2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块18-成对数据分析.docx

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1、2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块18-成对数据分析模块十八：成对数据统计分析 1、变量的相关关系: (1) 函数关系 (确定性关系); (2) 相关关系 (线性相关和非线性相关)2、散点图: 成对数据都可以用直角坐标系中的点表示出来, 由这些点组成的统计图叫散点图. 3、正相关和负相关从整体上看, 当一个变量的值增加时, 另一个变量的相应值也呈现增加的趋势, 我们就称这两个变量正相关 (positive correlation); 当一个变量的值增加时, 另一个变量的相应值呈现减小的趋势, 则称这两个变量负相关 (negative correlation). 4、线性相关

2、:一般地, 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关, 而且散点落在一条直线附近, 我 们就称这两个变量线性相关. 5、样本相关系数:r=i=1nxixyiyi=1nxix2i=1nyiy2=i=1nxiyinxyi=1nxi2nx2i=1nyi2ny2注: (1) 样本相关系数 r 是一个描述成对样本数据的数字特征,它的正负性可以反映成对样本数据的变化特征: 当 r0 时,称成对样本数据正相关. 这时,当其中一个数据的值变小时,另一个数据的值通常也变小; 当其中一个数据的值变大时, 另一个数据的值通常也变大.当 r0 时,称成对样本数据负相关. 这时,当其中一个数据的值变小时,另一个数据的值通常

3、会变大; 当其中一个数据的值变大时, 另一个数据的值通常会变小.(2) 样本相关系数 r 的取值范围为 1,1 ,样本相关系数 r 的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的 程度:当 r 越接近 1 时,成对样本数据的线性相关程度越强;当 r 越接近 0 时,成对样本数据的线性相关程度越弱.6、一元线性回归模型Y=bx+a+e,Ee=0,De=2.(1)我们称 (1) 式为 Y 关于 x 的一元线性回归模型 (simple linear regression model). 其中,Y 称为因变量或响应变量, x 称为自变量或解释变量; a 和 b 为模型的未知参数, a 称为截距参数,

4、b 称为斜率参数; e 是 Y 与 bx+a 之间的随机误差. 7、线性经验回归方程与最小二乘法我们将 y=bx+a 称为 Y 关于 x 的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其中b=i=1nxixyiyi=1nxix2,a=ybx其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法 ,求得的 b,a叫做 b,a 的最小二乘估计 (least squares estimate).注意: (1) 经验回归直线一定过样本中心点 x,y(2) 残差分析:对于响应变量 Y ,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的 y 称为 预测值, 观测值减去预测值称为残差. 残差

5、是随机误差的估计结果, 通过对残差的分析可 以判断模型刻画数据的效果, 以及判断原始数据中是否存在可疑数据等, 这方面工作称为 残差分析.8、刻画回归效果的方式 (1) 残差图法: 在残差图中 (纵坐标是残差), 残差点比较均匀落在以取值为 0 的横轴为对称轴的水平带状区 域内, 说明选用的模型比较合适, 这样的带状区域的宽度越窄, 说明拟合精度越高.(2) 残差平方和: 残差平方和为 yiyi2 ,残差平方好越小,模型拟合效果越好.(3) 利用决定系数 R2 刻画拟合效果:R2=1i=1nyiyi2i=1nyiy2.在 R2 表达式中, i=1nyiy2 与经验回归方程无关,残差平方和 i=

6、1nyiyi2 与经验回归方程有关. 因此 R2 越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好; R2 越小,表示残差平方和越大, 即模型的拟合效果越差.9、分类变量: 为了表述方便, 我们经常会使用一些特殊的随机变量, 以区别不同的现象或性质, 这类随机变量 称为分类变量. 分类变量的取值可以用实数表示.10、 22 列联表假设两个分类变量 X 和 Y ,它们的可能取值分别为 x1,x2和 y1,y2 ,其 22 列联表为XY合计yty2x1aba+bx2cdc+d合计a+cb+da+b+c+d22 列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.、等高堆积条形图: 展示列联表数据的频率特征,

7、 能够直观反映出两个分类变量之间是否相互影响.(1) 等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形, 每一个矩形中都有两种颜色,观察下方颜色区域的高度, 如果两个高度相差比较明显, 就判定两个分类变量之间有关 系.(2) 利用等高堆积条形图虽然可以比较各个部分之间的差异, 明确展现两个分类变量的关系, 但不能知道两个分类变量有关系的概率大小.12、独立性检验假设有两个分类变量 X 和 Y ,它们的值域分别为 x1,x2 和 y1,y2 ,其样本频数 22 列联表为:y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d若要推断的论述 H:aX 和 Y 有关系”,可以利用独立性检验来考察

8、两个变量是否有 关系, 并且能较精确地给出这种判断的可靠程度.关系, 并且能比较精确地给出这种判断的可靠程度. 则:2=nadbc2a+bc+da+cb+d.当 2xa 时,我们就推断 H0 不成立,即认为 X 和 Y 不独立,该推断犯错误的概率 不超过 ;当 2xa 时,我们没有充分证据推断 H0 不成立,可以认为 X 和 Y 独立.这种利用 2 的取值推断分类变量 X 和 Y 是否独立的方法称为 Z2 独立性检验,读作 “卡方独立性检验”, 简称独立性检验 (test of independence).注意: 独立性检验结论描述:(1) 如果 2x ,根据小概率值 的 2 独立性检验,推断

9、 H0 不成立,即认为 X 与 Y 有关联,此推断犯错 误的概率不大于 ; (或者说: 有 1100% 的把握认为 X 与 Y 有关联,或者说: 在犯错误率不超过 的前提 下认为 X 与 Y 有关联)(2) 如果 20, 为样本空间,则1)PB|A0,1,P|A=1;2) 如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 PBCA=PBA+PCA ;3) 设 B 和 B 互为对立事件,则 PBA=1PBA .(3) 概率乘法公式: 对于任意两个事件 A 与 B ,若 PA0 ,则 PAB=PAPBA . 若 PB0 ,则 PAB=PBPAB .12、全概率公式: 设 A1,A2,An 是一组两两互斥的事件

10、, A1A2An= ,且 PAi0,i=1,2,n , 则对任意事件 B ,有 PB=i=1nPAiPBAi .13、全概率公式的意义:全概率公式的意义在于,当直接计算事件 B 发生的概率 PB 较为困难时,可以先找到样本空间 的一个划分 =A1 A2An,A1,A2,An 两两互斥,将 A1,A2,An 看成是导致 B 发生的一组原因,这样事件 B 就被分解成了 n 个部分,分别计算 PBA1,PBA2,PBAn ,再利用全概率公式求解.14、贝叶斯公式设 A1,A2,An 是一组两两互斥的事件, A1A2An= ,且 PAi0,i=1,2,n ,则对任意的事件 B,PB0 ,有后验概率.

11、PAiB=PAiPBAiPB=PAiPBAik=1nPAkPBAk,i=1,2,n.贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因.贝叶斯公式的思想是 “执果溯因”. 它可以帮助人们确定某结果(事件B)发生的最可能的原因。15、随机变量与离散型随机变量(1) 随机变量: 对于随机试验样本空间 中的每个样本点 ,都有唯一的实数 X 与之对应,则称 X 为随 机变量. 通常用大写英文字母表示随机变量,如 X,Y,Z ; 用小写英文字母表示随机变量的取值,如: x,y , z .(2) 离散型随机变量: 可能取值为有限个或者可以一一列举的随机变量, 称为离散型随机变量.16、离散型随机变量的分布列

12、(1) 定义:一般地,设离散型随机变量 X 的可能取值为 x1,x2,xn ,我们称 X 取每一个值 xi 的概率PX=xi=pi,i=1,2,n为 X 的概率分布列,简称分布列. (2) 分布列表格表示Xx1x2xnPp1p2pn说明: 分布列也可以用等式形式表示: PX=xi=pi,i=1,2,n ; 也可以用图形表示17、离散型随机变量分布列的性质 (两条):(i) (ii)18、离散型随机变量的数字特征(1) 均值 (期望): EX=x1p1+x2p2+xnpn=i=1nxipi(2) 方差: DX=x1EX2p1+x2EX2p2+xnEX2pn=i=1nxiEX2pi并记: DX 为

13、随机变量 X 的标准差.注: DX=i=1nxi2piEx2 (重要公式)19、均值（期望）与方差的性质(1) EaX+b=aEX+b;DaX+b=a2DX(2) 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数, 它综合了随机变量的取值和取值的概率, 反映了随 机变量取值的平均水平; 随机变量的方程刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度, 或者说反映了随机变量取值 的离散程度.20、伯努利实验（独立重复实验）(1) 定义: 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验;(2) n 重伯努利实验的两个特征: (i) 同一个伯努利试验重复做 n 次; (ii) 各次试验的结果相互独立. 21、几个重要

14、的分布(1) 两点分布:X01P1pp则称 X 服从两点分布或 01 分布.期望 (均值): EX=p;DX=p1p(2) 二项分布在 n 重伯努利试验中,设每次实验中事件 A 发生的概率为 p0p0 为参数.为正态密度函数, 称它的图象为正态密度曲线, 简称正态曲线,若随机变量 X 的概率分布密度函数为 fx ,则称随机变量 X 服从正态分布 (normal dis-tribution),记为 XN,2 .特别地,当 =0,=1 时,称随机变量 X 服从标准正态分布.(2) 正态分布的均值和方差若 XN,2 ,则 EX=_,DX=(3) 正态曲线的特点:1) 曲线位于 x 轴上方,与 x 轴

15、不相交; x 轴是渐近线.2) 曲线是单峰的,它关于直线 x= 对称;3) 曲线在 x= 处达到峰值 12 ;4) 当 x 无限增大时,曲线无限接近 x 轴;5) 对任意的 0 ,曲线与 x 轴围成的面积总为 1 ;6) 在参数 取固定值时,正态曲线的位置由 确定,且随着 变化沿 x 轴平移,如图甲所示;7) 当 取定值时,正态曲线的形状由 确定,当 较小时,峰 高,曲线 “瘦高”,表示随机变量 X 的分布比较集中; 当 较 时,峰值低,曲线 “矮胖”,表示随机变量 X 的分布比较分散, 图乙所示.图甲图乙(4) 3 原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率（记忆）PX+P2X+2P3X+

16、3(2) 3 原则 (能解释描述,课本选择性必修三 P86)在实际应用中,通常认为服从于正态分布 N,2 的随机变量 X 只取 3,+3 中的值,这在统计学中称为 3 原则.【课本优质习题汇总】 人教 A 版必修二 P246 7. 一个盒子中装有标号为 1,2,3,4,5 的 5 张标签,随机地选取两张标签,根据下列条件求两 张标签上的数字为相等整数的概率:(1) 标签的选取是不放回的;(2) 标签的选取是有放回的.8. 从长度为 1,3,5,7,9 的 5 条线段中任取 3 条,求这三条线段能构成一个三角形的概率.人教 A 版必修二 P247 11. 某人有 4 把钥匙, 其中 2 把能打开

17、门. 如果随机地取一把钥匙试着开门, 把不能开门的钥匙 扔掉, 那么第二次才能打开门的概率有多大? 如果试过的钥匙又混进去, 第二次才能打开门 的概率又有多大?14. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷 3 次, 求下列事件的概率:(1) 没有出现 6 点;(2) 至少出现一次 6 点;(3) 三个点数之和为 9 .人教 A 版必修二 P253 (第 5 题)5. 如图, 一个正八面体, 八个面分别标以数字 1 到 8 , 任意抛掷一次这个 正八面体,观察它与地面接触的面上的数字,得到样本空间为 =1 , 2,3,4,5,6,7,8 . 构造适当的事件 A,B,C ,使 PABC= PAPBPC 成

18、立,但不满足 A,B,C 两两独立.人教 A 版必修二 P262 6. 在一个袋子中放 6 个白球, 4 个红球, 摇匀后随机模球 3 次, 采用放回和不放回两种方式摸球. 设事件 Ai= “第 i 次摸到红球”, i=1,2,3 .(1) 在两种摸球方式下分别猜想事件 A1,A2,A3 发生的概率的大小关系;(2) 重复做 10 次试验,求事件 A1,A2,A3 发生的频率,并填人下表.放回摸球不放回摸球f10A1f10A2f10A3(3) 在两种摸球方式下,第 3 次摸到红球的频率 f10A3 差别大吗? 在不放回摸球方式下,事 件 A1,A2,A3 的频率差别大吗? 请说明原因.人教 A 版必修二 P262 5. 一个袋子中有 4 个红球, 6 个绿球, 采用不放回方式从中依次随机地取出 2 个球.(1) 求第二次