2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题.pdf

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1、120242024 年新课标全国年新课标全国卷数学真题卷数学真题一、单选题一、单选题1已知1 iz ，则z（）A0B1C2D22已知命题 p：x R，|1|1x；命题 q：0 x，3xx，则（）Ap 和 q 都是真命题Bp和 q 都是真命题Cp 和q都是真命题Dp和q都是真命题3已知向量,a b 满足1,22aab，且2bab，则b（）A12B22C32D14某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理下表亩产量900，950）950，1000）1000，1050）1100，1150）1150，1200）频数612182410据表中

2、数据，结论中正确的是（）A100 块稻田亩产量的中位数小于 1050kgB100 块稻田中亩产量低于 1100kg 的稻田所占比例超过 80%C100 块稻田亩产量的极差介于 200kg 至 300kg 之间D100 块稻田亩产量的平均值介于 900kg 至 1000kg 之间5已知曲线 C：2216xy（0y），从 C 上任意一点 P 向 x 轴作垂线段PP，P为垂足，则线段PP的中点 M的轨迹方程为（）A221164xy（0y）B221168xy（0y）C221164yx（0y）D221168yx（0y）6 设函数2()(1)1f xa x，()cos2g xxax，当(1,1)x 时，曲

3、线()yf x与()yg x恰有一个交点，则a（）A1B12C1D27已知正三棱台111ABCABC-的体积为523，6AB，112AB，则1A A与平面 ABC 所成角的正切值为（）A12B1C2D38设函数()()ln()f xxaxb，若()0f x，则22ab的最小值为（）A18B14C12D12二、多选题二、多选题9对于函数()sin2f xx和()sin(2)4g xx，下列正确的有（）A()f x与()g x有相同零点B()f x与()g x有相同最大值C()f x与()g x有相同的最小正周期D()f x与()g x的图像有相同的对称轴10抛物线 C：24yx的准线为 l，P

4、为 C 上的动点，过 P 作22:(4)1A xy的一条切线，Q 为切点，过 P 作l 的垂线，垂足为 B，则（）Al 与A相切B当 P，A，B 三点共线时，|15PQ C当|2PB 时，PAABD满足|PAPB的点P有且仅有 2 个11设函数32()231f xxax，则（）A当1a 时，()f x有三个零点B当0a时，0 x 是()f x的极大值点C存在 a，b，使得xb为曲线()yf x的对称轴D存在 a，使得点 1,1f为曲线()yf x的对称中心三、填空题三、填空题12记nS为等差数列na的前 n 项和，若347aa，2535aa，则10S.13已知为第一象限角，为第三象限角，tan

5、tan4，tantan21，则sin().14在如图的 44 方格表中选 4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的 4 个数之和的最大值是四、解答题四、解答题15记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sin3cos2AA(1)求 A(2)若2a，2 sinsin2bCcB，求ABC的周长316已知函数3()exf xaxa(1)当1a 时，求曲线()yf x在点1,(1)f处的切线方程；(2)若()f x有极小值，且极小值小于 0，求 a 的取值范围17 如图，平面四边形 ABCD 中，8AB，3CD，5 3AD

6、，90ADC，30BAD，点 E，F 满足25AEAD，12AFAB，将AEF沿 EF 对折至PEF!，使得4 3PC(1)证明：EFPD；(2)求面 PCD 与面 PBF 所成的二面角的正弦值418某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次，若 3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为 0 分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 3 次，每次投中得 5 分，未投中得 0 分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 p，乙每次投中的概率为 q，各次投中与否相互独

7、立(1)若0.4p，0.5q，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率(2)假设0pq，（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19 已知双曲线22:0C xym m，点15,4P在C上，k为常数，01k 按照如下方式依次构造点2,3,.nP n，过1nP作斜率为k的直线与C的左支交于点1nQ，令nP为1nQ关于y轴的对称点，记nP的坐标为,nnxy.(1)若12k，求22,xy；(2)证明：数列nnxy是公比为11kk的等比数列；(3)设nS为1

8、2nnnP P P的面积，证明：对任意的正整数n，1nnSS.120242024 年新课标全国年新课标全国卷数学真题卷数学真题参考答案：参考答案：1C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若1 iz ，则22112z .故选：C.2B【分析】对于两个命题而言，可分别取=1x、1x，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p而言，取=1x，则有101x，故p是假命题，p是真命题，对于q而言，取1x，则有3311xx，故q是真命题，q是假命题，综上，p和q都是真命题.故选：B.3B【分析】由2bab得22ba b，结合1,22aab，得221 441 64a bbb ，由此即

9、可得解.【详解】因为2bab，所以20bab，即22ba b，又因为1,22aab，所以221 441 64a bbb ，从而22b.故选：B.4C【分析】计算出前三段频数即可判断 A；计算出低于 1100kg 的频数，再计算比例即可判断 B；根据极差计算方法即可判断 C；根据平均值计算公式即可判断 D.【详解】对于 A,根据频数分布表可知,612183650,所以亩产量的中位数不小于1050kg,故 A 错误；对于 B，亩产量不低于1100kg的频数为341024，所以低于1100kg的稻田占比为1003466%100，故 B 错误；对于 C，稻田亩产量的极差最大为1200900300，最小

10、为1150950200，故 C 正确；对于 D，由频数分布表可得，亩产量在1050,1100)的频数为100(612182410)30，2所以平均值为1(6 925 12 975 18 102530 107524 1125 10 1175)1067100，故 D 错误.故选；C.5A【分析】设点(,)M x y，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P xy，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y，则0(,),(,0)P x yP x，因为M为PP的中点，所以02yy，即(,2)P xy，又P在圆2216(0)xyy上，所以22416(0)xyy，即221(0)164xyy，即点M

11、的轨迹方程为221(0)164xyy.故选：A6D【分析】解法一：令 21,cosaxF xaxG x，分析可知曲线()yF x与()yG x恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在 y 轴上，即可得2a，并代入检验即可；解法二：令 (),1,1h xf xg xx，可知 h x为偶函数，根据偶函数的对称性可知 h x的零点只能为 0，即可得2a，并代入检验即可.【详解】解法一：令()f xg x，即2(1)1cos2a xxax，可得21cosaxax，令 21,cosaxF xaxG x，原题意等价于当(1,1)x 时，曲线()yF x与()yG x恰有一个交点，注意到 ,F xG

12、 x均为偶函数，可知该交点只能在 y 轴上，可得 00FG，即1 1a，解得2a，若2a，令 F xG x，可得221 cos0 xx 因为1,1x，则220,1 cos0 xx，当且仅当0 x 时，等号成立，可得221 cos0 xx，当且仅当0 x 时，等号成立，则方程221 cos0 xx 有且仅有一个实根 0，即曲线()yF x与()yG x恰有一个交点，所以2a 符合题意；综上所述：2a.解法二：令 2()1cos,1,1h xf xg xaxax x，3原题意等价于 h x有且仅有一个零点，因为 221cos1coshxaxaxaxaxh x，则 h x为偶函数，根据偶函数的对称性

13、可知 h x的零点只能为 0，即 020ha，解得2a，若2a，则 221cos,1,1h xxx x，又因为220,1 cos0 xx当且仅当0 x 时，等号成立，可得 0h x，当且仅当0 x 时，等号成立，即 h x有且仅有一个零点 0，所以2a 符合题意；故选：D.7B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高4 33h，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得4 33AM，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台111ABCABC-补成正三棱锥PABC，1A A与平面 ABC 所成角即为PA与平面 ABC 所成角，根据比例关系可得18PABCV，进而可求正三棱锥PABC的

14、高，即可得结果.【详解】解法一：分别取11,BC BC的中点1,D D，则113 33AD,AD=，可知1 1 11316 69 3,233222ABCA B CSS ，设正三棱台111ABCABC-的为h，则1 111529 339 3333ABCA B CVh，解得4 33h，如图，分别过11,A D作底面垂线，垂足为,M N，设AMx，则22211163AAAMAMx=+=+，2 3DNADAMMNx=-=-，可得22211162 33DDDND Nx，4结合等腰梯形11BCC B可得22211622BBDD,即2216162 3433xx，解得4 33x，所以1A A与平面 ABC 所

15、成角的正切值为11tan1AMA ADAM=；解法二：将正三棱台111ABCABC-补成正三棱锥PABC，则1A A与平面 ABC 所成角即为PA与平面 ABC 所成角，因为11113PAABPAAB，则1 1 1127P A B CP ABCVV，可知1 1 12652273ABC A B CP ABCVV，则18PABCV，设正三棱锥PABC的高为d，则1136 618322P ABCVd ，解得2 3d，取底面 ABC 的中心为O，则PO底面 ABC，且2 3AO，所以PA与平面 ABC 所成角的正切值tan1POPAOAO.故选：B.8C【分析】解法一：由题意可知：()f x的定义域为

16、,b，分类讨论a与,1bb的大小关系，结合符号分析判断，即可得1ba，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()xb的符号，进而可得xa的符号，即可得1ba，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：()f x的定义域为,b，令0 xa解得xa；令ln()0 xb解得1xb；若 ab，当,1xbb 时，可知0,ln0 xaxb，此时()0f x，不合题意；5若1bab ，当,1xab 时，可知0,ln0 xaxb，此时()0f x，不合题意；若1ab，当,1xbb 时，可知0,ln0 xaxb，此时()0f x；当1,xb时，可知0,ln0 xaxb，此时()0f x；可知若1ab，

17、符合题意；若1ab，当1,xba时，可知0,ln0 xaxb，此时()0f x，不合题意；综上所述：1ab，即1ba，则2222211112222abaaa，当且仅当11,22ab 时，等号成立，所以22ab的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x的定义域为,b，令0 xa解得xa；令ln()0 xb解得1xb；则当,1xbb 时，ln0 xb，故0 xa，所以10ba；1,xb时，ln0 xb，故0 xa，所以10ba；故10ba，则2222211112222abaaa，当且仅当11,22ab 时，等号成立，所以22ab的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0 xa、ln

18、()0 xb的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.9BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A 选项，令()sin20f xx，解得,2kxkZ，即为()f x零点，令()sin(2)04g xx，解得,28kxkZ，即为()g x零点，6显然(),()f x g x零点不同，A 选项错误；B 选项，显然maxmax()()1f xg x，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x的周期均为22，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x的对称轴满足2,224kxkxkZ，()g x的对

19、称轴满足32,4228kxkxkZ，显然(),()f x g x图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC10ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,P A B三点共线时，先求出P的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB 先算出P的坐标，然后验证1PAABkk 是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PBPF，于是问题转化成PAPF的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24yx的准线为=1x，A的圆心(0,4)到直线=1x的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和A相切，A

20、 选项正确；B 选项，,P A B三点共线时，即PAl，则P的纵坐标4Py，由24PPyx，得到4Px，故(4,4)P，此时切线长22224115PQPAr，B 选项正确；C 选项，当2PB 时，1Px，此时244PPyx，故(1,2)P或(1,2)P，当(1,2)P时，(0,4),(1,2)AB，4220 1PAk，4220(1)ABk，不满足1PAABkk；当(1,2)P时，(0,4),(1,2)AB，4(2)60 1PAk ，4(2)60(1)ABk ，不满足1PAABkk；于是PAAB不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PBPF，这里(1,0)F

21、，7于是PAPB时P点的存在性问题转化成PAPF时P点的存在性问题，(0,4),(1,0)AF，AF中点1,22，AF中垂线的斜率为114AFk，于是AF的中垂线方程为：2158xy，与抛物线24yx联立可得216300yy，2164 301360 ，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得PAPF，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4tPt，由PBl可得1,Bt，又(0,4)A，又PAPB，根据两点间的距离公式，422(4)1164ttt，整理得216300tt，2164 301360 ，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D 选项正确.故选：ABD11AD

22、【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,xxa，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x在(1,0),(0,),(,2)aaa上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b，使得xb为()f x的对称轴，则()(2)f xfbx为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a，使得(1,33)a为()f x的对称中心，则()(2)66f xfxa，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()fxxaxx xa，由于1a，故,0,xa 时()0fx，故()f x在,0,a上单调递增，(0,)xa时，()0f

23、x，()f x单调递减，则()f x在0 x 处取到极大值，在xa处取到极小值，8由(0)10 f，3()10f aa，则(0)()0ff a，根据零点存在定理()f x在(0,)a上有一个零点，又(1)1 30fa ，3(2)410faa，则(1)(0)0,()(2)0fff a fa，则()f x在(1,0),(,2)aa上各有一个零点，于是1a 时，()f x有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()fxx xa，a0时，(,0),()0 xafx，()f x单调递减，,()0 x时()0fx，()f x单调递增，此时()f x在0 x 处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在

24、这样的,a b，使得xb为()f x的对称轴，即存在这样的,a b使得()(2)f xfbx，即32322312(2)3(2)1xaxbxabx，根据二项式定理，等式右边3(2)bx展开式含有3x的项为303332C(2)()2bxx，于是等式左右两边3x的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b，使得xb为()f x的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33fa，若存在这样的a，使得(1,33)a为()f x的对称中心，则()(2)66f xfxa，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126

25、)(1224)18 12f xfxxaxxaxa xaxa ，于是266(126)(1224)18 12aa xaxa即12601224018 1266aaaa，解得2a，即存在2a 使得(1,(1)f是()f x的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f xxax，2()66fxxax，()126fxxa，由()02afxx，于是该三次函数的对称中心为,22aaf，由题意(1,(1)f也是对称中心，故122aa，9即存在2a 使得(1,(1)f是()f x的对称中心，D 选项正确.故选

26、：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x的对称轴为()(2)xbf xfbx；（2）()f x关于(,)a b对称()(2)2f xfaxb；（3）任何三次函数32()f xaxbxcxd都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0fx的解，即,33bbfaa是三次函数的对称中心1295【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,a d，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列na为等差数列，则由题意得1111237345adadadad，解得143ad，则10110 91010445 3952Sad .故答案为：95.132 23【分析】法一：根据两角

27、和与差的正切公式得tan2 2，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tantan4tan2 21tantan121，因为32,2,2,2 22kkmm，,Zk m，则22,222mkmk，,Zk m，又因为tan2 20，则322,2222mkmk，,Zk m，则sin0，则sin2 2cos，联立22sincos1，解得2 2sin3.法二：因为为第一象限角，为第三象限角，则cos0,cos0,222cos1cossincos1tan，222cos1cossincos1tan，则sin()sincoscossincos

28、cos(tantan)10222224442 24coscos31tan1tan(tantan)(tantan1)42 故答案为：2 23.1424112【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有 4、3、2、1 个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选 4 个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有 4 个方格可选，第二列有 3 个方格可选，第三列有 2 个方格可选，第四列有 1 个方格可选，所以共有432 124 种选法；每种选法可标记为(,)a b c d，a b c d,分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,4

29、4),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15

30、,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的 4 个数之和最大，为1521 3343112.故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有 4、3、2、1 个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.15(1)6A(2)263 2【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin3cos2AA进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B，然后根据正弦定理算出,b c即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角

31、公式）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin3cos2AA可得13sincos122AA，即sin()13A，由于 4(0,)(,)333AA，故32A，解得6A11方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin3cos2AA，又22sincos1AA，消去sin A得到：224cos4 3cos30(2cos3)0AAA，解得3cos2A，又(0,)A，故6A方法三：利用极值点求解方法三：利用极值点求解设()sin3cos(0)f xxxx，则()2sin(0)3f xxx，显然6x 时，max()2f x，注意到()sin3cos22sin()

32、3f AAAA，max()()f xf A，在开区间(0,)上取到最大值，于是xA必定是极值点，即()0cos3sinfAAA，即3tan3A，又(0,)A，故6A方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(1,3),(sin,cos)abAA，由题意，sin3cos2a bAA，根据向量的数量积公式，cos,2cos,a ba ba ba b，则2cos,2cos,1a ba b，此时,0a b，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，31 cos3 sintan3AAA，又(0,)A，故6A方法五：利用万能公式求解方法五：利用万能公式求解设tan2A

33、t，根据万能公式，22223(1)sin3cos211ttAAtt，整理可得，2222(23)(23)0(23)ttt，解得tan232At，根据二倍角公式，223tan13tAt，又(0,)A，故6A（2）由题设条件和正弦定理2 sinsin22sinsin2sinsincosbCcBBCCBB，又,(0,)B C，则sinsin0BC，进而2cos2B，得到4B，12于是712CAB，26sinsin()sin()sincossincos4CABABABBA，由正弦定理可得，sinsinsinabcABC，即27sinsinsin6412bc，解得2 2,62bc，故ABC的周长为263

34、216(1)e 110 xy(2)1,【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a和0a 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln10aa，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()exfxa有零点，可得0a，进而利用导数求 fx的单调性和极值，分析可得2ln10aa，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当1a 时，则()e1xf xx，()e1xfx，可得(1)e2f，(1)e 1f，即切点坐标为1,e2，切线斜率e1k，所以切线方程为e2e 11yx，即e 110 xy.（2）解法一：因为()f x的定义域为R，且()exfxa，若0a，则()

35、0fx对任意xR恒成立，可知()f x在R上单调递增，无极值，不合题意；若0a，令()0fx，解得lnxa；令()0fx，解得lnxa；可知()f x在,lna内单调递减，在ln,a 内单调递增，则()f x有极小值3lnlnfaaaaa，无极大值，由题意可得：3lnln0faaaaa，即2ln10aa，构建 2ln1,0g aaaa，则 120gaaa，可知 g a在0,内单调递增，且 10g，13不等式2ln10aa 等价于 1g ag，解得1a，所以 a 的取值范围为1,；解法二：因为()f x的定义域为R，且()exfxa，若()f x有极小值，则()exfxa有零点，令()e0 xf

36、xa，可得exa，可知exy 与ya有交点，则0a，若0a，令()0fx，解得lnxa；令()0fx，解得lnxa；可知()f x在,lna内单调递减，在ln,a 内单调递增，则()f x有极小值3lnlnfaaaaa，无极大值，符合题意，由题意可得：3lnln0faaaaa，即2ln10aa，构建 2ln1,0g aaaa，因为则2,ln1yaya在0,内单调递增，可知 g a在0,内单调递增，且 10g，不等式2ln10aa 等价于 1g ag，解得1a，所以 a 的取值范围为1,.17(1)证明见解析(2)8 6565【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得2EF，利用勾股定理的逆定理可证

37、得EFAD，则,EFPE EFDE，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明PEED，建立如图空间直角坐标系Exyz，利用空间向量法求解面面角即可.【详解】（1）由218,5 3,52ABADAEAD AFAB ，得2 3,4AEAF，又30BAD，在AEF中，由余弦定理得2232cos16 122 4 2 322EFAEAFAE AFBAD ,14所以222AEEFAF，则AEEF，即EFAD，所以,EFPE EFDE，又,PEDEE PEDE、平面PDE，所以EF平面PDE，又PD 平面PDE，故EFPD；（2）连接CE，由90,3 3,3A

38、DCEDCD，则22236CEEDCD，在PEC中，4 3,2 3,6PCPEEC，得222ECPEPC，所以PEEC，由（1）知PEEF，又,ECEFE ECEF、平面ABCD，所以PE 平面ABCD，又ED 平面ABCD，所以PEED，则,PE EF ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系Exyz，则(0,0,0),(0,0,2 3),(0,3 3,0),(3,3 3,0),(2,0,0),(0,2 3,0)EPDCFA，由F是AB的中点，得(4,2 3,0)B，所以(3,3 3,2 3),(0,3 3,2 3),(4,2 3,2 3),(2,0,2 3)PCPDPBPF ，设平面PCD和平

39、面PBF的一个法向量分别为111222(,),(,)nx y zmxyz，则1111133 32 303 32 30n PCxyzn PDyz ，2222242 32 3022 30m PBxyzm PFxz ，令122,3yx，得11220,3,1,1xzyz，所以(0,2,3),(3,1,1)nm，所以165cos,65513m nm nm n ，设平面PCD和平面PBF所成角为，则28 65sin1cos65，即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值为8 6565.18(1)0.686(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；15【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事

40、件的乘法公式即可得到答案；（2）（i）首先各自计算出331(1)Ppq甲，331(1)Pqp乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X和Y的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分，则甲第一阶段至少投中 1 次，乙第二阶段也至少投中 1 次，比赛成绩不少于 5 分的概率3310.610.50.686P.（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率为331(1)Ppq甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率为331(1)Pqp乙，0pq，3333(

41、)()PPqqpqpppq甲乙2222()()()()()()qpqpqppqppqqpqppq qpq2222()333pqp qp qpq3()()3()(1)(1)10pq pqpqpqpq pqpq，PP甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X的所有可能取值为 0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P Xppq，3213511C1P Xpqq，3223(10)1(1)C(1)P Xpqq，33(15)1(1)P Xpq，332()15 1(1)1533E Xpqpppq记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y的所有可能取值为 0，5，10，15

42、，同理32()1533E Yqqqp()()15()()3()E XE Ypq pqpqpq pq15()(3)pq pq pq，因为0pq，则0pq，31 1 30pq ，则()(3)0pq pq pq，应该由甲参加第一阶段比赛.16【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.19(1)23x，20y(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P的坐标即可；（2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明nS的取值为与n无关的定值即可.思路二：使用

43、等差数列工具，证明nS的取值为与n无关的定值即可.【详解】（1）由已知有22549m，故C的方程为229xy.当12k时，过15,4P且斜率为12的直线为32xy，与229xy联立得到22392xx.解得3x 或5x，所以该直线与C的不同于1P的交点为13,0Q，该点显然在C的左支上.故23,0P，从而23x，20y.（2）由于过,nnnPxy且斜率为k的直线为nnyk xxy，与229xy联立，得到方程229nnxk xxy.展开即得2221290nnnnkxk ykxxykx，由于,nnnPxy已经是直线nnyk xxy和229xy的公共点，故方程必有一根nxx.从而根据韦达定理，另一根2

44、222211nnnnnnk ykxkyxk xxxkk，相应的2221nnnnnyk ykxyk xxyk.所以该直线与C的不同于nP的交点为222222,11nnnnnnnkyxk xyk ykxQkk，而注意到nQ的横坐标亦可通过韦达定17理表示为2291nnnykxkx，故nQ一定在C的左支上.所以2212222,11nnnnnnnxk xkyyk ykxPkk.这就得到21221nnnnxk xkyxk，21221nnnnyk ykxyk.所以2211222211nnnnnnnnxk xkyyk ykxxykk222222221211111nnnnnnnnnnxk xkxyk ykyk

45、kkxyxykkkk.再由22119xy，就知道110 xy，所以数列nnxy是公比为11kk的等比数列.（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,U V W，若,UVa b，,UWc d，则12UVWSadbc.（若,U V W在同一条直线上，约定0UVWS）证明：211sin,1cos,22UVWSUVUWUV UWUVUWUV UW 222211122UV UWUVUWUVUWUV UWUVUW 2222212abcdacbd222222222222122a ca db cb da cb dabcd222221112222a db cabcdadbcadbc.证毕，回到原题.由于上一

46、小问已经得到21221nnnnxk xkyxk，21221nnnnyk ykxyk，故22211222221211111nnnnnnnnnnnnxk xkyyk ykxkkkxyxyxykkkk.再由22119xy，就知道110 xy，所以数列nnxy是公比为11kk的等比数列.所以对任意的正整数m，都有nn mnn mx yy x 1122nn mnn mnn mnn mnn mnn mnn mnn mx xy yx yy xx xy yx yy x1122nnn mn mnnn mn mxyxyxyxy181 11 12 12 1mmnnnnnnnnkkxyxyxyxykk22111211

47、mmnnkkxykk911211mmkkkk.而又有111,nnnnnnPPxxyy ，122121,nnnnnnPPxxyy，故利用前面已经证明的结论即得 1212112112n nnnP PPnnnnnnnnSSxxyyyyxx 12112112nnnnnnnnxxyyyyxx 1212112212nnnnnnnnnnnnxyyxx yy xx yy x221 9 119 119112 2 112 11211kkkkkkkkkkkk.这就表明nS的取值是与n无关的定值，所以1nnSS.方法二：由于上一小问已经得到21221nnnnxk xkyxk，21221nnnnyk ykxyk，故22

48、211222221211111nnnnnnnnnnnnxk xkyyk ykxkkkxyxyxykkkk.再由22119xy，就知道110 xy，所以数列nnxy是公比为11kk的等比数列.所以对任意的正整数m，都有nn mnn mx yy x 1122nn mnn mnn mnn mnn mnn mnn mnn mx xy yx yy xx xy yx yy x1122nnn mn mnnn mn mxyxyxyxy1 11 12 12 1mmnnnnnnnnkkxyxyxyxykk22111211mmnnkkxykk911211mmkkkk.19这就得到2323119 112 11nnnn

49、nnnnkkxyyxx yy xkk，以及22131322911211nnnnnnnnkkxyyxx yy xkk.两式相减，即得 232313131122nnnnnnnnnnnnnnnnxyyxxyyxx yy xx yy x.移项得到232131232131nnnnnnnnnnnnnnnnxyy xxyy xyxx yyxx y.故321213nnnnnnnnyyxxyyxx.而333,nnnnnnP Pxxyy，122121,nnnnnnPPxxyy.所以3nnP P 和12nnPP平行，这就得到12123n nnnnnP PPPPPSS，即1nnSS.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.