浙江宁波镇海中学2024年高一下学期期末考试数学试题含答案.pdf

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1、 第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 镇海中学镇海中学 2023 学年第二学期期末考试学年第二学期期末考试 高一数学试题卷高一数学试题卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1.点 P是椭圆2212xy+=上一动点，则点 P到两焦点的距离之和为（）A.2 B.2 C.2 2 D.4 2.若,a b c是空间中的一组基底，则下列可与向量,2ac ac+构成基底的向量是（）A.a B.2ab+C.2ac+D.c 3.l为直线，为平面

2、，则下列条件能作为l的充要条件的是（）A.l平行平面内的无数条直线 B.l平行于平面的法向量 C.l垂直于平面的法向量 D.l与平面没有公共点 4.己知(2,2,1)(1,1,0)ab=，则a在b上投影向量的坐标为（）A.(1,1,0)B.(1,2,0)C.(2,2,0)D.(1,1,1)5.点()()1122,P x yQ xy为直线20kxy+=上不同的两点，则直线111:1lx xy y=与直线222:1lx xy y=的位置关系是（）A.相交 B.平行 C.重合 D.不确定 6.如图，平行六面体各棱长为 1，且1160A ABA ADBAD=，动点 P 在该几何体内部，且满足1(1)(

3、,R)APxAByADxy AA x y=+，则|AP 的最小值为（）A.64 B.63 C.62 D.12 7.实数,x y满足2222xyxy+=，则|3|xy+最小值为（）的的 第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 A.3 B.7 C.2 D.32+8.在棱长为 2的正四面体OABC中，棱,OA BC上分别存在点,M N（包含端点），直线MN与平面ABC，平面OBC所成角为和，则sinsin+的取值范围是（）A.26,33 B.2 2 3,33 C.6 2 3,33 D.6 2 6,33 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在

4、每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 6 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分，部分选对的得部分 9.已知椭圆222:14xyCa+=的焦点分别为12,F F，焦距为2 5,P为椭圆 C 上一点，则下列选项中正确的是（）A.椭圆 C的离心率为53 B.12FPF的周长为 3 C.12FPF不可能是直角 D.当1260FPF=时，12FPF的面积为4 33 10.已知圆221:(1)(2)9Cxya+=，圆2222:82120,Cxyxayaa+=R则下列选项正确的是（）A.直线12C C恒过定点(3,0)B.

5、当圆1C和圆2C外切时，若,P Q分别是圆12,C C上的动点，则max|10PQ=C 若圆1C和圆2C共有 2 条公切线，则43a 的左，右焦点分别是12(,0),(,0)FcF c，下顶点为点()0,Mb，直线2MF交椭圆 C 于点 N，设1MNF的内切圆与1NF相切于点 E，若122NEFF=，则椭圆 C 的离心率为_，1MNF的内切圆半径长为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5小题，共小题，共 77分解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤 15.已知直线 l经过点(4,4)A，且点(5,0)B到直线 l的距离为 1（1）求直线 l的方程；

6、（2）O为坐标原点，点 C的坐标为(6,3)，若点 P 为直线OA上的动点，求|PBPC+的最小值，并求出此时点 P 的坐标 16.如图，正三棱柱111ABCABC所有的棱长均为 2，点D在棱11AB上，且满足11123ADAB=，点E是棱1BB的中点 （1）证明：/EC平面1AC D；（2）求直线AE与平面1AC D所成角的正弦值 17.已知圆C的圆心在x轴上，且过(1,3),(2,0)（1）求圆C的方程；（2）过点(1,0)P 直线与圆C交于,E F两点（点E位于x轴上方），在x轴上是否存在点A，使得当直的 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 线变化时，均有PAEPAF=？若存在，

7、求出点A的坐标；若不存在，请说明理由 18.如图，三棱柱111ABCABC中，ABC为等边三角形，14B BC=，平面11ABB A 平面11CBBC （1）求证：1ACBB；（2）若122BBAB=，点 E 是线段AB的中点，（i）求平面1ECC与平面1ACC夹角的余弦值；（ii）在平面11ABB A中是否存在点 P，使得1|4PBPB+=且1|5PCPC=若存在，请求出点 P的位置；若不存在，请说明理由 19.在空间直角坐标系Oxyz中，己知向量(,)ua b c=，点()0000,P xyz若直线l以u为方向向量且经过点0P，则直线l的标准式方程可表示为000(0)xxyyzzabcab

8、c=；若平面以u为法向量且经过点0P，则平面的点法式方程可表示为()()()0000a xxb yyc zz+=，一般式方程可表示为0axbyczd+=（1）若平面1:210 xy+=，平面1:210yz+=，直线l为平面1和平面1的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为22、，其中平面2经过点(4,0,0),(3,1,1)，(1,5,2)，平面2:4yz+=，平面:(1)(2)30mxmymz+=，求实数 m的值；（3）若集合(,)|4,4,4Mx y zxyyzzx=+，记集合M中所有点构成的几何体为S，求几何体S的体积和相邻两个面（有公共棱

9、）所成二面角的大小 第1页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 镇海中学镇海中学 2023 学年第二学期期末考试学年第二学期期末考试 高一数学试题卷高一数学试题卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1.点 P是椭圆2212xy+=上一动点，则点 P到两焦点的距离之和为（）A.2 B.2 C.2 2 D.4【答案】C【解析】【分析】由椭圆定义求解即可.【详解】由2212xy+=可得：2a=，由椭圆的定义可知：点 P到两焦点的距离之和为

10、22 2a=.故选：C.2.若,a b c是空间中的一组基底，则下列可与向量,2ac ac+构成基底的向量是（）A.a B.2ab+C.2ac+D.c【答案】B【解析】【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用,2ac ac+表示即可得.【详解】由,a b c是空间中的一组基底，故,a b c两两不共线，对 A：有()()1223aacac=+，故 A 错误；对 B：设()()22abm acn ac+=+，则有()()22abmn amn c+=+，该方程无解，故2ab+可与,2ac ac+构成基底，故 B正确；对 C：有()()12423acacac+=+，故 C错误；对 D：有()()

11、123cacac=+，故 D 错误.故选：B.的 第2页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 3.l为直线，为平面，则下列条件能作为l的充要条件的是（）A.l平行平面内的无数条直线 B.l平行于平面的法向量 C.l垂直于平面的法向量 D.l与平面没有公共点【答案】D【解析】【分析】根据直线与平面平行的定义，由于定义是充要条件得到选项【详解】对 A：没有强调l，故 A错误；对 B：l平行于平面的法向量，可得l，故 B错误；对 C：同 A 一样，没有强调l，故 C 错误；对 D:根据直线与平面平行的定义：直线与平面没有公共点时，直线与平面平行.所以“直线l与平面没有公共点”是“l”的充要条件.故

12、 D 正确.故选：D 4.己知(2,2,1)(1,1,0)ab=，则a在b上的投影向量的坐标为（）A.(1,1,0)B.(1,2,0)C.(2,2,0)D.(1,1,1)【答案】C【解析】【分析】根据投影向量的概念求解即可.【详解】向量a在b上的投影向量为：()()()()()2,2,11,1,01,1,02 1,1,02,2,022a bbbb=，故选：C 5.点()()1122,P x yQ xy为直线20kxy+=上不同的两点，则直线111:1lx xy y=与直线222:1lx xy y=的位置关系是（）A.相交 B.平行 C.重合 D.不确定【答案】A【解析】【分析】利用这两直线的斜

13、率来结合已知条件，即可以作出判断.【详解】由点()()1122,P x yQ xy为直线20kxy+=上不同的两点，则直线111:1lx xy y=与直线222:1lx xy y=的斜率存在时一定为1212xxyy，第3页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 可以把这两个斜率看成直线上两点到原点的斜率的倒数，由已知可得OPOQkk，则1212xxyy，即两直线不可能平行与重合，则只能相交;若直线111:1lx xy y=与直线222:1lx xy y=的斜率有一个不存在，则另一个斜率必存在，也能判定两直线相交；故选：A.6.如图，平行六面体各棱长为 1，且1160A ABA ADBAD=，动

14、点 P 在该几何体内部，且满足1(1)(,R)APxAByADxy AA x y=+，则|AP 的最小值为（）A.64 B.63 C.62 D.12【答案】B【解析】【分析】由平面向量共面定理可知：点P在平面1BDA内，则|AP 的最小值即为点P到平面1BDA的距离，求出三棱锥1AABD为正四面体，过点A作AH 平面1BDA，求解AH即可得出答案.【详解】因为1(1)(,R)APxAByADxy AA x y=+，则()()111APAAx ABAAy ADAA=+，即111APxAByAD=+，由平面向量共面定理可知：点P在平面1BDA内，则|AP 的最小值即为点P到平面1BDA的距离，连接

15、11,BD DA AB因为平行六面体各棱长为 1，且1160A ABA ADBAD=，所以111BDDAAB=，所以三棱锥1AABD为正四面体，第4页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 过点A作AH 平面1BDA，因为1AH 平面1BDA，所以AH 1AH，如图，所以2121233132323AH=，所以2221136133AHA AAH=，所以|AP 的最小值为63AH=.故选：B.7.实数,x y满足2222xyxy+=，则|3|xy+的最小值为（）A.3 B.7 C.2 D.32+【答案】A【解析】【分析】化简2222xyxy+=可得()()22112xy+=，|3|xy+表示为圆上

16、点到直线30 xy+=距离的2倍，运用几何法求解即可.【详解】化简2222xyxy+=可得()()22112xy+=，即(),x y在圆上，则|3|xy+表示为圆上点到直线30 xy+=距离的2倍，圆心()1,1到直线距离为52d=，则|3|xy+的最小值为52232=.故选：A 8.在棱长为 2的正四面体OABC中，棱,OA BC上分别存在点,M N（包含端点），直线MN与平面ABC，平面OBC所成角为和，则sinsin+的取值范围是（）第5页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 A.26,33 B.2 2 3,33 C.6 2 3,33 D.6 2 6,33【答案】C【解析】【分析】建立

17、空间直角坐标系，然后利用空间向量得到222 63sinsin32 33baa+=+，最后根据,a b范围求sinsin+的取值范围即可.【详解】如图，取ABC的中心1O，连接1OO，取BC中点F，连接1O F，过点1O作1O EBC交AB于点E，以1O为原点，分别以111,O E O F OO为,x y z轴建立空间直角坐标系，因为OABC为正四面体，所以12 33O A=，133O F=，12 63OO=，()10,0,0O，31,03B，31,03C，2 60,0,3O，12 60,0,3OO=，32 61,33OB=，32 61,33OC=，设2 30,23Maa，3,03N b，2 3

18、0,3a，1,1b，则(),3,2MNbaa=，由题意得1OO可以作为平面ABC的一个法向量，则()()122222214 323sin2 632323aMN OOaMN OObaabaa=+，第6页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 设平面OBC的法向量为(),mx y z=，32 603332 6033m OBxyzm OCxyz=+=+=，则0 x=，令3y=，则64z=，所以60,3,4m=，()()2222222 63 32332sin3323328aam MNm MNbaabaa=+，()()222222222 62 62233sinsin32 333232aabaabaaba

19、a+=+=+，因为2 30,3a，1,1b，所以232 332,3aa+，20,1b，2232 332,2baa+，222 66 2 33sinsin,3332 33baa+=+故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用相似设出点M的坐标，然后利用空间向量的方法求出线面角，最后求范围即可.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项分在每小题给出的选项中，有多项符合题中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 6 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分，部分选对的得部分 9.已知椭圆222:14xy

20、Ca+=的焦点分别为12,F F，焦距为2 5,P为椭圆 C 上一点，则下列选项中正确的是（）A.椭圆 C的离心率为53 B.12FPF的周长为 3 C.12FPF不可能是直角 D.当1260FPF=时，12FPF的面积为4 33【答案】AD.第7页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】先确定椭圆的方程，再根据方程分析椭圆的性质.【详解】由题意，焦距为22 5c=5c=，又25，所以椭圆焦点必在x轴上，由245a=3a=.所以椭圆的离心率53cea=，故 A正确；根据椭圆的定义，12FPF的周长为2262 5ac+=+，故 B 错误；如图：取()0,2M为椭圆的上顶点，则()(

21、)123,23,250MF MF=,所以12FMF为钝角，所以椭圆上存在点P，使得12FPF为直角，故 C错误；如图：当1260FPF=时，设11PFt=，22PFt=，则1222121 262cos6020ttttt t+=+=1222121 2620ttttt t+=+=1 2163t t=，所以121 2111634 3sin6022323F PFSt t=，故 D正确.故选：AD 10.已知圆221:(1)(2)9Cxya+=，圆2222:82120,Cxyxayaa+=R则下列选项正确的是（）第8页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 A.直线12C C恒过定点(3,0)B.当圆1

22、C和圆2C外切时，若,P Q分别是圆12,C C上的动点，则max|10PQ=C.若圆1C和圆2C共有 2 条公切线，则43a D.当13a=时，圆1C与圆2C相交弦的弦长为3 62【答案】ABD【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线12C C的方程，即可判断 A；根据圆1C和圆2C外切求出 a 的值，数形结合，可判断 B；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断 C；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断 D.【详解】对于 A，由圆221:(1)(2)9Cxya+=，圆2222:82120,Cxyxayaa+=R，可知()()121,2,4,CaCa，故直线12

23、C C的方程为(4)yaa x+=，即()3ya x=，即得直线12C C恒过定点(3,0)，A正确；对于 B，2222:82120,Cxyxayaa+=R即()()222:44,Cxyaa+=R，当圆1C和圆2C外切时，()()221 4232aa+=+，解得43a=，当43a=时，如图示，当12,P C C Q共线时,()22max1284|321 451033PQC C=+=+=；同理求得当43a=时，max|10PQ=，B正确；对于 C，若圆1C和圆2C共有 2条公切线，则两圆相交，则123232C C+，即()()2211 425aa+，解得4433a的左，右焦点分别是12(,0),

24、(,0)FcF c，下顶点为点()0,Mb，直线2MF交椭圆 C 于点 N，设1MNF的内切圆与1NF相切于点 E，若122NEFF=，则椭圆 C 的离心率为_，1MNF的内切圆半径长为_【答案】.12#0.5 .2 35#235【解析】【分析】借助切线长定理与椭圆性质可得12FEFF=，从而可结合椭圆定义得到a的值，即可得其离心率；借助余弦定理的推论可得三角形各边长，结合面积公式运用等面积法即可求取内切圆半径.【详解】设1MNF的内切圆与NM、1MF相切于点F，G，由切线长定理可得11FEFG=，MFMG=，NENF=，又12MFMFa=，则12FGFF=，故12FEFF=，由椭圆定义可知1

25、22NFNFa+=，即122222NEEFNFNEFFNFNEa+=+=,故2aNE=，又1222FFc=，则12cea=；则26OMF=，故123FMF=，设1EFm=，则2422NFmm=，即12NFm=+，4NMm=，第15页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 则有()()()22222111442cos322 24mmMFMNNFMFMNm+=，计算可得45m=，则()118 324sin235MNFSm=，又184MNFCa=，则11412MNFMNFSrCr=，即有8 345r=，即2 35r=.故答案为：12；2 35.【点睛】关键点点睛：本题关键点一个是借助切线长定理与椭圆

26、性质得到12FEFF=，从而可结合椭圆定义得到a的值，第二个是借助等面积法求取内切圆半径.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5小题，共小题，共 77分解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤 15.已知直线 l经过点(4,4)A，且点(5,0)B到直线 l的距离为 1（1）求直线 l的方程；（2）O为坐标原点，点 C坐标为(6,3)，若点 P为直线OA上的动点，求|PBPC+的最小值，并求出此时点 P 的坐标【答案】（1）4x=或158920 xy+=（2）10，15 15,77P【解析】【分析】（1）考虑直线 l 的斜率存在和不存在情况，存在时，设直

27、线方程，根据点到直线的距离求出斜率，即得答案.（2）确定(6,3)关于直线 OA的对称点，数形结合，利用几何意义即可求得答案.的 第16页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【小问 1 详解】由题意知直线 l经过点(4,4)A，当直线斜率不存在时，方程为4x=，此时点(5,0)B到直线 l的距离为 1，符合题意；当直线 l斜率存在时，设方程为4(4)yk x=，即440kxyk+=，则由点(5,0)B到直线 l的距离为 1。得254411kkk+=+，解得158k=，即得15604088xy+=，即158920 xy+=，故直线 l的方程为4x=或158920 xy+=；【小问 2 详解】由

28、点(4,4)A，可得直线OA的方程为yx=，故点(5,0)B关于yx=的对称点为1(0,5)B，连接1PB，则1PBPB=，则()2211|63510PBPCPBPCBC+=+=+=，当且仅当1,B P C共线时，等号成立，即|PBPC+的最小值为 10，此时1BC的方程为53455063yxx+=+=+，联立yx=，解得157xy=，即15 1577P,.16.如图，正三棱柱111ABCABC所有的棱长均为 2，点D在棱11AB上，且满足11123ADAB=，点E是 第17页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 棱1BB的中点 （1）证明：/EC平面1AC D；（2）求直线AE与平面1AC

29、 D所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）65【解析】【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行，也可利用空间向量求线面角的大小.【小问 1 详解】如图：取AB的中点O，因为三棱柱是正三棱柱且棱长为 2，故以O为原点，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A，()0,3,0C，()10,3,2C，1,0,23D，()1,0,1E，所以4,0,23AD=，11,3,03DC=，()1,3,1EC=.设平面1AC D法向量为(),nx y z=，的 第18页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 由1nADnDC()()4,0,2031,3,003x y zx y z=

30、4603 30 xzxy+=+=，取()9,3,6n=.因为()()1,3,19,3,6EC n=9360=+=，又直线EC 平面1AC D，所以/EC平面1AC D.【小问 2 详解】因为()2,0,1AE=，设直线AE与平面1AC D所成的角为，则12sincos,2 305n AEn AEnAE=65=.17.已知圆C的圆心在x轴上，且过(1,3),(2,0)（1）求圆C的方程；（2）过点(1,0)P 的直线与圆C交于,E F两点（点E位于x轴上方），在x轴上是否存在点A，使得当直线变化时，均有PAEPAF=？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）224xy+=（2）

31、存在，且()4,0A 【解析】【分析】（1）设出圆的方程，借助代入所过点的坐标计算即可得；（2）圆问题可转化为在x轴上是否存在点A，使0AEAFkk+=，设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与斜率公式计算即可得.【小问 1 详解】设圆C为()222xayr+=，则有()()()22222132arar+=，解得204ar=，故圆C的方程为224xy+=；第19页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【小问 2 详解】由题意可得，直线EF斜率不为0，故可设:1EFlxmy=，()11,E x y，()22,F xy，联立2214xmyxy=+=，有()221230mymy+=，222412121

32、6120mmm=+=+，12221myym+=+，12231y ym=+，设(),0A t，1t ，由PAEPAF=，则有0AEAFkk+=，即()()()()12211212120yxtyxtyyxtxtxtxt+=，即()122 1120y xy xt yy+=，()()()()122 11212211211y xy xt yyymyymyt yy+=+()()()()1212222216216210111m tmm tmmy ytyymmm+=+=+，即()()621240mm tm t+=+=，则当4t=时，0AEAFkk+=恒成立，故存在定点()4,0A，使得当直线变化时，均有PAE

33、PAF=.18.如图，三棱柱111ABCABC中，ABC为等边三角形，14B BC=，平面11ABB A 平面11CBBC （1）求证：1ACBB；第20页/共24页 学科网（北京）股份有限公司（2）若122BBAB=，点 E 是线段AB的中点，（i）求平面1ECC与平面1ACC夹角的余弦值；（ii）在平面11ABB A中是否存在点 P，使得1|4PBPB+=且1|5PCPC=若存在，请求出点 P的位置；若不存在，请说明理由【答案】（1）答案见解析 （2）（i）3 1010；（ii）存在，(2,0,0)P 【解析】【分析】（1）用线面垂直的判定定理证明 BB1平面 AOC，后转移到线线垂直即可

34、（2）（i）空间向量解题，先求出平面1ECC与平面1ACC的法向量，后按照夹角公式求解即可（ii）设假设存在(,0,)P xz,若15PCPC=，整理得，22560 xzx+=（）.1142PBPBBB+=,则根据椭圆定义知道P的轨迹为椭圆，求出轨迹方程为：22143xz+=，整理得22334zx=,联立（），解出即可【小问 1 详解】如图，过A作1BB的垂线AO，交1BB于O，连接OC，则,AOOB AOOC ABC为等边三角形，则ABAC=，又AOAO=，则RtRtAOBAOC，则BOCO=，则4OCB=，则2COB=，即11,B BCO B BAO COAOO=，,CO AO 平面AOC

35、，则1BB 平面AOC，AC平面AOC，则1ACBB【小问 2 详解】第21页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 （i）由(1)可知 OB,OA,OC两两垂直，则可以 O为原点，建立如图所示空间坐标系 O-xyz.122BBAB=,点 E 是线段AB的中点，则2ABBCCA=，1OAOBOC=1111(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(2,1,0),(,0,)22ABCBCE，111(2,0,0),(0,1,1),(,1,)22CCCACE=.设平面1ECC法向量(,)mx y z=，则 100m CEm CC=即1102220 xyzx+=解得012xyz=

36、，故(0,1,2)m=；同理平面1ACC法向量(0,1,1)n=.则33cos,2 510m nm nm n=，设平面1ECC与平面1ACC夹角,则3 10cos10=（ii）平面11ABB A中,假设存在(,0,)P xz,若15PCPC=，则222215(2)1xzxz+=+，整理得，22560 xzx+=（）.1142PBPBBB+=,则根据椭圆定义知道P在以1BB为焦距的椭圆上，且1142,22PBPBacBB+=，解得2,1,3acb=，则P的轨迹方程为：22143xz+=，整理得22334zx=,与（）联立方程组.2222560334xzxzx+=，解得120 xz=，第22页/共

37、24页 学科网（北京）股份有限公司 22180)xz=（，舍去 故在平面11ABB A中存在点 P，使得14PBPB+=且15PCPC=，P坐标为(2,0,0)19.在空间直角坐标系Oxyz中，己知向量(,)ua b c=，点()0000,P xyz若直线l以u为方向向量且经过点0P，则直线l的标准式方程可表示为000(0)xxyyzzabcabc=；若平面以u为法向量且经过点0P，则平面的点法式方程可表示为()()()0000a xxb yyc zz+=，一般式方程可表示为0axbyczd+=（1）若平面1:210 xy+=，平面1:210yz+=，直线l为平面1和平面1的交线，求直线l的单

38、位方向向量（写出一个即可）；（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为22、，其中平面2经过点(4,0,0),(3,1,1)，(1,5,2)，平面2:4yz+=，平面:(1)(2)30mxmymz+=，求实数 m的值；（3）若集合(,)|4,4,4Mx y zxyyzzx=+，记集合M中所有点构成的几何体为S，求几何体S的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小【答案】（1）212,333 （2）1m=（3）体积为 128，相邻两个面（有公共棱）所成二面角为23【解析】【分析】（1）记平面1，1的法向量为11(1,2,0),(0,2,1)=，设直线l的方向向量(,)lx y z=，由直线l为

39、平面1和平面1的交线，则1l，1l，列出方程即可求解；（2）设2:10axbycz+=，由平面2经过点(4,0,0),(3,1,1)，(1,5,2)，列出方程中求得2:4xy+=，记平面22、的法向量为22(1,1,0),(0,1,1),(,1,2)m mm=+，求出2与2交线方向向量为()1,1,1p=，根据p，即可求得m的值；（3）由题可知，S由一个边长是 4 的正方体和 6个高为 2的正四棱锥构成，即可计算出体积，设几何体S相邻两个面（有公共棱）所成二面角为()0,，由题得出平面EBC和平面ECD的法向量，根据两平 第23页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 面夹角的向量公式计算即可

40、【小问 1 详解】记平面1，1的法向量为11(1,2,0),(0,2,1)=，设直线l的方向向量(,)lx y z=，因为直线l为平面1和平面1的交线，所以1l，1l，即112020lxylyz=+=，取2x=，则(2,1,2)l=，所以直线l的单位方向向量为212,333【小问 2 详解】设2:10axbycz+=，由平面2经过点(4,0,0),(3,1,1)，(1,5,2)，所以4103105210aabcabc+=+=+=，解得14140abc=，即2:4xy+=，所以记平面22、的法向量为22(1,1,0),(0,1,1),(,1,2)m mm=+，与（1）同理，2与2确定的交线方向向

41、量为()1,1,1p=，所以p，即()1210pmmmm=+=+=，解得1m=【小问 3 详解】由集合(,)|4,4,4Mx y zxyyzzx=+知，S由一个边长是 4 的正方体和 6 个高为 2的正四棱锥构成，如图所示，1322 4 433V=正四棱锥，324 4 461283SV=+=，设几何体S相邻两个面（有公共棱）所成二面角为()0,，平面:40EBC xz+=，设平面EBC法向量1(1,0,1)n=，平面:40ECD yz+=，设平面ECD法向量2(0,1,1)n=，第24页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 所以1211coscos,222n n=，所以几何体S相邻两个面（有公共棱）所成二面角为23 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是作出空间图形，求出相关法向量，利用二面角的空间向量求法即可.