专题04 函数的概念与性质5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测含解析.docx

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1、专题04 函数的概念与性质5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测专题04 函数的概念与性质5题型分类1函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系yf(x)，xA定义域x的取值范围值域与x对应的y的值的集合f(x)|xA2函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果x1，x2D当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)

2、在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的3函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值4函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴

3、对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称5函数的周期性周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.（一）函数的概念与表示1函数的三要素（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数2函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，

4、这种函数称为分段函数4函数的定义域（1）无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合（2）若f(x)的定义域为a，b，则复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出（3）若复合函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在a，b上的值域5函数解析式的求法（1）配凑法（2）待定系数法（3）换元法（4）解方程组法6分段函数求值问题的解题思路（1）求函数值：当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值（2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验题型1：函数的概念与表示1-1（2024高二下

5、宁夏吴忠学业考试）如图，可以表示函数的图象的是（）ABCD1-2（2024高三全国课后作业）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A，B，C，D，1-3（2024全国模拟预测）已知函数，则 （）A-6B0C4D61-4（2024北京朝阳二模）函数的定义域为 .1-5（2024高三全国课后作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 1-6（2024高一上湖南邵阳期末）已知的定义域为，那么a的取值范围为 1-7（2024高三全国专题练习）若函数的值域是，则函数的值域为 1-8（2024高三全国课后作业）函数的值域为 .1-9（2024高一上海专题练习）求下列函数的值域（1）；（2）；（3）；（4）

6、；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.1-10（2024高三全国专题练习）求下列函数的解析式：(1)已知，求的解析式；(2)已知，求的解析式；(3)已知是一次函数且，求的解析式；(4)已知满足，求的解析式.（二）函数的单调性与最值1函数的单调性（1）x1，x2I且x1x2，有0(0(0或f(x)0)（2）若f(xa)，则T2a(a0)2函数的周期性（1）求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期（2）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题题型4：函数的周期性4-1（2024高一下全国课后作业）在如

7、图所示的的图象中，若，则 . 4-2（2024高一上陕西宝鸡期末）已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，则 .4-3（2024高三全国对口高考）已知是定义在上的偶函数，并且满足，当时，则等于（）ABCD4-4（2024高一下全国课后作业）函数是以4为周期的周期函数，且当时，试求当时，的解析式.（五）函数的对称性1、函数自身的对称性(1)函数的图像关于点对称的充要条件是：，即。推论：函数的图像关于原点对称的充要条件是。(2)函数的图像关于直线对称的充要条件是：，即。推论：函数的图像关于轴对称的充要条件是。2、不同函数对称性(1)函数与的图像关于直线成轴对称。推论1:函数与图象关于直线对称

8、推论2:函数与 图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称题型5：函数的对称性5-1（2024高三上湖北武汉期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在时的值域为（）ABCD5-2（2024全国模拟预测）已知函数，且对任意的实数x，恒成立.若存在实数，（），使得成立，则n的最大值为（）A25B26C28D315-3（2024全国模拟预测）已知定义在上的图象连续的函数的导数是，当时，则不等式的解集为（）ABCD5-4（2024贵州毕节三模）已知定义在R上的函数满足：对任意，都有，且当时，（其中为的导函数）设，则a，b，c的大小关系是（）A

9、BCD一、单选题1（2024高三全国专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（）A至少1个B至多1个C仅有1个D有0个、1个或多个2（2024高一上湖南期中）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（）ABCD3（2024高三全国专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A，BC，D，0，0，4（2024河南模拟预测）已知函数且，则（）A-16B16C26D275（2024四川乐山一模）已知，满足，则的取值范围是（）ABCD6（2024江西）已知函数f(x)=(aR)，若，则a=（）ABC1D27（2024山东）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，总有成立，则函数一定是（

10、）A奇函数B偶函数C增函数D减函数8（2024高一上全国课后作业）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有0成立，则必有（）Af(x)在R上是增函数Bf(x)在R上是减函数C函数f(x)先增后减D函数f(x)先减后增9（2024高三全国专题练习）函数的单调递增区间是（）A B 和C和D 和10（2024高三全国专题练习）函数的单调递减区间为（）ABCD11（2024高二下陕西宝鸡期末）函数的单调递减区间为（）ABCD12（2024高三上山东阶段练习）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（）ABCD13（2024高一上四川广安期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值

11、范围为（）ABCD14（2024高三上江西抚州期末）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（）ABCD15（2024高一上天津红桥期末）已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（）ABC或D或16（2024北京朝阳一模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）ABCD17（2024北京顺义一模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）ABCD18（2024北京海淀二模）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）ABCD19（2024全国模拟预测）已知函数是奇函数，函数是偶函数若，则（）ABC0D20（2024高三全国专题练习）设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是

12、一个奇函数，且，则等于（）ABCD21（2024宁夏银川二模）已知函数，若，则（）AB0C1D22（2024河南模拟预测）已知在R上单调递增，且为奇函数.若正实数a，b满足，则的最小值为（）ABCD23（2024高三重庆渝中阶段练习）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于()A0B10CD24（2024高一下福建福州期中）已知函数，若，则（）A等于B等于C等于D无法确定25（2024高一上山西长治阶段练习）定义域为的函数满足，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD26（2024全国一模）已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为（），且数列的前项的和为.若对于任意正整

13、数不等式恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD27（2024四川内江二模）定义域为的函数满足，当时，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )ABCD28（2024高三全国专题练习）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，则下列结论错误的是（）AB为奇函数C在上是减函数D方程仅有6个实数解29（2024湖北模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（）A BCD30（2024广西模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（）ABCD31（2024北京西城模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（）ABCD32（2024河南商丘模拟预测）已知

14、是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（）ABCD33（2024安徽黄山二模）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（）ABCD34（2024河北唐山一模）已知函数,则不等式的解集为（）ABCD35（2024高二下江苏镇江阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（）ABCD二、多选题36（2024高一上甘肃庆阳期中）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调函数，且，则（）ABCD37（2024高一上浙江杭州阶段练习）设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A是偶函数B是奇函数C是奇函数D是偶函数38（2024河北模拟预测）已知函数，的定义域均为，导函数

15、分别为，若，且，则（）A4为函数的一个周期B函数的图象关于点对称CD39（2024山东滨州二模）函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（）A的图象关于点对称B8是的一个周期C一定存在零点D40（2024高二下江苏南通期末）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（）A是偶函数B的周期CD在单调递减三、填空题41（2024高三全国专题练习）若，则 .42（2024高一下湖北省直辖县级单位期末）函数的定义域为 43（2024高三上海南阶段练习）已知正数a，b满足，则函数的定义域为 .44（2024高三全国专题练习）已知函数

16、的定义域为， 则函数的定义域为 45（2024高一上全国专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为 .46（2024高三全国专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 47（2024高三上宁夏银川阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 48（2024高一上安徽合肥期中）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是 49（2024高一上江苏南通阶段练习）函数的定义域为，则实数a的取值范围是 .50（2024高一上黑龙江佳木斯阶段练习）若函数的定义域是R，则实数的取值范围是 .51（2024高三广东深圳阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为 .52（2024高三全国专题练习）已知定义在

17、上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为 53（2024高三全国专题练习）函数的值域为 54（2024高三下重庆渝中阶段练习）函数的最大值为 .55（2024浙江）已知函数则 ；若当时，则的最大值是 56（2024上海静安二模）已知函数为偶函数，则函数的值域为 .57（2024高三下四川成都期末）已知函数是偶函数，则 58（2024高三下湖南阶段练习）已知函数，若是偶函数，则 四、解答题59（2024高一上安徽宣城期中）根据下列条件，求的解析式(1)已知满足(2)已知是一次函数，且满足；(3)已知满足60（2024高三全国专题练习）根据下列条件，求函数的解析式(1)已知，则的解析式为_(2)

18、已知满足，求的解析式(3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式61（2024高一上浙江课后作业）已知，求的解析式.62（2024高一上陕西延安阶段练习）已知函数(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)若，求实数的取值范围63（2024高三全国专题练习）设，证明：函数是x的增函数64（2024高三上上海静安期中）已知函数，且.(1)求的值，并指出函数的奇偶性；(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数在上是增函数.65（2024高三全国专题练习）利用图象判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)；(4)；(5).66（2024高一上四川遂宁期末）定义在上的函数，对任意，满足下

19、列条件：（1）是否存在一次函数满足条件，若存在，求出的解析式；若不存在，说明理由.（2）证明：为奇函数；67（2024高一上安徽蚌埠期末）已知定义在上的函数，满足：；任意的，.（1）求的值；（2）判断并证明函数的奇偶性.专题04 函数的概念与性质5题型分类1函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系yf(x)，xA定义域x的取值范围值域与x对应的y的值的集合f(x)|xA2函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区

20、间DI，如果x1，x2D当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的3函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值4函数的奇偶性奇偶性定义

21、图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称5函数的周期性周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.（一）函数的概念与表示1函数的三要素（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数2函数的表示法

22、表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数4函数的定义域（1）无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合（2）若f(x)的定义域为a，b，则复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出（3）若复合函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在a，b上的值域5函数解析式的求法（1）配凑法（2）待定系数法（3）换元法（4）解方程组法6分段函数求值问题的解题思路（1）求函数值：当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值（2）求自变量的值：

23、先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验题型1：函数的概念与表示1-1（2024高二下宁夏吴忠学业考试）如图，可以表示函数的图象的是（）ABCD【答案】D【分析】根据函数的概念判断【详解】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求故选：D1-2（2024高三全国课后作业）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A，B，C，D，【答案】C【分析】对四个选项从定义域和对应关系两个方面一一验证，即可得到正确答案.【详解】对于A：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故A错误；对于B：的定义域为，的定义域为.因为定义域不

24、同，所以和不是同一个函数.故B错误；对于C：的定义域为，的定义域为，所以定义域相同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确；对于D：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故D错误；故选：C1-3（2024全国模拟预测）已知函数，则 （）A-6B0C4D6【答案】A【分析】由分段函数解析式，利用周期性求得，进而求目标函数值.【详解】由分段函数知：当时，周期，所以，所以故选：A1-4（2024北京朝阳二模）函数的定义域为 .【答案】【分析】解不等式即可得函数的定义域.【详解】令，可得，解得.故函数的定义域为.故答案为:.1-5（2024高三全国课后作业）已知函数的定义

25、域为，则函数的定义域为 【答案】【分析】由题意知，解不等式即可求得答案.【详解】因为函数的定义域为，所以在函数中，解得或，故函数的定义域为.故答案为：.1-6（2024高一上湖南邵阳期末）已知的定义域为，那么a的取值范围为 【答案】【分析】根据题意可知，的解集为，由即可求出【详解】依题可知，的解集为，所以，解得故答案为：1-7（2024高三全国专题练习）若函数的值域是，则函数的值域为 【答案】【分析】根据的值域是，分步求出的值域.【详解】因为函数的值域是，所以函数的值域为，则的值域为，所以函数的值域为故答案为：1-8（2024高三全国课后作业）函数的值域为 .【答案】【分析】先求函数的定义域，

26、由于，在结合二次函数性质和根式的性质求函数的值域【详解】由有意义可得，所以，的定义域为，设，则，则.故答案为：1-9（2024高一上海专题练习）求下列函数的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）且；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.【分析】（1）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；（2）直接利用二次函数性质求分母取值范围，再求y的取值范围即得结果；（3）先求定义域，再利用函数单调性求函数取值范围即可；（4）变形得，即可得解；（5）利用二次函数的单调性逐步求值域即可； （6）令，则，将

27、函数变形为，利用二次函数的性质计算可得；（7）求出函数定义域，平方后利用二次函数的性质求值域即可；（8）直接利用二次函数的单调性逐步求值域即可；（9）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；（10）先进行换元，再利用对勾函数单调性求解值域即可.【详解】解：（1）分式函数，定义域为，故，所有，故值域为；（2）函数中，分母，则，故值域为；（3）函数中，令得，易见函数和都是减函数，故函数在时是递减的，故时，故值域为；（4）， 故值域为且；（5），而，即，故值域为；（6）函数，定义域为，令，所以，所以，对称轴方程为，所以时，函数，故值域为；（7）由题意得，解得，则，故，由y的非负性知，故函数的

28、值域为；（8）函数，定义域为，故，即值域为；（9）函数，定义域为，故，所有，故值域为；（10）函数，令，则由知，根据对勾函数在递减，在递增,可知时，故值域为.【点睛】方法点睛：求函数值域常见方法：（1）单调性法：判断函数单调性，利用单调性求值域（包括常见一次函数、二次函数、分式函数、对勾函数等）；（2）换元法：将复杂函数通过换元法转化到常见函数上，结合图象和单调性求解值域；（3）判别式法：分式函数分子分母的最高次幂为二次时，可整理成关于函数值y的二次方程，方程有解，判别式大于等于零，即解得y的取值范围，得到值域.1-10（2024高三全国专题练习）求下列函数的解析式：(1)已知，求的解析式；(

29、2)已知，求的解析式；(3)已知是一次函数且，求的解析式；(4)已知满足，求的解析式.【答案】(1)，(2)，(3)(4)【分析】（1）设，由换元法可得出答案.（2）由，由配凑法可得答案.（3）可设f(x)=ax+b(a0)，利用待定系数法可得答案.（4）将x用替换,由方程消元法可得答案.【详解】（1）设，则 ， 即，（2）由勾型函数的性质可得，其值域为 所以（3）由f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a0)，3a(x+1)+b-2a(x-1)+b=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17，解得f(x)的解析式是f(x)=2x+7.（4）2f(x)+f(-x)=3x，将x用替换，得

30、，由解得f(x)=3x.（二）函数的单调性与最值1函数的单调性（1）x1，x2I且x1x2，有0(0(0或f(x)0)在公共定义域内与yf(x)，y的单调性相反（4）复合函数的单调性：同增异减2确定函数单调性的四种方法（1）定义法（2）导数法（3）图象法（4）性质法3函数单调性的应用（1）比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决（2）求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域（3）利用单调性求参数的取值(范围)根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解对于分段函数，要注意衔接点的取

31、值题型2：函数的单调性与最值2-1（2024高三全国专题练习）已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（）ABCD【答案】C【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围.【详解】对任意的实数，都有,即成立，可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；可得：，解得，故选：C2-2（2024高三上新疆乌鲁木齐阶段练习）若函数在区间上的最大值为，则实数 .【答案】3【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可.【详解】函数，由复合函数的单调性知，当时，在上单调递减，最大值为；当时，在上单调递增，最大值为，即，显然不合题

32、意，故实数.故答案为：32-3（2024河南模拟预测）已知函数为定义在R上的单调函数，且，则在上的值域为 【答案】【分析】易知是一个固定的数记为，得到，进而有，即，求得，利用函数的单调性求得其值域.【详解】因为为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的，使得，则，即，因为函数为增函数，且，所以，易知在上为增函数，且，则在上的值域为故答案为：.2-4（2024高三下河南阶段练习）已知函数且，若曲线在点处的切线与直线垂直，则在上的最大值为 .【答案】【分析】求导，根据两直线垂直得到切线在的斜率为2，得到方程，求出，由是增函数求出，得到的单调性，得到最大值.【详解】由题意得，所以，因为切线与直线垂直，而

33、的斜率为，所以切线斜率为2，即，解得，所以，且，显然是增函数，当时，所以在上单调递增，故.故答案为：2-5（2024天津河西模拟预测）已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立若，则，的大小关系是（）ABCD【答案】A【分析】利用奇偶性和对称性判断函数在上的单调性，再比较大小，结合的单调性即可得出答案【详解】解：因为函数是R上的偶函数，所以函数的对称轴为，又因为对任意，且都有成立所以函数在上单调递增，而，所以，所以，因为函数的对称轴为，所以，而，因为，所以，所以，所以故选：A（三）函数的奇偶性1函数的奇偶性（1）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性（2）偶函数在关于原点对称的区间上具有相

34、反的单调性2函数奇偶性的判断（1）定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数（2）判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立3函数奇偶性的应用（1）利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值（2）利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题题型3：函数的奇偶性3-1（2024广东湛江二模）已知奇函数则 【答案】【分析】根据奇函数的定义，先求当时，再进一步求解

35、.【详解】当时，则故答案为：.3-2（2024高三全国专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，则函数的解析式为 【答案】【分析】利用函数的奇偶性求解即可.【详解】由于函数是上的奇函数，则.当时，设，则，则，所以.综上所述，.故答案为：【点睛】方法点睛：根据函数奇偶性求解析式的步骤：（1）设：要求哪个区间的解析式，就设在哪个区间；（2）代：利用已知区间的解析式代入进行推导；（3）转：根据的奇偶性，把写成或，从而解出.3-3（2024新疆阿勒泰一模）若函数为偶函数，则 .【答案】2【分析】由偶函数的概念列方程即可求得.【详解】函数为偶函数即又,故答案为：3-4（2024高三下江西阶段练习）若函数是偶函数，则 【答案】1【分析】根据偶函数的定义结合对数运算求得的值即可.【详解】为偶函数，定义域为，对任意的实数都有，即，由题意得上式对任意的实数恒成立，解得,所以故答案为：13-5（2024高一上安徽蚌埠期末）已知定义在上的函数，满足：；为奇函数；，；任意的，.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数在上的单调性.【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）在上单调递增，证明见解析.【解析】（1）取结合得出