2021年高考数学之破解解析几何解答题——利用向量转化(1).docx

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1、利用向量转化解析几何利用代数法解决几何问题，在坐标运算中，向量是和几何问题结合最紧密的方法，因此如果涉及角度等一些问题，就可以用向量法来做。由于点的坐标也可视为向量坐标，因此许多解析几何问题均可与向量知识进行综合，高考对解析几何与向量综合考查，可以解决圆锥曲线中最值问题，取值范围问题，存在性问题，处理直线与圆锥曲线的关系等典型例题例1、如图所示，已知圆C：x2y22x4y40，问：是否存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，请说明理由【解析】假设存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点设直线l

2、的方程为yxb，点A(x1，y1)，B(x2，y2)联立 消去y并整理得2x22(b1)xb24b40，所以x1x2(b1)，x1x2.来源:学#科#网Z#X#X#K因为以AB为直径的圆过原点，所以OAOB，即x1x2y1y20.又y1x1b，y2x2b，则x1x2y1y2x1x2(x1b)(x2b)2x1x2b(x1x2)b20.由知，b24b4b(b1)b20，即b23b40，解得b4或b1.当b4或b1时，均有4(b1)28(b24b4)4b224b360，即直线l与圆C有两个交点所以存在直线l，其方程为xy10或xy40.关键点拨以AB为直径的圆过原点等价于OAOB，而OAOB又可以“

3、直译”为x1x2y1y20，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题综合训练1已知是椭圆的左右顶点，点为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，且.（1）若椭圆经过圆的圆心，求椭圆的方程；（2）在（1）的条件下，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】（1）设，因为，则点关于轴的对称点.，又由椭圆的方程得，所以，又椭圆过圆的圆心，所以，所以椭圆

4、的标准方程为；来源:学,科,网Z,X,X,K（2）由题意可知直线的斜率存在，设，由得：由，得：，.，结合（*）得：.，.从而，.点在椭圆上，整理得：即，或.来源:学科网ZXXK2设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1），所以，化简得，来源:学科网所以，所以方程为；来源:Z|xx|k.Com（2）由题意得，不在轴上，不妨设，且，设，所以由，得，所以，由，得，代入，化简得：，由于，所以，同理可得，所以，所以当时，最小为3已知椭圆及定点，动直线过点交椭圆于两点（点在之间）

5、，（1）求的取值范围（2）在轴上是否存在定点（不同于），使得【答案】（1）（2）存在，来源:学科网ZXXK【解析】（1）当斜率不为0时，设直线方程为：，联立方程得：是方程的两根，又， 当斜率为0时，综上，；（2）设存在，由得：. 即化简得：来源:Zxxk.Com即，点4已知椭圆的离心率为，直线，圆的方程为，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等，椭圆的左顶点为，上顶点为.（1）求椭圆的方程；（2）已知经过点且斜率为直线与椭圆有两个不同的交点和，请问是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）不存在；详见解析【解析】（1）圆心到直线的距离为，直线被

6、圆截得的弦长，.由椭圆离心率为，结合可得，.即椭圆的方程为：.（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，整理，得，因为直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，来源:Z。xx。k.Com来源:学科网ZXXK解得.设，则，由得，又，因为，所以.所以与共线等价于.将代入上式，解得，（舍）.因为不满足，所以不存在常数，使得向量与共线.5设、是椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于、的一点（1）是椭圆的上顶点，且直线与直线垂直，求点到轴的距离；（2）过点的直线（不过坐标原点）与椭圆交于、两点，且点在轴上方，点在轴下方，若，求直线的斜率【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设点，又、直线与直线垂直，直线的斜率为，直线的斜率

7、为，则直线的方程为，联立椭圆方程，消去得，解得，则，因此，点到轴的距离为；（2）设、，则，设直线的方程为，代入椭圆的方程消去，得，得，由，知，即，代入上式得，所以，解得，则，所以，故直线的斜率为6已知抛物线，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B两点在抛物线C的准线上的投影分别P、Q（1）已知，若，求直线l的方程；（2）设P、Q的中点为M，请判断PF与MB的位置关系并说明理由【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）抛物线，化为，所以抛物线C的焦点设，来源:学科网所以，由，得，又，两式相减得：，所以，所以直线l的方程为：（2），理由如下：依题意可知抛物线C的准线方程为：，依题意可设直线l的方程为：，联立消y得，所以，又，所以，因为所以，所以7椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】（1）依题意有，椭圆的焦点坐标为，且点在椭圆上，由椭圆的定义可得，即，因此，椭圆的方程为；（2）设、，由，得由题意直线的斜率存在，所以设直线的方程为，代入椭圆方程整理，得，所以，将代入上式可得，解得所以的面积.11