专题5 函数的极值与导数基础知识与典型例题（解析版）-2021年高考数学导数中必考知识专练.doc

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1、专题5：函数的极值与导数基础知识与典型例题（解析版）函数的极值与其导数的关系：1.极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。求极值的步骤：第一步：求导数；第二步：求方程的所有实根；第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，若的符号由正变负，则是极大值；若的符号由负变正，则是极小值；若的符号不变，则不是极值，不是极值点。1已知函数.（1）求的单调区间；（2）求函数的极值；(要列表).1

2、（1）增区间为，减区间为；（2）极大值为，极小值为.【分析】（1）求导数，根据导数的正负确定函数的单调区间；（2）根据导数的正负列表，从而判断极大极小值，代入求值即可.【详解】（1），设可得或.当时，或；当时，所以的单调增区间为，单调减区间为：.（2）由（1）可得，当变化时，的变化情况如下表：当时，有极大值，并且极大值为当时，有极小值，并且极小值为.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间和极值，属于基础题.2已知函数,（1）计算函数的导数的表达式;（2）求函数的值域.2（1）;（2）.【分析】（1）根据导数的运算法则求导即可;（2）根据,可得,函数在上是单调增函数,求出极大、极小值即可得出值

3、域.【详解】解: （1）因为,所以.故函数的导数;（2）,函数在上是单调增函数,所以,所以;故函数的值域为.【点睛】本题考查函数的导数的求法,以及利用导数求函数的值域,是基础题.3已知函数与函数在处有公共的切线.（1）求实数a，b的值；（2）记，求的极值.3（1），（2）极大值为；无极小值【分析】（1）分别对，求导，然后根据题意可得，即可求解a，b的值；（2）根据（1）可知函数的解析式，然后求导，列出，的变化情况表，根据函数单调性即可求解.【详解】（1），由题意得，解得，.（2），的变化情况如下表：x0+0-极大值由表可知，的极大值为，无极小值.【点睛】本题主要考查导数的几何意义及函数的极值，

4、注意认真计算，规范书写，属基础题.4已知函数在处取得极小值，求的极大值.4见解析.【解析】分析：由题可得1是极值点故1是导函数的解.而 ，由，解得或.从而可求得c，即可得出f（x）的极大值.详解：因为，所以 ，由，解得或.依题意，1是的较大零点，所以，所以当时，取得极大值.点睛：考查导函数得极值点和极值的判断，对题意的正确理解和计算正确是解题关键，属于基础题.5求函数的单调区间、极值.5见解析【解析】分析：，令0，可得函数的单调增区间；令0，可得函数的单调减区间，从而可的函数f（x）的极大值点与极小值点详解： 令 或 单增区间为 单减区间为极大值极小值点睛：本题考查导数知识的简单应用，考查函数

5、的单调性与极值，正确求导是关键，属于基础题6已知函数f(x)x33x29x11.(1)写出函数f(x)的递减区间；(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值(要列表求)6（1）f（x）的递减区间为(1,3).；（2）【解析】分析：（1）令导函数小于零解不等式的解集即为递减区间；（2）根据单调性即可得出极值.详解：f(x)3x26x93(x1)(x3)，令f(x)0，得x11，x23.x变化时，f(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)增极大值f(1)减极小值f(3)增（1）由上可知f（x）的递减区间为(1,3).（2）根

6、据表格可得：点睛：考查导函数在函数中的应用，单调区间的求法和极值的判定，熟悉导函数简单应用即可,属于基础题.7已知函数,当x = -1时取得极大值7，当x = 3时取得极小值；(1)求的值；（2）求的极小值7(1);(2)-25【解析】分析：（1）由题可知函数的极值点为-1,3，故-1,3为导函数等于零的解（2）由（1）可得在3处取极小值，代入原方程求解即可.解：f(x) = x3+ ax2+bx + c ,f (x) = 3x2+2ax +b （2分）当x =- 1 时函数取得极大值7，当x = 3时取得极小值x =- 1 和x = 3是方程f (x)=0的两根，有， f(x) = x3 3

7、x2 9x + c（6分）当x = -1时，函数取极大值7，( - 1 )3 3( - 1 )2 9( - 1) + c = 7,c = 2（9分）此时函数f(x)的极小值为：f（3）= 33- 332- 932 =- 25（12分）点睛：本题主要考察对极值点的定义理解，极值点一定是导函数得零点即方程的根，然后将极值点代入原函数即得对应的极值.属于简单题8已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值.8（1）；（2）函数的单调增区间为，；减区间为；极大值，极小值.【分析】（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）求出函数的极值点，列表分析函数的单调性以及导

8、数符号的变化，即可得出函数的单调区间和极值.【详解】解：（1）因为，所以当时，所以曲线在点处的切线过点，斜率为所以切线方程为，即.（2）函数的定义域为令得，增极大值减极小值增所以函数的单调增区间为，；减区间为当时，函数有极大值，当时，函数有极小值，.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的单调区间和极值，考查计算能力，属于基础题.9设函数，其中，均为常数，曲线在处的切线方程为.（1）求，的值；（2）求函数的极值.9（1），；（2）极小值为0，极大值为.【分析】（1）由导数的几何意义可得，再由点在切线上即可得解；（2）利用导数确定函数的单调性，结合极值的概念即可得解

9、.【详解】（1）因为，切线的斜率为，所以，又，所以， 所以，由点在直线上，可得，即，所以；（2）由（1）得，则，当 时，；当 时，；所以的单调增区间为，减区间为，所以函数的极小值为，极大值为.10已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.（1）求的值；（2）求函数的极值.10（1）；（2）极大值为，极小值为.【分析】（1）首先求出，利用导数的几何意义可知，代入即可求解.（2）由（1）可求出，再令求出单调递减区间，求出单调递增区间，再根据极值的定义即可求解.【详解】解：（1），在点处的切线平行于直线，；（2）由（1）可得，令得或，列表如下：3+00+极大值极小值极大值为，极小值为.【点睛】本题考查了导数的几何意义求参数值、利用导数研究函数的极值，解题的关键是求出导函数，属于基础题.11原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！