专题1 导数的基础知识及经典例题（解析版）-2021年高考数学导数中必考知识专练.doc

《专题1 导数的基础知识及经典例题（解析版）-2021年高考数学导数中必考知识专练.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题1 导数的基础知识及经典例题（解析版）-2021年高考数学导数中必考知识专练.doc（23页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专题1：导数的基础知识及经典例题（解析版）一导数的定义：2.利用定义求导数的步骤：求函数的增量：；求平均变化率：；取极限得导数：1设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据导数的概念可得，再利用导数的几何意义即可求解.【详解】因为，所以，则曲线在点处的切线斜率为，故所求切线的倾斜角为.故选：C2已知函数在处的导数为1，则（ ）A0BC1D2【答案】B【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解.【详解】解：因为函数在处的导数为1，则.故选：B.【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题3设是可导函数，且，则（ ）A2BC1D【答案】D【分析】由导数的定义可得，

2、即可得答案【详解】根据题意，故.故选：D【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题4已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ）ABCD【答案】B【分析】利用导数的几何意义即可求解.【详解】由图可知：，即.故选：B【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了数形结合的思想，属于基础题.5函数在处导数的几何意义是（ ）A在点处的斜率B在点处的切线与x轴所夹的锐角正切值C点与点连线的斜率D曲线在点处的切线的斜率【答案】D【分析】利用导数的几何意义即可得出.【详解】解：的几何意义是在切点处的切线斜率.故选：D.【点睛】考查导数的几何意义，属于基础题.6设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处的

3、切线的斜率为（ ）A10B3C6D8【答案】A【分析】根据导数的概念，先得到，再由导数的几何意义，即可得出结果.【详解】因为，所以，即，因此曲线在点处的切线的斜率为.故选：A.【点睛】本题主要考查导数的概念，以及导数的几何意义，属于基础题型.（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：； ； 法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2：(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)法则3：(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数的导数求法：换元，令，则分别求导再相乘回代7（1）求导：（2）求函数在

4、处的导数.【答案】（1）；（2）1；【分析】（1）直接根据导数的运算法则，即可得答案；（2）求导后可得，再将代入即可得答案；【详解】（1）；（2）；【点睛】本题考查导数的四则运算，属于基础题.8求下列函数的导数（1）；（2）；（3）；【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据相乘形式的函数的导数公式计算；（2）根据相加形式的函数的导数公式计算；（3）根据相除形式的导数公式计算.【详解】解：（1）y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.（2）（3）【点睛】本题考查导数的四则运算法则，属于基础题型.9求导：（1）； （2）【答案】（1）；（2）.【分析】根据导数

5、的运算法则和复合函数求导法则，结合初等函数的导数，即可求解.【详解】（1）；（2）.【点睛】本题考查导数的运算，熟记求导法则和初等函数的导数即可，属于基础题.10求下列函数的导数：（1）y（2）y【答案】（1） ；（2）【分析】（1）根据复合函数求导法则准确求导即可；（2）根据导数的四则运算准确求导即可.【详解】（1）令，则，所以；（2）.【点睛】本题考查复合函数求导和导数的四则运算，注意公式的准确记忆和使用，属基础题.11求下列函数的导数.（1）（2）（3）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】利用导数的运算法则计算即可.【详解】（1）；（2）；（3）.【点睛】本题考查导数的运算法则，注意复

6、合函数的导数方法：由外向内，层层求导，本题是一道基础题.12求出下列函数的导数（1）（2） （3） （4）（5）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【分析】（1）根据乘法的求导运算法则，以及基础函数的导数，可得结果.（2）根据复合函数的求导法则：由外而内，以及函数的导数，可得结果.（3）先计算式子得：，根据加法求导法则与函数的导数，可得结果.（4）根据除法求导法则以及函数的导数，可得结果.（5）根据复合函数的求导法则：由内而外，以及乘法的求导法则，可得结果.【详解】（1）由，则，即（2）由，则（3）由，则，（4）由，则， （5）由，则【点睛】本题考查导数的四则运算，熟记公式以及基础函

7、数的导函数，对于复合函数求导注意内函数和外函数，求导口诀是：由内而外，属基础题.三导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数，即有。2. Vs/(t)表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。13一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为，设其在时间段内的平均速度为，在时的瞬时速度为，（ ）ABCD【答案】B【分析】求出平均速度和瞬时速度，即得解.【详解】由题意，该质点在时间段内的平均速度，因为，所以，即该质点在时的瞬时速度为，所以，故选：B【点睛】本题主要考查平均速度和瞬时速度的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14如果一个物体的运动方程

8、为，其中的单位是千米，的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（ ）A12千米/小时B24千米/小时C48千米/小时D64千米/小时【答案】C【分析】对v求导，代入t值即可.【详解】由，则当，故选：C.【点睛】本题考查了瞬时变化率、导数的概念的问题，属于基础题.15近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间内完成房产供应量任务.已知房产供应量与时间的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（ ）ABCD【答案】B【分析】根据变

9、化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果.【详解】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应一直下凹的.故选B.【点睛】本题考查变化率的知识，实质上是考查曲线在某点处导数的几何意义，属基础题.四导数的几何意义：函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。题型三用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：（2）曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，

10、解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。16已知，求函数的图象在处的切线方程【答案】【分析】直接根据导数的几何意义求解即可【详解】解：，切线方程为，即【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题17已知P（1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行且与曲线相切的切线方程【答案】4x4y1=0【分析】根据导数的几何意义可知在x处的导数等于切线的斜率1，建立等式关系，求出切点的横坐标，代入函数关系式，求出切点坐标，最后利用点斜式方程写出切线方程即可【详解】解：设切点坐标为M（x0，y0），则切线斜率为2x0，又直线PQ的斜率为kPQ=1，切线与直线PQ平行，2x0=

11、1，x0=，切点为（，），切线斜率为1切线方程为y=x即4x4y1=0点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两条直线平行的判定等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题18已知函数，求曲线在点处的切线方程；【答案】【分析】先求出函数的导数在处的导数值（切线的斜率），再利用点斜式求出曲线在点处切线的方程，最后化为一般式即可.【详解】依题意可知：，切线方程为，即.【点睛】本题考查导数的几何意义，解决此类题应注意分清“在点”和“过点”的区别，属于常考题.19已知函数，过点作曲线的切线，求切线方程【答案】，过点的切线切点为，则：，即：，解得：或，由得或，得：或【解析】试题分析：先判断

12、不在曲线上，再设出切点坐标和导数，再由点斜式写出切线方程即可试题解析：曲线方程为，点不在曲线上，设切点为，则点的坐标满足，因，故切线的方程为.化简得，解得.所以切点为，切线方程为.考点：导数的几何意义【方法点睛】曲线的切线的求法：（1）若已知曲线过点，求曲线的切线则需分点)是切点和不是切点两种情况求解点是切点的切线方程)当点不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标；第二步：写出过的切线方程为.本题考查曲线切线方程的求法、导数的几何意义和计算能力，属于基础题.五函数的单调性：设函数在某个区间内可导，（1）该区间内为增函数； （2）该区间内为减函数；注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余

13、点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。（3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；（4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：步骤： （1）求导数 (2)判断导函数在区间上的符号(3)下结论该区间内为增函数； 该区间内为减函数；.20已知向量，若函数在区间上是增函数，求 的取值范围.【答案】【分析】先求出，则在上恒成立，可用参变分离求参数的取值范围.【详解】由题意知： ，则，在区间上是增函数，在上恒成立，即在区间上是恒成立，设，则，于是有时，的值域为，故.【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之

14、，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则21已知函数，且.（1）求的值；（2）判定的奇偶性；（3）判断在上的单调性，并给予证明.【答案】（1）1；（2）奇函数；（3）增函数，证明见解析.【分析】（1）利用代入可求；（2）利用奇偶性定义进行判定，可得是奇函数；（3）利用导数进行证明.【详解】（1）因为，所以.（2）因为所以为奇函数.（3）因为所以在为增函数.【点睛】本题主要考查函数性质，奇偶性判定一般是利用定义来进行，单调性判定可以使用导数或者定义来进行.题型二、利用导数求单调区间求函数单调区间的步骤为：（1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不

15、等式，解集在定义域内的部分为减区间22求函数的递减区间.【答案】【分析】对函数进行求导，解不等式得递减区间.【详解】，令，解得.函数的递减区间为.【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，属于基础题17求函数的单调递减区间.【答案】【分析】先对函数求导，解对应不等式，即可求出结果.【详解】因为，所以，由得，所以；因此函数的单调递减区间为.【点睛】本题主要考查导数的方法求函数的单调区间，熟记导数的计算公式即可，属于常考题型.题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上

16、的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以23已知函数.（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.（2）若的单调递减区间为，求a的值.【答案】（1）；（2）3.【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案【详解】（1）因为，且在区间上为增函数，所以在上恒成立，即在(1，+)上恒成立，所以在上恒成立

17、，所以，即a的取值范围是（2）由题意知.因为，所以.由，得，所以的单调递减区间为，又已知的单调递减区间为，所以，所以，即.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.24已知函数f（x）ax2ex1（a0）.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知a0且x1，+），若函数f（x）没有零点，求a的取值范围.【答案】（1）当a0时，f（x）的单调递增区间为（,2）和（0,+），单调递减区间为（2,0）；当a0时，f（x）的单调递增区间为（2,0），单调递减区间为（,2）和（0,+）；（2）.【分析】（1）先求导f（

18、x）2axex+ax2exaxex（2+x），再分a0和a0进行讨论即可得解；（2）根据（1）可知，当a0时， f（x）在x1，+）上单调递增，则保证f（1）0即可得解.【详解】（1）f（x）2axex+ax2exaxex（2+x），令f（x）0，则x0或x2，若a0，当x2时，f（x）0，f（x）单调递增；当2x0时，f（x）0，f（x）单调递减；当x0时，f（x）0，f（x）单调递增；若a0，当x2时，f（x）0，f（x）单调递减；当2x0时，f（x）0，f（x）单调递增；当x0时，f（x）0，f（x）单调递减；综上所述，当a0时，f（x）的单调递增区间为（，2）和（0，+），单调递减区间

19、为（2，0）；当a0时，f（x）的单调递增区间为（2，0），单调递减区间为（，2）和（0，+）.（2）当a0时，由（1）可知，f（x）在x1，+）上单调递增，若函数没有零点，则f（1）ae10，解得，故a的取值范围为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论思想，要求较高的计算能力，在高考中考压轴题，属于难题.25已知.（1）当时，讨论的单调区间；（2）若在定义域R内单调递增，求a的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【分析】（1）计算，根据与，可得结果.（2）利用等价转化的思想，在上恒成立，然后根据的单调性，简单计算，可得结果.【详解】（1）当时，

20、则，令，得令，得所以的单调递增区间为单调递减区间为（2）由题可知：在定义域R内单调递增等价于由在上单调递增，又则【点睛】本题考查导数的简单应用，掌握导数与原函数之间的关系，属基础题.六、函数的极值与其导数的关系：1.极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。求极值的步骤：第一步：求导数；第二步：求方程的所有实根；第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，若的符号由正变负，则是极大值；

21、若的符号由负变正，则是极小值；若的符号不变，则不是极值，不是极值点。26已知函数.（1）求的单调区间；（2）求函数的极值；(要列表).【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）极大值为，极小值为.【分析】（1）求导数，根据导数的正负确定函数的单调区间；（2）根据导数的正负列表，从而判断极大极小值，代入求值即可.【详解】（1），设可得或.当时，或；当时，所以的单调增区间为，单调减区间为：.（2）由（1）可得，当变化时，的变化情况如下表：当时，有极大值，并且极大值为当时，有极小值，并且极小值为.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间和极值，属于基础题.27函数在点处的切线斜率为（1）求实数a的值；

22、（2）求的单调区间和极值【答案】（1）3；（2）增区间为，减区间为极小值，无极大值【分析】（1）根据导数的几何意义，导数值为切线的斜率求出实数的值；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值.【详解】解：（1）函数的导数为， 在点处的切线斜率为，即，；（2）由（1）得， 令，得，令，得， 即的增区间为，减区间为在处取得极小值，无极大值【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值问题，属于容易题28已知函数,（1）计算函数的导数的表达式;（2）求函数的值域.【答案】（1）;（2）.【分析】（1）根据导数的运算法则求导即可;（2）根据,可得,函数在上是

23、单调增函数,求出极大、极小值即可得出值域.【详解】解: （1）因为,所以.故函数的导数;（2）,函数在上是单调增函数,所以,所以;故函数的值域为.【点睛】本题考查函数的导数的求法,以及利用导数求函数的值域,是基础题.29已知函数与函数在处有公共的切线.（1）求实数a，b的值；（2）记，求的极值.【答案】（1），（2）极大值为；无极小值【分析】（1）分别对，求导，然后根据题意可得，即可求解a，b的值；（2）根据（1）可知函数的解析式，然后求导，列出，的变化情况表，根据函数单调性即可求解.【详解】（1），由题意得，解得，.（2），的变化情况如下表：x0+0-极大值由表可知，的极大值为，无极小值.【

24、点睛】本题主要考查导数的几何意义及函数的极值，注意认真计算，规范书写，属基础题.30已知函数在处取得极小值，求的极大值.【答案】见解析.【解析】分析：由题可得1是极值点故1是导函数的解.而 ，由，解得或.从而可求得c，即可得出f（x）的极大值.详解：因为，所以 ，由，解得或.依题意，1是的较大零点，所以，所以当时，取得极大值.点睛：考查导函数得极值点和极值的判断，对题意的正确理解和计算正确是解题关键，属于基础题.2、函数的最值：最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最

25、大值和最小值。求可导函数在闭区间上的最值方法：第一步；求在区间内的极值；第二步：比较的极值与、的大小：第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。2函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。注意：当x=x0时，函数有极值

26、f/(x0)0。但是，f/(x0)0不能得到当x=x0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。 导函数 原函数 的符号 单调性 与x轴的交点且交点两侧异号 极值 的增减性 的每一点的切线斜率的变化趋势 （的图象的增减幅度） 的增 的每一点的切线斜率增大（的图象的变化幅度快） 减 的每一点的切线斜率减小 （的图象的变化幅度慢）31已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为【分析】（1）求出，令，得到函数的单调递减区间；（2）求出函数在的单调性，根据极值和端点值，求得最值.【详解】（1），令，得，所以的减区间为.（2

27、）由（1），令，得或知：，为增函数，为减函数，为增函数.，.所以在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.32若，求：（1）的单调增区间；（2）在上的最小值和最大值.【答案】(1) 增区间为;(2) .【解析】分析：（1）求导，解不等式得到的单调增区间；（2）求出极值与端点值，经比较得到在上的最小值和最大值.详解：（1），由 解得，的增区间为；（2）， （舍）或，, , ， 点睛：函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值2323原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！