2024年四川省宜宾市中考数学试卷.pdf

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1、第 1 页（共 22 页）2024 年四川省宜宾市中考数学试卷年四川省宜宾市中考数学试卷 一、一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 个小题，个小题，每小题每小题 4 分，分，共共 48 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求目要求 12 的绝对值是（）A2 B C D2 2下列计算正确的是（）Aa+aa2 B5a3a2 C3x2x6x2 D（x）3（x）2x 3 某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取 10 名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80对这组数据判断正

2、确的是（）A方差为 0 B众数为 75 C中位数为 77.5 D平均数为 75 4如图，AB 是O 的直径，若CDB60，则ABC 的度数等于（）A30 B45 C60 D90 5元朝朱世杰所著的算学启蒙中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行 240 里，慢马每天行 150 里，慢马先行 12 天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（）A5 天 B10 天 C15 天 D20 天 6如果一个数等于它的全部真因数（含单位 1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数例如：6 的真因数是 1、2、3，且

3、61+2+3，则称 6 为完美数下列数中为完美数的是（）A8 B18 C28 D32 7如图是正方体表面展开图将其折叠成正方体后，距顶点 A 最远的点是（）AB 点 BC 点 CD 点 DE 点 8某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装 4 千克荔枝，每个小箱装 3 千克荔枝 该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（）A8 箱 B9 箱 C10 箱 D11 箱 9 如图，ABC 内接于O，BC 为O 的直径，AD 平分BAC 交O 于 D，则的值为（）A B C2 D2 10如图，等腰三角形 ABC 中，ABAC，反比例函数 y（k0）

4、的图象经过点 A、B 及 AC 的中点 M，BCx 轴，AB 与 y 轴交于点 N则的值为（）第 2 页（共 22 页）A B C D 11如图，在ABC 中，AB3，AC2，以 BC 为边作 RtBCD，BCBD，点 D 与点 A 在 BC的两侧，则 AD 的最大值为（）A2+3 B6+2 C5 D8 12 如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的图象交 x 轴于点 A（3，0）、B（1，0），交 y 轴于点 C 以下结论：a+b+c0；a+3b+2c0；当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c；当 c3 时，在AOC 内有一动点 P，若 OP2，则 CP+AP 的最小值为其中正确

5、结论有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题：二、填空题：本大题共本大题共 6 个小题，个小题，每小题每小题 4 分，分，共共 24 分分 13分解因式：2a22 14分式方程30 的解为 15 如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是 16 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB2，AD4，E、F 分别是边 CD、AD 上的动点，且 CEDF 当AE+CF 的值最小时，则 CE 17如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从 1 至 9 中选取的一个数字，且每个小球所标

6、数字互不相同作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小第 3 页（共 22 页）球上所标的数字），完成第一次操作再重复以上操作两次已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为 20 分、10 分、9 分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）18如图，正方形 ABCD 的边长为 1，M、N 是边 BC、CD 上的动点若MAN45，则 MN 的最小值为 三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 7 个小题，个小题，共共 78

7、 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19（10 分）（1）计算：（2）0+2sin30|2|；（2）计算：（）20（10 分）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养在课外活动中开设了四个兴趣小组：A插花组；B跳绳组；C话剧组；D书法组为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图 请结合图中信息解答下列问题：（1）本次共调查了 名学生，并将条形统计图补充完整；（2）话剧组所对应扇形的圆心角为 度；（3）书法组成绩最好的 4 名学生由 3 名男生和 1 名女生构成从中随机抽取 2 名参加比赛，

8、请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到 1 名男生与 1 名女生的概率 21（10 分）如图，点 D、E 分别是等边三角形 ABC 边 BC、AC 上的点，且 BDCE，BE 与 AD 交于点 F求证：ADBE 22（10 分）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图 1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）某第 4 页（共 22 页）同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点 C、D，在地标广场上选择两个观测点 A、B（点 A、B、C、D 在同一水平面，且 ABCD）如图 2 所示，在点 A 处测得点 C 在北偏西 18.17方向上，测得点 D 在北偏东 21.34方向上；在 B

9、 处测得点 C 在北偏西21.34方向上，测得点 D 在北偏东 18.17方向上，测得 AB100 米 求长江口的宽度 CD 的值（结果精确到 1 米）（参考数据：sin18.170.31，cos18.170.95，tan18.170.33，sin21.340.36，cos21.340.93，tan21.340.39）23（12 分）如图，一次函数 yax+b（a0）的图象与反比例函数 y（k0）的图象交于点 A（1，4）、B（n，1）（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）利用图象，直接写出不等式 ax+b的解集；（3）已知点 D 在 x 轴上，点 C 在反比例函数图象上若以 A、B、C

10、、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点 C 的坐标 24（12 分）如图，ABC 内接于O，ABAC10，过点 A 作 AEBC，交O 的直径 BD 的延长线于点 E，连结 CD（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若 tanABE，求 CD 和 DE 的长 25（14 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C（0，4），其顶点为 D（1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；（2）在 y 轴上是否存在一点 M，使得BDM 的周长最小若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 E 在以点 P（3，0）为圆心，1 为半径的P

11、 上，连结 AE，以 AE 为边在 AE 的下方作等边三角第 5 页（共 22 页）形 AEF，连结 BF求 BF 的取值范围 第 6 页（共 22 页）2024 年四川省宜宾市中考数学试卷年四川省宜宾市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 个小题，个小题，每小题每小题 4 分，分，共共 48 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求目要求 12 的绝对值是（）A2 B C D2【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号【

12、解答】解：20，|2|2 故选：A【点评】本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，所以 2 的绝对值是 2部分学生易混淆相反数、绝对值、倒数的意义 2下列计算正确的是（）Aa+aa2 B5a3a2 C3x2x6x2 D（x）3（x）2x【分析】直接利用合并同类项法则、单项式乘以单项式以及同底数幂的除法法则分别计算判断即可【解答】解：A、a+a2a，故 A 不符合题意；B、5a3a2a，故 B 不符合题意；C、3x2x6x2，故 C 符合题意；D、（x）3（x）2x，故 D 不符合题意；故选：C【点评】此题主要考查了合并同类项法则、单项式乘以单项式以及同底数幂的除法法则，正确掌握

13、相关运算法则是解题关键 3 某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取 10 名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80对这组数据判断正确的是（）A方差为 0 B众数为 75 C中位数为 77.5 D平均数为 75【分析】根据平均数和方差、中位数，众数得出答案即可【解答】解：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80 中，平均数（65+67+75+65+75+80+75+88+78+80）74.8，65，67，75，65，75，80，75，88，78，80 按从小到大的顺序排序为 65，65，67，75，75

14、，75，78，80，80，88，中位数75，众数为 75，方差（6574.8）22+（6774.8）2+（7574.8）23+（7874.8）2+（8074.8）22+（8874.8）261，故选：B【点评】本题考查了平均数，方差，中位数，众数等知识点，能熟记中位线、众数的定义和方差的意义是解此题的关键 4如图，AB 是O 的直径，若CDB60，则ABC 的度数等于（）A30 B45 C60 D90【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得ACB90，再根据同弧所对的圆周角相等可得ACDB第 7 页（共 22 页）60，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答【解答】解：AB 是O 的直

15、径，ACB90，CDB60，ACDB60，ABC90A30，故选：A【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键 5元朝朱世杰所著的算学启蒙中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行 240 里，慢马每天行 150 里，慢马先行 12 天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（）A5 天 B10 天 C15 天 D20 天【分析】设快马追上慢马的天数是 x 天，利用路程速度时间，结合快马追上慢马时两马跑的路程相同，可列出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：设快马追上慢马的

16、天数是 x 天，根据题意得：240 x150（x+12），解得：x20，快马追上慢马的天数是 20 天 故选：D【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键 6如果一个数等于它的全部真因数（含单位 1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数例如：6 的真因数是 1、2、3，且 61+2+3，则称 6 为完美数下列数中为完美数的是（）A8 B18 C28 D32【分析】根据“完美数”的定义，先找出各个数的因数，再按完美数的要求相加，和与这个数相等的，就是“完美数”【解答】解：A8 的因数有：1，2，4，8；1+2+47，8 不是“完美数”，故 A 错误；B

17、18 的因数有 1，2，3，6，9，18；1+2+3+6+921，18 不是“完美数”，故 B 错误；C28 的因数有：1，2，4，7，14，28；1+2+4+7+1428，28 是“完美数”，故 C 正确；D32 的因数有：1，2，4，8，16，32，1+2+4+8+1631，32 不是“完美数”，故 D 错误；故选：C【点评】理解“完美数”的定义，掌握求一个数的因数的方法是解题的关键 7如图是正方体表面展开图将其折叠成正方体后，距顶点 A 最远的点是（）AB 点 BC 点 CD 点 DE 点【分析】把图形围成立体图形求解【解答】解：把图形围成立方体如图所示：设正方体的棱长为 1，则 AD1

18、，ABAE，AC，1，与顶点 A 距离最远的顶点是 C，故选：B【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，掌握空间想象力是解题的关键 第 8 页（共 22 页）8某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装 4 千克荔枝，每个小箱装 3 千克荔枝 该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（）A8 箱 B9 箱 C10 箱 D11 箱【分析】设可以装 x 箱大箱，y 箱小箱，根据“该果农现采摘有 32 千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满”，可列出关于 x，y 的二元一次方程，结合 x，y 均为自然数，可得出 x，y 的值，再将其代入 x+y中

19、，取其中的最大值，即可得出结论【解答】解：设可以装 x 箱大箱，y 箱小箱，根据题意得：4x+3y32，x8y，又x，y 均为自然数，或或，x+y8 或 9 或 10，所装的箱数最多为 10 箱 故选：C【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键 9 如图，ABC 内接于O，BC 为O 的直径，AD 平分BAC 交O 于 D，则的值为（）A B C2 D2【分析】作辅助线如图，先证明 BDCD，ACD+ABD180，从而可以得到旋转后的图形，再证明ADA 是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得结果【解答】解：如图，连接 BD、CD，BC 是O 的直径，

20、BACBDC90，AD 平分BAC，BADCAD，BDCD，在四边形 ABDC 中，BACBDC90，ACD+ABD180，ADC 绕 D 点逆时针旋转 90，则 A，B，A三点共线，如图所示，AB+ACAB+ABAA，由旋转可知ADBADC，ADAD，ADAADB+BDAADC+BDABDC90，在等腰直角三角形 ADA 中，故选：A 第 9 页（共 22 页）【点评】本题考查了三角形的外接圆，特殊角的三角函数，圆周角定理，旋转的性质等知识点，合理作辅助线为解题的关键 10如图，等腰三角形 ABC 中，ABAC，反比例函数 y（k0）的图象经过点 A、B 及 AC 的中点 M，BCx 轴，A

21、B 与 y 轴交于点 N则的值为（）A B C D【分析】作辅助线如图，利用函数表达式设出 A、B 两点的坐标，利用 D，M 是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果【解答】解：作过 A 作 BC 的垂线垂足为 D，BC 与 y 轴交于 E 点，如图，在等腰三角形 ABC 中，ADBC，D 是 BC 中点，设，由 BC 中点为 D，ABAC，在等腰三角形 ABC 中，BDDCab，AC 的中点为 M，即，由 M 在反比例函数上得，解得：b3a，由题可知，ADNE，故选：B【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之

22、间的关系是解题的关键 11如图，在ABC 中，AB3，AC2，以 BC 为边作 RtBCD，BCBD，点 D 与点 A 在 BC第 10 页（共 22 页）的两侧，则 AD 的最大值为（）A2+3 B6+2 C5 D8【分析】由“SAS”可证DBECBA，可得 DEAC2，由三角形的三边关系可求解【解答】解：如图，将 BA 绕点 B 顺时针旋转 90，得到 BE，连接 AE，DE，BEAB，ABE90，AEAB6，DBC90EBA，DBECBA，又BDBC，ABBE，DBECBA（SAS），DEAC2，在ADE 中，ADAE+DE，当 A，D，E 三点共线时，AD 有最大值，AD 的最大值6+

23、28，故选：D 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键 12 如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的图象交 x 轴于点 A（3，0）、B（1，0），交 y 轴于点 C 以下结论：a+b+c0；a+3b+2c0；当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c；当 c3 时，在AOC 内有一动点 P，若 OP2，则 CP+AP 的最小值为其中正确结论有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】抛物线过点（1，0），求得求得 a+b+c0，即可判断；求得对称轴为直线 x1，即可求得 b2a，

24、由 a+b+c0，求得 c3a，则 a+3b+2ca0，即可判断；分 ACAB4 和 ABBC4 两种情况求得 c 的值即可判断；取点 H（，0），连接 PH，则 OH，可证明HOPPOA，由相似三角形的性质可得 PHPA，则 CP+APCP+PH，故当 C、P、H 共线时，CP+PH 的值最小，即此时 CP+AP 的最小，最小值为 CH，利用勾股定理求得 CH 即可判断【解答】解：抛物线 yax2+bx+c（a0）的图象交 x 轴于点 B（1，0），a+b+c0，故正确；抛物线 yax2+bx+c（a0）的图象交 x 轴于点 A（3，0）、B（1，0），1，b2a，第 11 页（共 22 页

25、）a+b+c0，c3a，a+3b+2ca+6a6aa，a0，a+3b+2c0，故正确；抛物线的对称轴为直线 x1，ACBC，A（3，0）、B（1，0），C（0，c），AB4，当 ACAB4 时，则 AC2OA2+OC2，4232+c2，解得 c或 c（不合题意，舍去），当 ABBC4 时，BC2OB2+OC2，4212+c2，解得 c（负数舍去），综上，当以点 A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，c或 c，故错误；当 c3 时，C（0，3），则 OC3，如图所示，取点 H（，0），连接 PH，则 OH，HOPPOA，HOPPOA，PHPA，CP+APCP+PH，当 C、P、H 共线时，C

26、P+PH 的值最小，即此时 CP+AP 的最小，最小值为 CH，在 RtCHO 中，CH，故正确；故选：C【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x 轴的交点，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键 二、填空题：二、填空题：本大题共本大题共 6 个小题，个小题，每小题每小题 4 分，分，共共 24 分分 13分解因式：2a222（a+1）（a1）第 12 页（共 22 页）【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答【解答】解：2a22 2（a21）2（a+1）（a1），故答案为：2（a+1）（a1）

27、【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式 14分式方程30 的解为 x2【分析】先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验【解答】解：去分母得：x+13（x1）0，解得 x2，检验：当 x2 时，x110，x2 是原方程的解 故答案为：x2【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键 15如图，正五边形 ABCDE 的边长为 4，则这个正五边形的对角线 AC 的长是 2+2 【分析】连接 BE 交 AC 于 O，由五边形 ABCDE 是正五边形，可得CBABAC108，BCABAE，即得BCABAC

28、ABEAEB36，故CBOABCABE72，从而BOC180CBOBCA72，可得 COBC4，证明ABOACB，有，即可解得答案【解答】解：连接 BE 交 AC 于 O，如图：五边形 ABCDE 是正五边形，CBABAC（52）1805108，BCABAE，BCABACABEAEB（180108）236，CBOABCABE1083672，BOC180CBOBCA180723672，CBOBOC72，COBC4，BAOCAB，ABO36BCA，ABOACB，即，解得 AC2+2 或 AC22（小于 4，舍去），经检验，AC2+2 符合题意；故答案为：AC2+2【点评】本题考查相似三角形判定与性

29、质，正多边形性质，解题的关键是掌握正多边形的概念和相似三角形的判定定理 第 13 页（共 22 页）16 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB2，AD4，E、F 分别是边 CD、AD 上的动点，且 CEDF 当AE+CF 的值最小时，则 CE 【分析】由“SAS”可证CDFHCE，可得 CFEH，则 AE+CFAE+EH，即当点 A，点 E，点 H 三点共线时，AE+CF 有最小值，通过证明CEHBAH，可得CEHBAH，即可求解【解答】解：如图，延长 BC 至 H，使 CHCD，连接 EH，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC4，ABCD2，ADBC，DDCH，又CDCH，DFCE，C

30、DFHCE（SAS），CFEH，AE+CFAE+EH，当点 A，点 E，点 H 三点共线时，AE+CF 有最小值，此时：CDAB，CEHBAH，CE，故答案为：【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键 17如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从 1 至 9 中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽

31、的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作再重复以上操作两次已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为 20 分、10 分、9 分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 乙槽（从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）【分析】由三次操作三个槽总分是 20+10+939 分，所以一次操作得总分就是 13 分，再根据三个球得数第 14 页（共 22 页）不相同可以列举出综合为 13 得所有情况，然后再根据各自得分去一一分析比较即可【解答】方法一：三次操作相同，且总得分是 20+10+939 分 一次操作的总分，即三个球数字之后为 39313，则有以下情况：，其中只

32、有 1，4，8 这一组能同时满足三个数组合相加得 20，10，9；，第一次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为 4，8，1；第二次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为 8，1，1；第三次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为 8，1，1；第二次操作计分最低的是乙槽 方法二：设乙第一，第二，第三次操作计分分别为 x、y、z 则 x+y+z10，x 不可能为 9，否则 yz 出现为 0 的情况，与题意矛盾 所以 x 最大为 8，此时 8+1+110，1 已经是最小了，所以第二次操作计分最小的是乙槽 故答案为：乙槽【点评】本题主要考查了推理与论证，题型比较活，属于现在比较多的考查形式，要求学生具备一定的数学思维 18如图，正方形

33、ABCD 的边长为 1，M、N 是边 BC、CD 上的动点若MAN45，则 MN 的最小值为 22 【分析】由MAN45识别出半角模型，从而构造GANMAN，将 MN 线段进行转化，设 BMx，MNy，再利用勾股方程进行转化，建立一个关于 y 的式子，利用不等式的性质求最值即可【解答】解：如图，延长 CD 到点 G，使 DGBM 四边形 ABCD 为正方形，ADBC，MADADM90，ADGADN90ABM，又BMDG，ADBC，ABMADG（SAS），BAMDAG，AMAG，MAN45，BAM+DAN45，DAG+DAN45，即GAN45，第 15 页（共 22 页）在GAN 和MAN 中，

34、GANMAN（SAS），GNMN 设 BMx，MNy，则 GNy，DGx BCCD1，CM1x，CNxy+1，在 RtCMN 中，由勾股定理得：MN2CM2+CN2，即 y2（1x）2+（xy+1）2，整理可得：yx+1+2，x+1+22，y22，此时 x1 故：MN 的最小值为 22 【点评】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质，其中识别半角模型进行转化是解题的关键 三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 7 个小题，个小题，共共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19（10 分）（1）计算：（2）0+2sin30|2|；

35、（2）计算：（）【分析】（1）把特殊角三角函数值代入，算零指数幂，去绝对值，再算加减；（2）先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可【解答】解：（1）原式1+22+；（2）原式 1【点评】本题考查实数运算和分式混合运算，解题的关键是掌握相关运算的法则 20（10 分）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养在课外活动中开设了四个兴趣小组：A插花组；B跳绳组；C话剧组；D书法组为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图 请结合图中信息解答下列问题：第 16 页（共 22 页）（1）本次共调查了 40名学生，并将条形统计图补充完整；（2）话

36、剧组所对应扇形的圆心角为 72度；（3）书法组成绩最好的 4 名学生由 3 名男生和 1 名女生构成从中随机抽取 2 名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到 1 名男生与 1 名女生的概率【分析】（1）用条形统计图中 A 的人数除以扇形统计图中 A 的百分比可得本次调查的学生人数；求出 C组的人数，补全条形统计图即可（2）用 360乘以本次调查中 C 组的人数所占的百分比，即可得出答案（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及刚好抽到 1 名男生与 1 名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案【解答】（1）此次调查的学生人数为：410%40（人），“C”类兴趣课的人数为：4041612

37、8（人），补全条形统计图如下：故答案为：40；（2）“C”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数为：36072；故答案为：72；（3）将 1 名女生记为 A，3 名男生分别记为 B，C，D，画树状图如下：共有 12 种等可能的结果，其中刚好抽到 1 名男生与 1 名女生的结果有：AB，AC，AD，BA，CA，DA，共 6 种，刚好抽到 1 名男生与 1 名女生的概率为【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图等知识树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验 21（10 分）如图，点 D、E 分别是等边三角

38、形 ABC 边 BC、AC 上的点，且 BDCE，BE 与 AD 交于点 F求证：ADBE 第 17 页（共 22 页）【分析】根据等边三角形的性质得ABDC60，ABBC，由此可依据“SAS”判定ABD 和BCE全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论【解答】证明：ABC 为等边三角形，ABDC60，ABBC，在ABD 和BCE 中，ABDBCE（SAS），ADBE【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键 22（10 分）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图 1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）某

39、同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点 C、D，在地标广场上选择两个观测点 A、B（点 A、B、C、D 在同一水平面，且 ABCD）如图 2 所示，在点 A 处测得点 C 在北偏西 18.17方向上，测得点 D 在北偏东 21.34方向上；在 B 处测得点 C 在北偏西21.34方向上，测得点 D 在北偏东 18.17方向上，测得 AB100 米 求长江口的宽度 CD 的值（结果精确到 1 米）（参考数据：sin18.170.31，cos18.170.95，tan18.170.33，sin21.340.36，cos21.340.93，tan21.340.39）【分析】过

40、点 A 作 AECD，垂足为 E，过点 B 作 BFCD，垂足为 F，根据已知易得：AEBF，ABEF100m，然后设 AEBFx m，从而分别在 RtACE、RtBDF 和 RtAED 中，利用锐角三角函数的定义求出 CE、DF 和 DE 的长，从而列出关于 x 的方程，进行计算即可解答【解答】解：过点 A 作 AECD，垂足为 E，过点 B 作 BFCD，垂足为 F，第 18 页（共 22 页）ABCD，AEBF，由题意得：ABEF100m，设 AEBFx m，在 RtACE 中，CAE18.17，CEAEtan18.170.33x（m），在 RtBDF 中，DBF18.17，DFBFta

41、n18.170.33x（m），在 RtAED 中，EAD21.34，DEAEtan21.340.39x（m），DEEF+DF，0.39x100+0.33x，解得：x，CDCE+DE0.33x+0.39x0.72x1200（m），长江口的宽度 CD 的值约为 1200m【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键 23（12 分）如图，一次函数 yax+b（a0）的图象与反比例函数 y（k0）的图象交于点 A（1，4）、B（n，1）（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）利用图象，直接写出不等式 ax+b的解集；（3）已知点 D 在

42、 x 轴上，点 C 在反比例函数图象上若以 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点 C 的坐标 【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）当 AB 为对角线时，由中点坐标公式得：41，即可求解；当 AC 或 AD 为对角线时，同理可解 【解答】解：（1）将点 A、B 的坐标代入反比例函数表达式得：k41n，解得：k4，n4，即反比例函数的表达式为：y，点 B（4，1）；第 19 页（共 22 页）将点 A、B 的坐标代入一次函数表达式得：，解得：，则一次函数表达式为：yx+3；（2）观察函数图象知，当 0 x1 或 x4 时，ax+b成立；（3）设点 C

43、的坐标为：（m，），点 D（x，0），当 AB 为对角线时，由中点坐标公式得：41，解得：m，则点 C（，3）；当 AC 或 AD 为对角线时，同理可得：4+1 或 41，解得：m，则点 C（，5）或（，5），综上，点 C 的坐标为：（，3）或（，5）或（，5）【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到解不等式、平行四边形的性质，分类求解是解题的关键 24（12 分）如图，ABC 内接于O，ABAC10，过点 A 作 AEBC，交O 的直径 BD 的延长线于点 E，连结 CD（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若 tanABE，求 CD 和 DE 的长 【分析】（1）连接并延长 AO 交

44、 BC 于点 F，连接 OC，由 ABAC，得AOBAOC，可证明FOBFOC，所以 OFBC，由平行线的性质得OAEOFB90，即可证明 AE 是O 的切线；（2）由 OBOA，得BAFABE，则tanBAFtanABE，由 ABBF10，求得 BF2，AF4，由勾股定理得（2）2+FO2（4FO）2，求得 FO，则 ODOBOA，所以 CD2FO3，由cosAOEcosFOB，求得 OE，则 DE【解答】（1）证明：连接并延长 AO 交 BC 于点 F，连接 OC，则 OBOC，ABAC，AOBAOC，FOBFOC，OFBC，AEBC，OAEOFB90，OA 是O 的半径，且 AEOA，第

45、 20 页（共 22 页）AE 是O 的切线（2）解：OBOA，BAFABE，tanBAFtanABE，AF2BF，ABBF10，BF2，AF4，BF2+FO2OB2，且 OBOA4FO，（2）2+FO2（4FO）2，解得 FO，ODOBOA4，OBOD，BFCF，CD2FO23，cosAOEcosFOB，OE，DEOEOD，CD 的长是 3，DE 的长是 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、等角的补角相等、平行线的性质、切线的判定定理、三角形的中位线定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键 25（14 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于

46、点 A（1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C（0，4），其顶点为 D（1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；（2）在 y 轴上是否存在一点 M，使得BDM 的周长最小若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 E 在以点 P（3，0）为圆心，1 为半径的P 上，连结 AE，以 AE 为边在 AE 的下方作等边三角形 AEF，连结 BF求 BF 的取值范围 第 21 页（共 22 页）【分析】（1）用待定系数法得抛物线的表达式为yx23x4；即可得抛物线顶点D的坐标为（，）；（2）作 D（，）关于 y 轴的对称点 D（，），连接 BD交 y 轴于 M，求出 B（4，0），B

47、D，可知BDM 的周长最小，只需 DM+BM 最小，而 DMDM，有 DM+BMDM+BM，故 B，M，D共线时，DM+BM 最小，最小值为 BD的长，此时BDM 的周长也最小；由 B（4，0），D（，）得直线 BD解析式为 yx，从而 M 的坐标为（0，）；（3）以 APA 为边，在 AP 下方作等边三角形 APQ，连接 PE，QF，BQ，由 A（1，0），P（3，0），APQ 是等边三角形，可得 Q 的坐标为（1，2），证明EAPFAQ（SAS），有 PEQF1，可知 F 的轨迹是以 Q（1，2）为圆心，1 为半径的圆，因 BQ，当 F 在线段 QB 上时，BF 最小，此时 BFBQQF1

48、；当 Q 在线段 BF 上时，BF 最大，此时 BFBQ+QF+1；所以 BF 的范围时1BF+1【解答】解：（1）把 A（1，0），C（0，4）代入 yx2+bx+c 得：，解得，抛物线的表达式为 yx23x4；yx23x4（x）2，抛物线顶点 D 的坐标为（，）；（2）在 y 轴上存在一点 M，使得BDM 的周长最小，理由如下：作 D（，）关于 y 轴的对称点 D（，），连接 BD交 y 轴于 M，如图：在 yx23x4 中，令 y0 得 0 x23x4，解得 x4 或 x1，第 22 页（共 22 页）B（4，0），BD，BDM 的周长最小，只需 DM+BM 最小，DMDM，DM+BMD

49、M+BM，B，M，D共线时，DM+BM 最小，最小值为 BD的长，此时BDM 的周长也最小；由 B（4，0），D（，）得直线 BD解析式为 yx，令 x0 得 y，M 的坐标为（0，）；（3）以 APA 为边，在 AP 下方作等边三角形 APQ，连接 PE，QF，BQ，如图：由 A（1，0），P（3，0），APQ 是等边三角形，可得 Q 的坐标为（1，2），AEF，APQ 是等边三角形，AEAF，APAQ，EAFPAQ60，EAPFAQ，EAPFAQ（SAS），PEQF1，F 的轨迹是以 Q（1，2）为圆心，1 为半径的圆，B（4，0），BQ，当 F 在线段 QB 上时，BF 最小，此时 BFBQQF1；当 Q 在线段 BF 上时，BF 最大，此时 BFBQ+QF+1；BF 的范围时1BF+1【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，轴对称求最短距离，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是掌握“将军饮马问题“解决策略和求出 F 的轨迹 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/17 17:37:40；用户：陈莉；邮箱：；学号：39221433