专题08 函数零点问题 .docx

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1、专题08 函数零点问题【高考地位】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.类型一 零点或零点存在区间的确定万能模板内 容使用场景一般函数类型解题模板第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例1 函数的零点所在的区间为（ ）A B C D【答案】B【解析】第一步，直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0：函数单调递增,只有一个

2、零点,而,；第二步，若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可： 由,可知函数的零点在故选B考点：零点存在定理【变式演练1】方程的解所在的区间为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由题意得，设函数，则，所以，所以方程的解所在的区间为，故选B.考点：函数的零点.【变式演练2】【山西省运城市2021届高三上学期9月调研数学（理）】已知函数，则函数的零点所在区间为（ ）ABCD【答案】A【分析】首先求得时，的取值范围.然后求得时，的单调性和零点，令，根据“时，的取值范围”得到，利用零点存在性定理，求得函数的零点所在区间.【详解】当时，.当时，为增函数，且，则是唯一零点

3、.由于“当时，.”，所以 令，得，因为，所以函数的零点所在区间为.故选：A【变式演练3】函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为（ ）ABCD【来源】全国卷2021届高三高考数学（文）押题试题（一）【答案】B【分析】构造函数，由零点存在定理判断【详解】设，是上的增函数，在和上都是减函数，因此在和上都是增函数，由选项只考虑上的情形，所以在上有零点 所以函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为故选：B类型二 零点的个数的确定方法1：定义法万能模板内 容使用场景一般函数类型解题模板第一步 判断函数的单调性；第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区

4、间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；第三步 得出结论.例2.函数的零点个数是（ ）A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】第一步，判断函数的单调性:由已知得，所以在R上单调递增；第二步，根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间：又因为，所以第三步，得出结论：所以的零点个数是1，故选B考点：函数的零点【变式演练4】已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，则函数的零点个数是（ ）A2B3C4D5【来源】吉林省松原市长岭县第二中学2021届高三下学期三模考试数学试题【答案】A【分析】函数的零点个数转化为两个函数

5、图象交点的个数，转化条件为函数周期，当时，根据周期性可画出它的图象，从图象上观察交点个数即可.【详解】，则函数是周期的周期函数又函数是定义在上的偶函数，且时，当时，令，则函数的零点个数即为函数和的图象交点个数，分别作出函数和的图象，如下图，显然与在上有1个交点，在上有一个交点，当时，而，所以或时，与无交点综上，函数和的图象交点个数为2，即函数的零点个数是2故选：A【变式演练5】方程的根的个数是（ ）A3 B4 C5 D6【答案】C【解析】试题分析：大致图形如图所示,接下来比较与在处的切线斜率,时,即在处的切线方程为轴,又,在,因此在轴右侧图象较缓,由图象可知,共有个交点,故选C考点：图象的交点

6、【思路点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个函数都过点,而轴右侧的高低情况需要比较两个函数在处的切线斜率得到,为本题的易错点【变式演练6】（多选）若函数f(x)恰有两个零点，则正整数m的取值可能为（ ）A1B2C15D16【来源】山东省济南市章丘区2021届高三5月份模拟数学试题【答案】AD【分析】函数零点转化为方程解，每个选项验证即可解决此题【详解】函数f(x)的零点即为方程f(x)0的解当m1时，解方程f(x)0，当x2时，

7、4x10，解得：x0；当x2时，2021（x1）（x3）0，解得：x1或3，只取x3函数有两个零点0或3A对；当m2时，解方程f(x)0，当x2时，4x20，解得：x；当x2时，2021（x2）（x6）0，解得：x2或6函数有三个零点或2或6B错；当m15时，解方程f(x)0，当x2时，4x150，解得：xlog4152；当x2时，2021（x15）（x45）0，解得：x15或45函数有三个零点log415或15或45C错；当m16时，解方程f(x)0，当x2时，4x160，解得：x2不成立；当x2时，2021（x16）（x48）0，解得：x16或48函数有两个零点16或48D对；故选：AD方

8、法2：数形结合法万能模板内 容使用场景一般函数类型解题模板第一步 函数有零点问题转化为方程有根的问题；第二步 在同一直角坐标系中，分别画出函数和的图像；第三步 观察并判断函数和的图像的交点个数第四步 由和图像的交点个数等于函数的零点即可得出结论.例3. 方程的解的个数是 （ ）A3 B2 C1 D0【答案】B【解析】第一步，在同一直角坐标系中，分别画出函数和的图像：第二步，观察并判断函数和的图像的交点个数 ：由图象可知，函数与函数有2个交点；第三步，由和图像的交点个数等于函数的零点即可得出结论：所以方程有2个解。考点：函数与方程。【变式演练7】【上海市徐汇区2021届高三上学期一模】方程的实数

9、解的个数是（ ）ABCD【答案】B【分析】将方程的实数根的个数，转化为两个函数的交点个数.【详解】分别画出函数和的图象，由图象可知两个函数的交点个数是3个，所以方程程的实数解的个数是3个.故选：B【变式演练8】己知函数，若存在两个零点，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（二）数学试题【答案】A【分析】由题可得的图像与的图像有2个交点，数形结合即可求出.【详解】由题，存在两个零点，等价于的图像与的图像有2个交点，画出的函数图象如下：由数形结合知，即.故选：A. 【变式演练9】知关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ）ABC

10、D【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）数学试题【答案】D【分析】先判断时不符合题意，再将问题转化为与直线有3个不同的交点，判断时单调不符合题意，最后画时的图象进行数形结合，利用解得参数范围即可.【详解】时，即无解，显然不符合题意；时，令，则原方程等价于，即，令，则与直线有3个不同的交点.二次函数的根为a和0，若时，显然时，且单调递增，即单调，不可能与直线有3个不同的交点若时，作出的草图如图所示， 又，则只需满足，得.故选：D【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的情况)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：分类讨论直接求解方程得到方程的根；（2）数形结合法：

11、先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.【高考再现】1【2021年北京市高考数学试题】已知函数，给出下列四个结论：若，则有两个零点；，使得有一个零点；，使得有三个零点；，使得有三个零点以上正确结论得序号是_【答案】【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于，当时，由，可得或，正确；对于，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，正确；对于，当直线过点时，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲

12、线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，错误；对于，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，正确.故答案为：.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围2.【2021年天津高考数学试题】设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）ABCD【

13、答案】A【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，由可得，由可得，（1）时，当时，有4个零点，即；当，有5个零点，即；当，有6个零点，即；（2）当时，当时，无零点；当时，有1个零点；当时，令，则，此时有2个零点；所以若时，有1个零点.综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足或或，则可解得a的取值范围是.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.3.【2020年高考天津卷9】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【思路导引】由，结合已知

14、，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以综上，的取值范围为，故选D 【专家解读】本题的特点是函数图象及其现在的灵活运用，本题考查了函数与方程的应用，考查数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养解题关键是正确作出函数图象，应用函数图象及其性质解决问题4.【2020年高考上

15、海卷11】已知，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件，对任意，的值为或；关于的方程无实数解；则的取值范围为 【答案】 【解析】由和的图象和函数的定义可知，若满足的值为或，只有，结合可知若方程无实数解，则，故答案为：【专家解读】本题的特点是函数图象及其性质的应用，本题考查了函数与方程，二次函数图象及其应用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查数学运算、数学直观、数学建模等学科素养解题关键是正确作出函数图象，应用函数图象及其性质解决问题5. 【2016高考天津理数】已知函数f（x）=（a0,且a1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）（A）（0， （

16、B）， （C），（D），）【答案】C【解析】试题分析：由在上递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，又时，抛物线与直线相切，也符合题意，实数的去范围是，故选C.考点：函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 6.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）】已知R，函数f(x)=x4,xx24x+3,x，当=2时，不

17、等式f(x)0的解集是_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_【答案】 (1,4) (1,3(4,+) 【解析】由题意得x2x40或x2x24x+30，所以2x4或1x2，即1x4，不等式f(x)4时，f(x)=x40，此时f(x)=x24x+3=0,x=1,3，即在(,)上有两个零点；当4时，f(x)=x4=0,x=4，由f(x)=x24x+3在(,)上只能有一个零点得10，函数f(x)=x2+2ax+a,x0,x2+2ax2a,x0.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是_.【答案】(4，8)【解析】分类讨论：当x0时，方程fx=ax即x2+2ax+a=a

18、x，整理可得：x2=ax+1，很明显x=1不是方程的实数解，则a=x2x+1，当x0时，方程fx=ax即x2+2ax2a=ax，整理可得：x2=ax2，很明显x=2不是方程的实数解，则a=x2x2，令gx=x2x+1,x0x2x2,x0，其中x2x+1=x+1+1x+12，x2x2=x2+4x2+4原问题等价于函数gx与函数y=a有两个不同的交点，求a的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数gx的图象，同时绘制函数y=a的图象如图所示，考查临界条件，结合a0观察可得，实数a的取值范围是4,8.点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令f

19、(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点【反馈练习】1函数的图象与函数的图象交点横坐标所在的区间可能为（ ）ABCD【来源】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试数学试题【答案】B【分析】将问题转化为求函数的零点所在的区间，利用零点存在性定理求解即可【详解】解：函数的图像与函数的图像交点横坐标，即为函数（

20、）的零点，因为，所以在上为增函数，且图像连续，因为，所以，所以的零点所在的区间为，所以函数的图像与函数的图像交点横坐标所在的区间为，故选：B2已知函数在上有唯一零点，若，则（ ）A2B3C4D5【来源】全国名校2021届高三高考数学（文）冲刺试题（二）【答案】B【分析】对函数求导得，再对k分类讨论以确定函数的单调性，函数有唯一零点的条件，转化为函数最值即可作答.【详解】因，则，时，恒有，在上单调递增，在上无零点，时，而在上单调递增，从而在上单调递减，在上单调递增，因函数在上有唯一零点，则，即，令，则，在单调递减，而，于是得的零点，所以.故选：B3函数和存在公共点，则的范围为（ ）ABCD【来源

21、】陕西省西安中学2021届高三下学期第二次仿真考试理科数学试题【答案】B【分析】构造函数，结合函数单调性和零点存在定理可选出正确答案.【详解】解：由题意知，有解，因为在上连续且在上单调递增，有，则解的范围为，故选:B.4已知函数，若的图象与的图象在上恰有个交点，则的取值范围为（ ）ABCD【来源】“超级全能生”2021届高三全国卷地区4月联考试题（乙卷）数学（理）试题【答案】D【分析】令，将问题转化为在有且仅有个零点，利用导数可求得在上单调递增，结合零点存在定理可知，解不等式组求得结果.【详解】令，则，当时，在上单调递增，若与在上恰有个交点，则在有且仅有个零点，即，解得：，即的取值范围为.故选

22、：D.【点睛】关键点点睛：本题考查根据两函数交点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数在区间内零点个数的求解问题.5函数的零点，则（ ）ABCD【来源】山西省吕梁市2021届高三上学期第一次模拟数学（文）试题【答案】C【分析】根据题意，分别计算，判断其正负，由零点存在定理判断函数零点所在区间为，可得.【详解】已知，；，所以，可知函数零点所在区间为，故.故选：C.6（多选）【2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）】已知函数，则（ ）A在单调递增B有两个零点C曲线在点处切线的斜率为D是偶函数【答案】AC【分析】根据函数的定义域可判断D，

23、利用函数的导数的正负可判断A，利用导数的几何意义可判断C，根据函数值的情况及零点定义可判断B.【详解】由知函数的定义域为，当时，故在单调递增，A正确；由，当时，当，所以只有0一个零点，B错误；令，故曲线在点处切线的斜率为，C正确；由函数的定义域为，不关于原点对称知，不是偶函数，D错误.故选：AC7【四川省成都市2020-2021学年高三上学期第一次诊断性检测数学（文）】已知函数，若，则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【分析】由题可得，由在单调递增得，即，则，利用导数求出的最小值即可. 【详解】，由得，在单调递增，则，令，则，令，解得，令，解得，故在单调递减，在单调递增，.故选：C.8已知函数

24、，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】由于关于点的坐标之间的关系得函数关于对称的函数为，进而将问题转化为函数与函数图象在区间有交点，即方程在区间上有解，故，进而得.【详解】解：设是函数的图象上的任意一点，其关于对称的点的坐标为，所以，所以函数关于对称的函数为.由于与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，故函数与函数图象在区间有交点，所以方程在区间上有解，所以，即，所以.故选：C.【点睛】本题解题的关键在于由关于直线对称的点的坐标之间的关系得关于对称的函数为，进而将问题转化为函数与函数图象在区间有交点，考查化归转化思想和运算求解能力，是难题

25、.9.【河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科】对于函数与，若存在，使，则称，是函数与图象的一对“隐对称点”.已知函数，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【分析】由题意可得函数与的图象有两个交点，结合导数可画出两函数的图象，结合导数的几何意义数形结合即可得解.【详解】由题意函数与的图象有两个交点，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减；又恒过点，当时，在同一坐标系中作出函数、的图象，如图，由图象可知，若函数与的图象有两个交点，则，当直线为函数图象的切线时，由可得,即.故选：A.10.【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】已

26、知函数的图象与函数的图象有唯一公共点，则实数的值为（ ）A1B0CD【答案】D【分析】函数与的图象有唯一公共点转化为方程有唯一解，引入函数，则函数有唯一零点，计算得对称性，由对称性可得，得出结论【详解】函数的图象与函数的图象有唯一公共点，则方程有唯一解，即方程有唯一解，即函数有唯一零点因为 ，所以，则的图象关于直线对称因为函数只有一个零点，所以函数的零点只能是，所以，解得，故选：D11.【山东省枣庄市滕州一中2020-2021学年高三10月月考】定义：如果函数在区间上存在，满足，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【详解】

27、，函数是区间上的双中值函数，区间上存在 ，满足 方程在区间有两个不相等的解，令，则，解得 实数的取值范围是.故选:A12.【广西南宁三中2020届高三数学（理科）】方程的解的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】B【分析】将题意转化为的图象与的图象交点的个数即可得结果.【详解】，.而的图象如图，的图象与的图象总有两个交点，即方程的解的个数是2，故选：B.13【天津市耀华中学2021届高三（上）】已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】利用导数研究函数的单调性并求得最值，求解方程有或画出函数图象，数形结合得答案【详解】设，则，由，解得，当时，函数

28、为增函数，当时，函数为减函数当时，函数取得极大值也是最大值为方程有5化为解得或如图画出函数图象：，故选：A14.【河南省信阳市2021届高三（10月份）第一次质检数学（理科）】已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】利用导数研究函数的单调性并求得最值，求解方程得到或画出函数图象，数形结合得答案【详解】设，则，由，解得，当时，函数为增函数，当时，函数为减函数当时，函数取得极大值也是最大值为（）方程化为解得或如图画出函数图象：可得的取值范围是故答案为：15已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范围是_.【来源】全国2021届高三高考数学（文）信息试题（一）【

29、答案】【分析】根据题意，函数有两个不同的零点，等价于与的图象有两个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解.【详解】由函数有两个不同的零点，可知与的图象有两个不同的交点，故作出如下图象，当与的图象相切时，即，由图可知，故相切时，因此结合图象可知，当时，与的图象有两个不同的交点，即当时，函数有两个不同的零点.故答案为：.16已知函数有两个不同的零点，则实数k的取值范围是_.【来源】河北省衡水市饶阳中学2021届高三5月数学精编试题【答案】【分析】令，根据解析式，求得t的范围，将有两个不同的零点，转化为曲线（个单位圆）与经过定点的直线有两个不同交点，分别作出图象，数形结合，即可求得答案.【详解】令，

30、则由函数的定义域知，解得，且为增函数，所以函数有两个不同的零点转化为关于t的方程在区间上有两个不等实根，即曲线（个单位圆）与经过定点的直线有两个不同交点.如图，设过点P的直线与曲线相切于点A，连接OA.设切线的方程为，即.由，得，解得（正值已舍去）.又易得直线的斜率是，故，解得，即实数k的取值范围是.故答案为：【点睛】解题的关键是将方程求根问题，转换为求两图象交点问题，在根据直线与圆的位置关系，求得参数范围，考查分析理解，数形结合思想，属基础题.17【陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试文科】已知函数.（1）求斜率为的曲线的切线方程；（2）设，若有2个零点，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）求出，令可得或，分别求出切点坐标和切线方程；（2）令，则，由讨论和时的单调性确定零点个数，由讨论、时的单调性和零点个数从而找到答案.【详解】（1），令可得：或，当时，切点为，切线方程为：，即：；当时，切点为，切线方程为：，即：；（2），即：，令，则，当时，若，无零点，若，在上递增，此时有且只有一个零点；当时，若时，此时在上有两个零点；若时，此时在上有一个零点；若时，此时在上无零点；若时，此时在上无零点；若时，此时在上无零点；因为有2个零点，所以，故的取值范围为.