江苏南京师范大学附属中学等四校2024年高二下学期六月份联考数学试卷含答案.pdf

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1、第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司2025 届高二年级六月份数学学科测试试卷届高二年级六月份数学学科测试试卷一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）有一项符合要求）1.已知集合212,4,AxxBx xx x=N，则AB=（）A.0,2B.(0,2C.0,1,2D.1,22.已知复数z满足1212iiz=+，则z=（）A 52i+B.52iC.42i+D.42i3.在等比数列 na中，若3462,16aa a=，则91056aaaa=（）A.4B.

2、8C.10D.164.与双曲线22154xy=有公共焦点，且离心率为12的椭圆的方程是（）A22143xy+=B.22134xy+=C.2213627xy+=D.2212736xy+=5.红楼梦四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（）A.6 种B.12 种C.18 种D.36 种6.如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且13,24MNON APAN=，设向量O

3、PxOAyOBzOC=+，则xyz+=（）A.1112B.1C.34D.56.江苏南京师范大学附属中学等四校2024年高二下学期六月份联考数学试卷 第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 7.已知函数()e=xf xaxx，()0,x+，当12xx时，不等式()()1221f xf xxx=，则()230.2P=10.已知,A B分别为随机事件 A，B的对立事件，则下列结论正确的是（）A.()()1P AP A+=B.若()()()P ABP A P B=，则 A，B 独立 C.若 A，B 独立，则()()P A BP B=D.()()1P A BP A B+=11.如图，若正方体的棱长为

4、 1，点M是正方体1111ABCDABC D的侧面11ADD A上的一个动点(含边界)，P是棱1CC的中点，则下列结论正确的是（）第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 A.沿正方体表面从点 A到点P的最短路程为132 B.若保持2PM=，则点M在侧面11ADD A内运动路径的长度为3 C.三棱锥1BC MD的体积最大值为16 D.若点M在1AD上运动，则1D到直线PM的距离的最小值为23 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）12.222223410CCCC+=_.（用数字作答）13.某公司于 2021年 1 月推出了一款

5、产品A，现对产品上市时间x（单位：月）和市场占有率y进行统计分析，得到如下表数据：x 1 2 3 4 5 y 0.002 0.005 0.010 0.015 0.018 由表中数据求得线性回归方程为0.0042yxa=+，则当10 x=时，市场占有率y约为_.14.作高为 8的正四面体的内切球，在这个球内作内接正四面体，然后再作新四面体的内切球，如此下去，则前n个内切球的半径和为_ 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15.在212nxx+的展开式中，_ 现在有以下

6、三个条件：条件：第 4项和第 2 项的二项式系数之比为12:1；条件：只有第 6项的二项式系数最大：条件：其前三项的二项式系数的和等于 56 请从上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：（1）展开式中所有二项式系数的和；的 第4页/共5页 学科网（北京）股份有限公司（2）展开式中的系数最大项 16.已知四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，平面PAB 平面,1ABCD PAAB PAAB=，M为棱PD的中点 （1）求证：PA 平面ABCD；（2）求平面ACM与平面PAB夹角的正弦值 17.已知函数()()322316f xxaxaxb=+，其中,a b为实数.（1）若函数(

7、)f x的图像与x轴相切于点()2,0，求,a b的值；（2）若1a，且()f x在区间()2,2上取到最大值，求a的取值范围.18.2024年道达尔能源汤姆斯杯暨尤伯杯决赛中，中国队 30 击败印度尼西亚队，夺得冠军已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得 1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1 分，且成为下一回合发球方现甲，乙二人进行羽毛球单打比赛，随机选取了以往甲，乙两名运动员对阵中的 300 回合的比赛数据，得到如下待完善的22列联表：甲得分 乙得分 总计 甲发球 90 乙发球 120 总计 120 300 （1）完成22列联表，并判断是否有99.9%的把握认为

8、比赛得分与接，发球有关；（2）羽毛球，篮球，网球这三种运动项目深受大学生的喜欢小明同学每周的星期六，星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在这 3种运动项目中选择一种已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择羽毛球，则星期天选择羽毛球的概率为13：如果星期六选择篮球，则星期天选择羽毛球的概率为45；如果星期六选择网球，则星期天选择羽毛球的概率为12已知小明星期天选择羽毛球，求他星期 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 六也选择羽毛球的概率（3）以22列联表中甲，乙各自接，发球的得分频率分别作为每一回合中甲，乙各自接，发球的得分概率已知：若随机变量iX服从两点分布，且()()1

9、10,1,2,iiiP XP Xq in=，则11nniiiiEXq=若第 1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行 150回合比赛后，甲的总得分期望 附：0.10 0 05 0.01 0.005 0.001 ax 2.706 3.841 6.635 7 879 10.828 参考公式：()()()()()22n adbcabcdacbd=+，其中nabcd=+19.已知函数()2e2,xf xaxa a=R（1）若1a=，求曲线()yf x=在0 x=处的切线方程；（2）若函数()f x有两个极值点，求a的取值范围：（3）已知函数()()e1xF xf x=+，若()0F x，求a的取值范围 .第

10、1页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 2025 届高二年级六月份数学学科测试试卷届高二年级六月份数学学科测试试卷 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）有一项符合要求）1.已知集合212,4,AxxBx xx x=，则222312cceaabc=+，解得223627ab=，所以椭圆的方程是2213627xy+=.故选：C.5.红楼梦四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种

11、原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（）A.6 种 B.12 种 C.18 种 D.36 种【答案】B【解析】【分析】将香菌、新笋、豆腐干看作一个元素，利用捆绑法结合倍缩法求解.【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素，此时共有 5 个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，第3页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 定序问题用倍缩法，共有4422A12A=种不同的排列方式.故选：B.6.如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段A

12、N上，且13,24MNON APAN=，设向量OPxOAyOBzOC=+，则xyz+=（）A.1112 B.1 C.34 D.56【答案】C【解析】【分析】写出OP 的表达式即可求出xyz+的值.【详解】由题意，在四面体OABC中，13,24MNON APAN M=是四面体 OABC的棱BC的中点,22111()33233ONOMOBOCOBOC=+=+,3333()4444OPOAAPOAANOAONOAOAONOA=+=+=+=+13 1111144 33444OAOBOCOAOBOC=+=+OPxOAyOBzOC=+，14xyz=，34xyz+=，故选：C.第4页/共21页 学科网（北京

13、）股份有限公司 7.已知函数()e=xf xaxx，()0,x+，当12xx时，不等式()()1221f xf xxx恒成立，则实数a的取值范围为（）A.e0,3 B.()2,e C.e,2 D.(),e【答案】C【解析】【分析】命题等价于()()g xxf x=在()0,+上单调递增，然后使用导数工具分类讨论()g x的单调性即可.【详解】原条件即为()()1122x f xx f x对12xx恒成立.所以()10g，即e20a，得2ea；另一方面，若2ea，设()exh xx=，则()()21 exxh xx=.从而当01x时()0h x时()0h x.故()h x在(0,1上递减，在)1

14、,+上递增.所以当01x时，有()()1h xh，即eexx，进一步可得()ee22e2ee0 xxgxaxxaxxaxxxx=.这表明()()g xxf x=在(0,1和)1,+上递增，故在()0,+上递增.综上，a的取值范围是e,2.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用导数分类讨论函数的单调性，属于较为常规的题目.8.已知 A 细胞有 0.4的概率会变异成B细胞，0.6的概率死亡；B细胞有 0.5 的概率变异成 A细胞，0.5 的概率死亡，细胞死亡前有可能变异数次下列结论成立的是（）A.一个细胞为 A 细胞，其死亡前是 A细胞的概率为 0.75 B.一个细胞为 A 细胞，其死

15、亡前是B细胞的概率为 0.2 C.一个细胞为B细胞，其死亡前是 A 细胞的概率为 0.35 第5页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 D.一个细胞为B细胞，其死亡前是B细胞的概率为 0.7【答案】A【解析】【分析】设 n次为X（A 或 B）细胞的概率为nP，可知2n+次为X细胞概率210 50 45nnP.P+=，设 n次为 A细胞的概率为na，为 B 细胞的概率为nb，则 n 次细胞死亡的概率3152nnab+，对于 AB：可知12121005na,a,b,b=，结合等比数列求相应概率，代入条件概率公式分析求解；对于 CD：可知12110102na,a,b,b=，结合等比数列求相应概率，

16、代入条件概率公式分析求解.【详解】设 n次为X（A 或 B）细胞的概率为nP，则一次变异不为X细胞，两次变异为X细胞，可知2n+次为X细胞概率210.5 0.45nnnPPP+=，设 n次为 A细胞的概率为na，为 B细胞的概率为nb，则 n 次细胞死亡的概率3152nnab+，对选项 AB：若一个细胞为 A 细胞，可知奇数次为 A 细胞，偶数次为 B 细胞，则12121005na,a,b,b=，可得121,50,nnnan=为奇数为偶数，120,2 1,5 5nnnbn=为奇数为偶数，则 A 细胞死亡概率为13313155415iia+=，B细胞死亡的概率为121115122415iib+=

17、，可得细胞死亡的概率为31144+=，所以其死亡前是 A 细胞的概率为340 751.=，其死亡前是B细胞的概率为140 251.=，故 A 正确，B错误；对选项 CD：若一个细胞B细胞，可知奇数次为 B 细胞，偶数次为 A细胞，则12110102na,a,b,b=，可得120,1 1,2 5nnnan=为奇数为偶数，121,50,nnnbn=为奇数为偶数，的为 第6页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 则 A 细胞死亡的概率为113332155815iia+=，B 细胞死亡的概率为11115122815iib+=，可得细胞死亡的概率为35188+=，所以其死亡前是 A 细胞的概率为380

18、 3751.=，其死亡前是B细胞的概率为580 6251.=，故 CD错误；故选：A.二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得项符合题目要求，全部选对的得 6 分部分选对的得部分分，有选错的得分部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）分）9.关于概率统计，下列说法中正确的是（）A.两个变量,x y的线性相关系数为r，若r越小，则x与y之间的线性相关性越弱 B.某人解答 10个问题，答对题数为X，若()10,0.6XB，则()6E X=C.若一组样本

19、数据()(),1,2,3,iix yin=的样本点都在直线0.65yx=+上，则这组数据的相关系数r为 1 D.已知()2,9N，若()10.7P=，则()230.2P=【答案】BCD【解析】【分析】对于 A，根据相关系数的几何意义分析判断，对于 B，根据二项分布的期望公式分析判断，对于 C，根据线性相关的定义分析判断，对于 D，根据正态分布的对称性判断.【详解】对于 A，两个变量,x y的线性相关系数为r，r越小，则x与y之间的线性相关性越弱，所以 A错误，对于 B，因为()10,0.6XB，所以()100.66E X=，所以 B 正确，对于 C，由题意可知0 65yx=+就是回归方程，因为

20、0.60，所以为正相关，所以0r，因为样本点都在直线0 65yx=+上，所以1r=，所以 C 正确，对于 D，因为()2,9N，()10 7P=，第7页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 所以()()()()2312120.70.50.2PPPP=，所以 D 正确，故选：BCD 10.已知,A B分别为随机事件 A，B的对立事件，则下列结论正确的是（）A.()()1P AP A+=B.若()()()P ABP A P B=，则 A，B 独立 C.若 A，B 独立，则()()P A BP B=D.()()1P A BP A B+=【答案】ABD【解析】【分析】根据随机事件的概率、独立事件、条

21、件概率等知识确定正确答案.【详解】A选项，根据随机事件的概率的知识可知()()1P AP A+=，A 选项正确.B选项，根据独立事件的知识可知，()()()P ABP A P B=，则,A B相互独立，B 选项正确.C选项，若,A B独立，则()()()()()()()P ABP A P BP A BP AP BP B=，C选项错误.D选项，()P A B表示在B事件发生的情况下A事件发生的概率，()P A B表示在B事件发生的情况下A事件发生的概率，所以()()1P A BP A B+=，所以 D 选项正确.故选：ABD 11.如图，若正方体的棱长为 1，点M是正方体1111ABCDABC

22、D的侧面11ADD A上的一个动点(含边界)，P是棱1CC的中点，则下列结论正确的是（）A.沿正方体的表面从点 A到点P的最短路程为132 B.若保持2PM=，则点M在侧面11ADD A内运动路径的长度为3 第8页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 C.三棱锥1BC MD的体积最大值为16 D.若点M在1AD上运动，则1D到直线PM的距离的最小值为23【答案】ABD【解析】【分析】对于 A，分析点 M 沿正方体的表面从点 A到点P的各种情况即可判断；对于 B，取 DD1中点 E，连 EM 并求出 EM=1即可计算判断；对于 C，利用等体积法转化为求三棱锥11AC BD的体积即可判断；对于

23、D，建立空间直角坐标系，借助空间向量建立函数关系求其最值即可判断作答.【详解】对于 A，点 M 沿正方体的表面从点 A到点P的最短路程，则点 M 应在点 A 与点 P 所在的两个相邻平面内从点 A到点P，由对称性知，点 M从点 A越过棱 DD1与越过棱 BB1到点P的最短路程相等，点 M 从点 A 越过棱 DC与越过棱 BC 到点P的最短路程相等，把正方形 ABB1A1与正方形 BCC1B1放在同一平面内，如图，连接 AP，AP长是点 M 从点 A 越过棱 BB1到 点P的最短路程，22172APACCP=+=，把正方形 ABCD与正方形 BCC1B1放在同一平面内，如图，连接 AP，AP 长

24、是点 M从点 A越过棱 BC到 点P的最短路程，22132APADDP=+=，而131722，于是得点 M 沿正方体的表面从点 A 到点P最短路程为132，A 正确；对于 B，取 DD1中点 E，连 EM，PE，如图，因P是正方体1111ABCDABC D的棱1CC中点，第9页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 则 PE/CD，而 CD平面 ADD1A1，则有 PE平面 ADD1A1，EM 平面 ADD1A1，于是得 PEEM，由2222PMPEEM=+=，PE=1得，EM=1，因此，点M在侧面11ADD A内运动路径是以 E为圆心，1 为半径的圆在正方形11ADD A内的圆弧，如图，圆弧

25、所对圆心角为3，圆弧长为3，B正确；对于 C，因11B C MDCDBMVV=，而1C BD面积是定值，要三棱锥1MC BD的体积最大，当且仅当点 M到平面 C1BD 距离最大，如图，点 A1是正方形 ADD1A1内到平面 C1BD 距离最大的点，11max()B C MDA C BDVV=1211114141323AABDV=，C 不正确；对于 D，建立如图所示的空间直角坐标系，则111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,)2ADP，第10页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 令1(,0,)(01)DMtDAttt=，则1(,1,)2PMtt=，又11(0,1,)2PD=，直线 P

26、D1与直线 PM夹角为，11211324coscos,|55224tPM PDPM PDPMPDtt+=+2235845ttt+=+，令233,5tx+=，则221cos11521429529()142xxxxx=+，当且仅当1729x=，即297x，47t=时，cos取最大值293 5，而22sincos1+=，此时，sin取得最小值43 5，又152PD=，点1D到直线PM的距离15sinsin2dPD=，于是得min542233 5d=，所以1D到直线PM的距离的最小值为23，D 正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同

27、一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）12.222223410CCCC+=_.（用数字作答）【答案】165 第11页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】由组合数的性质11CCCmmmnnn+=+即得.【详解】222223410322233410322244510322551032610321010311CCCCCCCCCCCCCCCCCCCC165+=+=+=+=+=+=故答案为:165 13.某公司于 2021年 1 月推出了一款产品A，现对产品上市时间x（单位：月

28、）和市场占有率y进行统计分析，得到如下表数据：x 1 2 3 4 5 y 0.002 0.005 0.010 0.015 0.018 由表中数据求得线性回归方程为0.0042yxa=+，则当10 x=时，市场占有率y约为_.【答案】0.0394【解析】【分析】由给定的数据求出样本点的中心，进而求出 a即可作答.【详解】依题意：123450.0020.0050.0100.0150.0183,0.0155xy+=，回归直线0.0042yxa=+过样本点的中心(3,0.01)，由此得0.0026a=，即线性回归方程为0.00420.0026yx=，当10 x=时，0.0042 100.00260.0

29、394y=，所以当10 x=时，市场占有率y约为 0.0394.故答案为：0.0394 14.作高为 8的正四面体的内切球，在这个球内作内接正四面体，然后再作新四面体的内切球，如此下去，则前n个内切球的半径和为_【答案】13 13n【解析】第12页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据正四面体的结构特征分析可知1134rRh=，设第n个内切球的半径为nr，可知 nr是以首项12r=，公比13q=的等比数列，结合等比数列求和公式运算求解.【详解】对于边长为a的正四面体PABC，设正四面体的外接圆半径为R，内切圆半径为r，高为h，令G为正三角形ABC的中心，O为正四面体PABC的中心，

30、则OPG，且PG 平面ABC，可知2236,33AGa PGPAAGa=，因OAOPR=，OGr=，且()222OAAGPGOA=+，即2223633OAaaOA=+，解得64OAa=，612OGa=可知1134rRh=，设第n个内切球的半径为nr，第n个外接球的半径为nR，则12r=，nnRr=，可得11133nnnrRr+=，可知 nr是以首项12r=，公比13q=的等比数列，所以前n个内切球的半径和为12 1313 11313nn=.故答案为：13 13n.四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出必

31、要的文字说明，证明过程或演算步骤）15.在212nxx+的展开式中，_ 为 第13页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 现在有以下三个条件：条件：第 4项和第 2 项的二项式系数之比为12:1；条件：只有第 6项的二项式系数最大：条件：其前三项的二项式系数的和等于 56 请从上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：（1）展开式中所有二项式系数的和；（2）展开式中的系数最大项【答案】（1）1024 （2）25215360 x【解析】【分析】（1）选条件得到31C:C12:1nn=求解；选条件得到10n=求解；选条件得到012CCC56nnn+=求解；（2）由（1）得到二项式

32、为10212xx+，再利用通项公式列式求解即可.【小问 1 详解】解：选条件：因为第 4项和第 2项的二项式系数之比为12:1；所以31C:C12:1nn=，即(1)(2):12:13 2 1n nnn=，即23700nn=，解得7n=（舍）或10n=所以展开式中所有二项式系数和1021024=；选条件：因为只有第 6项的二项式系数最大；所以n为偶数，且52n=，解得10n=.所以展开式中所有二项式系数的和1021024=；选条件：因为其前三项的二项式系数的和等于 56，所以012CCC56nnn+=，即(1)1562n nn+=，即21100nn+=，解得11n=（舍）或10n=.的 第14

33、页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 所以展开式中所有二项式系数的和1021024=；【小问 2 详解】由（1）二项式为10212xx+，其通项公式为：()5201021110100212,0,1,C2,02,C1rrrrrrrxxrxT+=，可知第1r+项的系数为1100C2rr，令10191010101111010C2C2C2C2rrrrrrrr+，解得81133r，即3r=，所以第4项的系数最大，最大项为2534257212015360C2xTx=，16.已知四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，平面PAB 平面,1ABCD PAAB PAAB=，M为棱PD的中点 （1）求证：PA

34、 平面ABCD；（2）求平面ACM与平面PAB夹角的正弦值【答案】（1）证明见详解 （2）63【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.【小问 1 详解】因为平面PAB 平面ABCD，PAAB，且平面PAB平面,ABCDAB PA=平面PAB，所以PA 平面ABCD 第15页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【小问 2 详解】由题意和（1）知，,AB AD AP两两垂直，以 A 为原点，,AB AD AP所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,1,0,0,0,1,0,

35、0,0,1,0,1,1,0PABDC 可得1 11 10,(1,1,0),0,2 22 2MACAM=易知平面PAB的一个法向量为(0,1,0)AD=设平面ACM的法向量为(,)nx y z=，则011022n ACxyn AMyz=+=+=，令1y=，则1,1xz=，可得(1,1,1)n=设平面ACM与平面PAB的夹角为0,2，则13coscos,33n ADn ADn AD=，可得26sin1 cos3=所以平面ACM与平面PAB的夹角的正弦值为63 17.已知函数()()322316f xxaxaxb=+，其中,a b为实数.（1）若函数()f x的图像与x轴相切于点()2,0，求,a

36、b的值；（2）若1a，且()f x在区间()2,2上取到最大值，求a的取值范围.第16页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）2,4.ab=；（2）5,3+.【解析】【分析】（1）由(2)0,()0ffx=得出,a b的值；（2）讨论2,1,12aaa=三种情况，确定()f x的单调性，结合()f x在区间()2,2上取到最大值，求a的取值范围.【详解】（1）()()()()2661661fxxaxaxxa=+=因为函数()f x的图像与x轴相切于点()2,0，于是()()20,20ff=即()20,16 121120aaab=+=，解得2,4.ab=（2）当2a时，()f x在

37、()2,1上单调递增，在1,2上单调递减，则()1f为()f x在()2,2上的最大值；当1a=时，()0fx恒成立，故()f x在()2,2上单调递增，故()f x在()2,2上没有最大值；当12a时，()f x在()2,1上单调递增，在()1,a上单调递减，在(),2a上单调递增 若()f x在()2,2上取到最大值，则必有()()12ff，即53a，又12a，于是52;3a=，根据故根据小概率值0.001=的独立性检验，可得零假设0H不成立，所以有99.9%的把握认为“比赛得分与接发球有关”.【小问 2 详解】记星期六选择羽毛球，篮球，网球分别为事件123,A A A，“星期天选择羽毛球

38、”为事件 B，则()()()()()()1231231141,|,|,|3352P AP AP AP B AP B AP B A=，可得()()()()()()()11223349|90P BP B A P AP B AP AP B AP A=+=，且()()()1111|9P ABP B A P A=，所以()()()1110|49P ABP A BP B=.【小问 3 详解】由题已知：在甲发球的情况下，甲得分的概率为9031505=，乙得分的概率为32155=；在乙发球的情况下，乙得分的概率为12041505=，甲得分的概率为41155.设第i回合甲发球的概率为ip，则11p=，第i回合(

39、)2i 是甲发球要分两种情况：第1i 回合是甲发球且甲得分，或第1i 回合是乙发球且甲得分，则()111312115555iiiipppp=+=+，整理得1121353iipp=，且11121,033pp=，第19页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 可知13ip是以23为首项，25为公比的等比数列，则1122335iip=，可得1122335iip=+，记“第i回合甲得分为iX”，则显然iX服从两点分布，且事件“1iX=”等价于“第1i 回合是甲发球”，故()11iiP Xp+=.又甲乙共连续进行 150 回合比赛后，甲的得分为12150XXXX=+，故()150150150150111

40、12221355122()50233515iiiiiiE XE Xp+=+=+1504250195=+，所以甲的总得分期望为1504250195+.19.已知函数()2e2,xf xaxa a=R（1）若1a=，求曲线()yf x=在0 x=处的切线方程；（2）若函数()f x有两个极值点，求a的取值范围：（3）已知函数()()e1xF xf x=+，若()0F x，求a的取值范围【答案】（1）1yx=（2）e,2+（3）(,1【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切点和斜率，即可得切线方程；（2）令()()g xfx=，由题意可知：()g x有两个变号零点，分类讨论()g x的单调

41、性，结合零点分析求解；（3）根据题意取特值可得1a，检验若1a，可得2ee20 xxaxa+，构建()2ee2xxh xaxa+=，利用导数分析可知()0h x，即可得结果.【小问 1 详解】若1a=，则()2e2xf xx=，()e2xfxx=，可得()01f=，()01f=，第20页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 可知切点坐标为()0,1，斜率1k=，所以曲线()yf x=在0 x=处的切线方程为1yx=.【小问 2 详解】因为()e2xfxax=，令()()g xfx=，由题意可知：()g x有两个变号零点，又因为()e2xgxa=，若0a，则()0gx，可知()g x在R内单调

42、递增，所以()g x在R内至多有一个零点，不合题意；若0a，令()0gx，解得ln2xa；令()0gx，解得ln2xa；可知()g x在(),ln2a内单调递减，在()ln2,a+内单调递增，且当x趋近于时，()g x趋近于+，x趋近于+时，()g x趋近于+，则()ln222 ln20gaaaa=；综上所述：a的取值范围为e,2+.【小问 3 详解】由题意可知：()()()2e1ee21xxxF xf xaxa=+=+，若()0F x，则()0220Fa=，解得1a，若1a，可得2ee20 xxaxa+，构建()2ee2xxh xaxa+=，则()ee2xxh xax=，令()()xh x=，则()()ee22 ee22 10 xxxxxaaa=+，当且仅当eexx=，即0 x=时，等号成立，可知()x在R上单调递增，且()00=，当0 x 时，()0 x时，()0 x；即当0 x 时，()0h x时，()0h x；第21页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 可知()h x在(),0内单调递减，在()0,+内单调递增，则()()0220h xha=，符合题意；综上所述：a的取值范围为(,1.