专题29 极坐标与参数方程的概念（学生版）.docx

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1、 方法技巧专题29 极坐标与参数方程的概念 一、 极坐标与参数方程的概念知识框架 二、参数方程与普通方程的互化 1参数方程的概念：设在平面上取定一个直角坐标系，把坐标表示为第三个变量的函数： ， 如果对于的每一个值()，式所确定的点都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点，都可由的某个值通过式得到，则称式为该曲线的参数方程，其中称为参数2参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性要注意方程中的参数的

2、变化范围3直线、圆、椭圆的参数方程：（1）经过一定点，倾斜角为 的直线的参数方程为：(为参数)；（2）直线参数方程的一般形式为（为参数）；（3）圆的参数方程为( 为参数)；（5）椭圆的参数方程为(，为参数)1.例题【例1】 在直角坐标系中，已知曲线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求的参数方程和的普通方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值.【例2】已知直线, 曲线(1)设与相交于两点,求；(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值2.巩固提升综合练习【练习1】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）

3、，直线的参数方程为（为参数）（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率XK【练习2】在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出直线的普通方程和曲线的参数方程.(2)求曲线上的点到直线的最短距离. 三、极坐标方程与直角坐标方程的互化 1极坐标系的概念：在平面内取一个定点，点出发的一条射线，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系称为极点，称为极轴设是平面内任意一点，极点与点的距离叫做点的极径，记作；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记作 ，

4、有序数对叫做点的极坐标一般情况下，约定2极坐标系与直角坐标系的互化：直角坐标化极坐标：， ；极坐标化直角坐标：，1.例题【例1】极坐标系中，曲线C的极坐标方程为以极点为原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的普通方程；（2）若曲线C上恰有四个不同的点到直线l的距离等于1，求实数a的取值范围【例2】 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）在曲线上取两点，与原点构成，且，求面积的最大值.2.巩固提升综合练习【练习1】在平面直角坐标系中，已知

5、曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若点在曲线上，在曲线上，求的最小值.【练习2】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）设射线与曲线交于点，与直线交于点，求线段的长【练习3】在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，点在圆上运动以极点为直角坐标系原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系（1）求圆的参数方程；（2）若点在线段上，且，求动点轨迹的极坐标方程 四、参数方程中参数的几何意义 1、 直线参数方程

6、：（1）注意必须是标准形式；（2）直线的参数方程(为参数)中参数的几何意义： 表示直线上任一点到直线上定点的距离；2、 直线与二次曲线相交问题：将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，通过判断的符号来确定交点的个数；若，则有两个交点，此时的、分别表示交点与直线所过定点的距离.1.例题【例1】 以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线相交于两点，求.【例2】在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(为参数，0)，在以坐标原点为极点，x轴正半

7、轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点M的坐标为(1，0)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值.【例3】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）判断直线与曲线的公共点的个数，并说明理由；（2）设直线与曲线交于不同的两点，点，若，求的值【例4】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值2.巩固提升综合练习【练习1】在直角坐标系中，以原点为极

8、点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设，直线的参数方程是（为参数），已知与圆交于两点，且，求的普通方程.【练习2】在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求和的直角坐标方程；（2）设点，直线交曲线于两点，求的值【练习3】已知曲线C：，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值【练习4】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cos,y=4sin（为参数）

9、，直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin（t为参数）.（1）求C和l的直角坐标方程； （2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率 五、极坐标方程中的几何意义 极坐标方程中的几何意义：是平面内任意一点，极点与点的距离叫做点的极径，记作；即.1.例题【例1】在直角坐标系中,已知曲线的方程为,的方程为,是一条经过原点且斜率大于的直线,以直角坐标系原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求与的极坐标方程;(2)若与的一个公共点(异于点),与的一个公共点为,求的取值范围.【例2】在平面直角坐标系中，已知椭圆的方程为：，动点在椭圆上，为原点，线段的中点为.（1）以

10、为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点的轨迹的极坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），与点的轨迹交于、两点，求弦长.2.巩固提升综合练习【练习1】在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程，设与的交点为，求的面积【练习2】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(，为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程；（2）若，是曲线上两点，求的值【练习3】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为的正半轴建立平

11、面直角坐标系.（1）求和的参数方程；（2）已知射线，将逆时针旋转得到，且与交于两点， 与交于两点，求取得最大值时点的极坐标. 六、课后自我检测 1.在直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为：（1）在直角坐标系中，求圆的圆心的直角坐标；（2）设点，若直线与圆交于，两点，求证：为定值，并求出该定值2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）（1）求曲线的极坐标方程；（2）若曲线与曲线交于，两点，且，求的值3.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴

12、，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）设点分别为曲线与曲线上的任意一点，求的最大值；（2）设直线（为参数）与曲线交于两点，且，求直线的普通方程4.已知在直角坐标系内，直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的直角坐标方程及直线经过的定点的坐标；（2）设直线与曲线相交于两点，求点到两点的距离之和的最大值5.在平面直角坐标系中，已知直线(为参数)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆R)(1)若直线过圆心C，求的值；(2)若，直线与圆相交于两点，点直角坐标，求的值6.在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，若以

13、该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求直线与曲线的普通方程；(2)已知直线与曲线交于两点，设，求的值.7.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程;(2)已知曲线的极坐标方程为,点是曲线与的交点,点是曲线与的交点,且均异于原点,且,求的值.8.在直角坐标系中,曲线的参数方程为,曲线的参数方程为：(为参数).(1)求曲线,的普通方程;(2)若曲线上一点到曲线的距离的最大值为,求.9.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程；（2）若，是曲线上两点，求的值10.在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于，两点（异于极点），定点，求的面积11.在直角标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积