高一数学下学期期末试卷01（测试范围：平面向量、解三角形、复数、立体几何、统计概率）解析版.pdf

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1、2023-2024 学年高一数学下学期期末试卷学年高一数学下学期期末试卷本套试卷根据九省联考题型命制，题型为本套试卷根据九省联考题型命制，题型为 8+3+3+5 模式模式 考试时间：120 分钟 满分：150 分 测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何+统计概率一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的1上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有 21 位选手报名参赛，初赛成绩各不相同，取前 10名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，

2、为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道 21名同学成绩的()A平均数 B中位数 C众数 D方差【分析】根据题意，21 位选手成绩的中位数是第 11 名的成绩，结合中位数的定义分析可得答案【解答】解：根据题意，21 位选手成绩的中位数是第 11 名的成绩，取前 10 名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道 21 名同学成绩的中位数 故选：B【点评】本题考查众数、中位数、平均数的定义，注意中位数的计算公式，属于基础题2已知i为虚数单位，(,)zabi a bR=+，若(1)(1)2za zb iai+=，则复数z在复平面上对应的点位于()A第一象限 B

3、第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数的四则运算，复数相等的条件，求出z，再结合复数的几何意义，即可求解【解答】解：zabi=+，zabi=，(1)(1)(1)(1)()(1)2za zb iabia abiibibi aiabab iai+=+=+=+=，012ababa+=，解得11ab=，1zi=+，复数z在复平面上对应的点(1,1)位于第二象限 故选：B【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题 3已知a，b为单位向量，且(4)(3)abab+，则a，b夹角的余弦值为()A711 B111 C111 D711【分析】利用向量的

4、垂直关系，求解向量的数量积，然后求解向量的夹角即可【解答】解：a，b为单位向量，且(4)(3)abab+，可得22(4)(3)411341130ababaa bba b+=+=+=，解得111a b=，可得1|cos,11a ba b=，所以1cos,11a b=，故选：B【点评】本题考查向量的数量积的求法，向量的夹角的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题 4设函数()sin()(0)4f xx=+的最小正周期为T若23T，且对任意xR，()()03f xf+恒成立，则(=)A23 B34 C45 D56【分析】由题意，根据23T，求得213的最小正周期为2T=，若23T，则223，即21

5、3，故排除A 对任意xR，()()03f xf+恒成立，即()sin()1334f=+=为最小值，故有2342k+=+，kZ，即334k=+，kZ 则可以为34，但不可为45和56 故选：B【点评】本题主要考查正弦函数的周期性和最小值，属于中档题 5 已知正方体1111ABCDABC D的边长为 2，M是1BB的中点，点P在正方体内部或表面上，且/MP平面11AB D，则动点P的轨迹所形成的区域面积是()A3 B2 3 C3 3 D4 3【分析】分别取11BC、11C D、1DD、DA、AB的中点E、F、G、H、N，根据题意可得点P的轨迹为正六边形MEFGHN，由此求得该正六边形MEFGHN的

6、面积即可【解答】解：如图所示，E，F，G，H，N分别为11BC，11C D，1DD，DA，AB的中点，则11/EFB DNH，1/MNB AFG，平面/MEFGHN平面11AB D，动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部 正方体1111ABCDABC D的边长为 2，2EFFGGHHNNMME=，即六边形EFGHNM是边长为2的正六边形，则其面积136223 322S=故选：C 【点评】本题考查动点的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题 6在ABC中，45,3,t

7、an3ABACA=，点M，N分别在边AB，BC移动，且MNBN=，沿MN将BMN折起来得到棱锥BAMNC，则该棱锥的体积的最大值是()A16 215 B16 315 C16 615 D309128【分析】根据题意，可得ABC的具体形状，可得当面MNB 面AMNC时，此时的点B到底面AMNC 的距离最大，设2BMx=，将四棱锥中底面积和高，都用x表示出来，整理出体积的函数，利用导数求最值，可得答案【解答】解：由4tan3A=得3cos5A=，由余弦定理得4CB=，则ABC是直角三角形，C为直角，对MN的任何位置，当面MNB 面AMNC时，此时的点B到底面AMNC的距离最大，此时NMB即为MB与底

8、面AMNC所成的角，设2BMx=，在MNB中，23133tan,2tan,sinsin4245MNBBSx xBxNMBB=，点B到底面AMNC的距离6sin5xhMBNMB=，则3211362435()(6)(0)3345102B AMNCABCMNBxxxVSShxx=，函数(2)(1),1()cos(3),4xln xx mf xxmx+=+，函数(2)(1),1()cos(3),4xln xx mf xxmx+=+上单调递增，且1()02g，故()g x在1(,1)2内必有唯一零点0 x，当0(1,)xx 时，()0g x，()g x单调递增；令()0g x=，解得0 x=或 2，可作

9、出函数()g x的图像，令()0h x=，即3,42xkkZ+=+，在(0，之间解得12x=或512或34，作出图像如图：数形结合可得：53,)2,)12 124 故选：A【点评】本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题 8如图，三棱锥PABC中，PA 平面ABC，且ABC为等边三角形，若3AB=，2PA=，则三棱锥PABC的外接球的表面积为()A4 B16 C8 D32【分析】根据题给信息，可以将直三棱锥补形成为直棱柱问题，即可用直棱柱外接球问题的求解方法求解【解答】解：因为是直三棱锥，底面是正三角形，所以可以将图补形成为正三棱柱，如图所示，此时三棱锥四个点的外接球，与三棱

10、柱 6 个点的外接球是同一个，所以问题转化为求解正三棱柱外接球的问题，设球心为O，作OO 平面ABC，连接O A，OA，则112OOPA=，设ABC的外接圆半径为r，由正弦定理，得，2232 3sin603ABr=，所以3r=，在RtOO A中，222O AOOOA+=，所以231R+=，解得2R=，所以2416SR=故选：B【点评】本题考查球的表面积，考查直棱柱外接球问题，属于中档题 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得求全部选对的得 6 分，

11、部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9为了得到函数sin(2)3yx=的图像，只需将函数sinyx=的图像所有点()A横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再将所得图像向右平移6个单位长度 B横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移3个单位长度 C向右平移3个单位长度，再把所得图像各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）D向右平移6个单位长度，再把所得图像各点横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出结果【解答】解：为了得到函数sin(2)3yx=的图像，只需将函数sinyx=的图像所

12、有横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再将所得图像向右平移6个单位长度；或将函数sinyx=的图像所有点向右平移3个单位长度，再把所得图像各点横坐标缩短到原来的12 （纵坐标不变），故选：AC【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题 10ABC中，下列说法不正确的是()AsinsinaAbB=B若222abc+，则ABC为锐角三角形 C若AB，则sinsinAB D若2sinsinsinBCA+=，则2bca+=【分析】根据正弦定理化简A，C，D中的条件，可以判定其错误，利用余弦定理可判断B错误 【解答】解：对于A，根据正

13、弦定理知，2 sinaRA=，2 sinbRB=，代入sinsinaAbB=得，22sinsinAB=，显然A不成立；对于B，根据余弦函数可知，222cos02abcCab+=，又(0,)C，C为锐角，但无法确定A，B的大小，无法判断ABC是否为锐角三角形，故B错误；对于C，若AB，由大角对大边可知，ab，再由正弦定理可得，2 sin2 sinRARB，sinsinAB，故C正确；对于D，根据正弦定理知，2sinsinsinBCA+=可化为，22 sin2 sin2 sinRBRCRA+=，即sinbcaA+=，故D不正确 故选：ABD【点评】本题主要考查正弦定理，三角形内角和定理，勾股定理和

14、余弦函数的单调性等知识的综合应用，属于中档题 11如图，在边长为 2 的正方形123SGG G中，E、F分别是12GG、23G G的中点若沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使1G、2G、3G三点重合，重合后的点记为G，则()AGSEF B点G到平面SEF的距离为34 C三棱锥GSEF的外接球表面积为6 D二面角EGSF等于45【分析】选项A，结合线面垂直的判断定理与性质定理可判断；选项B，利用等体积法求点到面的距离，即可；选项C，将三棱锥补成长方体，求出长方体外接球的半径，即可得解；选项D，根据二面角的定义分析即可【解答】解：由题意得，GSGE，GSGF，GEGF，222GSGEG

15、F=，故可以GS，GE，GF为相邻的边，构造出长方体，如图所示，对于选项A：因为GSGE，GSGF，GEGFG=，GE、GF 平面GEF，所以GS 平面GEF，又EF 平面GEF，所以GSEF，即选项A正确；对于选项B：在SEF中，有5SESF=，2EF=，所以EF边上的高为2223 2(5)()22=，设点G到平面SEF的距离为h，因为S GEFG SEFVV=，所以11113 221 1232322h =，解得23h=，所以点G到平面SEF的距离为23，即选项B错误；对于选项C：将三棱锥GSEF补成的长方体的外接球即为三棱锥GSEF的外接球，所以外接球的半径222112622R+=，所以外

16、接球的表面积22644()62SR=，即选项C正确；对于选项D：因为GSGE，GSGF，所以二面角EGSF的平面角为90EGF=，即选项D错误 故选：AC【点评】本题考查空间几何体的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，等体积法，棱锥的外接球问题，二面角的定义等是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共3小题，每小题小题，每小题5分，共分，共15分分 12某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30所对学生进行视力调查，则应从 75 所中学中抽取 9 所学校【分析】根据

17、分层抽样的定义建立比例关系即可【解答】解：根据分层抽样的定义可得，从 75 所中学中抽取753091507525=+故答案为：9【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，属于基础题 13已知正四棱台的上、下底面边长分别是 1 和 2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为8，则此正四棱台的侧棱长为 2 【分析】根据题意可得球O的半径，结合外接球的性质可得外接球心在底面的中心，再根据几何关系求解侧棱长即可【解答】解：设上下底面互相平行的两对角线分别为DC，AB，则由球O的表面积为8，可得球O的半径2R=，又正四棱台的上下底面边长分别是 1 和 2，故2DC=，

18、2 2AB=，所以球O的球心正好在AB中点，故2OAOBOCOD=，所以ODC是正三角形，故 60ODCDOC=，所以ODA是正三角形，故此正四棱台的侧棱长2ADOA=故答案为：2【点评】本题考查棱台的结构特征和棱台的外接球，属于基础题 14在平行四边形ABCD中，2,3,2,1ABADAMMD MB MC=，则BAD=23：点P是线段BC上的一个动点，当PA PB 最小时，|BP=【分析】用AB 和AM 表示MB和MC，根据1MB MC=即可求出BAD；设(01)PBCB=，根据()PA PBPBBAPB=+用表示PA PB ，根据二次函数性质即可求出PA PB 最小时的值，从而求出|BP

19、【解答】解：()()()(2)MB MCABAMDCDMABAMABAM=+22|2|cos422 1 cos22cosABAMABAMBADBADBAD=+=+=+122cos1cos1202BADBADBAD+=；设(01)PBCB=，/ADBC，60ABC=，则22()|cosPA PBPBBAPBPBBA BPCBBABPABC=+=293=，当16=时，PA PB 取最小值，则11|362BP=故答案为：21;32【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题 四、解答题：本题共四、解答题：本题共5小题，共小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解

20、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinsin2BbCc=（1）求角B；（2）若13b=，3ca=，求ABC的面积【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得2B的余弦值，再由B角的范围，可得2B的大小，进而求出B角的大小；（2）由（1）和余弦定理可得a，c边的值，代入三角形的面积公式，可得该三角形的面积【解答】解：（1）sinsin2BbCc=由正弦定理可得sinsinsinsin2BBCC=，在三角形中可得sin0C，sin2sincos22BBB=，可得1cos22B=，(0,)B，可得23B=，可得23B=；（2）因为13b=，3ca

21、=，23B=，由余弦定理可得2222cosbacacB=+，即22211396()2aaa=+，解得21a=，即1a=，3c=，所以1133 3sin1 32224ABCSacB=，所以ABC的面积为3 34【点评】本题考查正余弦定理及三角形的面积公式的应用，属于基础题 16为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了 200 户居民去年一年的月均用电量（单位：)kW h，将全部数据按区间0，50)，50，100)，350，400分成 8 组，得到如下的频率分布直方图：（1）求图中a的值；并估计这 200 户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）为了既满足居民

22、的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数）【分析】（1）由题意，利用频率之和为 1，列出等式即可求出a的值，结合频率分布直方图所给信息，列出等式即可求解；（2）利用频率分布直方图所给信息以及百分位数的定义，列出等式即可求解【解答】解：（1）易知50(240.00632)1aaaaaaa+=，解得0.001a=，此时样本落在0，50)，50，100)，100，150)，150，200)，200，250)，250，300)

23、，300，350)，350，400的频率 分别为 0.05，0.1，0.2，0.3，0.15，0.1，0.05，0.05，则月用电量的平均值050501001001501502002002502503003003503504000.050.10.20.30.150.10.050.05182.522222222x+=+=；（2）要使75%的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的75%分位数；要使20%的居民缴费在第二档，还需要确定月用电量的95%分位数，因为0.050.10.20.30.650.75+=，所以要使75%的居民缴费在第一档，月用电量的75%分位数位于200，250)区间内，则0.75

24、0.65200502330.80.65+，又0.050.10.20.30.150.10.050.95+=，所以95%对应的用电量为 350，故第一档的范围是0，233，第二档的范围是(233，350，第三档的范围是(350,)+【点评】本题考查频率分布直方图的应用以及百分位数的定义，考查了逻辑推理和运算能力 17 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：25(3),02()5050,251xxW xxx+=+，肥料成本投入为10 x元，其它成本投入（如培育管理、

25、施肥等人工费）20 x元已知这种水果的市场售价大约为 15 元/千克，且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为()f x（单位：元）（1）求()f x函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）利用()15()30f xW xx=，即可求解；（2）对()f x进行化简，得到2175()222,02,52578030(1),251xxxxx+=+，分类在02x 和25x 时，求解()f x的最大值，进而得到答案【解答】解：（1）因为肥料成本投入为10 x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20 x元 已知这种水果的市场售价大约为 15

26、元/千克，且25(3),02()5050,251xxW xxx+=+，所以2215 5(3)30,027530225,02()15()201015()305075015(50)30,2575030,2511xxxxxxf xW xxxW xxxxxxxx+=+，即()f x函数关系式为27530225,02()75075030,251xxxf xxxx+=+；（2）由（1）得22175()222,027530225,02,5()7502575030,2578030(1),2511xxxxxf xxxxxxx+=+，当02x 时，()maxf xf=（2）465=（元)；当25x 时，2525(

27、)78030(1)780302(1)48011f xxxxx=+=+（元)，当且仅当2511xx=+时，即4x=时等号成立 因为465480，所以当4x=时，()480maxf x=（元)所以当施用肥料为 4 千克时，种植该果树获得的最大利润是 480 元【点评】本题考查了函数模型在实际问题中的应用，属于中档题 18如图，在正三棱柱111ABCABC中，D为AB的中点，2AB=，13AA=（1）求证：平面1ACD 平面11ABB A；（2）求点A到平面1ACD的距离 【分析】（1）因为1AACD，ABCD，所以CD 平面11ABB A，再利用面面垂直的判断定理即可证得平面1ACD 平面11AB

28、B A；（2）根据勾股定理求出1AD，CD的长，进而得到1ADC的面积，再利用等体积法即可求出点A到平面1ACD的距离【解答】证明：（1）由正三棱柱111ABCABC的结构特征可得，1AA 平面ABC，又因为CD 平面ABC，所以1AACD，在正三角形ABC中，D为AB的中点，所以ABCD，又因为1AAABA=，1AA，AB 平面11ABB A，所以CD 平面11ABB A，又因为CD 平面1ACD，所以平面1ACD 平面11ABB A 解：（2）由（1）可知，CD 平面11ABB A，又因为1AD 平面11ABB A，所以1CDAD，在正三角形ABC中，3CD=，在正三棱柱111ABCABC

29、中，1AA 平面ABC，又因为AD 平面ABC，所以1AAAD，所以110AD=，因为11AACDA ACDVV=，所以点A到平面ACD的距离11113333101103103ACDACDSAAhS=【点评】本题主要考查了面面垂直的判断定理，考查了等体积法求点到平面的距离公式，属于中档题 19如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为梯形，/ABCD，PAPDPB=，1BCCD=，2AB=，3BCD=，直线PA与底面ABCD所成角为4（1）若E为PD上一点且2PEED=，证明：/PB平面ACE；（2）求二面角PADB的余弦值 【分析】（1）连接AC，BD，设ACBDM=，连接EM，利用12DM

30、DEBMPE=，可得/EMPB，从而可证/PB平面ACE；（2）过P作PFAB于点F，则PF 底面ABCD，过F作FOAD于点O，连接PO，可证F是AB的中点，利用二面角平面角的定义可知FOP为二面角PADB的平面角，在POF中，求出三条边长，利用余弦定理求cosFOP即可【解答】解：（1）证明：连接AC，BD，设ACBDM=，因为/ABCD，1CD=，2AB=，所以12DMBM=，又因为2PEED=，所以12DEPE=，所以/EMPB，又因为EM 平面ACE，PB/平面ACE，所以/PB平面ACE；（2）过P作PFAB于点F，则PF 底面ABCD，过F作FOAD于点O，连接PO，因为PAPD=，所以DFAF=，又因为OFAD，所以O是AD中点，1BCCD=，3BCD=，BCD是等边三角形 60ABD=，又2AB=，1BD=，222cos603ADABBDAB BD=+=，222ADBDAB+=，ADBD，/OFBD，O是AD中点，F是AB的中点，POAD，OFAD，FOP为二面角PADB的平面角，在POF中，2235(2)()22PO=，1122OFBD=，22()2112ABPFPA=，所以22251()()1522cos551222FOP+=所以二面角PADB的余弦值为55【点评】本题主要考查了线面平行的判断，以及二面角的求解，属于中档题