高考数学知识点梳理精华版完整版.pdf

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1、配套新教材新高考配套新教材新高考高考数学高考数学知识点梳理知识点梳理高考数学知识点梳理目录高考数学知识点梳理目录第一章第一章 预备知识预备知识.11.1 集合.1一、集合的含义与表示.1二、集合间的基本关系.2三、集合的基本运算.2四、常用做题技巧.31.2 常用逻辑用语.4一、充分条件与必要条件.4二、全称量词与存在量词.41.3 一元二次函数、方程、不等式.5一、一元二次不等式.5二、高次不等式.6三、分式不等式.6四、无理不等式.61.4 基本不等式.7一、两个核心不等式.7二、柯西不等式.8三、基本不等式的拓展.9第二章第二章 函数函数.102.1 函数三要素.10一、函数及其定义域.

2、10二、函数的解析式.11三、函数的值域、最值.12四、重要函数.142.2 函数四大性质.16一、函数的单调性.16二、函数的奇偶性.18三、函数的周期性.20四、函数的对称性.20五、函数的周期对称综合.22六、类周期.222.3 指对幂函数.23一、指数运算.23二、对数运算.24三、指数函数图像.25四、对数函数图像.26五、指对函数拓展性质.27六、幂函数图像性质.282.4 函数图像与零点.29一、函数图像问题.29二、函数模型.30三、函数增长快慢.30四、函数的零点.31五、二次方程根的分布.32六、恒成立和存在性问题.34第三章第三章 导数导数.363.1 导数基本功.36一

3、、导数定义与几何意义.36二、导数的计算.383.2 导数解决单调性、极值最值问题.39一、导数研究单调性.39二、导数研究极值最值.413.3 导数中的重要函数图像.42一、八大同构函数图像.42二、三次函数图像.433.4 原函数导函数混合还原.443.5 导数压轴知识点.45一、同构.45二、隐零点代换与估计.46三、泰勒公式.47四、常用导数放缩.47五、指对常见处理方式.48六、极值点偏移与对均不等式.48第四章第四章 三角函数三角函数与解三角形与解三角形.524.1 三角基本功.52一、任意角与弧度制.52二、任意角的三角函数.53三、三角函数的诱导公式.544.2 三角函数公式与

4、运算.55一、基本公式.55二、进阶公式与技巧.564.3 三角函数图像与性质.57一、基础图象性质.57二、周期判断问题.57三、奇偶性问题.57四、三角函数最值、值域题型.58五、函数=sin +的图象.58六、精心整理核心结论.594.4 解三角形.60一、正余弦定理与面积公式.60二、解三角形与解的个数问题.61三、三角形的角平分线与中线性质.62四、精心整理常用结论.64五、解三角形中的最值与范围问题.65六、实际问题中的常用术语.66第五章第五章 平面向量与复数平面向量与复数.675.1 向量基本功.67一、向量中的基本概念.67二、平面向量的线性运算.67三、平面向量的基本定理及

5、坐标表示.68四、向量的数量积.695.2 向量进阶补充.70一、向量常用解题技巧.70二、常见坐标系建立.71三、等和线.71四、极化恒等式与矩形大法.72五、三角形四心.735.3 复数.75一、数系的扩充和复数的概念.75二、复数代数形式的四则运算.75三、复数的进阶结论.76第六章第六章 数列数列.776.1 等差数列.776.2 等比数列.796.3 数列求通项.81一.、公式法.81二、累加法.81三、累乘法.81四、构造法：.82五、隔项数列求通项.83六、不动点法(特征根法).836.4 数列求和.84一、公式法.84二、倒序相加(乘)法.84三、分组求和法.84四、错位相减法

6、.85五、奇偶并项法.85六、裂项相消法.866.5 斐波那契数列.89第七章第七章 立体几何立体几何.927.1 空间几何体.92一、空间几何体的结构特征.92二、空间几何体的表面积与体积.93三、平面多边形的直观图的画法(斜二侧画法).937.2 外 接 球 与 内 切 球.94一外接球.94二内切球.967.3 立体几何证明平行垂直.98一、平面的基本性质.98二、平行的判定及其性质.98三、垂直的判定及其性质.1007.4 立体几何常用结论.1037.5 空间向量.107一、空间向量中的共线与共面定理.107二、空间向量基本定理.108三、空间向量运算的坐标表示.108四、空间向量的应

7、用-线面位置关系的证明.109五、空间向量的应用-求角.110六、空间向量的应用-求距离.112第八章第八章 解析几何解析几何.1138.1 直线.113一、直线基础知识.113二、对称性问题.115三、常见的直线系方程.116四、到角公式与夹角公式.116五、直线问题核心结论与技巧.1178.2 圆.118一、圆的定义.118二、点与圆的位置关系.119三、直线、圆的位置关系.120四、圆的切线系列问题.121五、圆幂定理.123六、圆与圆的位置关系.124七、求圆方程的技巧.1258.3 椭圆.126一、椭圆第一定义.126二、椭圆第二定义.127三、椭圆第三定义.128四、椭圆焦点三角形

8、大总结.1298.4 双曲线.130一、双曲线第一定义.130二、双曲线第二定义.131三、双曲线第三定义.132四、双曲线焦点三角形大总结.132五、双曲线渐近线问题.133六、椭圆双曲线共焦点问题.1348.5 椭圆与双曲线对偶结论总结.1358.5 抛物线.138一、抛物线基础知识.138二、抛物线焦点弦性质.1398.6 直线与圆锥曲线.141一点差法.141二、圆锥曲线大题基本得分步骤.143第九章第九章 计数原理概率统计计数原理概率统计.1459.1 计数原理.145一、排列组合基本计算.145二、排列组合基本方法.146三、二项式定理.1509.2 概率部分.152一、基本概念.

9、152二、事件的关系、性质及概率计算.153三、事件的相互独立性.155四、频率与概率.155五、条件概率和全概率公式.156六、递推方法计算概率与一维马尔科夫过程.157六、离散型随机变量及其分布列.158七、离散型随机变量的数字特征.158八、二项分布与超几何分布.159九、正态分布.1629.3 统计部分.164一、随机抽样.164二、平均数的计算.165三、方差的计算.165四、百分位数的计算.167五、频率分布直方图中的数据计算.167六、nibaxi,2,1 的数据计算.168七、回归分析.169八、独立性检验流程.1711第一章第一章 预备知识预备知识1.11.1 集合集合一、集

10、合的含义与表示一、集合的含义与表示1元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合集合中的元素具有：确定性，互异性互异性，无序性2元素与集合的关系：，；3常用数集符号：正整数集：或+（不含 0）自然数集：（含有 0）整数集：（正整数、负整数、零）有理数集：（无限不循环为无理数，无限循环为有理数）实数集：（包括有理数和无理数）无理数集：复数集：（包括实数和虚数）偶数集：|=2，（0 是偶数）奇数集：|=2 1，正数集：+=0=(0，+)负数集：=0的补集是|0，而不是 1 0=|0 或2+0 的解法：对于一元二次方程2+=0 0，设=2 4，（当 0 时，方程两根为1，2=

11、2）解一元二次不等式的步骤：整理好不等式，2+0 或2+0，【系数一般化为正数】通过因式分解或求根公式确定方程2+=0 的根.画出函数=2+图象后，写出不等式的解集2若2+0(或 0=0 =2+的图象2+=0 的根有两相异实根1，2(1 0 的解集|2|22+0 的解集|1 0(或 0 与 0 均意味,同号，故 0 与 0 等价的；0 与 0 均意味,异号，故 0 与 0 0，()0 0 且 0.()0 0 1 2 0;12 0 1 2 0 且 2 0.eg:12 0 1 2 0 0 2或 0 0 0 0 0 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.71.41.

12、4 基本不等式基本不等式一一、两个核心不等式两个核心不等式1.重要不等式：2+2 2，当且仅当=时取“=”号2.基本不等式：+2(，0)，当且仅当=时取“=”号【一正、二定、三相等】3.基本不等式与重要不等式的异同（1）两个基本不等式中实数 a,b 的取值范围是不同的，重要不等式 a,b 为全体实数，基本不等式 a,b 必须都是正实数.（2）两个基本不等式中等号成立的条件：当且仅当ba 时取等号.（3）两个基本不等式的变形：（和和、积积、平方和平方和之间的关系之间的关系）2+22（积与平方和）+2 （和与积）+22（积与和）2+2+22（平方和与和）+2 2+2（和与平方和）4.已知0,0,x

13、y则如果积xy是定值,p那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.p如果和yx是定值,s那么当且仅当xy时，xy有最大值是2s.4“一正（各项均为正），二定（积或和为定值），三相等（等号能否取得）”.5.常规凑配技巧)00(2nmmnxnmx，当且仅当mnx 时等号成立mnmaaxnaxmaxnmx2)()00(nmma，当且仅当mnax时等号成立，0(2112abacxcbaxcbxaxx)0c，当且仅当acx 时等号成立2)21)()(mxnmxmmmxnmxmxnx（)000(42mnxnmmn，当且仅当mnx2时取等.8等式转化为不等式模型若出现cnabbam)(，其中a、b、m、n、cR

14、因为4)(22baababba，可以转化为cnababm2或cbanbam4)()(2，从而求出ba 及ab的取值范围若出现求nbma 取值范围，先将式子cnabbam)(因式分解成为zybxa)(形式，再用基本不等式求出nbma 最值也可以考虑用柯西不等式解出答案，先进行因式分解zybxa)(，再用柯西不等式分析二二、柯西不等式柯西不等式柯西不等式二元式：设a，b，c，dR，有2)()(bdacdcba当且仅当dbca时等号成立（1）分母的倍数和为常数2)()(nmbnamba，其中Rnmba,，例如：4)11()11)(2bbaababa；对柯西不等式变形，易得222)()(bayxybx

15、a在0,yxba时，就有了yxbaybxa222)(当ybxa时，等号成立同理,)(2222zyxcbazcybxa当zcybxa时，等号成立我们将这种不等式叫做权方和不等式.（2）一高一低和式配凑类型已知22yx 的值，求yx 的取值范围，或者已知yx 的值，求2232yx 的最值或者求yx 的最值即22222)()(nymxnmyx，其中m，nR例222)()11)(baba或者写成2222baba（3）同次积式配凑类型已知xy的值，求),)()(Rnmnymx的最值，利用2)()(mnxynymx求最值9三三、基本不等式的拓展基本不等式的拓展1.当，0)，3.+2(0)5.2+2+2 +

16、，6.4+4+4 22+22+22，7.“1”的代换的代换已知+=1，求=+(，为正常数，0)的最小值已知+=1，求=+(，为正常数，0)的最小值8.当=2+=+2(，0)等号成立的条件不具备时，注意对勾函数=+(0)的图象、单调性的运用9.对于“整式+分式”型的一元函数，用基本不等式求最值，关键在于先将“整式”凑成与“分式”的分母相同或成倍数关系，当然，如果“分式”的分子含变量，则必须先分子常数化=+=2+=+=2+令=+?=+=12+1+122+2+2=+()(为根式、对数式、三角函数式等)10.2+22+22(当=时取“=”号)指数推广：+2+2(0，0，=时取等号)项数推广：12+22

17、+21+2+211.不等式链21+1 +22+22(当且仅当=时等号成立)(调和均值几何均值算术均值平方均值)10第二章第二章 函数函数2.12.1 函数三要素函数三要素一、一、函数及其定义域（函数及其定义域（研究函数必须树立研究函数必须树立定义域优先考虑定义域优先考虑的原则的原则）1.函数的定义（1）：一个 x 对应一个 y；多个 x 对应一个 y（2）函数()的图象与动直线=至多只有一个公共点.（判断一个图象是不是函数图象）（3）点(，)在函数=()的图象上 =2函数的三要素：定义域、对应关系、值域两个函数为同一函数的充要条件是定义域与对应关系相同【定义域相同的条件下解析式可化为相同】3定

18、义域限制：求函数 exaxbxcxxfdxlog0的定义域000010 xaxbxcxdxdxe且4.抽象函数定义域原则：(1)定义域一定是 x 的范围；(2)同一对应法则下的括号内整体范围一样.已知()的定义域是(，)，求 g 的定义域解不等式 g ，其解集就是 g 的定义域已知 g 的定义域是(，)，求()的定义域利用 求 g()的值域，该值域就是()的定义域已知 g 的定义域是(，)，求()的定义域利用 (，)先求出 g()的值域(，)，然后解不等式 0 的形式，再利用+2或+33（一正、二定、三相等）等公式来求值域或最值，一定要看等号能否成立，否则用数形结合法（双勾函数）、单调性法完成

19、，【还可注意柯西不等式的应用】137有界性法：含2，sin，cos的函数，若可用表示它们，则常利用其有界性来求值域8判别式法：用于=12+1+122+2+2（12+22 0，分子、分母无公因式，且无人为限制）先化成(2 1)2+(2 1)+(2 1)=0，再运用 0 求值域（注意讨论二次项系数为 0）附：若含参数的函数 =12+1+122+2+2的值域为，求所含参数的值方法：利用判别式法；方法：利用 12+1+122+2+2 恒成立且等号也可成立9导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值(万能方法)10几种分式函数求值域：=+2（令=1+倒数换元法）=+(令=1+

20、倒数换元法)，=2+或=+2+(令=+常规换元法)14四四、重要函数重要函数1.对勾对勾函数：函数：形如(0,0)byaxabx的函数，叫做对勾函数（1）定义域0 xR x（2）值域当0 x 时，22bbaxaxabxx（当且仅当baxx，即bxa时取等号）来源:学_科_网当0 x 时，()()2()()2bbbaxaxaxabxxx （当且仅当baxx，即bxa 时取等号）则：函数()(0,0)bf xaxabx的值域为(,22,abab）（3）奇偶性由于双勾函数定义域关于原点对称，()()bbfxaxaxxx ()f x，则对勾函数为奇函数（4）单调性()f x在(,)ba 上为增函数，在

21、(,0)ba上 为减函数，在(0,)ba上为减函数，在(,)ba上为增函数2.飘带函数：形如(0,0)byaxabx的函数，叫做飘带函数（1）定义域0 xR x（2）值域R（3）奇偶性由于飘带定义域关于原点对称，()()bbfxaxaxxx ()f x，则飘带函数为奇函数（4）单调性函数()f x在(,0)上为增函数，在(0,)上为增函数153.分式函数（1）axbf xx型.对于形如 axbf xx的函数，总可以变换成 bf xax转化为反比例函数进行求解.（2）axbf xcxd型.对于形如 axbf xcxd（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元tcxd，可转化为 ptqf tt的形

22、式，进而上述（1）中进行求解.（3）2axbxcyx型.形如2axbxcyx的函数可通过分离常数转化为cyaxbx的形式，进而可依靠ayxx的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域.（4）2axbxcydxe型.形如2axbxcydxe可通过换元tdxe将问题转化为（3），然后进行求解.162.22.2 函数四大性质函数四大性质一一、函数的单调性函数的单调性1定义：对于定义域内某个区间上的任意两个自变量1，2当1 2时，都有 1(2)，则称()在区间上是增函数；当1(2)，则称()在区间上是减函数2定义域是函数的整体性质，单调性是函数的局部性质.若函数单调区间不止一个时，不

23、能用“”书写，需要用“，”或“和”隔开.区间端点包不包括没有严格规定，但要注意端点是否在定义域内.3证明单调性步骤：取值，作差变形（最后形式一般为各个因式之积商或配方），定号，结论4单调性定义的变式：单调性定义的变式：设1，2，且1 2，【必要时要规定1 0 (1 2)1 2 0 ()在，是增函数 0 恒成立 1 212 0 (1 2)1 2 0，常数 ，则()，()，+与()有相同的单调性【但要注意()（为偶数时）的单调区间的变化】，()与()有相反的单调性【但要注意（当存在0使得 0=0 时）的单调区间的变化】若 ，g()都是区间上的增（减）函数，则()=+g()在区间上也是增（减）函数设

24、 ，g()都是区间上的恒正的增（减）函数，则()=g()在区间上也是增（减）函数6.单调性性质的应用：若()为增函数，则 1 2 1 2若()为减函数，则 1 2常结合奇偶性解抽象函数不等式，化得具体的不等式（组），具体应用时还应要求1，2在定义域内.177 最大值：=()的定义域为，如果 满足：对 ，都有 ，0，使得 0=，则称为=()的最大值，记作max=0=；【或 max=0=】最小值：=()的定义域为，如果 满足：对 ，都有 ，0，使得 0=，则称为=()的最小值，记作min=0=【或 min=0=8.复合函数单调性(1)如果=()(),=()(),则 =()=()()称为、的复合函数

25、；比如：=12+()=1和()=2+的复合函数)；=1 2()=和()=1 2的复合函数)；=21()=2和()=1的复合函数).(2)同增异减设函数=()()的值域是，函数=()(),若=,=()在各自区间单调性相同，则复合函数=()在区间上递增若=(),=()在各自区间单调性不同，则复合函数=()在区间上递减9.分段函数单调性左段单调性与整体一致；右段单调性与整体一致；若整体增（减），则左段函数在端点的函数值)(右段函数在端点的函数值.=增增减减=g 增减增减=(g()增减减增18二二、函数的奇偶性函数的奇偶性1奇偶性定义：先看定义域是否关于原点对称，再比较()与()的关系偶函数：对于函数

26、()的定义域内任意一个，都有 =，那么函数()就叫做偶函数即 =()为偶函数()的图象关于轴（x=0）对称轴对称.奇函数：对于函数()的定义域内任意一个，都有 =，那么函数()就叫做奇函数即 =()为奇函数()的图象关于原点（0，0）对称中心对称.2.常用结论奇偶函数四则运算与复合 g +g g g g 偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数奇函数 的定义域若包括 0，则必有 0=0用于求解析式中的参数的值，或用于写分段奇函数.()为偶函数 =(|)，常用于解不等式 1 2|1|0

27、，0，1，）（1）当为奇数时，=；（2）当为偶数时，=；2根式的性质：=，=，当为奇数时；，当为偶数时（1，）3正数的正分数与负分数指数幂的意义：(0，且 1)=；=1=14正数的指数幂的运算性质正数的指数幂的运算性质：（0，0，）=+，=，=；=，=，=5常用性质=1；若 2 =2+2 2 ，则 2 =()因式分解：=122 122=(+)，=133 133=(13 13)(23 1313+23)注意12 12，12+12，1，+1，2 2，2+2，32+32，32 32之间的联系,指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题，需要先写成指数形式：例：11 1 171182 4 8824a a aa

28、 a aaa；2 1154323 4412aaaaa指数的逆运算过程：11114()42222181334(5)()()()1616229 根据正数的指数幂的运算性质，上升到抽象函数：+=()，=等24二二、对对数运算数运算1如果=(0，且 1)，那么数叫做以为底的对数，记作=log2=log(0，且 1)【简记：log10=lg，log=ln，其中=2.71828】log1=0；log=1；log=；log=【可用于常数化指数式、对数式】3对数的运算性质(0，且 1，0，0)：若=，则log=log.（两边取对数）（1）log =log+log；（2）log=log log；【log=log

29、1=log】（3）log=log【log1=log】【注意】log2 2log，正确的是：log2=2log|对常用对数式的化简，要充分利用 lg2+lg5=14.换底公式：log=loglog；(其中，0，且 1，0，且 1)推论：log=log；log=log；log=1log5.比较大小中对数常见运用logma=logm+1；log=log+n122481log 3log 9log 27log325三三、指指数数函数图像函数图像1.指数函数概念:一般地，函数=(0 且 1)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.图像与性质函数名称指数函数定义函数 =(0 且 1)叫做指数函数图象

30、 10 0,1)叫做对数函数，其中是自变量.2.图像与性质3.底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当 a1 时，随 a 的增大，对数函数的图象愈靠近 x 轴；当 0a 10 0 恒成立，则=0，0或 0，0，028六六、幂函数图像性质幂函数图像性质1.定义：函数=叫做幂函数，其中是自变量，是常数(重点：=1，2，3，12，1 时图象与性质)2.图象与性质：所有的幂函数在(0,+)都有定义，并且图象都过点(1,1)0 时，幂函数的图象通过原点，并且在0,+)上是增函数特别地，当 1 时，幂函数变化快，图象下凹；当 0 1 时，幂函数变化慢，图象上凸 1)=(0 1)=(0)，【=2+=+，=

31、2+令=+?=+】4某些含根式的函数的图象可以通过对解析式变形，变形为曲线方程来判断如：=1+4 32 =1+4 32 32+12=4(1)，其图象为半圆5()在区间上的图形是（向上）凹的 0（即切线的斜率递增）()在区间上的图形是（向上）凸的 0（即切线的斜率递减）00=0+0(0)=0+0(0)=30二二、函函数数模模型型一次函数=+(0)二次函数=2+(0)指数函数=(0 且 1)指数型函数=(0 且 1)对数函数=(0 且 1)对数型函数=(0 且 1)幂函数=()幂函数型=()三三、函函数数增增长长快快慢慢()()()，()常见函数图象31四四、函数的零点函数的零点(1)函数零点的概

32、念对于函数=()，使()=0 的实数叫做函数的零点.(2)方程根与函数零点的关系方程 =0 有实数根0函数=有零点0函数=()的图象与轴有交点，且交点横坐标为0.eg:方程2 4=0 的实数根是=2，函数 =2 4 与轴的交点横坐标是 2，函数 =2 4 的零点是 2，而不是(2,0).(3)方程()=()有实数根0函数=()与函数=()有交点，且交点横坐标为0.eg:2 2=0 的实根个数方程2 2=0 的实数根函数 =2与函数 =2的交点横坐标如图，方程2 2=0 实数根有 3 个1 1,0,2=2,3=4.(4)零点存在性定理如果函数=()在,上的图象是连续不断的，且()()0，那么函数

33、=()在(,)至少有一个零点，即存在 (,)，使得 =0，这个也就是方程 =0 的解.说明：符合该定理的条件，能确定 在区间(，)内有零点，但零点不一定唯一并不是所有的零点都可以用该定理来判定不满足该定理的函数也可能有零点函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，零点存在性定理只适用“不变号零点”.若=在区间(，)内有零点，且在区间(，)上单调，则 在(，)内有唯一零点设 =+，若 在(，)上有零点，则 0；可借助“”，“+”等符号或者说“充分大时”，来说明()在区间端点值的正负32(5)二分法 二分法的概念对于在区间,上连续不断且()()0 的函数=()，通过不断地把它的零点所在区间一分为二

34、，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.用二分法求方程近似解的步骤(1)确定区间,，验证()()0，给定精确度；(2)求区间(,)的中点;(3)计算()，()若()=0,则就是函数的零点；()若()()0，则令=(此时零点0(,)()若()()0，则令=(此时零点0(,)(4)判断是否达到精确度：即若|0 为例)分布情况两根都小于，即1 ,2 ,2 一根小于，一根大于，即1 02 0 02 0 0 0大致图像得出的结论 0 0 0 根在区间上的分布(以 0 为例)分布情况两根都在(,)内两根有且仅有一根在(,)内一根(,)内，另一根在(,)内大致图像得出的结论 0

35、0 0 2 0 0 0 0 034六、六、恒成立和存在性问题恒成立和存在性问题1.恒成立和存在性问题(1)单变量的恒成立问题 ,恒成立，则 恒成立，则 ；,()恒成立，则 =0 ()恒成立，则 =0 0;(2)单变量的存在性问题 0，使得 0 成立，则 成立，则 ；0，使得 0(0)恒成立，则 =0 (0)恒成立，则 =0 0;(3)双变量的恒成立与存在性问题 1 ,2，使得 1 2恒成立，则 2恒成立，则 ;1 ,2 ,1 2恒成立，则 ;1，2 ,使得 1 2恒成立，则 0 g，g 0 在，恒成立，则 0，0若+0 在，恒成立，则 0，0若 在(，)上有零点，则 0 在上恒成立，则=0，0

36、或 0，0若2+0 在上恒成立，则=0，0或 0，0若2+0)在，上恒成立，设 =2+，则：0，0，那么函数()在这个区间内单调递增如果 0，那么函数()在这个区间内单调递减如果=0，那么函数()在这个区间内为常数函数2求单调区间的方法：通过解不等式 0 或 0(等号可要可不要)；求，并可适当整理，尽量将()整理成 1，2，()之积商的形式，借助数轴分段确定单调性，或直接观察解析式得出单调性说明：写单调区间时，正确表示方法是：多个单调区间之间用逗号隔开，绝对不能用符号“”若()在某个区间上单调递增，则 0；若()在某个区间上单调递减，则 0；设1，2，且1 2，【必要时要规定1 0 (1 2)

37、1 2 0 ()在，是增函数 0 恒成立 1 212 0 (1 2)1 2 0 ()在，是减函数 0 恒成立3讨论单调性（1）不含参数单调性讨论第一步：求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)第二步：变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)第三步：求根做图得结论(如能直接求出导函数等于 0 的根，并能做出导函数与 x 轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)第四步：未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)第五步：正负未知看零点(若导函数正负难判

38、断，则观察导函数零点)第六步：一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)求二阶导需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导第七步：借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)第八步：综上所述得圆满40（2）含参数单调性讨论第一步：求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)第二步：变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)第三步：恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的

39、取值恒正恒负)第四步：然后再求有效根第五步:根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)第六步：导数图像定区间(作图原理同穿针引线法解高次不等式)第七步：综上所述得圆满41二二、导数、导数研究极值最值研究极值最值1.极小值：若函数=()在点=的函数值()比它在点=附近其他点的函数值都小，=0，而且在点=附近的左侧 0，则把点叫做函数=()的极小值点，()叫做函数=()的极小值极大值：若函数=()在点=的函数值()比它在点=附近其他点的函数值都大，=0，而且在点=附近的左侧 0，右侧 0，右侧0 0，那么(0)是极大值；【左增右减】如果在0附近的左侧0 0，那么(

40、0)是极小值【左减右增】说明：若 在=处取得极值，则 =且 =0显然，单调函数无极值；设:0=0，:()在=0处取得极值，则是的必要不充分条件即 ，但 3利用导数研究函数极值的具体步骤(熟练之后，有些步骤可以简化)：第一步：确定函数()的定义域；定义域为时，可省略不写；为求导方便，函数解析式可适当整理第二步：求，并可适当整理；尽量将()整理成 1，2，()之积商的形式第三步：解出方程=0 在定义域内的所有实数根第四步：将函数()，()随的变化情况分段标注在数轴上；（先标注出定义域、以及=0 的根）【注意】若=0 无偶次重根且()无间断点，则在各区间上，()的正负、()的增减性交替出现=0 的偶

41、次重根的两侧不变号，但()的间断点（即分母为 0 的根）的两侧则不一定第五步：确定 的极值4一般地，如果在区间，上函数=()的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值5一般地，求函数=()在区间，上的最大值和最小值的步骤如下：求函数=()在区间(，)上的极值；将函数=()的各极值与端点处的函数值 ，()比较，其中最大的一个是最大值，其中最小的一个是最小值说明：可以学会使用的符号：max=max ，=，min=min ，=若函数=()在区间(，)上无极值点，则它必为单调函数若函数=()在区间(，)上只有唯一极值点，则它必为最值点6单峰函数=()在(，)有最值()在(，)有极值 =0 在

42、(，)有解7连续函数()关于直线=对称，则必有=0；连续函数()关于点(，)对称，则必有 =423.33.3 导数中的重要函数图像导数中的重要函数图像一一、八大同构函数图像八大同构函数图像xyxe，xxye，xeyx，lnyxx，ln xyx，lnxyx，1xeyx，1lnxxy43二二、三次函数图像三次函数图像设三次函数为：32()f xaxbxcxd(a、b、c、Rd 且0a)，其基本性质有：性质 1：定义域为 R；值域为 R，函数没有最大值、最小值；单调性和图像：性质 2：三次方程()0f x 的实数根的个数对于三次函数32()f xaxbxcxd(a、b、c、Rd 且0a)，其导数为2

43、()32fxaxbxc当230bac，其导数()0fx有两个解1x，2x，原函数有两个极值1x，2233bbacxa 当12()()0f xf x时，原方程有且只有一个实根当12()()0f xf x时，原方程有两个实数根当12()()0f xf x时，原方程三个实数根性质 3：对称性三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；()33bbfaa，奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数0a 0a 图像0 0 0 0 443.43.4 原函数导函数混合还原原函数导函数混合还原定理 1：()()0()0 xfxf xxf x；0)(0)()(xxfxfxxf证明：)()(

44、)(xxfxfxxf；2)()()(xxfxxfxxf0)()(xfxxf，则函数)(xxfy 单调递增；0)()(xfxxf，则xxfy)(单调递减定理 2：当0 x时，0)(0)()(xfxxnfxxfn；0)(0)()(nxxfxnfxxf证明：)()()(1xfxxfnxxfxnnn；21)()()(nnnnxxfxxfnxxfx0)()(xnfxxf，则函数)(xfxyn单调递增；0)()(xnfxxf，则nxxfy)(单调递减定理 3：0)(0)()(xfexfxfx；0)(0)()(xexfxfxf证明：+,xxfx eefxfx xxfxfxfxee，0)()(xfxf，则xe

45、xfy)(；反之xexfy)(；)()(xfxf,则xexfy)(；反之xexfy)(定理 4：由于0)()()(axfeaxfxfx；0)()()(xeaxfaxfxf证明：xxeaxfeaxfxf)()()(；2)()()(xxeaxfeaxfxfaxfxf)()(，则()xyef xa，反之；若axfxf)()(，则xeaxfy)(，反之定理 5：()sin()cos()0sin()0;sincos()00sinf xxfxxf xxf xxfxxf xx ()cossin()0cos()0;cossin()00cosf xxfxxf xxf xxfxxf xx453.53.5 导数压轴

46、知识点导数压轴知识点一一、同构同构1.基础基础变形方式变形方式lnxxxxee；lnxxxeex；ln x xxxee；lnlnxxxxe；lnlnxexxx.2.积、商、和差型积、商、和差型变形变形方式方式积型：lnaaebb lnlnabxa eb ef xxe（同左）lnlnaaeebb lnf xxx（同右）lnlnln lnaabb lnf xxx（取对数）商型：lnaebablnlnabeeab xef xx（同左）lnlnaaebeb()lnxf xx（同右）lnlnln(ln)aabb()lnf xxx（取对数）和差型：lnaeabblnlnabeaeb()xf xex（同左）

47、lnlnaaeebb()lnf xxx（同右）3.配凑变形同构配凑变形同构lnaxaexlnaxaxexx；ln1ln()ln(1)1lnln(1)1xxxaeaaxaaea xeaxa lnln(1)lnln(1)1ln(1)xaxexaxxex；lnlnlnlog(ln)lnlnxxaxaaxaxexa exxa 111ln0lnlnlnaaaaxxxxxxxxxf xxxeee 1lnlnlnlnaxxxaxxaaxxeaxxexeax ef xxex 464.地位同等同构（双变量合二为一）地位同等同构（双变量合二为一）（1）121212f xf xk xxxx 12121122f xf

48、 xkxkxf xkxf xkx yf xkx为增函数.（2）12121212f xf xkxxxxx x121212122112k xxkkkkf xf xf xf xx xxxxx kyf xx为减函数.二、隐零点代换与估计二、隐零点代换与估计第 1 步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程()fx00，并结合()f x的单调性得到零点的范围；第 2 步：以零点为分界点，说明导函数()fx的正负，进而得到()f x的最值表达式；第 3 步：将零点方程()fx00适当变形，整体代入()f x最值式子进行化简：要么消除()f x最值式中的指对项要么消除其中的参数项；从而得到()

49、f x最值式的估计.47三、三、泰勒公式泰勒公式泰勒公式：()200000000()()()()()()()()()2!nnnfxfxf xf xfxxxxxxxxxn泰勒公式在00 x时的特殊形式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!nnnfff xffxxxo xn由带有佩亚诺余项的泰勒公式（麦克劳林公式）可得如下高考常用函数的展开式：=1+22!+!+11=1+2+3+（等比数列求和，首项为 1，公比为）11+=1 +2 3+（等比数列求和，首项为 1，公比为）ln 1+=22+33+11+1+=1+12!2+1 +1!+（nnxCxCxCCx2210)1(）sin=33!+55!

50、77!+cos=1 22!+44!66!+tan=+133+2155+173157+(7)(|2)四、常用四、常用导数放缩导数放缩1 xex(切点横坐标是0 x，Rx)1212xxex1ln xx(切点横坐标是1x，0 x)3sin6xxxx（0 x）2 1cos2xx（0 x）sintanxxx（02x）48五、指对常见处理方式五、指对常见处理方式1对数：乘除变加减设()f x为可导函数，则有()ln)()lnf xxfxx1()f xx，若()f x为非常数函数，求导式子中含有ln x，这类问题需要多次求导处理这类函数的技巧是将ln x前面部分提出，就留下ln x这个单身狗，然后研究剩余部