专题24 一元二次方程根的分布（解析版）-2021年高考数学导数中必考知识专练.doc

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1、专题24：一元二次方程根的分布（解析版）一元二次方程根的分布情况设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表二：（两根与的大小比较）分布情况两根都小于即两根都大于即一个根小于，一个大于即大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在内两根有且仅有一根在内（图象

2、有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，大致图象（）得出的结论或大致图象（）得出的结论或综合结论（不讨论）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时，对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况： 若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求； 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的

3、根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：由即得出；由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或根的分布针对练习1已知函数，其中.（1）若函数在区间上单调，求实数的取值范围；（2）若方程在区间上有两个不等的实根，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）【分析】（1）由题意得，对称轴不在区间；（2）利用根的分布可得不等式组，解不等式组即可得答案；【详解】（1），函数图象开口向上，对称轴或，解得：或；（2）由根的分布得：.【点睛】根据二次函数的图象与性质，只有当对称轴不穿过区间时，函数才有可能单调.2已知函数

4、（）若，求在上的最大值和最小值；（）若关于的方程在上有两个不相等实根，求实数的取值范围【答案】（）最大值0，最小值；（）.【分析】（）根据，得到，由二次函数性质，即可得出结果；（）由题意得到方程有两个不相等正根，得到，求解，即可得出结果.【详解】（）若，则，因为二次函数开口向上，对称轴为：；又，所以函数在上单调递减，在上单调递增；因此；又，所以；（）由关于的方程在上有两个不相等实根，可得方程有两个不相等正根，则，解得【点睛】本题主要考查由二次函数在给定区间的最值，以及由一元二次方程根的分布求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.3已知函数，满足，（1）求函数的解析式；（2）当时，求

5、函数的最大值和最小值.（3）若函数的两个零点分别在区间和内，求的取值范围.【答案】（1）；（2），；（3）【分析】（1）由得，由待定系数法得、的值；（2）利用二次函数的对称轴和单调区间即可求得最值；（3），由题意可得，求解即可.【详解】（1）由得，又，得即，所以， ，解得： ， ，所以，（2）对称轴， 所以， 所以，（3），若有2个零点分别在区间和内，则 ，即，解得：【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析，考查二次函数的最值，以及零点分布情况，属于中档题.4若函数的两个零点分别为，且有，试求出的取值范围【答案】.【分析】根据题意，利用二次函数的性质和根的分布，列出不等式组，即可求出实

6、数的取值范围【详解】令，则得的取值范围是故实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题5已知函数，（1）画出函数的图像，并写出其值域.（2）当为何值时，函数在上有两个零点？【答案】（1）图象见解析；值域为.（2）【分析】（1）将函数解析式整理得到，根据题中条件，结合二次函数图像的画法，即可作出函数图像，由图像可得出值域；（2）将函数在上有两个零点，转化为函数与的图像有两个交点，由（1）中图像，即可求出结果.【详解】（1）依题意得，其图像如图所示.由图可知，函数的值域为.（2）函数在上有两个零点，方程在上有两个相异的实数

7、根，即函数与的图像有两个交点.由（1）所作图像可知，.当时，函数与的图像有两个交点，即函数在上有两个零点.【点睛】本题主要考查二次函数的图像，以及由函数零点求参数的问题，熟记二次函数的图像与性质，灵活运用数形结合的思想，以及转化与化归的思想，即可求解，属于常考题型.6已知关于x的一元二次方程.（1）若方程有两个实数根，其中一个根在区间（-1，0）内，另一个根在区间（1，2）内，求m的取值范围.（2）若方程有两个不相等的实数根，且均在区间（0，1）内，求m的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）令，由题意结合二次函数的图像与性质可得解不等式组即可.（2）由题意结合二次函数的图像与性质可得

8、，解不等式组即可.【详解】解：（1）令，依题意得函数的图象与x轴的交点分别在区间（1，0）和（1，2）内，画出函数的大致图象，如图：由图像得即，.即m的取值范围是.（2）根据函数图象与x轴的两个交点均在区间（0，1）内，画出函数的大致图象，如图：由图像得，即.即m的取值范围是.【点睛】本题考查了函数零点所在的区间求参数的取值范围，同时考查了二次函数的图像与性质，属于中档题.7已知函数f（x）x22axa21的两个零点都在(2，4)内，求实数a的取值范围【答案】(1，3).【分析】由于函数f（x）x22axa21的两个零点都在(2，4)内，所以，然后解不等式组即可.【详解】解：因为函数f（x）x

9、22axa21的两个零点都在(2，4)内，所以，即，解得所a的取值范围为(1，3)【点睛】此题考查二次函数的零点分布情况，属于基础题.8已知函数（1）若时，求在区间上的最大值和最小值；（2）若的一个零点小于，另一个零点大于，求的范围.【答案】（1） ； ；（2）【分析】（1）求出函数的对称轴，再判断对称轴与区间的位置关系，从而得到函数的最值；（2）由题意得，即可得到答案；【详解】（1）当时，函数的对称轴为，。（2）由题意得，解得：。【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值、零点分布，考查数形结合思想，考查运算求解能力.9已知二次函数（1）求函数在区间的最大值；（2）若关于的方程有两个实根、，且

10、，求实数的最大值【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据对称轴的位置讨论两种情况：，分别根据二次函数的单调性求出最大值即可得结果；（2）设，由韦达定理可得，利用函数的单调性可得实数的最大值【详解】（1）对称轴，二次函数开口向上，当，即时：， 当，即时：， 综上所述， （2）由题知：方程的两个根分别为、，由韦达定理知：， 又已知， 联立，得，带入知：， 即，其中 当时，分母取得最小值4， 所以得最大值为【点睛】本题考查二次函数图像、对称轴、最值的基本关系，清楚一元二次方程根与系数的关系的处理，对“对勾函数”的单调性、最值的理解是解题的关键.10已知二次函数（）求函数，的值域；（）若对任意互不相同的，都有成立，求实数k的取值范围【答案】（）；（）.【分析】（）令，求出其值域；再结合二次函数的性质即可求解；（）设，可得，令，问题转化为在上是减函数，利用二次函数的性质建立不等式，即可求解.【详解】（）令，因为，所以，对称轴为： ，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以函数，的值域为，（）设，易知在区间上单调递增，所以，故可化为，即，令，所以，即在上是减函数，故，解得：所以实数k的取值范围是【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是将已知条件转化为，构造函数，可得，问题转化为在上是减函数，利用二次函数的对称轴建立不等式，即可求解.18原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！