2024年重庆市中考数学试卷（A卷）.pdf

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1、第 1 页（共 25 页）2024 年重庆市中考数学试卷（年重庆市中考数学试卷（A 卷）卷）一、选择题：（一、选择题：（本大题本大题 10 个小题，个小题，每小题每小题 4 分，分，共共 40 分）分）1下列四个数中，最小的数是（）A2 B0 C3 D 2下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（）A B C D 3已知点（3，2）在反比例函数 y（k0）的图象上，则 k 的值为（）A3 B3 C6 D6 4如图，ABCD，165，则2 的度数是（）A105 B115 C125 D135 第 4 题 第 8 题 第 9 题 5若两个相似三角形的相似比是 1：3，则这两个相似三角形的面积比是

2、（）A1：3 B1：4 C1：6 D1：9 6 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子第 1 种如图有 4 个氢原子，第 2 种如图有 6 个氢原子，第 3 种如图有 8 个氢原子，按照这一规律，第 10 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（）A20 B22 C24 D26 7已知 m，则实数 m 的范围是（）A2m3 B3m4 C4m5 D5m6 8 如图，在矩形 ABCD 中，分别以点 A 和 C 为圆心，AD 长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点 若AD4，则图中阴影部分的面积为（）A328 B164

3、C324 D168 9如图，在正方形 ABCD 的边 CD 上有一点 E，连接 AE，把 AE 绕点 E 逆时针旋转 90，得到FE，连接 CF 并延长与 AB 的延长线交于点 G则的值为（）A B C D 10 已知整式 M：anxn+an1xn1+a1x+a0，其中 n，an1，a0为自然数，an为正整数，且 n+an+an第 2 页（共 25 页）1+a1+a05下列说法：满足条件的整式 M 中有 5 个单项式；不存在任何一个 n，使得满足条件的整式 M 有且仅有 3 个；满足条件的整式 M 共有 16 个其中正确的个数是（）A0 B1 C2 D3 二、二、填空题填空题：（本大题本大题

4、8 个小题，个小题，每小题每小题 4 分，分，共共 32 分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上。11计算：（3）0+（）1 12如果一个多边形的每一个外角都是 40，那么这个多边形的边数为 13重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从 A，B，C 三 个 景 点 中 随 机 选 择 一 个 景 点 游 览，甲、乙 两 人 同 时 选 择 景 点 B 的 概 率为 14随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增该公司 2021 年缴税 40 万元，2023 年缴税48.4 万元该公司这两年缴税的年平均增长率是

5、 15如图，在ABC 中，延长 AC 至点 D，使 CDCA，过点 D 作 DECB，且 DEDC，连接 AE交 BC 于点 F若CABCFA，CF1，则 BF 16 若关于 x 的不等式组至少有 2 个整数解，且关于 y 的分式方程2的解为非负整数，则所有满足条件的整数 a 的值之和为 17 如图，以 AB 为直径的O 与 AC 相切于点 A，以 AC 为边作平行四边形 ACDE，点 D，E 均在O上，DE 与 AB 交于点 F，连接 CE，与O 交于点 G，连接 DG 若 AB10，DE8，则 AF ，DG .18我们规定：若一个正整数 A 能写成 m2n，其中 m 与 n 都是两位数，且

6、 m 与 n 的十位数字相同，个位数字之和为 8，则称 A 为“方减数”，并把 A 分解成 m2n 的过程，称为“方减分解”例如：因为 60225223，25 与 23 的十位数字相同，个位数字 5 与 3 的和为 8，所以 602 是“方减数”，602 分解成 60225223 的过程就是“方减分解”按照这个规定，最小的“方减数”是 把一个“方减数”A 进行“方减分解”，即 Am2n，将 m 放在 n 的左边组成一个新的四位数 B，若 B 除以 19 余数为 1，且 2m+nk2（k 为整数），则满足条件的正整数 A为 三、三、解答题解答题：（本大题本大题 8 个小题，个小题，第第 19 题

7、题 8 分，分，其余每小题其余每小题 8 分，分，共共 78 分）解答时每小题必须给出必要分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 19（8 分）计算：（1）x（x2y）+（x+y）2；（2）（1+）20（10 分）为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛现从七、八年级的学生中各随机抽取 20 名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析所有学生的成绩均高于 60 分（成绩得分用 x 表示，共分成四组：A.6

8、0 x70；B.70 x80；C.80 x90；D.90 x100），下面给出了部分信息：七年级 20 名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100 八年级 20 名学生的竞赛成绩在 C 组的数据是：81，82，84，87，88，89 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 第 3 页（共 25 页）中位数 86 b 众数 a 79 根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中 a ，b ，m ；（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知

9、识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七年级有 400 名学生、八年级有 500 名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（x90）的学生人数是多少？21（10 分）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：（1）如图，在矩形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点用尺规过点 O 作 AC 的垂线，分别交 AB，CD于点 E，F，

10、连接 AF，CE（不写作法，保留作图痕迹）（2）已知：矩形 ABCD，点 E，F 分别在 AB，CD 上，EF 经过对角线 AC 的中点 O，且 EFAC求证：四边形 AECF 是菱形 证明：四边形 ABCD 是矩形，ABCD ，FCOEAO 点 O 是 AC 的中点，CFOAEO（AAS）又OAOC，四边形 AECF 是平行四边形 EFAC，四边形 AECF 是菱形 进一步思考，如果四边形 ABCD 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：22（10 分）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共 30 条生产线的设备进行更新换代（1）为鼓励企业进行生产线的

11、设备更新，某市出台了相应的补贴政策根据相关政策，更新 1 条甲类生产线的设备可获得 3 万元的补贴，更新 1 条乙类生产线的设备可获得 2 万元的补贴这样更新完这 30 条生产线的设备，该企业可获得 70 万元的补贴该企业甲、乙两类生产线各有多少条？（2）经测算，购买更新 1 条甲类生产线的设备比购买更新 1 条乙类生产线的设备需多投入 5 万元，用 200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用 180 万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得 70 万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？23（10 分）如图 1，在ABC 中，AB6，BC8，点 P 为 AB 上一点，A

12、Px，过点 P 作 PQBC交 AC 于点 Q点 P，Q 的距离为 y1，ABC 的周长与APQ 的周长之比为 y2（1）请直接写出 y1，y2分别关于 x 的函数表达式，并注明自变量 x 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数 y1，y2的图象，并分别写出函数 y1，y2的一条性质；（3）结合函数图象，请直接写出 y1y2时 x 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 0.2）第 4 页（共 25 页）24（10 分）如图，甲、乙两艘货轮同时从 A 港出发，分别向 B，D 两港运送物资，最后到达 A 港正东方向的 C 港装运新的物资 甲货轮沿 A 港的东南方向航行 40

13、 海里后到达 B 港，再沿北偏东 60方向航行一定距离到达 C 港乙货轮沿 A 港的北偏东 60方向航行一定距离到达 D 港，再沿南偏东 30方向航行一定距离到达 C 港（参考数据：1.41，1.73，2.45）（1）求 A，C 两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠 B，D 两港的时间相同），哪艘货轮先到达 C 港？请通过计算说明 25（10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+4（a0）经过点（1，6），与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧），连接 AC，BC，tanCBA4（1）求抛物线的表达式；

14、（2）点 P 是射线 CA 上方抛物线上的一动点，过点 P 作 PEx 轴，垂足为 E，交 AC 于点 D点 M 是线段 DE 上一动点，MNy 轴，垂足为 N，点 F 为线段 BC 的中点，连接 AM，NF当线段 PD 长度取得最大值时，求 AM+MN+NF 的最小值；（3）将该抛物线沿射线 CA 方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段 PD 长度取得最大值时的点 D，且与直线 AC 相交于另一点 K点 Q 为新抛物线上的一个动点，当QDKACB 时，直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标 26（10 分）在ABC 中，ABAC，点 D 是 BC 边上一点（点 D 不与端点重合）点 D 关于直

15、线AB 的对称点为点 E，连接 AD，DE在直线 AD 上取一点 F，使EFDBAC，直线 EF 与直线 AC 交于点 G（1）如图 1，若BAC60，BDCD，BAD，求AGE 的度数（用含 的代数式表示）；（2）如图 1，若BAC60，BDCD，用等式表示线段 CG 与 DE 之间的数量关系，并证明；（3）如图 2，若BAC90，点 D 从点 B 移动到点 C 的过程中，连接 AE，当AEG 为等腰三角形时，请直接写出此时的值 第 5 页（共 25 页）第 6 页（共 25 页）2024 年重庆市中考数学试卷（年重庆市中考数学试卷（A 卷）卷）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、一、

16、选择题选择题：（本大题本大题 10 个小题，个小题，每小题每小题 4 分，分，共共 40 分）在每个小题的下面，分）在每个小题的下面，都给出代号为都给出代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑。的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑。1下列四个数中，最小的数是（）A2 B0 C3 D【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小按照从小到大的顺序排

17、列找出结论即可【解答】解：203，最小的数是：2 故选：A【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键 2下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（）A B C D【分析】根据轴对称图形的概念判断即可【解答】解：A、示意图不是轴对称图形，不符合题意；B、示意图不是轴对称图形，不符合题意；C、示意图是轴对称图形，符合题意；D、示意图不是轴对称图形，不符合题意；故选：C【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 3已知点（3，2

18、）在反比例函数 y（k0）的图象上，则 k 的值为（）A3 B3 C6 D6【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可【解答】解：点（3，2）在反比例函数 y（k0）的图象上，k326 故选：C【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的纵横坐标之积是定值 k 是解答本题的关键 4如图，ABCD，165，则2 的度数是（）A105 B115 C125 D135【分析】由平行线的性质推出3165，由邻补角的性质得到21803115【解答】解：ABCD，第 7 页（共 25 页）3165，21803115 故选：B 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推

19、出3165 5若两个相似三角形的相似比是 1：3，则这两个相似三角形的面积比是（）A1：3 B1：4 C1：6 D1：9【分析】由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到答案【解答】解：两个相似三角形的相似比是 1：3，这两个相似三角形的面积比是 12：321：9 故选：D【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方 6 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子第 1 种如图有 4 个氢原子，第 2 种如图有 6 个氢原子，第 3 种如图有 8 个氢原子，按照这一规律，第 10

20、 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（）A20 B22 C24 D26【分析】根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题【解答】解：由所给图形可知，第 1 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：412+2；第 2 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：622+2；第 3 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：832+2；第 4 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：1042+2；，所以第 n 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n+2）个，当 n10 时，2n+222（个），即第 10 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为 22 个 故选：B【点评】本题

21、考查图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子的个数依次增加 2 是解题的关键 7已知 m，则实数 m 的范围是（）A2m3 B3m4 C4m5 D5m6【分析】先化简 m 的值，再运用算术平方根知识进行估算、求解【解答】解：m32，34，即实数 m 的范围是 3m4，第 8 页（共 25 页）故选：B【点评】此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识 8 如图，在矩形 ABCD 中，分别以点 A 和 C 为圆心，AD 长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点 若AD4，则图中阴影部分的面积为（）A328 B164 C324 D168【分析】连接 AC，在 RtADC 中

22、利用勾股定理求出 AC 的长，根据矩形的面积公式求出矩形 ABCD 的面积，两个扇形为圆，根据扇形面积公式求出两个扇形面积之和，根据 S阴影S矩形 ABCDS两个扇形计算阴影部分的面积即可【解答】解：连接 AC 两弧有且仅有一个公共点，AD4，AC2AD8，在 RtADC 中，CD4，S矩形 ABCDADCD16，两个扇形均为圆，而且它们的半径相等，两个扇形为圆，面积之和为 S两个扇形AD28，S阴影S矩形 ABCDS两个扇形168 故选：D【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握勾股定理、矩形、扇形和圆的面积公式是解题的关键 9如图，在正方形 ABCD 的边 CD 上有一点 E，连接 AE，把

23、AE 绕点 E 逆时针旋转 90，得到FE，连接 CF 并延长与 AB 的延长线交于点 G则的值为（）A B C D【分析】过点 F 作 FHDC 交 DC 延长线于点 H，证明ADE 和EHF 全等，得到FCH45，再根据等腰直角三角形三边关系，求出比值【解答】解：过点 F 作 FHDC 交 DC 延长线于点 H，H90 四边形 ABCD 是正方形，第 9 页（共 25 页）D90，ADDC，AE 绕点 E 逆时针旋转 90，得到 FE，AEFE，AEF90，DAE+AED90，HEF+AED90，DAEHEF，在ADE 和EHF 中，ADEEHF（AAS），ADEH，DEHF，EHDC，D

24、ECHHF，HCF45，G45，设 CHHFDEx，正方形边长为 y，则 CEyx，CF，CG，FGCGCF，故选：A 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质，掌握全等三角形的性质与判定方法是解题的关键 10 已知整式 M：anxn+an1xn1+a1x+a0，其中 n，an1，a0为自然数，an为正整数，且 n+an+an1+a1+a05下列说法：满足条件的整式 M 中有 5 个单项式；不存在任何一个 n，使得满足条件的整式 M 有且仅有 3 个；满足条件的整式 M 共有 16 个 其中正确的个数是（）A0 B1 C2 D3【分析】根据题意，对 n 进行分类讨论即

25、可【解答】解：n，an1，a0为自然数，an为正整数，且 n+an+an1+a1+a05，0n4，当 n4 时，则 4+a4+a3+a2+a1+a05，a41，a3a2a1a00，满足条件的整式有 x4，当 n3 时，则 3+a3+a2+a1+a05，（a3，a2，a1，a0）（2，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），满足条件的整式有：2x3，x3+x2，x3+x，x3+1，当 n2 时，则 2+a2+a1+a05，（a2，a1，a0）（3，0，0），（2，1，0），（2，0，1），（1，2，0），（1，0，2），（1，1，1），满足条件的整式有：3x2，

26、2x2+x，2x2+1，x2+2x，x2+2，x2+x+1；当 n1 时，则 1+a1+a05，第 10 页（共 25 页）（a1，a0）（4，0），（3，1），（1，3），（2，2），满足条件的整式有：4x，3x+1，x+3，2x+2；当 n0 时，0+a05，满足条件的整式有：5；满足条件的单项式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故符合题意；不存在任何一个 n，使得满足条件的整式 M 有且只有 3 个，故符合题意；满足条件的整式 M 共有 1+4+6+4+116 个，故符合题意；故选：D【点评】本题考查的是整式的规律探究，单项式，分类讨论思想的应用，由条件可得 0n4，再分类讨论得到答案

27、即可 二、填空题：（二、填空题：（本大题本大题 8 个小题，个小题，每小题每小题 4 分，分，共共 32 分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。线上。11计算：（3）0+（）13【分析】根据零指数幂和负整数指数幂计算可得【解答】解：原式1+23，故答案为：3【点评】本题主要考查零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握 ap（a0，p 为正整数）及 a01（a0）12如果一个多边形的每一个外角都是 40，那么这个多边形的边数为 9【分析】根据外角和为 360，得出多边形的边数【解答】解：9，这个多边形的边数为 9，故答案为：9【点评】本题考

28、查了多边形的外角和定理，理解外角的个数与正多边形的边数之间的关系是解题的关键 13重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从 A，B，C 三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点 B 的概率为 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人同时选择景点 B 的结果数，再利用概率公式可得出答案【解答】解：画树状图如下：共有 9 种等可能的结果，其中甲、乙两人乙两人同时选择景点 B：BB 共 1 种，甲、乙两人同时选择景点 B 的概率为 故答案为：【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键

29、14随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增该公司 2021 年缴税 40 万元，2023 年缴税48.4 万元该公司这两年缴税的年平均增长率是 10%【分析】设该公司这两年缴税的年平均增长率是 x，利用该公司 2023 年缴税金额该公司 2021 年缴税金额（1+该公司这两年缴税的年平均增长率）2，可列出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，第 11 页（共 25 页）即可得出结论【解答】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是 x，根据题意得：40（1+x）248.4，解得：x10.110%，x22.1（不符合题意，舍去），该公司这两年缴税的年平均增长率是 10%故答案为：10%

30、【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 15如图，在ABC 中，延长 AC 至点 D，使 CDCA，过点 D 作 DECB，且 DEDC，连接 AE交 BC 于点 F若CABCFA，CF1，则 BF3 【分析】由平行线的等分线段定理推出 AFEF，由三角形中位线定理推出 DE2CF2，得到 AC2CF2，由CAFCBA，推出 AC：BCCF：AC，求出 BC4，即可得到 BF 的长【解答】解：CDCA，DECB，AFEF，CF 是ADE 的中位线，DE2CF2，DEDC，AC2CF2，CABCFA，ACFACB，CAFCBA，AC：BCCF：AC，

31、2：BC1：2，BC4，BFBCFC3 故答案为：3【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线等分线段定理，关键是由三角形中位线定理得到 AC2CF2，由CAFCBA，推出 AC：BCCF：AC 16 若关于 x 的不等式组至少有 2 个整数解，且关于 y 的分式方程2的解为非负整数，则所有满足条件的整数 a 的值之和为 16【分析】先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数 a 的值，再进行计算求解【解答】解：，解不等式，得 x4，解不等式，得 x，该不等式组的解集为x4，该不等式组至少有 2 个整数解，2，解得 a8；解分式方程2得，第 12 页（共 2

32、5 页）y，由题意得，当 a8 时，y3；当 a6 时，y2；当 a4 时，y1（不合题意，舍去）；当 a2 时，y0，所有满足条件的整数 a 的值为 8、6 和 2，8+6+216，所有满足条件的整数 a 的值之和为 16，故答案为：16【点评】此题考查了含有字母参数的一元一次不等式组和分式方程问题的解决能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算求解 17 如图，以 AB 为直径的O 与 AC 相切于点 A，以 AC 为边作平行四边形 ACDE，点 D，E 均在O上，DE 与 AB 交于点 F，连接 CE，与O 交于点 G，连接 DG若 AB10，DE8，则 AF8，DG.【分析】连接 O

33、E、OD、OG，过 O 点作 OHDG 于 H 点，CE 交 AF 于 P 点，如图，先根据切线的性质得到 ABAC，再根据平行四边形的性质得到 ACDE，所以 ABDE，则利用垂径定理得到 DFEF4，接着利用勾股定理计算出 OF3，从而得到 AF 的长；利用平行线分线段成比例得到，则可计算出 PA，PC，再证明 RtDOHRtPCA，利用相似比求出 DH，最后根据垂径定理得到 DG2DH【解答】解：连接 OE、OD、OG，过 O 点作 OHDG 于 H 点，CE 交 AF 于 P 点，如图，以 AB 为直径的O 与 AC 相切于点 A，ABAC，四边形 ABCD 为平行四边形，ACDE，A

34、BDE，DFEFDE4，AB10，OAOE5，在 RtOEF 中，OF3，AFOA+OF5+38；DEAC，DEGPCA，第 13 页（共 25 页）PA8，在 RtACP 中，PC，DOG2DEG，DOG2DOH，DEGDOH，DOHPCA，RtDOHRtPCA，DH：AOOD：PC，即 DH：5：，DH，OHDG，DG2DH 故答案为：8，【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了垂径定理、圆周角定理和平行四边形的性质 18我们规定：若一个正整数 A 能写成 m2n，其中 m 与 n 都是两位数，且 m 与 n 的十位数字相同，个位数字之和为 8，则称 A 为“方减

35、数”，并把 A 分解成 m2n 的过程，称为“方减分解”例如：因为 60225223，25 与 23 的十位数字相同，个位数字 5 与 3 的和为 8，所以 602 是“方减数”，602 分解成 60225223 的过程就是“方减分解”按照这个规定，最小的“方减数”是 82把一个“方减数”A 进行“方减分解”，即 Am2n，将 m 放在 n 的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且2m+nk2（k为整数），则满足条件的正整数A为 4564 【分析】设 m10a+b，则 n10a+8b（1a9，0b8），根据最小的“方减数”可得 m10，n18，即可求解；根据 B 除以 19 余数为

36、 1，且 2m+nk2（k 为整数），得出 为整数，30a+b+8是完全平方数，在 1a9，0b8，逐个检验计算，即可求解【解答】解：设 m10a+b，则 n10a+8b（1a9，0b8），由题意得：m2n（10a+b）2（10a+8b），1a9，要使“方减数”最小，需 a1，m10+b，n18b，m2n（10+b）2（18b）100+20b+b218+b82+b2+21b，当 b0 时，m2n 最小为 82；设 m10a+b，则 n10a+8b（1a9，0b8），B1000a+100b+10a+8b1010a+99b+8，B 除以 19 余数为 1，1010a+99b+7 能被 19 整除，

37、53a+5b+为整数，又 2m+nk2（k 为整数），第 14 页（共 25 页）2（10a+b）+10a+8b30a+b+8 是完全平方数，1a9，0b8，30a+b+8 最小为 49，最大为 256，即 7k16，设 3a+4b+719t，t 为正整数，则 1t3，（）当 t1 时，3a+4b12，则 b3a，30a+b+830a+3a+8 是完全平方数，又 1a9，0b8，此时无整数解，（）当 t2 时，3a+4b31，则 b，30a+b+830a+8 是完全平方数，又 1a9，0b8，此时无整数解，（）当 t3 时，3a+4b50，则，是完全平方数，若 a6，b8，则 3a+4b+75

38、7193，306+8+8196142，t3，k14，此时 m10a+868，n10a+8a60，A682604564，故答案为：82，4564【点评】本题考查因式分解的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，用含字母的式子表示相关的数 三、三、解答题解答题：（本大题本大题 8 个小题，个小题，第第 19 题题 8 分，分，其余每小题其余每小题 8 分，分，共共 78 分）解答时每小题必须给出必要分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的

39、位置上 19（8 分）计算：（1）x（x2y）+（x+y）2；（2）（1+）【分析】（1）先展开，再合并同类项即可；（2）先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分【解答】解：（1）原式x22xy+x2+2xy+y2 2x2+y2；（2）原式 【点评】本题考查整式的混合运算和分式的符合运算，解题的关键是掌握整式和分式相关运算的法则 20（10 分）为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛现从七、八年级的学生中各随机抽取 20 名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析所有学生的成绩均高于 60 分（成绩得分用 x 表示，共分成四组：A.60 x70；B.70 x80；C

40、.80 x90；D.90 x100），下面给出了部分信息：七年级 20 名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100 八年级 20 名学生的竞赛成绩在 C 组的数据是：81，82，84，87，88，89 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 b 众数 a 79 根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中 a86，b87.5，m40；（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写第 15 页（共

41、25 页）出一条理由即可）；（3）该校七年级有 400 名学生、八年级有 500 名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（x90）的学生人数是多少？【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义可得 a、b 的值；用“1”分别减去其它部分占比可得 m 的值；（2）根据平均数和中位数的意义解答即可；（3）利用样本估计总体思想求解可得【解答】解：（1）在七年级 20 名学生的竞赛成绩中 86 出现的次数最多，故众数 a86；把八年级 20 名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是 87，88，故中位数 b87.5，m%110%20%40%，即 m40 故

42、答案为：86，87.5，40；（2）八年级学生安全知识竞赛成绩较好，理由如下：因为两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，所以得到八年级学生安全知识竞赛成绩较好（答案不唯一）；（3）400+50040%120+200 320（人），答：估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（x90）的学生人数大约是 320 人【点评】本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键 21（10 分）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相

43、交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：（1）如图，在矩形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点用尺规过点 O 作 AC 的垂线，分别交 AB，CD于点 E，F，连接 AF，CE（不写作法，保留作图痕迹）（2）已知：矩形 ABCD，点 E，F 分别在 AB，CD 上，EF 经过对角线 AC 的中点 O，且 EFAC求证：四边形 AECF 是菱形 证明：四边形 ABCD 是矩形，ABCD CFOAEO，FCOEAO 点 O 是 AC 的中点，OCOA CFOAEO（AAS）OFOE 又OAOC，四边形 AE

44、CF 是平行四边形 EFAC，四边形 AECF 是菱形 第 16 页（共 25 页）进一步思考，如果四边形 ABCD 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：四边形AECF 是菱形 【分析】（1）根据要求作出图形；（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：四边形 ABCD 是矩形，ABCD CFOAEO，FCOEAO 点 O 是 AC 的中点，OCOA CFOAEO（AAS）OFOE 又OAOC，四边形 AECF 是平行四边形 EFAC，四边形 AECF 是菱形 猜想的结论：四边形 AECF 是菱形 故答案为：CFOAEO，OCOA，

45、OFOE，四边形 AECF 是菱形【点评】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 22（10 分）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共 30 条生产线的设备进行更新换代（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策根据相关政策，更新 1 条甲类生产线的设备可获得 3 万元的补贴，更新 1 条乙类生产线的设备可获得 2 万元的补贴这样更新完这 30 条生产线的设备，该企业可获得 70 万元的补贴该企业甲、乙两类生产线各有多少条？（2）经测算

46、，购买更新 1 条甲类生产线的设备比购买更新 1 条乙类生产线的设备需多投入 5 万元，用 200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用 180 万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得 70 万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？【分析】（1）设该企业有 x 条甲类生产线，y 条乙类生产线，根据“更新完这 30 条生产线的设备，该企业可获得 70 万元的补贴”，可列出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买更新 1 条乙类生产线的设备需投入 m 万元，则购买更新 1 条甲类生产线的设备需投入（m+5）万元，利用数量总价单价，结合用 200 万元购买

47、更新甲类生产线的设备数量和用 180 万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，可列出关于 m 的分式方程，解之经检验后，可得出 m 的值，再将其代入 10第 17 页（共 25 页）（m+5）+20m70 中，即可求出结论【解答】解：（1）设该企业有 x 条甲类生产线，y 条乙类生产线，根据题意得；，解得：答：该企业有 10 条甲类生产线，20 条乙类生产线；（2）设购买更新 1 条乙类生产线的设备需投入 m 万元，则购买更新 1 条甲类生产线的设备需投入（m+5）万元，根据题意得：，解得：m45，经检验，m45 是所列方程的解，且符合题意，10（m+5）+20m7010（45+5）+20457

48、01330 答：还需投入 1330 万元资金更新生产线的设备【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程 23（10 分）如图 1，在ABC 中，AB6，BC8，点 P 为 AB 上一点，APx，过点 P 作 PQBC交 AC 于点 Q点 P，Q 的距离为 y1，ABC 的周长与APQ 的周长之比为 y2（1）请直接写出 y1，y2分别关于 x 的函数表达式，并注明自变量 x 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数 y1，y2的图象，并分别写出函数 y1，y2的一条性质；（

49、3）结合函数图象，请直接写出 y1y2时 x 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 0.2）【分析】（1）通过证明APQABC，可得，即可解；（2）根据解析式画出图象即可；（3）根据题意列出不等式，可求解【解答】解：（1）PQBC，APQABC，y2，y1x，点 P 为 AB 上一点，第 18 页（共 25 页）y1x（0 x6），y2（0 x6）；（2）图象如图所示：y1x 的图象性质：在 0 x6，y 随 x 的增大而增大，y2的图象性质：在 0 x6，y 随 x 的增大而减小；（3）y1y2，x，x2，x（舍去），x，2.6x6【点评】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定

50、和性质，一次函数图象的性质，反比例函数图象的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键 24（10 分）如图，甲、乙两艘货轮同时从 A 港出发，分别向 B，D 两港运送物资，最后到达 A 港正东方向的 C 港装运新的物资 甲货轮沿 A 港的东南方向航行 40 海里后到达 B 港，再沿北偏东 60方向航行一定距离到达 C 港乙货轮沿 A 港的北偏东 60方向航行一定距离到达 D 港，再沿南偏东 30方向航行一定距离到达 C 港（参考数据：1.41，1.73，2.45）（1）求 A，C 两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠 B，D 两港的时间相同），哪艘货