2022河南专升本《高数》真题及答案解析.docx

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1、2022年河南省普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号四五总分分数503050146150注意事项：答题前：考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上 本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效选题分析:易（42分）中（73分）难（35分）选择：1/2/4/6/8/9/10/12/15/18/21填空：26/28/30/32/37计算：41/43 应用：证明：选择：3/5/7/11/13/14/16/17/20/22/23/24/25填空：27/29/31/34/35/36/38/39计算：42/44/46/48/50应用：证明：53选择： 19 填空： 33

2、/40 计算： 45/47/49 应用： 51/52 证明：一、选择题（每小题2分，共50分）在每小题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.1.对称区间上/（x）是奇函数，g（x）是偶函数，下列函数是奇函数的是（）A./，）官方网站:-10-53.证明多项式/(x) = 2/-61+。在区间- 1,1上至多有一个零点，其中。为任意实数.2021年河南省普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学【参考答案】一、选择题(每小题2分，共50分)1 .【答案】C【解析】由函数奇偶性结论可得，奇函数x偶函数二奇函数，故选C.2 .【答案】A【解析】本题考察求“。

3、”型极限，利用等价代换可得：lim tan3x = 1im3% = 3.0a-o 2x “t 2x 2.【答案】D71【解析】lim arctanx = W8 ,根据无穷大量的定义知，故选D.XT+oo2.【答案】C【解析】lim/(x)= limxcosx = 0, lim f (x) = lim (2x+ sn x) = 1,在 x = 0 左右极限存 x0*x0*x0-xt0- x在且lim /(x)声lim /(x),所以x = 0为跳跃间断点，故选C.XT。-10.【答案】A14x-211【解析】本题考察求“88”型极限，lim( - ,) = lim = lim =_,故a2 x

4、2 x - 4-x2x2 - 4 X2 X+2 4选A.3 .【答案】D【解析】根据可微 可导 连续的关系，知连续不一定可导，故选D4 .【答案】B【解析】本题考查高阶导数，由结论知，()= !，故选B.5 .【答案】D【解析】fXx) = = = !趣 D,Jl+x 2a/+ x 2(1 +x)4.【答案】C【解析】/一，= 1im八幻一- J/=3,所以r(1) = 6,故选C. XT1 X2-l 3(X -l)(x + l) 2.【答案】B【解析】y = x3(x-4)=/-4x3,)，=犷_12?,在(一8,-4)内 y 0 ,所以曲线在(一-4)内是凹函数，故选B.6 .【答案】C【

5、解析】根据定积分几何意义，由被积函数y=知定积分表示以121 7t原点为圆心、1为半径的上半圆面积，即4-x dx =Y，故选C. 12.【答案】B【解析】根据已知条件，由不定积分第一换元法得：J-/(lnx)6tr = J/(ln Jt)J(lnx) = F(lnx) + C ,故选 B.fWdx, C 选项:J fx)dx = f，(x),13 .【答案】A【解析】利用微积分互逆运算：B选项d(J/(x)公)二D 选项 j fx)dx = /U)+C,皿 A.14 .【答案】Bf- -【解析】平面2_r+y -3 = 0法向量 = (2,1,0), z轴方向向量s = (0,0,1),s

6、= 0 ,即平面2x + y - 3 = 0与z轴平行；代入原点，得20 + 0-3。0,即平面不经过z轴；故选B.15 .【答案】BJ 、2_2【解析】方程 + 2_ = J为椭圆锥面的方程式，故选B.ar b-c-.【答案】A,2 dxUdx2 clx02【解析】j - = j2一 + ( = ln|x| +ln|x|,不存在，即发散，故选A.XXy2017.【答案】D【解析】j (x2 + xyJa2 -x2 )dx = J x2dx- x2 dx = _ x3 +() = /,故选 D.-a-a-a303.【答案】C【解析】根据微分方程阶和线性的定义，可得fy+ y = x为一阶线性微

7、分方程，故选C.18 .【答案】B【解析】根据二阶线性微分微分方程的性质可得，y +y = 2x + 2e-x为微分方程 I 2y+y = 2x + 2eT的解；设二阶线性齐次微分方程为)，+)，= 0 ,特征方程为r+1=。，r = i ,得二阶线性齐次微分方程的通解为：y = C cosx + C2sinx,故微分方程 y + y = 2% + 2ex的通解为q cos x+ G sinx + 2x + ex,故选 B.19 .【答案】C【解析】/a, y)在点(%, %)处有一阶、二阶偏导数，且取得极小值，根据二元极值的充分条件知选项c正确，故选c.21.【答案】cdz【解析】=2x 2

8、y,dxd2 z=-2 dxdyd2zc c = 一2 ,故选 C.(L2)22 .【答案】A【解析】与1 = (2,1)同向的单位向量T = ( 2 ,一1),又因为八一1,2) = 4, 7(1,2) = -2,，er2-1故= 4 + (2) = 2 5 ,故选 A.51(2,-1)55.【答案】C【解析】由fOy3f(x,y)以:知积分区域。表达式为：L ，交换积分次序后积0 x 3 - y0 A： 0 -3 x 3【解析】定义域：0故连续区间为(-1,3).26 .【答案】3【解析】求导后奇偶性发生改变，即尸。)为偶函数，则:(2)=/(2) = 3 .27 .【答案】(el,ln(

9、e1)【解析】由题意知曲线在该点的斜率为：2= 1一 = I，所以y=l= 1，解得%=-1, e -1 e-x e-代入 y = lnx 得 y = In(e-l)；故该点(e-1, ln(e-1).28 .【答案】e1 -x(-i)(x+202l)im_t2Q21_【解析】应用第二重要极限，原式=liml +( ) X _ X一V29 .【答窠】X=l【解析 1 lim 2丁+ 1=8,故x = l为函数)，=红土垂直渐近线.X-130 .【答案】1dy dy / cl0 2cos。一2sin29dy _ 2 _ .dx dx!d0 -2sin6 +2cos2。 dx 0=Q 2.【答案】

10、一xcosx + sinx + C【解析】JxsinxtZr = -jxJcosx = -xcosx4-JcosxtZx = -xcosx + sinx + C.31 .【答案】31 、-x21 、-x2I.【解析】1 时，/(x) = max a:, 2-x = x ； xl 时，f(x) = maxx, 2-x = 2-x.j maxx,2-xdx = (2-x)dx + Jxdx = (2x-x2)-0019乙 n32 .【答案】2xcosx【解析】变限积分求导， cos = (x2)zcos x2=2xcos.dxi.【答案】（In2,4）， x -x 2 1【解析】xsR, y =4

11、e-e =，解得：x = -ln2, -oo x- In 2 , y - In 2 , y 0 ,则 y 在(一In 2, +oo)单调递增；所以 x = In 2 为极小值点，y = 4,n2+(,n2)=4- 1 + 2 = 4 ,2故极值点坐标是(-In 2, 4).33 .【答案】x + 2y-4z-4 = 0【解析】令尸(x,y,z) = e5z +孙一3 ,尸二y,n=x, Fr = e2-5 ,则曲面在(2,1,0) xyz处法向量为：=(1,2,T),切平面方程为(龙- 2) + 2()，一 l) - 4(z - ()= (),即x + 2y-4z-4 = 0.34 .【答案】

12、dzL=2dx + Sdy113. 1 )【解析】z = 2xy + y21, z? =2y , z2, =2x +,即 dz = 2 ydx + (2x + 2 y)dy ,故dz|)=2八+ 8力.38 .【答案】-2_【解析】令广=0,又因为X：,2，解得x = 则sin x3 323 239 .【答案】-44【解析】由格林公式得，(2y + /心 + J_ ,3)? = Jj(如 _ )dxdy = JJ(I -2)clxdy 1D 5XD= -dxdy = -S=-7T.二 1 40【答案】A。一身i）“ ，X G（-1，1）4411【解析】/a)= 6x + 5 (x_ 5)(x1

13、) x 5 x 1二 1 g(l-5,U ，X(T，1).三、计算题（每小题5分，共50分）.【解析】原式=lim 5x sinx = |jm 5x2 = io. zoi-cosx a-0 Lx22r&7jj.r-1/ x +3y x + 3 cix + cix + bx b.解析lim(ax +/?) = limg x -1r*x 1= lim( +m +)x + 3-b =0 ,根据有理分式结论，得1一。= 0, 。+8=0,x- sr 1.【解析】生=2 X =?, 1=1.dx 1+( x)2 2 x( + x)公 e 4 2x 2(x2 +l)-2x-2x2 - 2x2.【解析】函数

14、定义域为R ,对函数求导)，_ / 、7二41，) =,+1)2 =a+D令 y = 0 ,即2 2金=0 ,得 x = - , x= 1,I2综上所述:凹区间为(一1,1),凸区间为(一8,-1)，(L+8)；拐点(l,3 + ln2), (l,3 + ln2).【解析】令则 x = /l , dx = 3tdt,3tl dtr-l + l r2-l 11+ C = -(l + /-3(l + x)3L+31n(l + x)41)-Jc.+ C = -(l + /-3(l + x)3L+31n(l + x)41)-Jc.原式=JO = 3J-力=3(J。力+ 有 力)=300-1)力 + 匕

15、d(t+1)=3(1 r -/4-ln|/ + 241 .【解析】令 x1=/,当 x = 1, / = 2 ； x = 2 , / = 1 ；产 f (尤 _ 1)公=1/力=J (1 + /)力 + f cos 匹 /力=(f + 13)sin 勺 1 = 14 +.2-l-2-2o 232 72 0 3 X y 2 Z 1(X = t47.【解析】令= =t，则y =，+ 2，设直线x=y-2 = z l与所求直线的7 T17 1z = -t + 父点为（r,，+ 2, T +1）,过点（3, 2, 0）的所求直线的方向向量s = （/ + 3, 1 + 4, / +1）,直线 x y-

16、2 z-1- - t-1=-j= 丁的方向向量为4=（1/，一1）,又两直线垂直，所以s_Ls即s-4 = 0,则r + 3 +，+ 4 + r l=(), r = -2,所以 $=(1,2,3),故所求直线方程为1dz 2x48.【解析】=+dz 2x48.【解析】=+dzx2 x十Sx 3y 正(xy 方 3/ Jl (xy)2dz 2& 2x yx则盯_y _ =盯（一+）一（一厂+）2x2 xy23 Ji - (x&83正（孙）23y2（孙）222尸_ 町 =x 23 (xy)2I3 r31 y3149 .【解析】/=k3 =的卜加叱卜1)心=d) J= ?(e-1).213.3.5；

17、晶的2.(2.+1)50 .【解析】由比值判别法得p = lim处=lim 5+ T8 U T8133,5(2- 1)5!,133,5 (2-1),(2+1) 5nnl . 2 + l 2=lim= lim= _ 1,5田( + 1)!1335 (2-1)5(.+l) 5L3. 3-5-(2/?-1)所以哥级数zc收敛n=l3 根四、应用题（每小题7分，共14分）y 05/.【解析】(1)设切点为a ,)，)，由题意得k J，匚 上，根据导数的几何意义，00切 R () X000”。k 切=),/=一6-3 即一=-ex,解得/ = 一1,把 x0= - 1 代入 y = exR y中得儿=c

18、， xo的j = -e,所以曲线过原点的切线方程为y =-ex.(2)由(1)得，切线与曲线交点为(-1,6)即1/= (67)2-(一勿)2公=万(一1 e2x0 - le2x ) = 7Tl 2- 1 ).L2 t 3-(62.【解析】由题知，F = k,，将10, v = 100,尸=2代入得上= 20,则尸=竺，又VVF = ia ,所以在= 28,解得才=20+。，将，=1(), u = 100 代入得 C= 8000 ,则 dt vv2=20r2+8000,将1 = 30代入得d =26000, v = 726000 = 20 65 161 .五、证明题(每小题6分，共6分).【解

19、析】己知 /(x) = 2x3- 6x +。，/(x) = 6x2- 6 = 6(x2-1),在区间1,1上ff(x) +8时，下列变量不是无穷大量的是()x2 + lA.V2?+4IgxC. 31D. arctan xsin x 八2x +, x0IX：4JW=x 0，且 fn (x,y)0 xr0000xy 00xr00Dja,y)/”(x,y)-(,y)f0,且广a,y)0) =_.33 .函数y = 4ex + ex的极值点坐标是.曲面疝一 5z +肛=3在点(2/,0)处切平面方程是.34 .设二元函数z = 2xy + y2,则dz, n =一.函数y = In sin x在区间产

20、 之力上满足罗尔定理的 的值是 9T 3 335 .L为正向圆周(x-1)2 +)尸=4,(2y + x3)dx + (x-y3)dy =,436 .将函数/(x) = 展开为x的幕级数为.x 6x +5三、计算题(每小题5分，共50分)ln(l+ 5x sin x)1-cosx1-cosx37 .求极限limxtOx+ 3.若极限lim（-*+ /?） = 0,求。/的值.18 X-1.设函数y = arctan,求色及空.dx区岛44.求曲线），= 3 + ln（d+i）的拐点及凹凸区间.45 .计算不定积分!一dx . J 力+1 4-1 ,71.设f2/(x-l)tr.l + fo l

21、x y-2 z-146 .过点(-3,-2,0)且与直线L:_ =_ 垂直相交的直线方程.1 1 -1v-28z 2 Sz47 .设二元函数 z 二 一 一 arcsin(xy),求盯一 一) ：3ydx 5y.计算二重积分/= ey,其中积分区域。由直线丁 二工，y = 0, x = 3围成.L335 2 5。.判断级数Z 一一：-的收敛性.M=f 5 fl.四、应用题（每小题7分，共14分）.过坐标原点作曲线），=中、的切线，求：（1）该切线的方程；（2）由曲线、切线及y轴所围成的平面图形绕工轴旋转一周而成的旋转体的体积.51 .质量为1g的质点受外力作用作直线运动，该外力和时间成正比，与质点运动的速度成反比.在/ = 10s时，速度u = 100cm/s,外力/= 2gcm/s-问，= 30sU寸，质点的速度是多少?（65P8.062,计算结果取整数，注：尸=?。，。为加速度）五、证明题（每小题6分，共6分）