考点15 导数的概念、运算及其几何意义6种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)含解析.docx

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1、考点15 导数的概念、运算及其几何意义6种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点15 导数的概念、运算及其几何意义6种常见考法归类考点一 平均变化率和瞬时变化率考点二 导数定义的应用考点三 导数的运算考点四 导数的几何意义及应用（一）切线的斜率与倾斜角（1）求切线的斜率（2）求切线的倾斜角（二）求切线方程（1）曲线在某点处的切线问题（2）过某点的曲线的切线问题（三）由曲线的切线（斜率）求参数（四）由曲线的切线条数求参数（五）两条切线平行、垂直问题（六）两曲线的公切线问题（七）距离最值问题考点五 导数运算的综合考点六 导数几何意义的综合应用1

2、. 导数的概念及其意义(1)函数的平均变化率：对于函数yf(x)，设自变量x从x0变化到x0x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0x). 这时，x的变化量为x，y的变化量为yf(x0x)f(x0). 我们把比值，即叫做函数yf(x)从x0到x0x的平均变化率. 注： 增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数； 当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；(2)导数的概念：如果当x0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称yf(x)在xx0处可导，并把这个确定的值叫做y

3、f(x)在xx0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0). (3) 导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率. 也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0). 相应的切线方程为yy0f(x0)(xx0). 导数物理意义：函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即(4)导函数的概念：当xx0时，f(x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，yf(x)就是x的函数，我们称它为yf(x)的导函数(简称导数). yf(x)的导函

4、数有时也记作y，即f(x)y=2. 导数的运算(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q，且0)f(x)x1f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sinxf(x)ax(a0，且a1)f(x)axlnaf(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)lnxf(x)(2)导数的四则运算法则函数和差求导法则：；函数积的求导法则：；函数商的求导法则：，则 (3)简单复合函数的导数一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数

5、，记作y f(g(x). 它的导数与函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux. 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 3. 导数运算的原则和方法（1）导数计算的原则：先化简解析式，再求导（2）导数计算的方法：连乘积形式：多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；对数形式：先化为和、差的形式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.绝对值形式：先化为分段函数，再求导复合函数求导:先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元4.

6、曲线切线方程的求法：以曲线上的点(x0，f(x0)为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f(x)的导数f(x)；求切线的斜率f(x0)；写出切线方程yf(x0)f(x0)(xx0)，并化简；如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程. 求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上；与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个. 5. 已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.6. 利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率

7、、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围7. 求解与导数的几何意义有关问题的注意点(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上 8. 解决两曲线的公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l在yf(x)上的切点P1(x1，f(x1)，在yg(x)上的切点P2(x2，g(x2)，则f(x1)g(x2) 注：处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数，建立方程(组)的依据主要是：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上

8、；切点在曲线上. 9. 导数的两条性质(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数. (2)可导函数yf(x)的导数为f(x)，若f(x)为增函数，则f(x)的图象是下凹的；反之，若f(x)为减函数，则f(x)的图象是上凸的. 10. 几类重要切线方程(1)yx1是曲线ylnx的切线，yx是曲线yln(x1)的切线，yxn是曲线yln(xn1)的切线，如图1. 图1 图2(2)yx1与yex是曲线yex的切线，如图2. (3)yx是曲线ysinx与ytanx的切线，如图3. 图3 图4(4)yx1是曲线yx2x，yxlnx及y1的切线，如图4. 由以上切线方程又可得重要不等式，如lnxx1

9、，x1ex等. 考点一 平均变化率和瞬时变化率1（2023全国高三专题练习）若函数在区间上的平均变化率为5，则_2（2023春江西赣州高三统考期中）向一容器中匀速注水，容器中水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：min）的函数关系为.记时水面上升的瞬时速度为时水面上升的瞬时速度为，从到t=4min水面上升的平均速度为V，则（）ABCD3（2023全国高三专题练习）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（）ABCD4【多选】（2023全国高三专题练习）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这

10、段时间内企业污水治理能力的强弱已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（）A在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强B在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强C在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D甲企业在，这三段时间中，在的污水治理能力最强5（2023全国高三专题练习）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示给出下列四个结论错误的是（）A在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B在时刻，甲、乙两人血

11、管中药物浓度的瞬时变化率不同；C在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同6（2023秋云南楚雄高三统考期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（）A5cm/sB6cm/sC8cm/sD10cm/s7（2023海南省直辖县级单位统考模拟预测）宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则出站后“绿

12、巨人”速度首次达到时加速度为（）ABCD8（2023全国高三专题练习）某地在20年间经济高质量增长，GDP的值（单位，亿元）与时间（单位：年）之间的关系为，其中为时的值.假定，那么在时，GDP增长的速度大约是_.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：，当取很小的正数时，考点二 导数定义的应用9（2023上海闵行统考二模）_10（2023春江西高三校联考期中）已知，则（）A1B3C6D911（2023全国高三专题练习）已知函数，则的值为（）ABC10D2012（2023春吉林长春高三长春十一高校考阶段练习）已知函数，则_.13（2023春河南高三校联考阶段练习）已知函数是可导函数，且，则

13、_.14（2023春辽宁阜新高三校联考阶段练习）已知函数，则_15（2023春山东济南高三统考期中）已知函数，若，则（）ABC1D2考点三 导数的运算16（2023全国高三专题练习）求下列函数的导数(1)；(2)；(3)(4)；17（2023全国高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（）ABCD18（2023全国模拟预测）将函数的图象上的点向右平移个单位长度后得到点，且点恰好在的导函数的图象上，则（）ABCD考点四 导数的几何意义及应用（一）切线的斜率与倾斜角（1）求切线的斜率19（2023全国高三专题练习）函数在处的切线的斜率为（）A0B1C2De20（2023全国高三专题练习）函数在

14、处的切线的斜率为（）A2B-2C0D121（2023全国高三专题练习）曲线在点处的切线斜率为_.（2）求切线的倾斜角22（2023全国模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线的倾斜角为，则_23（2023春陕西宝鸡高三宝鸡中学校考阶段练习）曲线在处切线的倾斜角为，则（）A2BC1D24（2023福建福州福州三中校考模拟预测）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（）ABCD25（2023全国高三专题练习）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）ABCD26（2023黑龙江齐齐哈尔统考一模）已知曲线：在处的切线为，曲线：在处的切线为，若存在实数t使得与的倾

15、斜角互补，则实数a的取值范围为_27（2023春重庆沙坪坝高三重庆八中校考阶段练习）已知点在函数的图象上，过点作曲线的两条切线，若的倾斜角互补，则_.28（2023春江西高三校联考阶段练习）已知函数的图象在原点处的切线与在点处的切线的交点为P，则（）A2BCD（二）求切线方程（1）曲线在某点处的切线问题29（2023春江西高三校联考阶段练习）牛顿最早研究过函数的图像与性质，其图像类似于三叉戟，因此这类曲线被称为牛顿三叉戟曲线.牛顿三叉戟曲线在点处的切线方程为（）ABCD30（2023江苏常州校考二模）已知函数的图像关于直线对称，且时，则曲线在点处的切线方程为_.31（2023青海西宁统考一模）

16、若是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（）ABCD32（2023全国模拟预测）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（）ABCD33（2023全国高三专题练习）已知是曲线在处的切线，若点到的距离为1，则实数（）ABCD34（2023春江西高三校联考阶段练习）已知函数为奇函数，则在处的切线方程为（）ABCD（2）过某点的曲线的切线问题35（2023春上海浦东新高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为_.36（2023全国模拟预测）若曲线在点处的切线经过坐标原点，则（）ABC或D或37（2023全国模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为_.38（2023全国

17、高三专题练习）已知函数在点处的切线过点，则的最小值为_.39（2023全国高三专题练习）过坐标原点作曲线的切线，则切线有（）条ABCD40（2023春山东滨州高三校考阶段练习）过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为_.41（2023陕西西安西安一中校联考模拟预测）已知曲线在处的切线为m，则过点且与切线m垂直的直线方程为_（三）由曲线的切线（斜率）求参数42（2023全国高三专题练习）已知曲线在处的切线的斜率为，则_.43（2023全国高三专题练习）已知函数的图象的一条切线为，则a_44（2023宁夏吴忠高三统考阶段练习）已知直线与曲线相切，则k=_.45（2023全国高三专题练习）曲线

18、在点处的切线方程为，则的值为（）ABCD146（2023河南校联考模拟预测）已知直线与曲线相切，则的值为（）ABCD47（2023陕西统考二模）已知曲线在处的切线方程为，则_，_48（2023春上海杨浦高三复旦附中校考阶段练习）已知为实数，函数在处的切线方程为，则的值为_（四）由曲线的切线条数求参数49（2023河南开封开封高中校考一模）已知函数，无论a取何值，曲线均存在一条固定的切线，则该切线方程为_50（2023海南海口校联考模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_51（2023春湖北高三安陆第一高中校联考阶段练习）已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实

19、数的取值范围为_.52（2023全国高三专题练习）若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（）ABCD53（2023广东统考二模）已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，且这两条切线关于直线对称，则的一个可能值为_54（2023春江西宜春高三江西省丰城中学校考阶段练习）若过点有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是_.55（2023全国高三专题练习）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（）ABCD（五）两条切线平行、垂直问题56（2023全国高三专题练习）曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A(1, 0)B(2, 8)C(1, 0)和(-1, -4)D(2, 8)和(-1, -4)57

20、（2023全国高三专题练习）若曲线在点处的切线与直线平行，则实数（）AB1CD258（2023春陕西榆林高三绥德中学校考阶段练习）已知函数（且），曲线在处的切线与直线垂直，则_59（2023春内蒙古呼和浩特高三统考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（）ABCD60（2023秋山东日照高三校联考期末）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的坐标为（）ABCD61（2023浙江统考一模）若曲线存在两条互相垂直的切线，则a的取值范围是_（六）两曲线的公切线问题62（2023全国高三专题练习）若直线与曲线和都相切，则的斜率为_63（2023全国高三专题练习）已知 的图象在处的切

21、线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率 _.64（2023全国高三专题练习）已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为_.65（2023山西统考模拟预测）已知函数，若存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是（）ABCD66（2023江西上饶统考二模）若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（）ABCD67（2023湖南长沙湖南师大附中校考模拟预测）若曲线和曲线恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为_68（2023陕西榆林校考模拟预测）若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（）ABC0D1（七）距离最值问题69（2023全国高三专题练习）设点在曲线上，

22、点在曲线上，则的最小值为（）ABCD70（2023全国高三专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）ABCD71（2023甘肃白银甘肃省靖远县第一中学校联考二模）已知函数，直线，若直线与的图象交于A点，与直线l交于B点，则A，B之间的最短距离是（）AB4CD872（2023全国高三专题练习）已知实数，满足，则的最小值为（）AB8C4D1673（2023河南开封统考二模）已知函数，且，则的最小值为（）ABCD74（2023全国高三专题练习）若点，则、两点间距离的最小值为（）A1BCD275（2023全国高三专题练习）设函数，其中，若存在正数，使得成立，则实数的值是（）ABCD176（20

23、23全国高三专题练习）曲线与的公共切线的条数为_77（2023山东日照统考二模）已知曲线与的两条公切线的夹角余弦值为，则_考点五 导数运算的综合78（2023安徽亳州高三校考阶段练习）二项展开式，则_.79（2023江西统考模拟预测）已知，则等于_.80（2023全国高三专题练习）已知函数有两个零点，数列满足，若，且，则数列的前2023项的和为_.考点六 导数几何意义的综合应用81 （2023全国高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，若该抛物线考点15 导数的概念、运算及其几何意义6种常见考法归类考点一 平均变化率和瞬时变化率考点二 导数定义的应用考点三 导数的运算考点四 导数的几何意义及应

24、用（一）切线的斜率与倾斜角（1）求切线的斜率（2）求切线的倾斜角（二）求切线方程（1）曲线在某点处的切线问题（2）过某点的曲线的切线问题（三）由曲线的切线（斜率）求参数（四）由曲线的切线条数求参数（五）两条切线平行、垂直问题（六）两曲线的公切线问题（七）距离最值问题考点五 导数运算的综合考点六 导数几何意义的综合应用1. 导数的概念及其意义(1)函数的平均变化率：对于函数yf(x)，设自变量x从x0变化到x0x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0x). 这时，x的变化量为x，y的变化量为yf(x0x)f(x0). 我们把比值，即叫做函数yf(x)从x0到x0x的平均变化率. 注： 增

25、量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数； 当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；(2)导数的概念：如果当x0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称yf(x)在xx0处可导，并把这个确定的值叫做yf(x)在xx0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0). (4) 导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率. 也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是

26、f(x0). 相应的切线方程为yy0f(x0)(xx0). 导数物理意义：函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即(4)导函数的概念：当xx0时，f(x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，yf(x)就是x的函数，我们称它为yf(x)的导函数(简称导数). yf(x)的导函数有时也记作y，即f(x)y=2. 导数的运算(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q，且0)f(x)x1f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sinxf(x)ax(a0，且a1)f(x)axlnaf(x)exf(x

27、)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)lnxf(x)(2)导数的四则运算法则函数和差求导法则：；函数积的求导法则：；函数商的求导法则：，则 (3)简单复合函数的导数一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作y f(g(x). 它的导数与函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux. 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 3. 导数运算的原则和方法（1）导数计算的原则：先化简解析式，再求导（2）导数计算的方法：连乘积形式：多项式的积的导数，通常先展开再

28、求导更简便分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；对数形式：先化为和、差的形式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.绝对值形式：先化为分段函数，再求导复合函数求导:先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元4. 曲线切线方程的求法：以曲线上的点(x0，f(x0)为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f(x)的导数f(x)；求切线的斜率f(x0)；写出切线方程yf(x0)f(x0)(xx0)，并化简；如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，

29、进而确定切线方程. 求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上；与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个. 5. 已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.6. 利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围7. 求解与导数的几何意义有关问题的注意点(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上 8. 解决两曲线的公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另

30、一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l在yf(x)上的切点P1(x1，f(x1)，在yg(x)上的切点P2(x2，g(x2)，则f(x1)g(x2) 注：处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数，建立方程(组)的依据主要是：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上. 9. 导数的两条性质(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数. (2)可导函数yf(x)的导数为f(x)，若f(x)为增函数，则f(x)的图象是下凹的；反之，若f(x)为减函数，则f(x)的图象是上凸的. 10. 几类重要切线方程(1)yx1是曲线yln

31、x的切线，yx是曲线yln(x1)的切线，yxn是曲线yln(xn1)的切线，如图1. 图1 图2(2)yx1与yex是曲线yex的切线，如图2. (3)yx是曲线ysinx与ytanx的切线，如图3. 图3 图4(4)yx1是曲线yx2x，yxlnx及y1的切线，如图4. 由以上切线方程又可得重要不等式，如lnxx1，x1ex等. 考点一 平均变化率和瞬时变化率1（2023全国高三专题练习）若函数在区间上的平均变化率为5，则_【答案】3【分析】利用函数平均变化率的计算公式计算.【详解】解：函数在区间上的平均变化率为，解得.故答案为：3.2（2023春江西赣州高三统考期中）向一容器中匀速注水，

32、容器中水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：min）的函数关系为.记时水面上升的瞬时速度为时水面上升的瞬时速度为，从到t=4min水面上升的平均速度为V，则（）ABCD【答案】C【分析】根据瞬时速度与导数的关系结合导数运算公式求，根据平均速度的定义求，再比较它们的大小即可.【详解】由得，因为，所以，又，所以，C正确.故选：C.3（2023全国高三专题练习）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（）ABCD【答案】D【分析】结合图象以及导数的知识求得正确答案.【详解】由图象可知，即.故选：D4【多选】（2023全国高三专题练习）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理

33、，排放未达标的企业要限期整改设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（）A在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强B在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强C在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D甲企业在，这三段时间中，在的污水治理能力最强【答案】ABC【分析】结合甲乙企业污水排放量与时间关系图象，利用曲线在区间的变化率判断企业的治污能力，进而判断各选项的正误即可【详解】由题图可知甲企业的污水排放量在时刻高于乙企业，而在时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在这段时间内，甲

34、企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确；由题图知在时刻，甲企业在该点的切线斜率的绝对值大于乙企业的，故B正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，故C正确；由题意可知，甲企业在，这三段时间中，在时的污水治理能力明显低于时的，故D错误故选：ABC5（2023全国高三专题练习）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示给出下列四个结论错误的是（）A在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度

35、的瞬时变化率不同；C在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同【答案】D【分析】根据图象以及导数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，根据图象可知，在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确.B选项，根据图象以及导数的知识可知，在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同，B选项结论正确.C选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，C选项结论正确.D选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变

36、化率D选项结论错误.故选：D6（2023秋云南楚雄高三统考期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（）A5cm/sB6cm/sC8cm/sD10cm/s【答案】C【分析】利用导数的定义直接求得.【详解】由，求导得：.当时，解得（舍去）.故当时，液体上升高度的瞬时变化率为.故选：C7（2023海南省直辖县级单位统考模拟预测）宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为

37、，则出站后“绿巨人”速度首次达到时加速度为（）ABCD【答案】B【分析】求导，利用导数的运算、瞬时变化率进行求解.【详解】因为，所以；令，得，解得或（舍去)；则当时，即速度首次达到时加速度为故选：B.8（2023全国高三专题练习）某地在20年间经济高质量增长，GDP的值（单位，亿元）与时间（单位：年）之间的关系为，其中为时的值.假定，那么在时，GDP增长的速度大约是_.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：，当取很小的正数时，【答案】0.52【分析】由题可得GDP增长的速度为，进而即得.【详解】由题可知，所以，所以,即GDP增长的速度大约是.故答案为：.考点二 导数定义的应用9（202

38、3上海闵行统考二模）_【答案】/【分析】利用导数的定义及求导公式可得答案.【详解】设函数，则；.故答案为：.10（2023春江西高三校联考期中）已知，则（）A1B3C6D9【答案】D【分析】利用导数的定义式以及极限的性质可求答案.【详解】.故选：D.11（2023全国高三专题练习）已知函数，则的值为（）ABC10D20【答案】D【分析】根据导数的定义可得，再用求导公式可得，代入即可得解.【详解】因为，所以，所以.故选：D12（2023春吉林长春高三长春十一高校考阶段练习）已知函数，则_.【答案】/【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求解作答.【详解】函数，求导得：，所以.故答案为：13（2

39、023春河南高三校联考阶段练习）已知函数是可导函数，且，则_.【答案】/【详解】因为函数是可导函数，且，根据导数的定义，有.故答案为：.14（2023春辽宁阜新高三校联考阶段练习）已知函数，则_【答案】【分析】求出导函数，建立与的方程，求出，利用极限的运算及导数的定义求解即可.【详解】当时，所以，又，则，解得，由定义可知，.故答案为：15（2023春山东济南高三统考期中）已知函数，若，则（）ABC1D2【答案】D【分析】利用导数的运算法则和定义求解即可【详解】，故选：D考点三 导数的运算16（2023全国高三专题练习）求下列函数的导数(1)；(2)；(3)(4)；【答案】(1)(2)(3)(4

40、)【分析】利用基本函数的导数和求导法则，逐一对各个求导即可求出结果.【详解】（1）因为，所以.（2）因为，所以.（3）因为，所以（4）因为，所以17（2023全国高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（）ABCD【答案】C【分析】在等式求导，再令，可得出关于的等式，解之即可.【详解】在等式两边求导得，所以，解得.故选：C.18（2023全国模拟预测）将函数的图象上的点向右平移个单位长度后得到点，且点恰好在的导函数的图象上，则（）ABCD【答案】B【分析】先求出函数的导函数，再由求解.【详解】解：因为，所以，由题意得，即，得，即，所以故选：B考点四 导数的几何意义及应用（一）切线的斜率与倾斜角（1）求切线的斜率19（2023全国高三专题练习）函数在处的切线的斜率为（）A0B1C2De【答案】A【分析】将函数求导，由导数的几何意义即可得到结果.【详解】函数的导数，由导数的几何意义，可知:在处的切线的斜率为.故选:A.20（2023全国高三专题练习）函数在处的切线的斜率为（）A2B-2C0D1【答案】A【分析】求出函数的