考点18 导数的综合应用8种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)含解析.docx

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1、考点18 导数的综合应用8种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点18 导数的综合应用8种常见考法归类考点一 利用导数研究函数的图象和性质考点二 证明不等式（一） 作差函数证明不等式（二） 构造双函数证明不等式（三）适当放缩法证明不等式（四）利用结论证明不等式（五）利用隐零点证明不等式（六）与数列有关的不等式证明考点三 恒(能)成立问题（一）分离参数法（二）分类讨论法（三）同构法（四）隐零点法考点四 讨论零点个数考点五 根据函数零点情况求参数范围考点六 与零点有关的不等式问题（一）比值代换（二）消参减元法（三）构造关联(对称)函数考点七 利

2、用导数研究双变量问题考点八 导数中的极值点偏移问题1利用导数研究函数的图象与性质函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先观察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项.如该题中函数解析式虽然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项.2利用导数证明不等式利用导数证明不等式问题一般要用到构造法，构造法是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)g(x)(f(x)0(f(x)

3、g(x)0)，进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x),然后利用h(x)的最值证明不等式；注：作差构造法：待证不等式的两边含有相同的变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，通过研究其单调性等相关函数性质证明不等式利用构造差函数证明不等式的基本步骤：作差或变形；构造新的函数g(x)；利用导数研究g(x)的单调性或最值；根据单调性及最值，得到所证不等式(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明如l

4、n xx1，exx1，ln xx0)，ln(x1)x(x1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数 f(x)和g(x)，利用其最值求解在证明过程中，“隔离”转化是关键，将不等式不等号两端分别“隔离”出两个函数式f(x)，g(x)，使f(x)ming(x)max恒成立，从而f(x)g(x)，但f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”；若不能直接转化为

5、最值问题的不等式证明可将不等式的某一部分“隔离”开，单独进行研究，然后再纳入整体进行论证(5)利用“隐零点”证明不等式：关键在于“设而不求”及“等量代换”，常见的有不含参和含参两种类型：不含参函数的隐零点问题：已知不含参函数f(x)，导函数方程f(x)0的根存在，却无法求出，设方程f(x)0的根为x0，则(i)有关系式f(x0)0成立；(ii)注意确定x0的合适范围. 含参函数的隐零点问题：已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f(x，a)0的根存在，却无法求出，设方程f(x，a)0的根为x0，则(i)有关系式f(x0，a)0成立，该关系式给出了x0，a的关系；(ii)注意确定x0

6、的合适范围，往往和a的取值范围有关. 3.对于函数f(x)ex在x0处的泰勒展开式如下：ex1exx1. 类似的，常用泰勒展开式拟合的不等式还有：ln(1x)x(1)n1ln(x1)x；sinxx(1)n1sinxx；cosx1(1)ncosx1x2. 4.由exx1演绎出的一些常见不等结构：5与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题（1）利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的主要策略：构造函数，利用导数求出最值，进而求出参数的取值范围；分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 有些不易分参的也可采用“同构”技巧. （2）若af(x)对xD恒成立，则只需af(x)max；

7、若af(x)对xD恒成立，则只需 af(x0)成立，则只需af(x)min；若存在x0D，使af(x0)成立，则只需af(x0x)(或f(x0x)(或(或(或(或g(x)(f(x)0(f(x)g(x)0)，进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x),然后利用h(x)的最值证明不等式；注：作差构造法：待证不等式的两边含有相同的变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，通过研究其单调性等相关函数性质证明不等式利用构造差函数证明不等式的基本步骤：作差或变形；构造新的函数g(x)；利用导数研究g(x)的单调性或最值；根据单调性及最值，得到所证不等式(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适

8、当放缩，二是利用常见的放缩结论，导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明如ln xx1，exx1，ln xx0)，ln(x1)x(x1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数 f(x)和g(x)，利用其最值求解在证明过程中，“隔离”转化是关键，将

9、不等式不等号两端分别“隔离”出两个函数式f(x)，g(x)，使f(x)ming(x)max恒成立，从而f(x)g(x)，但f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”；若不能直接转化为最值问题的不等式证明可将不等式的某一部分“隔离”开，单独进行研究，然后再纳入整体进行论证(5)利用“隐零点”证明不等式：关键在于“设而不求”及“等量代换”，常见的有不含参和含参两种类型：不含参函数的隐零点问题：已知不含参函数f(x)，导函数方程f(x)0的根存在，却无法求出，设方程f(x)0的根为x0，则(i)有关系式f(x0)0成立；(ii)注意确定x0的合适范围. 含参函数的隐零点问题：已知含参函数f

10、(x，a)，其中a为参数，导函数方程f(x，a)0的根存在，却无法求出，设方程f(x，a)0的根为x0，则(i)有关系式f(x0，a)0成立，该关系式给出了x0，a的关系；(ii)注意确定x0的合适范围，往往和a的取值范围有关. 3.对于函数f(x)ex在x0处的泰勒展开式如下：ex1exx1. 类似的，常用泰勒展开式拟合的不等式还有：ln(1x)x(1)n1ln(x1)x；sinxx(1)n1sinxx；cosx1(1)ncosx1x2. 4.由exx1演绎出的一些常见不等结构：5与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题（1）利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的主要策略：构造函数

11、，利用导数求出最值，进而求出参数的取值范围；分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 有些不易分参的也可采用“同构”技巧. （2）若af(x)对xD恒成立，则只需af(x)max；若af(x)对xD恒成立，则只需 af(x0)成立，则只需af(x)min；若存在x0D，使af(x0)成立，则只需af(x0x)(或f(x0x)(或(或(或(或)2x0. 其中也可考虑构造F(x)f(x)f(2x0x)等，具体视已知条件“执果索因”. 8解析式中含有 ,的两个模型（1）含有的函数模型常用的构造方法如下，直接利用原函数，有时也可分为两个初等函数模型；构造成“常数+因式”型，求导后的运算不易

12、受的干扰；分离参数法构造函数模型，没有参数，避免了分类讨论，但是有时函数较复杂需多次求导.（2）含有的函数模型“独立与不独立”法 消掉使的系数为常数，即“独立”,可一次求导解决单调性问题；当的系数不能消掉时，即不独立,需两次求导，才能依次推导出单调性、零点、极值点等问题.考点一 利用导数研究函数的图象和性质1（2023安徽芜湖统考模拟预测）函数在区间的图像大致为（）ABCD【答案】B【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性，发现是奇函数，排除C、D；观察A、B两项，发现图像在处的增减趋势不同，所以对函数进行求导，再把特殊值代入导函数中判断即可.【详解】因为，所以是奇函数，排除C、D两项；当时，

13、则，所以，所以在处的切线斜率为负数，故排除A项；故选：B.2（2023全国高三专题练习）已知函数，若存在三个不相等的实数a，b，c，使得成立，则的取值范围是_.【答案】【分析】先求导得到的单调性，极值情况，得到若存在三个不相等的实数a，b，c，使得，则，将化为，得到.【详解】的定义域为R，且，令得或，令得，故在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，画出的图象如下：设存在三个不相等的实数a，b，c，使得，对于方程可化为，整理得，故.故答案为：【点睛】设一元三次方程的三个根为，原方程可化为，整理得，比较左右两边同类项，得到一元三次的根与系数关系：.3（2023春河南高三校联

14、考阶段练习）已知函数，若不等式有且仅有1个整数解，则实数a的取值范围为_【答案】【分析】在同一直角坐标系中，作出函数与直线的图象，根据恒过点和有且仅有一个整数解得不等式，从而解得a的取值范围【详解】易知的定义域为，由有且仅有1个整数解，所以不等式有且仅有1个整数解设，则，当时，为增函数；当时，为减函数又，则当时，；当时，设，则直线恒过点，在同一直角坐标系中，作出函数与直线的图象，如图所示，由图象可知，要使不等式有且仅有1个整数解，则，解得，实数a的取值范围为故答案为: 4（2023全国高三专题练习）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围为_【答案】【分析】将方程有3个不同的实数

15、根，转化为必有一正一负两个根，利用数形结合及二次函数的性质结合条件即得.【详解】当，则，令，得，当时，当时，所以在上递减，在上递增，作出函数的大致图象，设，则有两个不同的实数根，由可知，与异号，不妨设，要使方程有3个不同的实数根，则或，当时，得；当时，设，则，得，综上，的取值范围为故答案为：【点睛】已知函数有零点求参数常用的方法和思路：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.考点二 证明不等式（一）作差构造函数证明不等式5（2023全国高三专题练习）已知函数，(1)若，证明：当时；(2)当时，求a的取值范围【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）令，对求导，得到的单调性可证得，令，对求导，可得在上单调递增，即可证得，