2022年高考数学必备技能：二级结论速解.docx

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1、专题专题 01 01 子集、交集、并集、补集之间的关系式子集、交集、并集、补集之间的关系式 一、结论一、结论 1 1、子集、交集、并集、补集之间的关系式子集、交集、并集、补集之间的关系式：IIABABAABBAC BC ABI (其中其中I为全集为全集)（1 1）当）当AB时，显然成立时，显然成立 （2 2）当）当AB时，时，venn图如图所示，结论正确图如图所示，结论正确.2 2、子集个数问题：若一个集合、子集个数问题：若一个集合A含有含有n（nN）个元素，则集合）个元素，则集合A的子集有的子集有2n个，非空子集有个，非空子集有21n个个.真子集有真子集有21n个，非空真子集有个，非空真子集

2、有22n个个.理解：理解：A的子集有的子集有2n个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则n个元素共有个元素共有2n种选种选择，该结论需要掌握并会灵活应用择，该结论需要掌握并会灵活应用.二、典型例题（高考真题二、典型例题（高考真题+高考模拟）高考模拟）1（2012 湖北 高考（文）已知集合2|320,|05,Ax xxxRBxxxN，则满足条件ACB的集合C的个数为（）A1 B2 C3 D4【解析】求解一元二次方程，得【解析】求解一元二次方程，得 2|320,|120,Ax xxxxxxxRR 1,2，易知，易知|05,1,

3、2,3,4BxxxN.因为因为ACB，所以根据子集的定义，所以根据子集的定义，集合集合C必须含有元素必须含有元素 1,21,2，且可能含有元素，且可能含有元素 3,43,4，原题即求集合原题即求集合3,4的子集个数，即有的子集个数，即有224个，故选个，故选 D.D.【反思反思】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，本题在求集合个数时，由于集合元素个数少，由于集合元素个数少，也也可采用列举法可采用列举法，列出集合列出集合C的所有可能情况，再数个数即可的所有可能情况，再数个数即可.2（2021 全国 模拟预测）已知集合24Ax

4、x，2211Bxxa，若ABB，则实数a的取值范围是（）A1,3 B2,3 C1,3 D2,3【答案】【答案】B B 【解析】解不等式【解析】解不等式2211xa，得，得1axa，所以，所以1Bx axa.由由ABB，得，得BA，画出数轴：画出数轴：214aa，解得，解得23a 故选：故选：B B 【反思反思】在利用数轴求在利用数轴求BA包含关系时，特别注意最后答案区间的开闭细节问题；解此类题目时可以遵包含关系时，特别注意最后答案区间的开闭细节问题；解此类题目时可以遵循两步法原则：循两步法原则：先确定大方向：由先确定大方向：由BA，结合数轴，结合数轴 可以得到：可以得到：214aa 注意此时不

5、要把等号写上去，所谓先确定大方向，就是只确定注意此时不要把等号写上去，所谓先确定大方向，就是只确定a与与2的大小，的大小，1a 与与4的大小；的大小；再确定个别点：经过上述步骤再确定再确定个别点：经过上述步骤再确定214aa 不等式组中等号是否可以取到等号；假设不等式组中等号是否可以取到等号；假设2a；则由数轴；则由数轴可以观察出几何可以观察出几何24Axx中左端是开区间；而集合中左端是开区间；而集合1Bx axa左端是闭区间，结合数轴假设左端是闭区间，结合数轴假设2a 不成立；同理假设不成立；同理假设14a ，也不成立；故本题最后得到的关系式为，也不成立；故本题最后得到的关系式为214aa.

6、三、针对训练三、针对训练 举一反三举一反三 1（2013 福建 高考真题（文）若集合=1,2,3=1,3,4ABAB，则的子集个数为 A2 B3 C4 D16 2（2011 安徽 高考真题（理）设集合1,2,3,4,5,6,A 4,5,6,7,B 则满足SA且SB 的集合S的个数为 A57 B56 C49 D8 3（2022 安徽黄山 一模（文）已知集合21,Ss snnZ，3Tx x，则ST的真子集的个数是（）A1 B2 C3 D4 4（2022 全国 模拟预测）已知22,1,0,1,3,412|,xABx，则RAB的子集的个数为（）A3 B4 C15 D16 5（2022 重庆实验外国语学

7、校一模）已知集合86AxNNx，则集合A的所有非空子集的个数为（）A5 个 B6 个 C7 个 D8 个 6（2021 全国 模拟预测）已知集合2210Mx xx，2,Nm m，若MNM，则m（）A1 B1 或 0 C1 D0 或1 7（2021 江西 新余市第一中学模拟预测（理）已知集合2340Ax xx，集合2120Bx xaxa，且ABA，则实数a的取值集合为（）A3,2 B3,0,2 C3a a D32a aa 或 8（2021 全国全国 模拟预测）已知集合2270,QxxxxN，且P Q，则满足条件的集合 P 的个数是（）A8 B9 C15 D16 9.（2021 辽宁实验中学二模）

8、已知非空集合A、B、C满足：ABC，ACB则（）ABC BABC CBCA DABAC 10（2021 湖南 雅礼中学高一期中）定义,xABz zxyxA yBy，设集合0,2A，1,2B，1C，则集合ABC的所有子集中的所有元素之和为_ 11（2022 全国 高三专题练习）集合0,1,2,3,4,5S，A是S的一个子集，当xA时，若有1xA 且1xA，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S的4元子集中无“孤立元素”的子集个数是_ 12（2022 天津西青 高三期末）若集合20,1,2,3,1ABy yxxA，则集合B的所有子集的个数是_.13（2021 江西 模拟预测）设全集U R，集合229

9、40Axxx，2Bxaxa.(1)当2a 时，求UCAB；(2)若ABA，求实数a的取值范围.14（2021 江西 模拟预测）设全集U R，集合21Axaxa，14644xBx.(1)当1a 时，求()UAB；(2)若ABA，求实数a的取值范围.15（2021 陕西 高新一中高一期中）已知集合2230,1Ax xxBy y 或3,21yCxxm，其中3m (1)求AB；(2)若ABCC，求实数m的取值范围 16（2021 安徽 芜湖一中高一阶段练习）已知集合25,|1|21AxxBx mxm .(1)当|25AxZx 时，求A的非空真子集的个数；(2)若ABA，求实数m的取值范围；(3)若AB

10、 ，求实数m的取值范围.专题专题 02 交、并、补交、并、补(且、或、非且、或、非)之间的关系之间的关系(德摩根定律德摩根定律)一、结论一、结论 交、并、补交、并、补(且、或、非且、或、非)之间的关系之间的关系(德摩根定律德摩根定律)(1)(1)集合形式集合形式()()()IIICABC AC B,()()()IIICABC AC B (2)(2)命题形式：命题形式：()()()pqpq ，()()()pqpq 二、典型例题二、典型例题 1（2017 四川 三模（理）已知全集U，集合M，N满足MNU，则下列结论正确的是（）AMNU B()UUMN 痧 C()UMN D()UUMNU痧【解析】【

11、解析】全集全集U，集合，集合M，N满足满足MNU，绘制绘制 VennVenn 图，如下：图，如下：对于对于 A A：MNN，A A 错误；错误；对于对于 B B：()UUUUNNMMN痧痧，B B 错误；错误；对于对于 C C：UMN，C C 正确；正确；对于对于 D D：()UUUUNNMMM痧痧；D D 错误；错误；故选：故选：C C 【反思反思】本题主要借助本题主要借助venn图，对于图，对于 B，D 选项，充分利用德摩根律()()()IIICABC AC B,()()()IIICABC AC B，再结合venn图，可以快速，准确判断正误图，可以快速，准确判断正误.2（2011 广东汕头

12、 一模（理）设123SSS、是全集U的三个非空子集，且123SSSU，则下面论断正确的是 A323USSS B123UUSSS 痧 C123UUUSSS 痧?D123UUSSSU痧【解析】【解析】根据公式根据公式)()()UUUABAB痧?，()()UUUABAB痧?，即可推出正确的结论，即可推出正确的结论 123SSSU，123123()UUUUUSSSSSSU痧痧?.故选：故选：C.【反思反思】本题考查交、并、补集的混合运算，熟练运用公式】本题考查交、并、补集的混合运算，熟练运用公式)()()UUUABAB痧?，()()UUUABAB痧?是解题的关键是解题的关键。三、针对训练三、针对训练

13、举一反三举一反三 1（2021上海市进才中学高一期中）已知U为全集，集合A、B非空，且AB，则下列式子中一定是空集的为（）AUAB BUAB CUUAB痧 DUUAB痧 2（2021全国高一课时练习）已知U为全集，则下列说法错误的是（）A若AB ，则UUABU痧 B若AB ，则A 或B C若ABU，则UUAB 痧 D若AB ，则AB 3（2021 全国 高一单元测试）已知集合A中有 10 个元素，B中有 6 个元素，全集U有 18 个元素，AB I.设集合UUAB痧中有x个元素，则x的取值范围是（）A38,Nxxx B28,Nxxx C812,Nxxx D1015,Nxxx 4（2020浙江）

14、已知全集UAB中有m个元素，UUAB痧中有n个元素，若AB非空，则AB的元素个数为（）.Am Bn Cmn Dmn 5（2021全国高一单元测试）已知全集UR，则UUMN 痧（）AU()MN BMN CMN DR 6（2017 上海市育才中学）集合A中有 10 个元素，B中有 6 个元素，全集U有 18 个元素，设集合C()UAB有x个元素，则x的所有取值组成的集合为_ 7（2019河南高一阶段练习）已知函数 21fxx的定义域为A，函数 ln 1ln1g xxx的定义域为B，设全集U R，则UUAB 痧_ 8（2021宁夏吴忠中学高一期中）下列命题之中，U 为全集时，下列说法正确的是_.(1

15、)若AB=，则UUC AC BU；(2)若AB ，则A 或B ;(3)若ABU，则UUC AC B ;(4)若AB=，则AB.9（2021天津市滨海新区大港实验中学高一阶段练习）全集U=R，已知集合(3)(2)0Ax xx，3235Bxx，2 B11abab C1e1lnbbaa Dlnlnabba【答案】C【解析】取10,8ab，则bab-，故 A 选项错误；取3a，13b，11abab，则 B 选项错误；取3a，1b，则ln3ab+=，2ln1 ln31 ln3bae+=+，ln1aa，111lnebaba-+，即1e1lnbbaa，C 选项正确.故选：C.【反思反思】对于对于指数形式指数

16、形式:1()xexxR,当且仅当当且仅当0 x 时时,等号成立等号成立，该不等式是可以变形使用的：，该不等式是可以变形使用的：111111()1,111xxxxxxxxxexexxRexxeex 当替换当即 注意使用时注意使用时x的取值范围；的取值范围；同样的还可以如下处理：同样的还可以如下处理：1()xexxR两边同时取对数：两边同时取对数：ln(1)(1)xxx，同样可以变形使用：1 ln(1)(1)1ln(0)1ln(0)xxxxxxx xxx x 替换左右两边同乘以“-1?；11111ln(0)1ln(0)1lnlnxxxxx xxxxxxxx 用“”替换“”注意使用时注意使用时x的取

17、值范围的取值范围.2（2021 安徽 高三阶段练习（文）已知函数 1xfxeaxaR.(1)若对0 x，都有 0fx，求实数 a的取值范围；(2)若 a、0b，且1ab，求证：对任意0 x，都有：11xeaxbx.【答案】(1)1a(2)证明见解析【解析】(1)由0 x 时：10 xfxeax 又：xfxea,若1a 时，由0 x，故e1x，所以对任意0 x，都有：0 xfxea 此时函数 g x在0,上单调递增，故对任意0 x，都有：100 xfxeaxf 满足条件.若1a 时，由0 x，故：0lnxfxeaxa 故可得：x,ln a lna ln,a fx-0+fx 极小值 故函数 fx在

18、0,ln a上单调递减，在ln,a 上单调递增,故：ln00faf不满足条件0 x，都有 0fx,综上，实数 a的取值范围为1a.(2)由（1）可知，当1a 时，对任意0 x，都有：10 xfxex,故对任意0 x，都有：1xex,又 a、0b，故对任意0 x，都有：10axeax，10bxebx 又1ab，故：11a b xaxbxax bxxeeeeeaxbx 故对任意0 x，都有：11xeaxbx.【反思反思】注意在解答题中注意在解答题中1xex 不能直接使用，需要证明后才可以使用，才可以进一步变形得到有利于不能直接使用，需要证明后才可以使用，才可以进一步变形得到有利于解题的不等式解题的

19、不等式.三、针对训练三、针对训练 举一反三举一反三 一、单选题一、单选题 1（2022 广东韶关 一模）已知sin1 1e,sin1,cos1abc，则（）Aacb Babc Ccba Dcab 2（2022 山西运城（理）已知命题p：0 x，ln1xx；命题q：Rx，|e1x则下列命题中为真命题的是（）Apq Bpq Cpq Dpq 3（2021 广东肇庆）下列不等式中，不恒成立的是（）A23()xexxR B21ln11()()xxx C1ln)2(2xxx D1si)n8(xexxR 4（2021 安徽 东至县第二中学（理）下列不等式正确的个数有（）个.1xex；1lnxx；1(1),(

20、)xxxxxe A0 B1 C2 D3 5（2020 黑龙江哈尔滨（理）下列四个命题中的假命题为（）AxR，1xex BxR，1xex C00 x，00ln1xx D00 x，001ln1xx 6（2019 湖北（文）下列不等式中正确的是 sin,(0,)xx x；1,xexxR；ln,(0)xx x，.A B C D 7（2020 全国（理）已知命题p：0 x，1xex，命题q：(0,)x，ln xx，则下列命题正确的是 Apq B()pq C()pq D()()pq 8（2021 安徽 毛坦厂中学高三阶段练习（理）设ln1.01a，1.0130be，1101c，（其中自然对数的底数2.71

21、828e）则（）Aabc Bacb Ccba Dcab 9（2022 全国 高三专题练习）若正实数a，b满足22lnln222baba，则（）A1224ab B122 22ab C2ab D240ba 二、填空题二、填空题 10（2020 广东 高三阶段练习）已知函数()lnf xx的反函数为 g x，若实数 m、n满足()()2f mg nmn，则mn _ 11（2020 北京 中关村中学）已知函数()1xf xeax，ln1g xxax，其中01a，e 为自然对数的底数，若0(0,)x，使000fxg x，则实数 a 的取值范围是_ 三、解答题三、解答题 12（2022 浙江 高三专题练习

22、）证明以下不等式：(1)1xex；(2)ln1xx；(3)1ln(1)xex.13（2022 全国 高三专题练习）已知 1 ln1fxxx.(1)求函数 fx的单调区间；(2)设函数 221g xxfxx，若关于x的方程 g xa有解，求实数a的最小值；(3)证明不等式：*111ln1123nnNn.专题专题 0 08 8 三点共线充要条件三点共线充要条件 一、结论一、结论 1 1、设平面上三点设平面上三点O,A,B不共线不共线,则平面上任意一点则平面上任意一点P与与A,B共线的充要条件是存在实数共线的充要条件是存在实数与与 ,使得使得OPOAOB,且且1.特别地特别地,当当P为线段为线段AB

23、的中点时的中点时,1122OPOAOB.二、典型例题二、典型例题 1（2021 安徽 铜陵一中高三阶段练习（理）如图，ABC中，D为AB上靠近B的三等分点，点F在线段CD上，设ABa，ACb，AFxayb，则21xy的最小值为（）A6 B7 C42 2 D42 3【答案】【答案】D D 【解析】【解析】由于由于D为为AB上靠近上靠近B的三等分点，的三等分点，故故23ADAB ,所以所以32xAFxaybxAByACADyAC,又因为点又因为点F在线段在线段CD上，所以上，所以312xy ，故故2121332()()422xxyyxyxyyx，由题意可知由题意可知0,0 xy ，故，故21324

24、42 32xyxyyx，当且仅当当且仅当322xyyx时，即时，即3311,32xy 时，等号取得，时，等号取得，故选：故选：D.D.【反思反思】本题重点本题重点C,F,D三点共线，可以得到三点共线，可以得到AFmADnAC且且1mn，所以本题中，所以本题中AFxayb中的中的AF如何化简成如何化简成AFmADnAC才是本题的关键，又才是本题的关键，又D为为AB上靠近上靠近B的三等分点，故的三等分点，故23ADAB ,所以得到所以得到32xAFxaybxAByACADyAC这样，由这样，由C,F,D三点共线，得到三点共线，得到312xy，进而才，进而才利用均值不等式求解最值利用均值不等式求解最

25、值.如何利用三点共线时解本题的快速捷径如何利用三点共线时解本题的快速捷径.三、针对训练三、针对训练 举一反三举一反三 一、单选题一、单选题 1（2020 安徽 安庆市第二中学高一阶段练习）如图，在三角形 OAB中，P为线段 AB上的一点，OPxOAyOBuuu ruuruuu r，且3BPPA，则（）A23x，13y B13x，23y C14x，34y D34x，14y 2（2022 全国 高三专题练习）如图，在OAB中，C 是AB的中点，P在线段OC上，且2OCOP.过点 P的直线交线段,OA OB分别于点 N，M，且,OMmOB ONnOA，其中,0,1m n，则mn的最小值为（）A12

26、B23 C1 D34 3（2022 全国 高三专题练习）在ABC中，3ACAD，BEED，设(,)A EA BA CR，则（）A13 B13 C23 D43 4（2021 福建 厦门市湖滨中学高三期中）.如图，在ABC中，13ADDC，P是线段BD上一点，若16APmABAC，则实数m的值为（）A13 B23 C2 D12 5（2022 全国 高三专题练习）A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若OCOAOB,R，则的取值范围是（）A0,1 B1,C1,2 D1,0 6（2021 四川成都 高三期中（文）如图所示，已知点 G 是ABC的重心，过点 G作直

27、线分别与 AB，AC两边交于 M，N两点(点 N与点 C 不重合)，设A B x A M，ACyAN，则111xy的最小值为（）A2 B12 C32 D22 2 7（2021 山西大附中高三阶段练习（文）如图所示，已知点 G是ABC的重心，过点 G 作直线分别与AB，AC 两边交于 M，N两点（点 N与点 C不重合），设xABAM，yACAN，则11xy的值为（）A3 B4 C5 D6 8（2021 福建省长汀县第一中学高三阶段练习）如图，在ABC中，23ANNC，P是BN上一点，若13APABAC，则实数的值为（）A13 B16 C23 D14 二、填空题二、填空题 9（2021 湖南 周南

28、中学高二开学考试）在ABC中，E为AC上一点，3ACAE，P为BE上任一点，ADmAB，AFnAC，（0m，0n），若APADAF，则当31mn取最小值时，四边形ADPF的面积与ABC的面积之比等于_ 10（2021 黑龙江 大庆中学高一阶段练习）如图，经过OAB的重心 G的直线与,OA OB分别交于点P，Q，设,OPmOA OQnOB，,m nR，则11nm的值为_ 三、解答题三、解答题 11（2021 全国 高一课时练习）如图，在AOB中，14OCOAuuu ruur，12ODOBuuu ruuu r，AD与BC相交于点 M，设OAa，OBb，（1）试用a，b表示向量OM：（2）在线段AC

29、上取一点 E，在BD上取一点 F，使得EF过点 M，设O EO A，OFOB，求证：13177 专题专题 09 09 三角形”四心“向量形式的充要条件三角形”四心“向量形式的充要条件 一、结论一、结论 1 1、三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心、三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心 （1 1）重心）重心中线的交点：重心将中线长度分成中线的交点：重心将中线长度分成 2 2：1 1；（2 2）垂心）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；高线的交点：高线与对应边垂直；（3 3）内心）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上

30、的任意点到角两边的距离相等；（4 4）外心）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。2 2、设设O为为ABC所在平面上一点所在平面上一点,内角内角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,则则 （1 1）O为为ABC的外心的外心|2sinaOAOBOCA.（2 2）O为为ABC的重心的重心0OAOBOC.（3 3）O为为ABC的垂心的垂心OA OBOB OCOC OA.（4 4）O为为ABC的内心的内心0aOAbOBcOC.3 3、奔驰定理、奔驰定理 奔驰定理：设奔驰定理：设O是是ABC内一点，内一点，

31、BOC,AOC,AOB的面积分别记作的面积分别记作AS,BS,CS则则0ABCSOASOBSOC.说明：说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：奔驰定理在三角形四心中的具体形式：O是是ABC的重心的重心:1:1:1ABCSSS0OAOBOC.O是是ABC的内心的内心:ABCSSSa b c0aOAbOBcOC.O是是ABC的外心的外心:sin 2:sin 2:sin 2ABCSSSABCsin2sin2sin20A OAB OBC OC.O是是ABC的垂心的垂心:tan:tan:tanABCSSSABCtantantan0A OAB

32、 OBC OC.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.OABCASCSBS二、典型例题二、典型例题 1（2022 四川西昌 高二期末（理）在平面上有ABC及内一点 O满足关系式：0OBCOACOABSOASOBSOC即称为经典的“奔驰定理”，若ABC的三边为 a，b，c，现有0a OAb OBc OC 则 O 为ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心【答案】B【解析】记点 O到 AB、BC、CA 的距离分别为123hhh，212OBCSa h，312OACSb h，112OABSc h，因为0OBCOACOABSOASOBSOC，则233111=0222

33、a hOAb hOBc hOC，即2310a hOAb hOBc hOC，又因为0a OAb OBc OC，所以123hhh，所以点 P 是 ABC 的内心.故选：B【反思反思】设设O为为ABC所在平面上一点所在平面上一点,内角内角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,则则O为为ABC的内心的内心0aOAbOBcOC.利用结论可直接得到利用结论可直接得到O为为ABC的内心的内心.2（2021 全国 高一课时练习）已知 O是ABC 所在平面上的一点，若OAOBOC0，则点 O 是ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心【答案】C【解析】作 BDOC，CDOB，连接 OD，OD 与

34、BC 相交于点 G，则 BG=CG(平行四边形对角线互相平分)，OBOCOD，又OAOBOC0，可得OBOC=-OA，OD=-OA，A，O，G在一条直线上，可得 AG是 BC 边上的中线，同理，BO，CO也在ABC的中线上.点 O为三角形 ABC 的重心.故选：C.【反思反思】设设O为为ABC所在平面上一点所在平面上一点,内角内角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,则则O为为ABC的重心的重心0OAOBOC.利用结论可直接得到利用结论可直接得到O为为ABC的重心的重心.3（多选）（2022 全国 高三专题练习）在ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列说法正确的是（）A满足|OA

35、OBOC，则点O是ABC的外心 B满足0NANBNC，则点N是ABC的重心 C满足PA PBPB PCPC PA，则点P是ABC的垂心 D满足()0|ABACBCABAC，且12|ABACABAC，则ABC为等边三角形【答案】ABCD【解析】解：对于A，因为|OAOBOC，所以点O到ABC的三个顶点的距离相等，所以O为ABC的外心，故A正确；对于 B，如图所示，D为BC的中点，由0NANBNC得：2NDNA，所以|:|2:1ANND，所以N是ABC的重心，故 B 正确；对于 C，由PA PBPB PC得：()0PAPCPB，即0AC PB，所以ACPB；同理可得：ABPC，所以点P是ABC的垂

36、心，故 C 正确；对于 D，由()0|ABACBCABAC得：角A的平分线垂直于BC，所以ABAC；由12|ABACABAC得：1cos2A，所以3A，所以ABC为等边三角形，故 D 正确 故选：ABCD【反思反思】设设O为为ABC所在平面上一点所在平面上一点,内角内角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,则则 （1 1）O为为ABC的外心的外心|2sinaOAOBOCA.（2 2）O为为ABC的重心的重心0OAOBOC.（3 3）O为为ABC的垂心的垂心OA OBOB OCOC OA.4.已知G是ABC的重心，且满足56sin40sin35sin0A GAB GBC GC，则B=

37、.【答案】3 【分析】要牢记,OA OB OC前面的系数之比为 1:1:1，求得三内角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.【解析】G是ABC 的重心，0GAGBGC 56sin:40sin:35sin1:1:1ABC sin:sin:sin5:7:8ABC 由正弦定理，:sin:sin:sin5:7:8a b cABC 由余弦定理，2222225871cos22 5 82acbBac (0,)B ，3B .【反思反思】利用利用奔驰定理在三角形四心中的具体形式：奔驰定理在三角形四心中的具体形式：O是是ABC的重心的重心:1:1:1ABCSSS0OAOBOC，可得到，可得到56sin:40sin:3

38、5sin1:1:1ABC，通过进一步利用三角形的正余弦定理，通过进一步利用三角形的正余弦定理，求出角求出角B.三、针对训练三、针对训练 举一反三举一反三 一、单选题一、单选题 1（2021 宁夏 银川一中高三阶段练习（理）ABC中，abc分别是 BCACAB 的长度，若a OAb OBc OCO，则 O是ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心 2（2021 山东枣庄 高一期中）已知点 G是三角形 ABC所在平面内一点，满足0GAGBGC，则 G 点是三角形 ABC的（）A垂心 B内心 C外心 D重心 3（2021 福建 厦门市湖滨中学高二开学考试）若O是平面上的定点，A，B，C是平面上不共

39、线的三点，且满足OPOCCBCA（R），则P点的轨迹一定过ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心 4（2021 全国 高一课时练习）若 O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若点 P满足2OBOCOP+AP(0，+)，则点 P的轨迹一定通过 ABC 的（）A外心 B内心 C重心 D垂心 5（2022 全国 高三专题练习）设O是平面上一定点，ABC是平面上不共线的三点，动点 P满足()ABACOPOAABAC，0,，则动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的（）A外心 B内心 C重心 D垂心 6（2022 全国 高三专题练习）在ABC中，CBa=，CAb=，且sinsinabOPOC

40、maBbA=+，mR，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A重心 B内心 C外心 D垂心 二、多选题二、多选题 7（2021 广东广州 高一期末）已知 O，N，P，I在ABC所在的平面内，则下列说法正确的是（）A若|OAOBOC，则 O 是外心 B若PA PBPB PCPC PAuuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu r，则 P是垂心 C若0NANBNC，则 N是重心 D若0CB IAAC IBBA IC，则 I 是内心 8（2021 重庆实验外国语学校高一期中）对于给定的ABC，其外心为 O，重心为 G，垂心为 H，内心为Q，则下列结论正确的是（）A212AO ABAB

41、BGA GBGA GCGB GC C0HAHBHC D若APQ、三点共线，则存在实数使|ABACAPABAC 9（2021 广东 东莞市光明中学高一阶段练习）点O在ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（）A若0OAOBOC，则点 O是ABC的重心 B若0|ACABBCBAOAOBACABBCBA，则点 O 是ABC的内心 C若()()0OAOBABOBOCBC，则点 O是ABC的外心 D若OA OBOB OCOC OA，则点 O 是ABC的垂心 三、填空题三、填空题 10（2020 四川 遂宁中学高一阶段练习）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足2coscos

42、OBOCABACOPABBACC，0,，则动点P的轨迹一定通过ABC的_(填序号）内心 垂心 重心 外心 四、解答题四、解答题 11（2021 全国 高一课时练习）已知三角形的三条中线交于一点G（也称为三角形的重心），且点G将每条中线分为2:1的两段（如图，:2:1AG GM）设ABC三个顶点分别为11,A x y，22,B xy，33,C xy，求证：(1)点G的坐标为123123,33xxxyyy；(2)0GAGBGC 专题专题 10 10 与等差数列相关的结论与等差数列相关的结论 一、结论一、结论 设设nS为等差数列为等差数列na的前的前n项和项和.(1)(1)1(1)naand;()n

43、maanm d (2)(2)(,)pqmnpqmnaaaam n p qN (3)(3)22(,)pqmpqmaaam p qN;(4)(4)23243,mmmmmmmSSSSSSS构成等差数列构成等差数列.(5)(5)1()22nSddnan是关于是关于n的一次函数或常数函数，数列的一次函数或常数函数，数列nSn也是等差数列也是等差数列.(6)(6)11()(1)22nnn aan ndSna (7)(7)若等差数列若等差数列na的项数为偶数的项数为偶数2m,公差为公差为d,所有奇数项之和为所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为所有偶数项之和为S偶,则所有项则所有项之和之和21()mmmSm

44、 aa,=SSmd奇偶,1=mmSaSa偶奇.(8)(8)若等差数列若等差数列na的项数为奇数的项数为奇数21m,所有奇数项之和为所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为所有偶数项之和为S偶,则所有项之和则所有项之和21(21)mmSma,mSma奇,(1)mSma偶,=mSSa奇偶,1SmSm奇偶.(9)(9)在等差数列na，nb中，它们的前n项和分别记为,nnST则2121nnnnaSbT.二、典型例题二、典型例题 1（2021 山西太原 高二阶段练习）设等差数列na的前 n项和为nS，若2kS，28kS，则4kS（）A28 B32 C16 D24【答案】B【详解】由等差数列na前 n 项和

45、的性质，可得kS，2kkSS，32kkSS，43kkSS成等差数列，2322kkkkkSSSSS，解得318kS.2，6，10，418kS成等差数列，可得42 10618kS，解得432kS.故选：B【反思反思】等差数列中依次等差数列中依次m项之和项之和mS，2mmSS，32mmSS，43mmSS,组成公差为组成公差为2m d的等差数列的等差数列,此结论可以直接用语计算，但是在使用公式时注意避免公式使用错误此结论可以直接用语计算，但是在使用公式时注意避免公式使用错误.2（2022 北京 人大附中高二期末）已知等差数列na的前n项和为nS，并且120S，130S，若nkSS对n*N恒成立，则正整

46、数k的值为（）A4 B5 C6 D7【答案】C【详解】由题意可得1121211267105502aaSaaaa，所以670aa，又113137101002aaSa，所以70a，又670aa可得60a，所以等差数列na的前 6 项为正数，从第 7 项起为负数，所以6nSS，所以6k.故选：C.【反思反思】充分利用充分利用(,)pqmnpqmnaaaam n p qN和和22(,)pqmpqmaaam p qN，推出等差数列的正负项（或者单调性），从而确定数列，推出等差数列的正负项（或者单调性），从而确定数列na中最大和中最大和kS.3（2020 安徽宣城 高一阶段练习（文）已知等差数列na共有*

47、2n nN项，若数列na中奇数项的和为190，偶数项的和为210，11a，则公差d的值为（）A2 B4 C54 D52【答案】A【详解】由题意1211902nnn aaSna奇，2212102nnn aaSna偶，所以，121019020nnSSn aand奇偶，1211112011902nnn aaSnanndnn ndnn奇，所以，10n，2d.故选：A.【反思反思】对于等差数列奇偶项和问题，首先要判断项数为奇数项还是偶数项，其次再代入相应公式计算，对于等差数列奇偶项和问题，首先要判断项数为奇数项还是偶数项，其次再代入相应公式计算，本例中本例中na共有*2n nN项，为偶数项，代入公式：2

48、1()mmmSm aa,=SSmd奇偶,1=mmSaSa偶奇，计算可得到答案计算可得到答案.4（2021 江苏 高二单元测试）已知两个等差数列na和 nb的前 n项和分别为 Sn 和 Tn，且nnST=2703nn，则使得nnab为整数的正整数 n的个数为（）A4 B5 C6 D7【答案】B【详解】依题意，12121211211()(21)21()(21)2nnnnnnaanSaTbbbn，又nnST=2703nn，于是得21212(21)702(17)322(21)311nnnnaSnnbTnnn，因此，要nnab为整数，当且仅当321n 是正整数，而nN，则1n 是 32 的大于 1 的约

49、数，又 32 的非 1 的正约数有 2，4，8，16，32 五个，则 n 的值有 1，3，7，15，31 五个，所以使得nnab为整数的正整数 n 的个数为 5.故选：B【反思反思】在等差数列在等差数列na，nb中，它们的前中，它们的前n项和分别记为项和分别记为,nnST则则2121nnnnaSbT,注意此公式使用的前提：注意此公式使用的前提：nnab中分子分母角标一致，比如：中分子分母角标一致，比如：55ab，1111ab.但如果是但如果是117ab这类分子分母角标不一致，不能直接使用该公式这类分子分母角标不一致，不能直接使用该公式,需另寻它法需另寻它法.5（2020 贵州铜仁伟才学校高二阶

50、段练习）已知等差数列na和 nb的前n项和分别为nS和nT，且满足2132nnSnTn，则64ab（）A32 B23 C1314 D1【答案】D【详解】由题意，令(21),(32)nnSknnTknn，665443785515633aSSkkbTTkk，故选：D【反思反思】在此题中，由于在此题中，由于64ab角标不一致，不能直接使用公式角标不一致，不能直接使用公式2121nnnnaSbT，所以可以回归等差数列求和公式，所以可以回归等差数列求和公式的本质：的本质：2nSAnBn(,A B为常数为常数)na是等差数列是等差数列 三、针对训练三、针对训练 举一反三举一反三 一、单选题一、单选题 1（