2021年高考数学之破解解析几何解答题——巧用角平分线(1).docx

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1、巧用角平分线在近几年的高考中，以三角形内角平分线为条件的题目常有出现，主要以椭圆或双曲线的焦点三角形为背景，或者圆锥曲线与直线的位置关系等内容，来解决范围，定值等问题。典型例题例1、已知圆，圆，圆与圆都相内切.（1）求圆心的轨迹的方程；（2）若点是轨迹上的一点，求证：中，的外角平分线与曲线相切.【答案】(1);(2)见解析.【解析】（1）设圆的半径为，则，故圆心的轨迹是以为焦点，长半轴为的椭圆，故轨迹的方程为，（2）如图，延长到，使，则，来源:学科网来源:学+科+网设，则.，外角平分线方程为，即，代入椭圆方程，得，整理得，.来源:Z_xx_k.Com故的外角平分线与曲线相切.关键点拨本题主要考

2、查了点的轨迹问题，在解答类似问题时要能够给出动点的运用路线然后才能求出结果，结合椭圆内的三角形及其外角，设出点坐标，给出直线方程，联立直线与椭圆方程，利用根的判别式求出结果。综合训练1已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆上的两个动点，且的角平分线总垂直于轴，求证：直线的斜率为定值.【答案】（）； （）见解析.【解析】（）由题意得解得，所以，椭圆的方程是.()设直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，设，直线的方程为，即联立方程组消去得，因为为直线与椭圆的交点，所以，即把换为得，所以，所以 ，所以直线的斜率，故直线的斜率为定值.2椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离

3、心率.（1）求椭圆的方程；（2）求的角平分线所在直线的方程.来源:学科网【答案】(1) (2) 【解析】（I）设椭圆E的方程为由得将代入，有，来源:Z*xx*k.Com所以椭圆的方程为.来源:学&科&网Z&X&X&K（II）由（I）知所以直线的方程为即直线的方程为由椭圆的图形知的角平分线所在直线的斜率为正数.设为的角平分线所在直线上任一点，则有若得其斜率为负，不合题意，舍去.于是即所以的角平分线所在直线的方程为3已知是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,且离心率为(1)求椭圆的方程；来源:学科网ZXXK(2)若的角平分线所在的直线与椭圆的另一个交点为为椭圆上的一点,当面积最大时,求点的坐标.【答案】

4、(1) (2) 【解析】 (1)由椭圆经过点,离心率,可得,解得,所以椭圆的标准方程为(2)由(1)可知,则直线的方程,即直线的方程,由点A在椭圆上的位置易知直线的斜率为正数，设为直线上任意一点,则，解得或 (斜率为负数,舍去)直线的方程为,设过点且平行于的直线为由,整理得由,解得,因为为直线在轴上的截距,依题意, ,故解得，所以点的坐标为4椭圆：的左、右焦点分别是，点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，的周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可知且，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）设，则：，：，所以，所

5、以，所以，所以，又因为，所以，即为的取值范围.5已知离心率为的椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上异于长轴顶点的动点.当轴时，面积为.（1）求椭圆的方程；（2）的内角平分线交轴于，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1），解得，所以方程为.（2）设，则直线：；：设，由于是角平分线，从而，由于，则.化简得；则.6已知椭圆的长轴长为4，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）直线的斜率为，且与椭圆相交于，两点（异于点），过作的角平分线交椭圆于另一点.证明：直线与坐标轴平行.来源:学科网【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）解：，将代入椭圆方程，得，解得，故椭圆的方程为.（2）证明：平分欲证

6、与坐标轴平行，即证明直线的方程为或只需证，斜率都存在，且满足即可.当或斜率不存在时，即点或点为，来源:学科网经检验，此时直线与椭圆相切，不满足题意，故，斜率都存在.设直线：，联立，由韦达定理得，得证.7一个圆经过点，且和直线相切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由题意，圆心到定点与到定直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹是以点为焦点的抛物线，其方程为.来源:学*科*网Z*X*X*K（2）由题可知，直线与C有两个交点且不垂于于轴，所以直线斜率存在且不为零，设直线，联立，可得，则，且，又，轴是的角平分线，所以，整理可得，所以，即，此时满足，故：，所以，直线PQ过定点.10