专题18 圆锥曲线全国卷高考真题解答题24道（解析版）-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练.doc

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1、专题18：圆锥曲线全国卷高考真题解答题24道（解析版）一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或.【分析】（1）可设，然后求出A，B两点处的切线方程，比如：，又因为也有类似的形式，从而求出带参数直线方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线方程和抛物线方程联立，再通过为线段的中点，得出的值，从而求出坐标和的值，分别为点到直线的距离

2、，则，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设,则又因为，所以.则切线DA的斜率为，故，整理得.设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，当时等式恒成立所以直线恒过定点.（2）由（1）得直线的方程为.由，可得，于是.设分别为点到直线的距离，则.因此，四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点，则，由于，而，与向量平行，所以，解得或.当时，；当时因此，四边形的面积为3或.【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以思路较为清晰，但计算量不小22019年全国统一高考数学试卷（理科

3、）（新课标）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设直线：，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.【详解】（1）设直线方程为：，由抛物线焦半径公式可知： 联立得：则 ，解得：直线的方程为：，即：（2）设，则可设直线方程为：联立得：则 ， ， 则【点睛】本题考查抛物线的几何

4、性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.32014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标）已知点A(0，2)，椭圆E： (ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求

5、得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，所以，. 又解得，所以椭圆的方程为.（2）解：设由题意可设直线的方程为：，联立消去得，当，所以，即或时.所以点到直线的距离所以，设，则，当且仅当，即，解得时取等号，满足所以的面积最大时直线的方程为：或.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转

6、化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.42015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为（）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由【答案】（）详见解析；（）能，或【解析】试题分析：（1）设直线，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线的斜率，再表示；（2）第一步由 ()得的方程为设

7、点的横坐标为，直线与椭圆方程联立求点的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足，的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线，由得， 直线的斜率，即即直线的斜率与的斜率的乘积为定值 （2）四边形能为平行四边形直线过点，不过原点且与有两个交点的充要条件是，由 ()得的方程为设点的横坐标为由得，即将点的坐标代入直线的方程得，因此四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即解得， ，当的斜率为或时，四边形为平行四边形 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜

8、率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.52015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标带解析）在直角坐标系中，曲线C：y=与直线交与M,N两点，（）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由.【答案】（

9、）或（）存在【详解】试题分析：（）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.试题解析：（）由题设可得，或，.，故在=处的导数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的导数值为-，C在处的切线方程为，即.故所求切线方程为或.（）存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为复合题意得点，直线PM，PN的斜率分别为.将代入C得方程整理得.=.当时，有=0，则直线PM的

10、倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPM=OPN，所以符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力62016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点（）若在线段上，是的中点，证明；（）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（）见解析；（）【解析】试题分析：设 的方程为（1）由在线段上 ，又 ；（2）设与轴的交点为 （舍去），设满足条件的的中点为当与轴不垂直时 当与轴垂直时 与重合所求轨迹方程为试题解析：由题设，设，则，且记过两点的直线为，则的方程为3分（1）由于在线段上，故，

11、记的斜率为的斜率为，则，所以5分（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），设满足条件的的中点为当与轴不垂直时，由可得而，所以当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为12分考点：1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法72016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k （k 0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA（）当t=4，时，求AMN的面积；（）当时，求k的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（）设，写出A点坐标，并求直线的

12、方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由及t的取值范围求的取值范围.试题解析：（）设，则由题意知，当时，的方程为，.由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或，所以.因此的面积.（）由题意，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系 【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解82016年全

13、国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】()答案见解析；().【解析】试题分析：（）利用椭圆定义求方程；（）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值。试题解析：（）因为，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（）当与轴不垂直时，设的方程为，.由得.则，.

14、所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时，其方程为，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.【考点】圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.92017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P

15、满足.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.【答案】（1）；（2）见解析.【详解】（1）设P（x，y），M（）,则N（），由得.因为M（）在C上，所以.因此点P的轨迹为.由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则，.由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定

16、值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.102018年全国卷理数高考试题文已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且证明：，成等差数列，并求该数列的公差【答案】（1）（2）或【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明（2）解出m,进而求出点P的坐标，得到,再由两点间距离公式表示出，得到直的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解详解：（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，

17、从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.将代入得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入解得.所以该数列的公差为或.点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得到,求出m得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较大112017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（）求C的方程；（）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线

18、P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.【答案】(1) .(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P

19、2在C上.因此，解得.故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，欲使l：，即，所以l过定点（2，）点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告

20、知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.122018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点， （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程【答案】(1) y=x1,(2)或【详解】分析：(1)根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程；（2）先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.详解：（1）由题意得F（1，0），l的

21、方程为y=k（x1）（k0）设A（x1，y1），B（x2，y2）由得 ，故所以由题设知，解得k=1（舍去），k=1因此l的方程为y=x1（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值132018年全

22、国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.【答案】（1）的方程为或；（2）证明见解析.【分析】（1）首先根据与轴垂直，且过点，求得直线的方程为，代入椭圆方程求得点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；（2）分直线与轴重合、与轴垂直、与轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.【详解】（1）由已知得，l的方程为.由已知可得，点的坐标为或.所以的方程为或.（2）当与轴重合时，.当与轴垂直时，为的垂直平分

23、线，所以.当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，则，直线、的斜率之和为.由得.将代入得.所以，.则.从而，故、的倾斜角互补，所以.综上，.【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.142018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷）设抛物线，点，过点

24、的直线与交于，两点（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：【答案】（1）或；（2）见解析.【分析】（1）首先根据与轴垂直，且过点，求得直线的方程为，代入抛物线方程求得点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；（2）设直线的方程为，点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线、的斜率之和为零，从而得出所证结论成立.【详解】（1）当与轴垂直时，的方程为，可得的坐标为或所以直线的方程为或；（2）设的方程为，、，由，得，可知，直线、的斜率之和为，所以，可知、的倾斜角互补，所以.综上，.【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两

25、点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.152018年全国卷文数高考试题已知斜率为的直线与椭圆交于，两点线段的中点为（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且证明：【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【详解】分析：（1）设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明（2）先求出点P的坐标，解出m，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程由

26、韦达定理进行求解详解：（1）设，则，两式相减，并由得由题设知，于是由题设得，故（2）由题意得F（1，0）设，则由（1）及题设得，又点P在C上，所以，从而，于是同理所以故点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得求出m，得到,再有两点间距离公式表示出，考查了学生的计算能力，难度较大162017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）设、为曲线：上两点，与的横坐标之和为（1）求直线的斜率；（2）为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由直线斜率公式可得的斜率，再根据与的横坐标之

27、和为4，得的斜率；（2）先根据导数几何意义得点坐标，再根据直角三角形性质得，（的中点为），设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用两点间距离公式以及弦长公式可得关系式，解得.即得直线的方程为.【详解】（1）设，则，于是直线AB的斜率；（2）由，得.设，由题设知，解得，于是.设直线的方程为，故线段的中点为，.将代入得. 当，即时，.从而. 由题设知，即，解得.所以直线的方程为.【点睛】本题考查直线斜率的计算，同时也考查了切线方程以及两直线垂直关系的转化，对于两直线垂直，一般转化为斜率之积为（两直线斜率都存在时）或两向量数量积为零来处理，考查运算求解能力，属于中等题.172017年全国普通高等学校招

28、生统一考试文科数学（新课标2卷）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.【答案】（1）；（2）见解析.【详解】（1）设P（x，y），M（）,则N（），由得.因为M（）在C上，所以.因此点P的轨迹为.由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则，.由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什

29、么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.182017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现ACBC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）设，由ACBC得；由根与系数的关系得，矛盾，所以不存在；（2）求出过A，B

30、，C三点的圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程，再利用垂径定理求弦长.试题解析：（1）不能出现ACBC的情况，理由如下：设,则满足，所以.又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现ACBC的情况.（2）BC的中点坐标为（），可得BC的中垂线方程为.由（1）可得，所以AB的中垂线方程为.联立又，可得所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（），半径故圆在y轴上截得的弦长为，即过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【名师点睛】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形代数方法：运用根与系数的关

31、系及弦长公式：；(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题19（2016新课标全国卷文科）在直角坐标系中，直线l:y=t(t0)交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.（）求；（）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.【答案】（1）2；（2）没有.【分析】（）先确定的方程为，代入整理得，解得，因此，所以为的中点，即.（）直线的方程为，与联立得，解得，即直线与只有一个公共点，即可得出结论.【详解】（）由已知得.又为关于点的对称点，故的方程为，代入整理得，解得，因此，所以为的中点，即.（）直线与除以外没有其它

32、公共点. 理由如下：直线的方程为，即，代入，得，解得，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点.【点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.202015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标）已知椭圆的离心率为，点在上（1）求的方程（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两

33、个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.【答案】（1） （2）【解析】试题分析：（）由 求得,由此可得C的方程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是.试题解析：解：（）由题意有 解得,所以椭圆C的方程为.（）设直线,把代入得故 于是直线OM的斜率 即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.212019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为.（1）证明：直线过定点：（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程.【答案】(1

34、)见详解；(2) 或.【解析】【分析】（1）可设，然后求出A，B两点处的切线方程，比如：，又因为也有类似的形式，从而求出带参数直线方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线方程和抛物线方程联立，再通过为线段的中点，得出的值，从而求出坐标和的值，最后求出圆的方程.【详解】(1)证明：设,则又因为，所以.则切线DA的斜率为，故，整理得.设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，当时等式恒成立所以直线恒过定点.(2)由(1)得直线方程为，和抛物线方程联立得：化简得.于是,设为线段的中点，则由于，而,与向量平行，所以，解得或.当时，所求圆

35、的方程为;当时，或，所求圆的方程为. 所以圆的方程为或.【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以.思路较为清晰，但计算量不小.222014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国卷带解析）设， 分别是椭圆： 的左、右焦点， 是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为.（1）若直线的斜率为，求的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，求， .【答案】（1）的离心率为；（2）， .【解析】试题分析：（1）根据点M在椭圆上，并且与轴垂直，得到点M的坐标，,再结合椭圆基本关系式，转化为关于a,c的齐次方程，两边同时除以，即可求得离心率；（2）根

36、据中位线的几何关系，可得，又根据条件,可求得点N的坐标，而点N在椭圆上，代入椭圆方程，再结合椭圆基本关系式，即可求得椭圆方程.试题解析：（1）记，则，由题设可知，则，；（2）记直线与轴的交点为，则，将的坐标代入椭圆方程得由及得，故所求椭圆的方程为考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.232014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标）已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积【答案】（1）;（2）的方程为;的面积为.【解析】试题分析：（1）先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C的方程可化为，所以圆心为，半

37、径为4，根据求曲线方程的方法可设，由向量的知识和几何关系：，运用向量数量积运算可得方程：;（2）由第（1）中所求可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，加之题中条件，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而，不难得出的方程为;结合面积公式可求又的面积为.试题解析：（1）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，设，则，由题设知，故，即.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是.（2）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而.因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为.又，O到的距离为，所以的面积为.考点：1.曲线方程的求法;2.

38、圆的方程与几何性质;3.直线与圆的位置关系242015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标）已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.【答案】（1）；（2）2【解析】试题分析：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解试题解析：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1故由，解得：故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点（2）设M；N，由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，可得，由，解得 k=1，故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径所以|MN|=2考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算33原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！