2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块11-数列.docx

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1、2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块11-数列模块十一: 数列 1、数列的概念 (1) 数列的定义 一般地, 我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列(sequence of number), 数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第 1 项, 常用符号 a1 表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第 2 项,用 a2 表示 第 n 个位置上的数叫做这个数列的第 n 项,用 an 表示. 其中第 1 项也叫做首项.说明:1. 数列具有有序性, 一个数列不仅与构成数列的 “数” 有关, 而且与这些数的排列顺序有关, 注意与集合中元 素的无序性区分

2、开来.2、数列的项具有可重复性, 数列中的数可以重复出现, 这要与集合中元素的互异性区分开来.3、注意 an 与 an 的区别: an 表示数列整体: a1,a2,an,;an 表示数列 an 中的第 n 项.4. 数列与函数的关系: 数列 an 是从正整数集 N* (或它的有限子集 1,2,3,n ) 到实数集 R 的函数,其自变 量是序号 n ,对应的函数值是数列的第 n 项 an ,记 an=fn ,即当自变量从 1 开始,按照从小到大的顺序依次取值 时所对应的一列函数值就是数列 an ,另一方面,对于函数 y=fx ,如果 fnnN* 有意义,那么, f1,f2 , f3,fn, ,构

3、成一个数列 fn .2、数列的分类 3、数列的通项公式 如果数列 an 的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项 公式.说明: 数列的通项公式实际上是一个定义域比较特殊的函数的解析式,即 an=fn ,通项公式中的 n 取不同的值, 可以得到数列的项.4、数列的递推公式 如果一个数列 an 的相邻两项或者多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做数列 an 的递推 公式.说明: (1) 不是所有的数列都有递推公式. (2) 递推公式是给出数列的一种方法. 递推公式和数列的通项公式一样, 都是关于项的序号 n 的恒等式,如

4、果用符合要求的正整数依次去替换 n ,就可以求出数列的各项.(3) 数列的表示方法: 通项公式法; 列表法; 图象法; 递推公式法.5、数列的前 n 项和 温馨提示an=SnSn1 不是对一切正 1. 概念: 数列 an 从第 1 项起到第 n 项止的各项之和,称为数列 整数 n 都成立,而是对 n2 an 的前 n 项和,记作 Sn ,即 Sn=a1+a2+an .的一切正整数 n 恒成立,因为如果数列 an 的前 n 项和 Sn 与它的序号 n 之间的对应关系 当 n=1 时, SnSn1 无意义. 因可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前 n 项此,由前 n 项和 Sn 求通

5、项公式 an=fn 时,要分 n=1 与 n2 和公式.两种情况, 注意验证两种情形 2. an 与 Sn 的关系: an=S1,n=1,SnSn1,n2. 能否用同一式子表示, 若不能,则将 an 用分段形式表示.6、数列的函数性质 (1) 数列单调性的判断方法:(1)转化为函数,借助函数的单调性研究数列的单调性,如: 数列 an 的通项公式为 an=n2n+1 ,考察函数 y=x2x+1 在 12,+ 上为增函数,则数列 an 为单调递增数列.(2)利用定义判断: 作差 (作商) 比较法,比较 an+1 与 an 的大小,从而判断数列 an 的单调性.例: 已知数列 an 满足 an=n2

6、+nnN* ,若数列 an 为递增数列,则实数 的取值范围是 (2) 数列的最大项与最小项(1)借助数列的单调性研究数列的最大项与最小项.(2)利用 anan+1anan1n2 求数列 an 的最大项; 利用 anan+1anan1n2 求数列 an 的最小项.例: 已知数列 an 的通项公式是 an=n+278nnN* ,试问数列 an 中有没有最大项? 若有,求出最大项和 相应的项数; 若没有, 说明理由.7、等差数列与等比数列对比等差数列等比数列定义公式1. an= 2. Sn=1. an= 2. Sn=性质1. a,b,c成等差数列 称b为a与c的等差中项 2. 若 m+n=p+q ,

7、则1. a,b,c成等比数列 称b为 a 与 c 的等比中项 2. 若 m+n=p+q ,则8、证明数列 an 为等差数列的方法:(1) 定义法: anan1=dd 为常数, n2an 为等差数列;(2) 中项法: 2an+1=an+an+2an 为等差数列;(3) 通项法: an 为 n 的一次函数 an 为等差数列;(4) 前 n 项和法: Sn=An2+Bn 或 Sn=na1+an2 。9、等差数列的性质:(1) 在等差数列中,若 m+n=p+k ,则 am+an=ap+akm、n、p、kN+ 。(2) 在等差数列 an 中, ak、a2k、a3k、a4k、 仍为等差数列,公差为(3)

8、若 an 为等差数列,则 Sk、S2kSk、S3kS2k、 仍为等差数列,公差为 k2d0s2ka1+a2+a3+akSk+ak+1+a2kS2kSk+a2k+1+a3kS3kS2k(4) 等差数列的增减性: d0 时为递增数列,且当 a10,d0 ,前 n 项和有最大值,可由 an0 且 an+10 ,求得 n 的值;(2)当 a10 ,前 n 项和有最小值,可由 an0 且 an+10 ,求得 n 的值。注意: 求 Sn 的最值时,当 an=0 时 n 取两个值。(2) 利用 Sn : 由 Sn=d2n2+a1d2n 利用二次函数配方法求得最值时 n 的值。(3) 利用函数的单调性11、等

9、比数列的判定与证明方法:(1) 定义法: 若 an+1an=qnN+,q0 或 anan1=qn2,nN+,q0 ,则 an 是等比数列。(2) 等比中项法: 若数列 an 中, an0 且 an+12=anan+2nN+ ,则 an 是等比数列。(3) 通项公式法: 若数列通项公式可写成 an=cqnc0,q0,nN+ ,则 an 是等比数列。12、等比数列的性质 (1) 等比中项: 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a、G、b 成等比数列,那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项。即 G=aba、b同号o(2) 等比中项的性质:(1) an2=an1an+1n2;an2=a

10、nkan+knk0 ;(2)若 m+n=p+k ,则 aman=apak 。(3) 数列 an 首项是 a1 ,公比为 q1 ,数列 bn 首项为 b1 ,公比为 q2 ,则数列 anbn 是首项为 a1b1 ,公比为 q1q2 的等比数列,同理数列 anbn 是首项为 a1b1 ,公比为 q1q2 的等比数列。(4) 在公比为 q 的等比数列 an 中,数列 am、am+k、am+2k、am+3k 仍是等比数列。(5) 公比为 qk ; 数列 Sk、S2kSk、S3kS2k、 仍是等比数列 (此时 q1 )。a1+a2+a3+akSk+ak+1+a2kS2kSk+a2k+1+a3kS2kS2

11、kS2k13、递推数列的类型以及求通项方法总结:(1) 定义法: 等差数列的通项公式: an=a1+n1d 或 an=am+nmdo等比数列的通项公式: an=a1qn1a1q0 或 an=amqnmnm(2) 做差法: 由 an 与 Sn (即 a1+a2+an=fn ) 的关系求 an,an=S1,n=1SnSn1,n2 。(3) 累加法: 由 an+1an=fn 求 an,an=anan1+an1an2+a2a1+a1n2 。(4) 累乘法: 已知 an+1an=fn 求通项 an,an=anan1an1an2a2a1a1n2 。(5) 已知递推关系求 an ,用构造法 (构造等差、等比

12、数列):形如 an+1=pan+fn ,只需构造数列 bn ,消去 fn 带来的差异, fn 的形式有:(1) fn 为常数,即递推公式为 an+1=pan+q (其中 p、q 均为常数且 pqp10 )。解法: 先设参转化为 an+1+=pan+ ,其中 =qp1 ,再利用换元法转化为等比数列求解。(2) fn 为一次多项式,即递推公式为 an+1=pan+rn+s 。(3) fn 为 n 的二次式,则可设 bn=an+An2+Bn+C 。递推公式为 an+1=pan+qn (其中 p、q 为常数且 pqp1q10 ) 或 an+1=pan+rqn (其中 p、q、r 为常数)。解法: 一般

13、地要先在原递推公式两边同除以 qn+1 ,得: an+1qn+1=pqanqn+1q ,引入辅助数列 bn (其中 bn= anqn ,得: bn+1=pqbn+1q ,再应用类型 (1) 的方法解决。递推公式为 an+2=pan+1+qan (其中 p、q 均为常数)。解法: 先把原递推公式转化为 an+2san+1=tan+1san ,其中 s、t 满足 s+t=pst=q ,解出 s、t ,于是an+1san 是公比为 t 的等比数列,就转化为前面的类型。形如 an=an1kan1+b 或 an1ban=kanan1 的递推数列都可以用倒数法求通项。形如 an+1=ponr 型,该类型是

14、等式两边取对数后转化为前边的类型,然后再用递推法或待定系法构造等 比数列求通项。两边取对数 lgan+1=lgpanr=lgp+rlgan ,设 bn=lgan ,原等式变为 bn+1=rbn+lgp 即变为基本型。 14、数列的求和方法:(1) 等差数列求和: Sn=a1+ann2=am+anm1n2=na1+nn1d2;Sm+n=Sm+Sn+mnd 。(2) 等比数列求和: Sn=na1q=1a11qn1q=a1anq1qq1;Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm 。(3) 分组求和法: 把数列的每一项分成几项使其转化为几个等差、等比数列, 再求和。对于求 an 的前 n 项和的问题一

15、般都是分类讨论。(4) 倒序求和法: 将数列的顺序倒过来排列, 与原数列两式相加, 若有公因式可提, 并且剩余项的和易于求 出, 这样的数列可用倒序相加法求和。(5) 裂项相消法: 就是把数列的各项分裂成两项之差, 相邻的两项彼此相消, 只余有限几项, 就可以化简后 求和。适用条件:(1) canan+1 其中 an 是各项不为 0 的等差数列, c 为常数,可拆解为 canan+1=cd1an1an+1 ;(2)部分无理数列 can+an+1=cdan+1an 。(6) 一些常用的裂项公式:(1) 1nn+1=1n1n+1 ; (2) 14n21=12n12n+1=1212n112n+1 ;

16、(3) 1nn+2=121n1n+2 ; (4) 1n+1+n=n+1n ;(5) 1nn+k=1k1n1n+k ; (6) 1nn+1n+2=121nn+11n+1n+2 。(7) 常见放缩公式:(1) 2n+1n=2n+1+n1n2n+n1=2nn1 ;(2) 1k21k21=121k11k+1 ;(3) 1k1k+1=1kk+11k21n+121n+1n+2 ;(2) 形如 ka+qn ,常放缩为 kqn ,譬如 13n13n+1143n1(3) 形如 1n+1 ,常放缩为 1n+11n+n+1【课本优质习题汇总】 新人教 A 版选择性必修二 P9 4. 已知数列 an 的第 1 项是

17、1,第 2 项是 2,以后各项由 an=an1+an2n2 给出.(1) 写出这个数列的前 5 项;(2) 利用数列 an ,通过公式 bn=an+1an 构造一个新的数列(第 5 题)bn ,试写出数列 bn 的前 5 项.5. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研 究数. 他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多 类,如图中第一行的 1,3,6,10 称为三角形数,第二行的 1,4,9,16 称为正方形数,第三行的 1,5,12,22 称为 五边形数. 请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数 所构成的数列的第 5 项和第 6 项.6. 假设某银行的活期存款年利率为 0.

18、35% ,某人存人 10 万元 后, 既不加进存款也不取款, 每年到期利息连同本金自动 转存. 如果不考虑利息税及利率的变化,用 an 表示第 n 年 到期时的存款余额,求 a1,a2,a3 及 an .新人教 A 版选择性必修二 P9 7. 已知函数 fx=2x12xxR ,设数列 an 的通项公式为 an=fnnN* .(1) 求证 an12 .(2) an 是递增数列还是递减数列? 为什么?新人教 A 版选择性必修二 P18 3. 在等差数列 an 中, an=m,am=n ,且 nm ,求 am+n . 新人教 A 版选择性必修二 P235. 已知一个等差数列的项数为奇数, 其中所有奇

19、数项的和为 290 , 所有偶数项的和为 261 . 求此数列中 间一项的值以及项数.新人教 A 版选择性必修二 P23 5. 已知数列 an 的通项公式为 an=n22n15 ,前 n 项和为 Sn . 求 Sn 取得最小值时 n 的值.新人教 A 版选择性必修二 P25 3. (1) 求从小到大排列的前 n 个正偶数的和.(2) 求从小到大排列的前 n 个正奇数的和.(3) 在三位正整数的集合中有多少个数是 5 的倍数? 求这些数的和.(4) 在小于 100 的正整数中, 有多少个数被 7 除余 2 这些数的和是多少?新人教 A 版选择性必修二 P25 5. 已知一个多边形的周长等于 15

20、8cm ,所有各边的长成等差数列,最大的边长为 44cm ,公差为 3cm . 求这个多边形的边数.6. 数列 an,bn 都是等差数列,且 a1=5,b1=15,a100+b100=100 . 求数列 an+bn 的前 100 项的和.7. 已知 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和.(1) 证明 Snn 是等差数列;(2) 设 Tn 为数列 Snn 的前 n 项和,若 S4=12,S8=40 ,求 Tn .8. 已知两个等差数列 2,6,10,190 及 2,8,14,200 ,将这两个等差数列的公共项按 从小到大的顺序组成一个新数列. 求这个新数列的各项之和.新人教 A 版选择性必修二

21、 P26 12. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中, 后人称为 “三角垛”. “三角垛” 的最上层有 1 个球, 第二层有 3 个球, 第三层有 6 个球设各层球数构成一个数 列 an .(1) 写出数列 an 的一个递推公式;*(2) 根据 (1) 中的递推公式,写出数列 an 的一个通项公式.新人教 A 版选择性必修二 P34 5. 已知数列 an 的通项公式为 an=n33n ,求使 an 取得最大值时 n 的值.新人教 A 版选择性必修二 P37 2. 已知 ab ,且 ab0 . 对于 nN* ,证明:an+an1b+an2b2+abn1+bn=an+1bn+1

22、ab.5. 如果一个等比数列前 5 项的和等于 10 , 前 10 项的和等于 50 , 那么这个数列的公比等于多少?新人教 A 版选择性必修二 P40 1. 一个乒乓球从 1m 高的高度自由落下,每次落下后反弹的高度都是原来高度的 0.61 倍.(1) 当它第 6 次着地时,经过的总路程是多少 (精确到 1cm )?(2) 至少在第几次着地后,它经过的总路程能达到 400cm ?新人教 A 版选择性必修二 P41 3. 求和:(1) 2351+4352+2n35n ;(2) 1+2x+3x2+nxn1 .新人教 A 版选择性必修二 P41 5. 已知 Sn 是等比数列 an 的前 n 项和,

23、 S3,S9,S6 成等差数列. 求证: a2,a8,a5 成等差数列.6. 求下列数列的一个通项公式和一个前 n 项和公式:1,11,111,1111,11111,7. 已知数列 an 的首项 a1=1 ,且满足 an+1+an=32n .(1) 求证: an2n 是等比数列.(2) 求数列 an 的前 n 项和 Sn .8. 若数列 an 的首项 a1=1 ,且满足 an+1=2an+1 ,求数列 an 的通项公式及前 10 项的和.9. 在流行病学中,基本传染数 R0 是指在没有外力介人,同时所对于 R01 ,而且死亡 率较高的传染病，一般要隔 离感染者, 以控制传染源, 切断传播途径.

24、有人都没有免疫力的情况下, 一个感染者平均传染的人数. R0 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每 次接触过程中传染的概率决定. 假设某种传染病的基本传染 数 R0=3.8 ,平均感染周期为 7 天,那么感染人数由 1 个初始 感染者增加到 1000 人大约需要几轮传染? 需要多少天? (初 始感染者传染 R0 个人为第一轮传染,这 R0 个人每人再传染 R0 个人为第二轮传染)10. 已知数列 an 为等比数列, a1=1024 ,公比 q=12 . 若 Tn 是数列 an 的前 n 项积,求 Tn 的 最大值.11. 已知数列 an 的首项 a1=35 ,且满足 an+1=3

25、an2an+1 .(1) 求证: 数列 1an1 为等比数列.(2) 若 1a1+1a2+1a3+1ank (3) (4) a1+a2+an=n2a1+an(1) (2) (3)若 m+n=k+lm,n,k,lN* , 则 bnbm=bkbl (4)(2) 在等差数列 an 中,若 a2018=0 ,则有a1+a2+an=a1+a2+a4035nnN*,n4035.相应地,在等比数列 bn 中,若 b2019=1 ,请你类比推测出对偶的等式,并加以证明.新人教 A 版选择性必修二 P57 14. 在 2015 年苏州世乒赛期间, 某景点用(第 14 题)乒乓球堆成若干堆 “正三棱雉” 形的 装

26、饰品, 其中第 1 堆只有 1 层, 就一 个球; 第 2,3,4, 堆最底层 (第一 层) 分别按图中所示方式固定摆放, 从第二层开始, 每层的小球自然垒放 在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球. 记第 n 堆的乒乓球总数为 fn .(1) 求出 f3 ;(2) 试归纳出 fn+1 与 fn 的关系式,并根据你得到的关系式探求 fn 的表达式. 参考公式: 12+22+n2=16nn+12n+1 .新人教 A 版选择性必修二 P5715. 有理数都能表示成 mn(m,nZ ,且 n0,m 与 n 互质) 的形式,进而有理数集 Q= mnm,nZ ,且 n0,m 与 n 互质 .

27、任何有理数 mn 都可以化为有限小数或无限循环小数. 反之,任一有限小数也可以化为 mn 的形式,从而是有理数; 那么无限循环小数是不是有理数? 思考下列问题:(1) 1.2 是有理数吗? 请说明理由.(2) 1.24 是有理数吗? 请说明理由.16. 平面上有 nnN,n3 个点,其中任何三点都不在同一条直线上. 过这些点中任意两点 作直线, 这样的直线共有多少条? 证明你的结论.*17. 数学归纳法还有其他变化形式, 例如, 将数学归纳法中的第 (1) 步保持不变, 第 (2) 步改 为 “以 “当 n0nkkN*,kn0 时命题成立 为条件,推出 当 n=k+1 时命题也 成立,”,”

28、也可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 这种证明方法称为第二数学归 纳法. 试用第二数学归纳法证明如下命题:若数列 Fn 满足 F1=1,F2=1,Fn=Fn1+Fn2n3,nN* ( Fn 称为斐波那 契数列),则其通项公式为 Fn=151+52n152n .新人教 B 版选择性必修三 P8 (5) 已知函数 fx=2x1x ,设数列 an 的通项公式为 an=fn ,其中 nN+ .(1) 求证: 1an2 ;(2) 数列 an 是递增数列还是递减数列? 为什么?(5) 写出数列 1,2,2,4,3,8,4,16,5, 的一个通项公式.(6) 已知数列 an 中,前 n

29、项和 Sn=n+1n ,求 an 的通项公式. 新人教 B 版选择性必修三 P22(4) 已知安装在一个公共轴上的 5 个皮带轮的直径成等差数列, 其中最大的与最小 的皮带轮的直径分别为 216mm 与 120mm ,求中间 3 个皮带轮的直径.已知一个无穷等差数列的首项为 a1 ,公差为 d .(1) 将数列的前 m 项去掉,其余各项依次构成的数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项与公差分别为多少?(2) 取出数列中的所有序号是奇数的各项, 依次构成一个新的数列, 这个数列 是等差数列吗? 如果是, 它的首项与公差分别为多少?(3) 取出数列中的所有序号是 7 的倍数的各项, 依次构成一个新

30、的数列, 这个 数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项与公差分别为多少?新人教 B 版选择性必修三 P27 等差数列 14,11,8,前多少项的和最大? 为什么?在两位数的正整数中, 有多少个除以 3 余 1 的数? 求它们的和.(4) 已知一个凸 n 边形内角的度数按从小到大构成等差数列,且最小角为 40 ,公差 为 20 ,求 n 的值.新人教 B 版选择性必修三 P27如果一个三角形的 3 个内角的度数成等差数列, 这个三角形 3 个内角的大小 能确定吗? 你能得到什么结论?(2) 已知等差数列 an 中, d=5,a10=2 ,求这个数列前 8 项的和.(2) 记等差数列 an 的前

31、n 项和为 Sn ,已知 S00 ,则此等差数列的前 多少项和最小?(4) 在等差数列 an 中,已知 a3+a11=6 ,求 S13 . 新人教 B 版选择性必修三 P28如果一个三角形的 3 个内角的度数成等差数列, 这个三角形 3 个内角的大小 能确定吗? 你能得到什么结论?(2) 已知等差数列 an 中, d=5,a10=2 ,求这个数列前 8 项的和.(2) 记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 S00 ,则此等差数列的前 多少项和最小?(4) 在等差数列 an 中,已知 a3+a11=6 ,求 S13 .(3) 已知函数 fn=n1+n2+n3+n20 ,其中 n 是自

32、 然数.(1) 分别计算 f1,f5,f20 的值;(2) 当 n 为何值时, fn 取得最小值? 最小值是多少?(2) 我国古代数学名著算法统宗中说: 九百九十六斤棉, 赠分八子做盘缠; 次第每人多十七, 要将第八数来言; 务要分明依次第, 孝和休惹外人传. 说 的是, 有 996 斤棉花要赠送给 8 个子女做旅费, 从第 1 个孩子开始, 以后每 人依次多 17 斤, 直到第 8 个孩子为止你能根据这些信息算出每人分得了 多少棉花吗?新人教 B 版选择性必修三 P36 当等比数列的首项与公比满足什么条件时，这个数列是递增数列?(4) 求证: an 为等比数列的充要条件是 an=kqn ,其

33、中 k,q 都是不为 0 的常数.下图(1)是一个边长为 1 的正三角形, 将每边 3 等分, 以中间一段为边向外作正 三角形,并擦去中间一段,得图 (2),如此继续下去,得图(3)试求第 n 个 图形的周长和面积.(1) (2) (3)新人教 B 版选择性必修三 P42(1) 计算.(1) 0.9+0.99+0.999+0.9999n9 ;(2) a1+a22+ann,a0,aR .如果一个等比数列前 5 项的和等于 10 , 前 10 项的和等于 50 , 那么这个数列前 15 项的和等于多少?(3) 已知等比数列的首项为 -1,前 n 项和为 Sn ,如果 S10S5=3132 ,求 S

34、8 .新人教 B 版选择性必修三 P42(4) 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,点 n,Sn 在函数 y=223x 的图象上,求 数列 an 的通项公式.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题: 远望巍巍塔七层，红光点点倍 加增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯? 意思是, 一座 7 层塔共挂了 381 盏 灯, 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍, 求塔顶层灯的数目. 你 能求出来吗?新人教 B 版选择性必修三 P43(2) 求 a4+a2b2 与 b4+a2b2 (其中 ab0 ) 的等比中项.已知一个正三角形边长为 a ,以此正三角形的高为边作第 2 个正三角形,以 此类推继续作正三角形. 求前 10 个正三角形的周长之和.(3) 设 an 是等比数列,且 an0 ,证明数列 lgan 是等差数列,并求出这个等 差数列的首项与公差.新人教 B 版选择性必修三 P44(6) 设 Sn