空间向量基本定理课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx

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1、1.2 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理lAP平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示xyo复习平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示平面向量基本定理平面向量基本定理（一般到特殊）（一般到特殊）（特殊到一般）（特殊到一般）空间向量空间向量的正交分解的正交分解空间向量空间向量基本定理基本定理空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示（类类比比）类比平面向量的正交分解，你能得出空间向量的类比平面向量的正交分解，你能得出空间向量的正交分解吗？正交分解吗？探究探究xzQPijkOyxzQPyijkO由平面向量基本定理可知，在由平面向量基本定理可知，在

2、OQ,k所确定的平面上，存在实数所确定的平面上，存在实数z，使得，使得OP=OQ+zk.在在i，j所确定的平面上，由平面向所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对量基本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得），使得OQ=xi+yj.xzQyijkOxzQPyijkOOP=OQ+zk，OQ=xi+yj，从而从而OP=OQ+zk=xi+yj+zk 空间向量的正交分解与平面向量的正空间向量的正交分解与平面向量的正交分解相似，区别在于分解的结果中多了交分解相似，区别在于分解的结果中多了“一项一项”.注意注意如果如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，是空间三个两两垂直的向量，那么，对空

3、间任一向量那么，对空间任一向量p，存在一个有序，存在一个有序实数组实数组 x，y，z，使得，使得p=xi+yj+zk.称称 xi,yj,zk为向量为向量 p在在 i,j,k上的分向量上的分向量.空间向量的正交分解空间向量的正交分解类比平面向量基本定理，你能得出空间向量基本定理吗类比平面向量基本定理，你能得出空间向量基本定理吗？探究探究OABCABPP 设设a,b,c不共面，过点不共面，过点O作作OA=a，OB=b，OC=c，OP=p；过；过P作直线作直线PP平行于平行于OC，交，交平面平面OAB与点与点P；在平面；在平面OAB中，过点中，过点P作作直线直线PA/OB，PB/OA.于是存在三个实

4、数于是存在三个实数x,y,z，使，使OA=xOA=xa,OB=yOB=yb,PP=zOC=zc,OP=OA+OB+PP=xOA+yOB+zOC.所以，所以，p=xa+yb+zc.空间向量的基本定理空间向量的基本定理 如果三个向量如果三个向量a,b,c不共面不共面，那么对任意一个空间向量，那么对任意一个空间向量p，存在有序实数组，存在有序实数组x，y，z，使得，使得p=xa+yb+zc.注意注意 空间向量基本定理说明，用空间三个空间向量基本定理说明，用空间三个不共面不共面已知向量组已知向量组 a,b,c 可以线性表示出空间任意一个可以线性表示出空间任意一个向量，并且表达的结果是唯一的向量，并且表

5、达的结果是唯一的.如果三个向量如果三个向量a,b,c不共面，那么所有不共面，那么所有空间向量组成的集空间向量组成的集合合就是就是 p|p=xa+yb+zc,x,y,zR.cba基底和基向量基底和基向量 集合集合p|p=xa+yb+zc,x,y,zR可以看可以看作是由向量作是由向量a,b,c生成的生成的.a,b,c叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底（base），a,b,c都叫做都叫做基向量基向量（base vector）.注意注意对于基底对于基底 a,b,c 需要明确以下几点：需要明确以下几点：1.1.向量向量a,b,c不共面；不共面；2.2.空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底；

6、空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底；3.3.由于由于0 0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.0.4.4.一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量量.正交分解正交分解两两垂直两两垂直1两两垂直两两垂直ABCOMNQP练习：练习：如下图，如下图，M,N分别为四面体分别为四面体OABC的边的边OA,BC的中点，的中点，P,Q是是MN的三等分点的三等分点.用向量用向量OA

7、,OB,OC表示表示OP和和OQ.ABCOMNQP课本课本P12P12页页1-31-3题题例2如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD4，AA15，DAB60，BAA160，DAA160，M，N分别为D1C1，C1B1的中点求证：MNAC1.例3如图，正方体ABCDABCD的棱长为1，E，F，G分别为CD，AD，DD的中点(1)求证：EFAC；(2)求CE与AG所成角的余弦值课本课本P14P14页页1-31-3题题 1.1.空间向量基本定理空间向量基本定理.在空间，具有大小和方向的量在空间，具有大小和方向的量如果三个向量如果三个向量a,b,c不共面，那么对不共面，那么对空间任一向量空间任一向量p，存在有序实数组，存在有序实数组 x，y，z，使得，使得p=xa+yb+zc.2.2.基底与基向量基底与基向量.空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底.一个基一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量底指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.3.3.空间向量的正交分解空间向量的正交分解.