2022年 专升本《高数》真题及答案解析.docx

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1、2022年河南省普通高等专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号1.四五总分本卷须知：答题前：考生务必将自己的、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效选题分析：易（67分）中（64分）难（19分）选择：1/2/3/4/5/6/7/8/13/14/15 /16/17/18/19/20/21/23/24 /26/27填空：31/32/33/35/36计算：41/42/43应用：证明：选择： 9/10/11/12/22/25/28 填空： 34/37/38/39/40 计算： 44/47/48/49 应用：51/52 证明：53选择： 29/30 填空：

2、计算： 45/46/50 应用： 证明：-9-lim.似5 lim卜三lim二lim -噎-1 ,“=lim伙.limxx-O- xx-0xx-0- xx-0 xx-O- *xx-0- xxxxO+ xx- xx-O+ xx-00lim吧=lim”%1,函数/的枢向左右导数均存在但不相等，故函数脩燧在点2彷。处不可导. xx-0+ XX xx-o+ XX本题选C. 12.【答案】B【解析】/(xx) = cosxx,那勾f () = -sinrr.由罗尔定理,得解 G (0,2tt),使得f =0, BP-sin=0.由sin = 0且 G (0,2tt),得 = n.此题选B.13 .【答案

3、】A【解析】由工伸(一 5,0), /f(xx) 0,得8(0, 3)上单调增加./瞅8在(-8, 3)连续，故/98在x/40处取得极小值.此 题选A.14 .【答案】C【解析】由不领(颂,力8 ff(xx)8=2+欢5,得yy = 5xx4, yy = 20加3.令yy = 0,解得xg= 0.当x酱0时，y/ 0；当XgC0时，yy V-0.故(0,y赧0),即(0,2)为曲线的拐点.此题选A.16 .【答案】B【解析】由函数F的神/叙锵的一个原函数，得/翎8Mx舱/的8+CC.故不定积分J鎏了的2x领 +CC.此题选B.17 .【答案】D【解析】由广然，in 舲由3得(x8= xgin

4、也此题选D.18 .【答案】B【解析】令小的8= xx4 sin/田，I勺定义域为-。觎锦即定义域关于原点对称，且/协X-= (-x舲 sin(-x=加4(- sin x= -xx sin所以/翎超= xrsin n是一锦的上奇函数.由奇函数在对称区间上的定积分为0得皿.小山工舱也40.此题选B.19 .【答案】A析】当04限41时，。2N无炉（等号只在端点处成立），故广工2dd秋jijcHddx%,即本题选A. 20.【答案】A 【解析】由定积分的几何意义知，所求平面图形的面积S舲巧翎。血戏.此题选A.1【答案】c【解析】对于选项C, yy = sin戏cosyy可写为皿= sinxxcos

5、yy,别离变量，得出四 =sinxidxx. 其ddxxcos dd余三个选项都不可进行别离.此题选C.22 .【答案】D【解析】y/a=ee2% 那么W = 2ee2x, yyn = 4ee2xx,代入微分方程yy-5yy + aay/=0,得4ee -5 2。加 + aaee2xx = 0, BJee2xx(4 - 10 + aa) = 0.因为ee2* 工 0* 所以4 - 10 +0,即6 =0,解得。妗6.此题选D.23 .【答案】D【解析】向量的方向角必须满足CCCCCC2a/鼾CCCCCC2/?鼾CCCCCC2y-*1.对于A选项，cccccc2 _ CCCCCC2 叫442 i

6、TT ,7 W .2 nn+ cccccc + acccc -43=22 iTT ,7 W .2 nn+ cccccc + acccc -43=2翻砥2?=(0( +(J2f +(J3f =7。1,选项a错误；对于B选项, 62 2 2 JCCCCCC-422； 土加2： 上画父=m+号)2 + d) + (0)2 =31,选项b错误；对于C选项, CCCCCC4(孑+耳 =5工1,选项c错误；对于D选项， 2；+谢2；+函2；=(1/ +什+CCCCCC492=1,选项D正确.此题选D.24 .【答案】D【解析】由zz = 2M + 3硼-淤得邈:铀+ 3m*=3.此题选D.ddxxddxx

7、dddd25 .【答案】A【解析】设长方氤M扇长为一，宽坳勒，那么高为m,故水箱的外表积Sg 2x3 +ixddxxdd理彰/7 = 2xxy- 54 + -一 得唯一驻点3 由于实际问题最值一定存在,加ddd xx 加朋 _ 2xx _= Q3,dddddd2 那么最小外表积S8= 2 x 3 x 3 + 54+ 54= 54m2.此题选A.33.【答案】A解析】Jf 3dxdy = 3,dxdy = & = 3(n - 42 - I2) = 45况此题选A.,27.【答案】A【解析】改变积分区域，得“28.【答案】B./(x, y)4r=她，砌以2/幅例8闻戏.此题选A.【解析】直线段3然

8、勺方程为y= 1 ,故J (x + y)ds = J1 + (-1)2 ddxfy= V2 ddx=loo=，2.此题选B,o29.【答案】B【解析】选项A, Zn=l【解析】选项A, Zn=l（一1） =Z发散，选项A错误；选项Ru3，i +11收敛，因为_2_ = lim-7n- = 8 n ”力 3 Jnq 一 I选项C错误；选项D,选项C错误；选项D,之严n=产一.仃 _8_7171 -D sin _ = sin _ Z_ 发散, =11/n=i n散,因为lim ( +1)! = ijm 2(n+l)2)“T8 U n-2”2因为lim ( +1)! = ijm 2(n+l)2)“T

9、8 U n-2”2nl .n2 +2n+1= hm f5+1)!2-=lim 2” = oo 1 , n +1 mg n +1n选项D错误.此题选B.30.【答案】Ci解析选项A,令 =，1也 =Hm =0us 1z厂z-=1 =1 发散，选项A错误；选项B,cococo令/ =（_1），Z=Z（T）的局部和数列有界，但Z（T）发散，选项B错误；选项C, =1n=1=1由绝对收敛的定义可得到，选项C正确；选项D,令 =（T） L 8 8 1，,“-zu=z一发散，但H 71=1=1 CO8收敛，选项D错误；此题选C.n=m=I二、填空题（每题2分，共20分）31. 【答案】xgl【解析】由得交

10、换如yy的位置，得/0k育勺反函数为 y让卅1.32.【答案】0【解析】由lim $舲=lim上 = O,得为rm 8时的无穷小量.又sin8加f 1为有界变 TI-TIsst8 3ss2+1 SS8 3+!3ss2+1nn4量，故lim s* sin Vnn2 + 1 = 0. +1SST8 3ss2 + 1.【答案】可去【解析】由lim-limQ3D = 2/，)= l,得%让 1是/幅被I勺可去间断点 xx-lxx-l.【答案】0.01Or 1 /Wx) = In XX, ffxx) =1 =2=01,由/公神 Ax%)kffa，An +XX o0o0/- 1.01) X /r(l) -

11、 0.01 + /如1) = 1 0.01 + 0 = 0.01.33 .【答案】1 sin(3x+2) + CC3【解析】J cos(3xF 2) dd/加 1 J cos(3xF 2)2) = 1 sin(3xl- 2) 4- CC.36.【答案】2【解析】：r阳IXX XT33f0 sin2 ddxx = 2 sin 2 dd0) = -2cos2 |o = -2(0 - 1) = 2.d 号+ yy2)37 .【答案】ddxgdd”【解 析】zz = ln(xx2+yy2) M 边求微分，W ddzz = dn(xx2 4-yy2) =1 n2+y2一口脩的+0阳XX 卅 ddz锵=2

12、xxddx2dddddd 故(1,1)= ddF ddyy.xx2+dd2.【答。工【解析】向量(3,4,1)的模为今3)2+ 42+M = .6,故与向量(3,4,1)平行的单位向量是+(-3 4 ,1).426 V26 V26.【答案】y8Hn(eexx + C核，其中CC为任意常数【解析】微分方程W二矿也可写为继=。泮别离变量，得e型ddyy = edd,两边积分，得比时=e + ddxx ee)yCC,即微分方程w =然-y的通解为yy = InQ” + CC),其中CC为任意常数.38 .【答案】1【解析】由%01抑8D2s*31p4萨lim。dim。=lim#一。1，得基级数的收敛

13、半径RR= 一 = 1.朕S尸 3力*1SST82s31叩三、计算题（每题5分，共50分）41.【答案】eexx-O42.【答案】2xx-O【解析】lim(l + sinxr)/=lim|(l + sinn)sin%x s,nxx xx - ed腐噎=ee.2(刈,/ 11,(M【解析】yy = J g)-2.(刈=.22xx).【答案】，ln(%2 + i)+ cc2【解析】d诲 Al) 12扁 5 / - 2+1 - 24n (双 +D + CC.【答案】1【解析】令Vxxtt 那么在枇8%dd&x = J】tte/tddtt = f1ttddeett = tteettli-f1eettd

14、dtt = ee-eettl1=ee-ooo0 o0(e3 1) = 1.43 .【答案】=2=29710【解析】所求直线的方向向量为73-4-11。= 9f+ 77+ lOf = (9,7,10).又直线过点-2(121),故所求直线方程为u =971044 .【答案】-_ddy ddxf 出y2项2中【解析】方程%X2 + yy2 + zz2 - 4z-能0两边求微分，得d/$O：2)十日/电y2)+d-觎Z?)-d 伸 z，=0,2xxddxh 2yyddyh 2zzddz- 4ddz 0 (2z- -2xxddx- 2yyddyy 解峋丫僦杨妗立2-z2-z.【答案】TTe4 解【解析

15、】令6cos Q 4 汗 s 2, 8 加)，IP Jj ex + dxdy = f2nn ddd0 f2 er2 - rr ddrr = 1 y= 丁8o i2sin 08D 2222n J een dd(rr2) =|2 = n(ee4-ee).ii,而其。为,而其。为48.【答案】四+2领 其中CC为任意常数 XX【解析】所求方程的通解为疗=痣心打任意常数.n49.【答案】（0,2）dxx +。赧 3 J xx-dxx +。曾J /也8、选择题（每题2分，共60分）在每题的四个备选答案中选一个正确答案,I1.函数/（x） = x,那么/（ -）1=（） X2A.XB.X在每题的四个备选答

16、案中选一个正确答案,I1.函数/（x） = x,那么/（ -）1=（） X2A.XB.X用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.1C.一x2 .函数/，那么是（）.3 .函数/，那么是（）.A.奇函数C.非奇非偶函数B.偶函数D.无法判断4 .函数f（X）= X2 ,加么/（X）的定义域是（）.A. (0,+oo)B.0,+8)C. (-00,0)D.(-oo,0sin(/nx)5 .极限lim = 2 ,那么可确定2的值是().I。 XIB.2C,2D.0A.0假设 2a-cosxq 2B.1公，那么可确定。的值一定是（）.1c. 一21D.-21B. lim.才-ID. limXT+8A.

17、q = 1时，/Q）必然连续B. = 0时，/（X）必然连续C. = l时，/（x）不连续D.q = 1时，/（x）必然连续6.以下极限存在的是( X+lA. lim.SO%2C. lim Ltz sin x八x w f）x 那么在点x = 0处，以下结论正确的选项是（）.l,x = 0,工解析】由pp= limL= lim(3：/= lim ;妗1,得收敛半径RR = ： = 1.那么1 V vnn J$T8 flflt$T8(T)SS-KD 、蝌pp1 1x- 11,即0 x-* 2.故事级数的收敛区间为(0,2).50.【答案】一1,%幅(一 1,1) (If 核 2【解析】由Isg l

18、1P验崛。吧”/1，得收敛半径R-= 1.那么累级数的收敛区间为回4名).当%一1时，级数(-l)ssTzm发散；当%时，级 而发散.故暴级数的收敛-S瑜 12828域为(-1,1) .设 S的ngsT , x-E (1,1).那么 S筋&皿就$T =(给斯丁二=?8(工8 xxss - 1); = ( 1 _ 1)=(旅 y =l-xxrx.(-1)= 1 ,(-1,1).。l-xx1-XXJ (1-48-(1-工线2)2四、应用题(每题7分，共14分)51. 【答案】1【解析】当yy = MJ寸，打=1.故所求平面图形的面积为* =广6配n)dxD乩=(?苗- (0 - 1) = 1.52

19、 .【答案】37500辆【解析】公司的利润= R箭s) - Ccx) = 350xx - 0.004xx2 - 40000 - 200xx +0.002x%2 = 150xx-0.002x%2-40000 , Lr(xx) = 150-0.004x4LLz(xx) = 0 ,得唯一驻点 x* 37500.又LLn(x =-0,004 0,所以%，= 37500是的极大值点，唯一极大值点即为最大值点.故生产 37500辆自行车时，公司的利润最大.五、证明题(每题6分，共6分).【答案】见解析【解析】令尸一%) = XX11 -XX7 - XX3 + XX, 由条件知尸1) = 0, 乂F依(0)

20、 = 0.因为产赧%的在 0,1上连续，在(0,1)内可导，且FF(0) = FF(l) = 0,所以由罗尔定理可知，(0,1),使得FF(W) = 0.1062而FF(%x) = llxN0-7xx6-3；a：2 + L 那么11 一 7& 3旧 +1=0，故方程 11%/-7x/-3xN + 1 = 0必有一个小于1的正根.-3-x- sinx8.极限lim的值是().I。sin x1 1A.-B.-63c.oD.oo9.函数/O) =(X-Q)g(x),其中g(x)在点X = 4处可导，那么.A.OB. gm)c. g(a)D. faA.-1A.-110 .曲线/(X)= f与g(x)

21、= V ,当它们的切线相互垂直时，自变量X的值应为().1C.-6.函数/(x)=x, |哪么该函数/(X)在点x = 0处().A.连续且可导B.不连续C.连续但不可导D.左右导数均不存在.函数/(x) = cosx在闭区间0,2加上满足罗尔定理，那么在开区间(0,2万)内使得等式八。)=0成立的4值是().兀A._B.C.O0.2712.函数在领域( b)内连续，当XE(3,0)时，f(X)0 ,那么在领域(5,5)内().A./(0)是极小值c./(0)不是极值c./(0)不是极值D./(0)是最大值14.函数f(x)在开区间(。*)内有:F(X)VO且尸任)0,那么在开区间3/)内，/

22、(x)是().B.单调递增且形状为凸D.单调递增且形状为凹A.单调递减且形状为凸C.单调递减旦形状为凹.曲线)，=2 + /，那么该曲线的拐点(占)，)=().A.(0, 2)B. 1, 3) C.(0, 0)D. (-1, 1).尸(X)是/(X)的一个原函数，那么不定积分J/(2x)dx=().A 1 F(x) + CB, 1 F (2x) +C22C. F(x) + CD. F(2x) + C.函数/(1) = Si：/力，那么/(X)= 1).AsinxB. x cosx C -xcosx D. x sinx.函数/(x)在闭区间-4,上连续，那么定积分asnxdx=(). J-aA.

23、-lB.OC.lD.不确定.定积分/1=卜八，I 2 = dx ,那么有().A. I2B. /( = I2 C. /) /2 D. 不确定21.以下微分方程，那么可进行别离变量的是（）.A.xy-3y = sinxB. (x - y cos x)dy + (y + x2 )dx = 0C. y= sin xcosyD. y= sin xcosyE. yy -4y + 2x = 0.微分方程y-5），+），= 0的一个解为/，那么常数。=（）.A.4B.3C.5D.6.以下各组角中，可以作为向量的一组方向角的是（）.三兀71n71 71AJ46B.4,3,271 71 7171 71 71c.

24、 4，34D. 4，3 3、，o2 衣.函数z = 2厂 +3，-y , 那么 =（）. dxdyA-2B.2C.6D.3.某公司要用铁板做成一个容积为27 m3的有盖长方体水箱，为使用料最省，那么该水箱的最小外表积应为（）A.54m226.平面区域D：B.27m2C.9m2D. 6m21 x2 +)r037 .函数/(x)为可导函数，且/(x)w0,求函数y= J/(x)的导数.xdx.计算不定积分J -T38 .计第定积分由ye爪d j.2x-4y + z = 0.求过点A(l,2,l)且与直线L：平行的直线方程.3x-y-2z =9.函数Z = f(X,)，)由方程/ + y2 + z2

25、_4z = 0所确定，求全微分dz .47.计算二重积分exdxdy,其中。是环形域1 K/十,2 4 4 .48 .求微分方程y +上=的通解. X X.求鬲级数Z（-l） Z上工的收敛区间.8.求级数2谓一1的和函数. n=l四、应用题（每题7分,共14分）.计算由曲线x = （）, y = e1 y = e所围成的平面图形的面积.49 .某公司主营业务是生产自行车，而且产销平衡，公司的本钱函数C（x） = 40000 + 200x- 0.002x2,收入函数 /?（x） = 350x-0.004%2,那么生产多少辆自行 车时，公司的利润最大五、证明题（每题6分，共6分）.方程 /一/一V

26、 +工=。有一正根工=1 .证明：方程3f+ 1 =0必有一个小 于1的正根.2022辆解奥聘鞘靴的郴酸潴高等数学【参考答案】-懒僦2人共60分）在每题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.1.【答案】C【解析】由/（双） = xx,得/xb三1甲&）二:.此题选C.2.【答案】B【解析】函数/98二欢8一。的定义域为RR （即定义域关于原点对称），且（_%舱 =XX8 -叉妙=fg 故/的8g偶函数,此题选B.3.【答案】B1 _,【解析】由/7(xr)=五2 = Vxx,得xx NO,即/(xx)的定义域是0,+8).此题选B.4 .【答案】B【解析】li

27、msin(M)=mm = 2.此题选B.xx-0 x xx-+O ix.【答案】C 1【解析】S2aa cosxxxx2(xx-0), lim(2aa-cosxx) =,即2qq1=0,解得aa =2xx-0xx-0 2L此题选C. 2.【答案】A【解析】对于选项A,福艺 =lim&* = 0极限存在，选项A正确；对于选项B,血 = xx-*oo xx2 %x-co 1xx-0 2-18极限不存在，选项B错误；对于选项C, lim 1_= 8极限不存在，选项C错误；对于选项D, XXI。XXlim 多2 = Hm + 2 = 8极限不存在，选项D错误.此题选A. xxt8 xx xxtsH.【

28、答案】A【解析】lim f的8二lim 3由逢之同如丝。瑜 /魏)=1,要使函数/能8在工8= 0 处连续，那么一xx-0xx-*O x xxQxxx1面/彼8=/70)，即.故。忻1时，/必然连续.此题选a. XXT。6 .【答案】A_【解析】lim皿管=1而 皿产=lim j。；* = limL此题选A.XI-*O ss3xx xxtO XX3 rx-o 3xrxx-0 3xx2 6.【答案】C解析由g/飘在点x妗 aa处可导，得g/歙8在点工土皿处连续，即lim g飘瑜二g领国 故 ff(ag=xxaalim ”(狗-3)= lim 3-砌如(吁 = lim 心=gg0).此题选 C. xx-aa xx-arx-axx-axx-aaaaa.【答案】B【解析】由/6汇)二以2, 9ao)=以3,得/(n) = 2xx, gg (xx) = 3x/.两曲线的切线相互垂直， 那么 /(戏)gg (双)二一1,即2戏3咫211【答案】C=-1,解得通X以供此题选B.(解析】由 lim/(xx) = lim|xx| = 0 = /(O),得函数 /(xx)在点以=0 处连续. g(O)= xx-OxxtO