数学分析教案(华东师大版)导数和微分.doc

《数学分析教案(华东师大版)导数和微分.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析教案(华东师大版)导数和微分.doc（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数学分析教案（华东师大版）：导数和微分第一章：导数概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。强调导数的重要性：导数可以描述函数在某一点的局部性质，如增减性、凹凸性等。1.2 导数的计算讲解导数的计算方法：常数函数的导数为0；幂函数的导数为其指数乘以底数的指数减1；指数函数的导数为底数；对数函数的导数为1除以函数的底数；三角函数的导数分别为各自的导数公式。1.3 导数的应用解释导数的应用：求函数的极值：导数为0的点可能是极值点，通过二阶导数判断；求函数的单调区间：导数大于0表示函数递增，导数小于0表示函数递减；求曲线的切线方程：利用导数求出切点坐标和切线斜

2、率，写出切线方程。第二章：微分2.1 微分的概念解释微分的定义：微分是导数的一个局部线性逼近，表示函数在某一点的增量与自变量的增量之比。强调微分的重要性：微分可以用来近似计算函数在某一点的增量，简化计算。2.2 微分的计算讲解微分的计算方法：利用导数计算微分：微分等于函数在该点的导数乘以自变量的增量；微分的性质：微分是无穷小量，具有线性、齐次性和对称性。2.3 微分的应用解释微分的应用：近似计算函数在某一点的增量：利用微分公式，将自变量的增量代入计算；求曲线的切线：利用微分求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程；微分方程的求解：通过微分方程描述物理、化学等现象的规律，求解未知函数。第三章：导数和

3、微分的进一步应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则：当函数在某一点的导数为0时，可以通过求导数的极限来判断该点是否为极值点。3.2 罗尔定理介绍罗尔定理：如果函数在某一区间内有两个不同的点处的导数相等，则在这两点之间存在一个点，使得函数在该点处的导数为0。3.3 泰勒公式介绍泰勒公式：将函数在某一点附近展开为多项式，可以用来近似计算函数在该点附近的值。第四章：高阶导数4.1 高阶导数的定义解释高阶导数的定义：函数的n阶导数是其导数的导数，即导数的导数直到第n次。4.2 高阶导数的计算讲解高阶导数的计算方法：常数函数的高阶导数为0；幂函数的高阶导数为幂乘以指数减1；指数函数的高阶导数为本身；对数函

4、数的高阶导数为1除以函数的底数；三角函数的高阶导数分别为各自的导数公式。4.3 高阶导数的应用解释高阶导数的应用：求函数的凹凸性：二阶导数大于0表示函数凹，二阶导数小于0表示函数凸；求函数的拐点：二阶导数为0的点可能是拐点，通过三阶导数判断；分析函数的增减性：高阶导数可以判断函数在某一点的增减性。第五章：隐函数求导和微分5.1 隐函数求导解释隐函数求导的方法：将隐函数看作是已知函数的导数，利用链式法则求导。5.2 隐函数的微分讲解隐函数的微分方法：利用隐函数求导的结果，将自变量的增量代入求得微分；隐函数的微分具有线性、齐次性和对称性。第六章：函数的极限与连续性6.1 极限的概念介绍极限的定义：

5、当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于某一确定的值。强调极限的重要性：极限是微积分的基础，用于描述函数在某一点的局部性质。6.2 极限的计算讲解极限的计算方法：利用函数的性质判断极限的存在性；利用数列极限的性质求函数极限；利用夹逼定理和单调有界定理求极限。6.3 函数的连续性解释函数连续性的定义：函数在某一点的极限与其函数值相等，则函数在该点连续。强调函数连续性的重要性：连续性是微积分中的基本概念，用于研究函数的图形和性质。第七章：泰勒公式与导数的应用7.1 泰勒公式的扩展介绍泰勒公式的扩展：泰勒公式可以用来近似计算函数在某一点的值，也可以扩展到多阶导数的近似。7.2 泰勒公式在实际应用中的例子

6、举例说明泰勒公式在实际应用中的使用：物理学中，用泰勒公式近似计算力学系统的势能；工程学中，用泰勒公式近似计算函数值，简化计算过程。7.3 导数在实际应用中的例子举例说明导数在实际应用中的使用：物理学中，用导数计算物体的瞬时速度和加速度；经济学中，用导数分析函数的单调性和极值。第八章：多元函数的导数8.1 多变量函数的导数概念引入多元函数的导数概念：多元函数在某一点的导数是其各偏导数。8.2 偏导数的计算讲解偏导数的计算方法：对单变量函数求偏导数；利用偏导数的性质和运算法则进行计算。8.3 全微分的概念与应用解释全微分的概念：函数在某一点的 全微分是其偏导数的线性组合。强调全微分的重要性：全微分

7、可以用来近似计算多元函数在某一点的增量。第九章：高阶偏导数与方向导数9.1 高阶偏导数的概念引入高阶偏导数的概念：多元函数的二阶、三阶高阶偏导数。9.2 高阶偏导数的计算讲解高阶偏导数的计算方法：对已知的偏导数求偏导数；利用高阶偏导数的性质和运算法则进行计算。9.3 方向导数的概念与应用解释方向导数的概念：函数在某一点沿某一方向的变化率。强调方向导数的重要性：方向导数可以用来描述多元函数在某一点的局部性质。第十章：曲线与曲面的切线和法线10.1 曲线在某一点的切线和法线引入曲线在某一点的切线和法线概念：切线：曲线在某一点的瞬时变化率；法线：与切线垂直的直线，描述曲线的凹凸性。10.2 曲线的切

8、线和法线的计算讲解曲线的切线和法线的计算方法：利用导数求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程；利用高阶导数求出法线斜率，写出法线方程。10.3 曲面的切线和法线引入曲面的切线和法线概念：切线：曲面在某一点的瞬时变化率；法线：与切线垂直的直线，描述曲面的凹凸性。讲解曲面的切线和法线的计算方法：利用偏导数求出切点坐标和切线方向，写出切线方程；利用高阶偏导数求出法线方向，写出法线方程。重点和难点解析一、导数概念的引入：理解导数定义及其在描述函数局部性质方面的作用。二、导数的计算：掌握各种函数导数的计算规则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。三、导数的应用：学会使用导数求函数的极值、单

9、调区间和切线方程。四、微分的概念与应用：理解微分的定义，掌握微分的计算方法，并了解微分在近似计算函数增量方面的应用。六、函数的极限与连续性：理解极限的概念，学会计算极限，并理解函数连续性的重要性。七、泰勒公式与导数的应用：掌握泰勒公式的扩展形式，并了解其在实际应用中的例子。八、多元函数的导数：掌握偏导数的计算方法，理解全微分的概念及其在近似计算多元函数增量方面的应用。九、高阶偏导数与方向导数：学会计算高阶偏导数，理解方向导数的概念及其在描述多元函数局部性质方面的作用。十、曲线与曲面的切线和法线：理解曲线和曲面的切线和法线概念，掌握切线和法线的计算方法。本教案主要介绍了导数和微分的基本概念、计算方法和应用，以及函数的极限与连续性、多元函数的导数、高阶偏导数与方向导数、曲线与曲面的切线和法线等高级数学分析内容。通过学习这些重点和难点，学生可以更深入地理解数学分析的核心概念，掌握基本的数学分析技巧，并能够将这些知识应用于实际问题中。