AF2=2a,知 AF1=53a,AF2=13a.又 AF2=5F2B,所以 F2B=115a,F1B=2915a,AB=25a.在 F1AB 中由余弦定理,得cosF1AB=AF12+AB2-BF122 AF1 AB=53a2+25a2-2915a2253a25a=-35.在 F1AF2 中由余弦定理,得 F1F22=AF12+AF22-2 AF1 AF2cosF1AF2.所以 2c2=53a2+13a2-253a13a-35=329a2,c2=89a2.所以椭圆离心率 e=2 23.(2)因为 SF1AB=12AF1

13、 ABsinF1AB=1253a25a45=415a2=245,所以 a2=18,椭圆 C 的方程 x218+y22=1.所以 F1-4,0,AF1=5 2.6水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢设 A x0,y0,则 x0+42+y20=5 22x2018+y202=1,解得 x0=3y0=1 .由于点 A 在第一象限,因此 x0=3y0=1 .所以点 A 的坐标为 3,1.12已知函数 f x=x+2ex-m-2x-ln x+2+1-2m mR.(1)当 m=1 时,求 f x的最小值;(2)若 f x0 恒成立,求 m 的取值范围.【解法一】(1)m=1 时,f x=

14、x+2ex+x-ln x+2-1,f x 定义域为-2,+.设 g x=ex-x,则 gx=ex-1.所以 x0 时,gx0 时,gx0,因此 g x 在-,0 上递减,在 0,+上 递增.所以 g xg 0=1,因此 ex-x1,当且仅当 x=0 时等号成立.所以 f x=x+2ex+x-ln x+2-1=e-x+ln x+2-x+ln x+2-11-1=0.设 h x=-x+ln x+2.由于 h-1=1+0=10,h 2=-2+ln41 时,对(1)中的 x0,有f x0=x0+2ex0+x0-ln x0+2-1+1-mx0+2=0+1-mx0+2=1-mx0+21 不符合要求.综上,m

15、1,m 的取值范围为(-,1.【解法二】(1)m=1 时,f x=x+2ex+x-ln x+2-1,f x 定义域为-2,+.fx=-x-1ex+1-1x+2=x+1x+2ex ex-x-2.设 g x=ex-x-2,则 gx=ex-1.所以 x0 时,gx0 时,gx0,因此 g x 在-,0 上递减,在 0,+上 递增.7水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢因为 g-2=e-20,g-1=e-1-10.所以 g x 在-2,-1,-1,+内各有一个零点,即存在 -2,-1,-1,+,使得 f=f=0.于是当 x-2,时,g x0,进而有 fx0;当 x,-1 时,g x

16、0;当 x-1,时,g x0,fx0,fx0.因此 f x 在区间-2,上递减,在,-1 上递增,在-1,递减,在,+上递增.所以 f x 的最小值为 f,f 中的较小者.由 g=e-2=0,得 e=+2,因此=ln+2.所以 f=+2e+-ln+2-1=1+0-1=0.同理 f=0.所以 f x 的最小值为 0.(2)当 m1 时,由(1),以及 f x 定义域为-2,+,知f x=x+2ex-m-2x-ln x+2+1-2m=x+2ex+x-ln x+2-1+1-mx+20+1-mx+2=1-mx+20.所以 m1 时,不等式 f x0 恒成立.当 m1 时,对(1)中的 ,有f=+2e+

17、-ln+2-1+1-m+2=0+1-m+2=1-m+21 不符合要求.综上,m1,m 的取值范围为(-,1.13如图,O 为锐角 ABC 外接圆圆心,AD 为 O 的一条直径,H 是 ABC 的垂心,BE,CF 是 ABC 的两条高,M 是边 BC 的中点,S 是点 M 关于圆心 O 的对称点.已知直线 EF 过点 S 且与直线 BC 相交于点 T.(1)求证:H,M,D 三点共线;(2)求证:A,S,M,T 四点共圆;(3)若 ABC 外接圆半径为 R,求线段 AM 的长(用 R 表示).【证明】(1)如图,连接 DC,DB.(第 13 题图)8水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不

18、拼怎知输赢由 AD 为 O 的直径知 DCCA,DBAB.因为 BE,CF 是 ABC 的两条高,所以 BECA,CFAB,H 为 BE,CF 的交点.所以 DCBE,DBCF,于是 DCBH,DBCH.所以四边形 CDBH 为平行四边形.因为 M 是 BC 的中点,所以 M 也是 DH 的中点.因此 H,M,D 三点共线.(2)由 CFAB,BEAC,知 A,F,H,E 四点共圆;B,C,E,F 四点共圆.所以 TFTE=TBTC.(第 13 题答题图)连接 AT 交 O 于点 K,则由圆幂定理知 TKTA=TBTC.所以 TKTA=TFTE,因此 K,F,E,A 四点共圆.综上可得,A,K

19、,F,H,E 五点共圆.所以 AKH=AFH=90.又 AD 为 O 的直径,AKD=90,所以 AKH=AKD=90.因此 K,H,M,D 四点共线,由此可得 HMAT.另一方面,由 H 是 ABC 的垂心,AH BC,O 为 ABC 外接圆圆心,M 是边 BC 的 中点,且 S 是点 M 关于圆心 O 的对称点,可得 SMBC,且 AH=2OM=SM.所以 AHSM,且 AH=SM.连接 AS,则可得四边形 AHMS 为平行四边形.所以 ASHM,于是 ASAT.因此 SAT=90=SMT.所以 A,S,M,T 四点共圆.(3)由 B,C,E,F 四点共圆,知 AEF=ABC,所以 AEF

20、+OAE=ABC+DAC=ABC+CBD=ABD=90.所以 AOEF,ATS+TAD=90.所以 ADM=ADK=90-KAD=90-TAD=ATS.又由 A,S,M,T 四点共圆,可得 ATS=AMS=AMO.所以 ADM=AMO.又 DAM=MAO,所以 ADMAMO,ADAM=AMAO.所以 AM2=ADAO=2R2.因此 AM=2R.9水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢14已知非负实数 a,b,c,d,e 的和为 1.求证:a b+1+b c+1+c d+1+d e+1+e a+1 52.【证明】因为非负实数 a,b,c,d,e 的和为 1,所以由柯西不等式知,

21、a b+1+b c+1+c d+1+d e+1+e a+12=a ab+a+b bc+b+c cd+c+d de+d+e ea+e2 a+b+c+d+eab+a+bc+b+cd+c+de+d+ea+e=ab+bc+cd+de+ea+1.当且仅当 a=b=c=d=e=15 时等号成立.另一方面,不妨设 e=mina,b,c,d,e,则a+c+eb+d-ab+bc+cd+de+ea=ad+be-aeae+0-ae=0.所以 ab+bc+cd+de+ea a+c+eb+da+c+e+b+d22=14.由,得a b+1+b c+1+c d+1+d e+1+e a+12ab+bc+cd+de+ea+11

22、4+1=54.所以 a b+1+b c+1+c d+1+d e+1+e a+1 52.由于当 a=b=c=d=e=15 时,a+c+eb+d,所以不等式,不能同时成立.所以 a b+1+b c+1+c d+1+d e+1+e a+1 52.所以 a b+1+b c+1+c d+1+d e+1+e a+1 52.15设正整数 n 是合数,d1,d2,dkk3是 n 的全部正因数,且 1=d1d2dk=n.对于 2ik-1,若 didi-1di+1(di不能整除 di-1di+1),则称 di是 n 的一个“好因数”,若 n 的“好因数”个数小于 n 的不同素因子个数,则称 n 为“好数”.(1)

23、问:16,2024 是否为“好数”?(2)求所有的“好数”.【解答】(1)因为 16=24,所以 16 只有 1 个素因子 2,而没有“好因数”,因此 16 是“好 数”.因为 2024=231123,所以 2024 有 16 个不同的正因数:12222311211232211223231122232323112321123221123231123.其中“好因数”有 23,211,23,2211,223,2311,2323,共 7 个.另一方面,2024 只有 3 个不同的素因子 2,11,23.所以 2024 不是“好数”.(2)依题意“好数”为合数.若 n=p(p 为素数,2),则 n 只

24、有 1 个素因子 p,而没有“好因数”,因此 n=p 是“好10水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢数”.若“好数”n 恰好有两个不同的素因子 p,q,pq.则存在一个最大的正整数 ,使得 1pp2pq.将 n 的正因数从小到大排列.则 p-1,p,q 是上述排列中连续的三项,依据“好因数”定义可知 p 是 n 的一个“好 因数”.由于 n 只有 2 个素因子 p 和 q,且 n 为“好数”,所以 p 是 n 的唯一的“好因数”.所以 q 不是“好因数”,q 后面的一个因数能被 q 整除,于是 q 后面的一个因数为 pq.因 此 p,q,pq 是 n 的正因数从小到大的排列

25、中连续的三项.于是 npq,nq,np 也是 n 的正因数从小到大的排列中连续的三项.因为 qp+1p.若“好数”n 至少有 3 个不同的素因子,设 p1,p2,pkk3 是它的所有素 因子,且 p1 p2pk.则存在一个最大的正整数 ,使得 1p1p21p1p2.仿可知,p1 是一个“好因数”.类似地可知,在 n 的正因数从小到大的排列中,排在 pi2ik 前面的一个因数也是“好因数”.于是 n 至少有 k-1 个“好因数”,由于 n 是“好数”,因此 n 除了这 k-1 个“好 因数”之外,没有其它的“好因数”,而且 n 的每个“好因数”的后项都是 n 的某个素因子.在 n 的正因数从小到

26、大的排列中,若排在 p2 与 p1p2 之间的因数中有素数,设排在最后的 一个素数为 p,则 p 也是排在 p2 与 p1p2 之间的最大的一个素数,p 的后项为合数.由 p 的最大性可知,p 的前项不能被 p 整除.由 p1 p2 p2,因此 p p1p2 pp1,即 p 的后项比 pp1 小.于是 p 的 后项也不能被 p 整除.结合 p 为素数可知,p 不能整除 p 的前项与后项的乘积,因此 p 是 n 的一个“好因数”.于是由前面讨论可知,p 是 n 的某个素因子 pii3 的前项,即 p 的后项为素数.与 p 的后项为合数矛盾.所以在 n 的正因数从小到大的排列中,若排在 p2 与

27、p1p2 之间的因数中没有素数.所以在 n 的正因数从小到大的排列中,p2 与 p1p2 是“相邻”的两项.又正整数 ,是使得 1p1p21p1p2,且 p2 的“后项”是 p1p2,所以 p+11 不是的 n 的因数,即 p+11 不能整除 n.11水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢综上可知,p1,p2,p1p2 是 n 的正因数从小到大的排列中连续的三项,np1p2,np2,np1 也是 n 的正因数从小到大的排列中连续的三项.因为 np1p2np1np2=np+11 不是整数,因此 np2 是 n 的一个“好因数”.所以 np2 的后项 np1 是 n 的素因子.于是存在某个 pi,使得 np1=pi,即 n=p1pi,这样 n 只有 2 个素因子,与 n 至少有 3 个 素因子矛盾.所以“好数”不可能有 3 个或 3 个以上的素因子.因此所有“好数”n 为:n=p(其中 p 为素数,为正整数,且 2),或 n=pq(其 中 p 为素数,为正整数,q 为素数,且 qp).12