江苏省南通市2024年高一下学期6月期末考试数学试题含答案.pdf

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1、 第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 2024 年南通市高一学年度质量监测年南通市高一学年度质量监测 数学数学 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效位置上，在其

2、他位置作答一律无效.3本卷满分为本卷满分为 150 分，考试时间为分，考试时间为 120 分钟分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.若复数()21 izaa=+是纯虚数，则实数 a的值为（）A.0 B.1 C.-1 D.1 2.下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 3.已知圆锥的底面半径和高均为 1，则该圆

3、锥的侧面积为（）A.B.2 C.2 D.2 2 4.已知向量()2,4a=，()1,bx=，若ab，则|b=（）A.52 B.5 C.2 5 D.4 5 5.一个水果盘子里有 2个苹果和 3个桃子，从盘中任选 2 个，则选中的水果品种相同的概率为（）A.110 B.15 C.25 D.12 6.若2cos33=，则sin 26=（）A.79 B.19 C.19 D.79 7.某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部 O 的正东方向 A处，测得旗杆顶端 P 的仰角为60，在 A 的南偏西30方向上的 B处，测得 P的仰角为45（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为 20m，则旗杆

4、的高度 OP 约为（21.4，31.7）（）第2页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 A.10m B.14m C.17m D.20m 8.在锐角三角形 ABC 中，2sintantancosABCC=+，则sincosCA的取值范围为（）A.2 3,3+B.3,2+C.()1,+D.()2,+二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.记ABC的内

5、角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c下列命题为真命题的是（）A.若222sinsinsinABC+=，则ABC为直角三角形 B.若sinsinaAbB=，则ABC为等腰三角形 C.若coscosaAbB=，则ABC为等腰三角形 D.若sincoscosABCabc=，则ABC为等腰直角三角形 10.已知 a，b，c为三条直线，为三个平面下列命题为真命题的是（）A 若ac，bc，则ab B.若a，a，b=，则ab C 若a，a，则 D.若，a=，则a 11.一个袋子中有大小和质地相同的 4个球，其中有 2个红色球（标号为 1和 2），2个白色球（标号为 3和 4），从袋中不放回地依次随机摸出

6、 2个球设事件A=“两个球颜色不同”，B=“两个球标号的和为奇数”，C=“两个球标号都不小于 2”，则（）A.A与 B 互斥 B.A 与 C相互独立 C.()()()P ABP ACP A+=D.()()()()P ABCP A P B P C=三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.样本数据 7，8，10，11，12，13，15，17 的第 40 百分位数为_ 13.已知向量a，b满足2b=，向量a在b上的投影向量为12b，则a b=_ 14.以棱长为 2 的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知

7、正四棱锥的侧面与底面所成的角为4该多面体的体积为_，其面数为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5小题，共小题，共 77分分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，2222acbac+=+.第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司（1）求 B；（2）若2 2ca=，求tanC 16.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA 平面ABCD，,E F分别是棱,BC AP的中点 （1）证明：PCBD；（2）证明：/EF平面PCD 17.某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如

8、下：分组 7，7.5）7.5，8）8，8.5）8 5，9 频数 4 x 20 y 频率 a b 0.4 0.12 （1）计算该班学生平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在)7,7.5和8.5,9的学生中抽取 5 人再从抽取的 5人中随机抽取 2人，求 2人中至少有 1 人的日睡眠时间在7，7.5）的概率 18.已知ABC面积为 9，点 D在 BC边上，2CDDB=（1）若4cos5BAC=，ADDC=，证明：sin2sinABDBAD=；求 AC；（2）若ABBC=，求 AD的最小值 19.如图，等腰梯形 ABCD为圆台

9、1OO的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且 B，E，D，F 四点共面.的的 第4页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：BFDE；（2）已知2AD=，4BC=，四棱锥 C-BEDF的体积为 3 求三棱锥 B-ADE的体积；当母线与下底面所成的角最小时，求二面角 C-BF-D的正弦值 第1页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 2024 年南通市高一学年度质量监测年南通市高一学年度质量监测 数学数学 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡

10、上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效位置上，在其他位置作答一律无效.3本卷满分为本卷满分为 150 分，考试时间为分，考试时间为 120 分钟分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，

11、只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.若复数()21 izaa=+是纯虚数，则实数 a的值为（）A.0 B.1 C.-1 D.1【答案】A【解析】【分析】根据纯虚数的概念列方程求解.【详解】根据题意，复数()21 izaa=+是纯虚数，所以0a=且210a ，解得0a=.故选：A 2.下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差【答案】D【解析】【分析】利用数字特征的含义求解即可.【详解】平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量，方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量，即刻画一组数据离散程度.故选：D.

12、3.已知圆锥的底面半径和高均为 1，则该圆锥的侧面积为（）A.B.2 C.2 D.2 2 第2页/共17页 学科网（北京）股份有限公司【答案】B【解析】【分析】根据公式Srl侧可解【详解】根据题意圆锥的母线长222=+=lrh，代入Srl侧即可求得 122S=侧 故选：B.4.已知向量()2,4a=，()1,bx=，若ab，则|b=（）A.52 B.5 C.2 5 D.4 5【答案】B【解析】【分析】根据向量共线定理，就可以求出 x的值，然后用模长公式求模长.【详解】因为ab，所以ab=，即()()()()21,2,4=,4=xx 所以2=24=2xx，所以()1,2b=所以()22|1+25

13、b=，故选：B.5.一个水果盘子里有 2个苹果和 3个桃子，从盘中任选 2 个，则选中的水果品种相同的概率为（）A.110 B.15 C.25 D.12【答案】C【解析】【分析】运用古典概型可解【详解】根据题意，设2个苹果分别记为：1和2，3个桃子编号为A,B,C，从盘中任选两个，可得()()()()()()()()()()1,2,1,A,1,B,1,C,2,A,2,B,2,C,A,B,A,C,B,C 共10种情况 选中的水果品种相同的选法有：()1,2，()()()A,B,A,C,B,C，有4种 所以选中水果品种相同概率为：42105=故选：C.的 第3页/共17页 学科网（北京）股份有限公

14、司 6.若2cos33=，则sin 26=（）A.79 B.19 C.19 D.79【答案】B【解析】【分析】利用换元法，令3x=，26y=，找到y与x的关系，然后利用诱导公式和倍角公式进行求值即可.【详解】令3x=，2cos33=，则2cos3x=，令26y=，则22yx=所以2221sin 2sinsin2cos22cos1216239yxxx=故选：B.7.某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部 O 的正东方向 A处，测得旗杆顶端 P 的仰角为60，在 A 的南偏西30方向上的 B处，测得 P的仰角为45（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为 20m，则旗杆的高度 OP

15、 约为（21.4，31.7）（）A.10m B.14m C.17m D.20m【答案】C【解析】【分析】利用仰角、方位角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解.【详解】第4页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 如图，设OPh=米，则tan603hhOA=米，tan45hOBh=米.在OAB中，由题意可得，60OAB=，由余弦定理可得2222013cos=cos6022203hhOABh+=，解得 10 317h=米.故选：C.8.在锐角三角形 ABC 中，2sintantancosABCC=+，则sincosCA的取值范围为（）A.2 3,3+B.3,2+C.()1,+D.()2,+【

16、答案】A【解析】【分析】利用切化弦的思想以及两角和的公式，等价变形已知条件，求得3B=，然后sincosCA消元，得到sin3cosAA+，再一次化简为只有一个三角符号，再求出角 A 的范围，即可求解.【详解】因为2sintantancosABCC=+，所以()sin2sinsinsinsincoscossinsincoscoscoscoscoscoscoscoscosBCABCBCBCACBCBCBCBC+=+=所以1cos2B=，又三角形 ABC 为锐角三角形，所以3B=，所以()13sinsincossinsin13322tancoscoscoscos22AAAABCAAAAA+=+又因

17、为三角形 ABC为锐角三角形，所以002226200322AAAAC 第5页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 所以3tan,3A+所以sin132 3tan,cos223CAA=+，故选：A.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c下列命题为真命题的是（）A.若222sinsinsinAB

18、C+=，则ABC为直角三角形 B.若sinsinaAbB=，则ABC为等腰三角形 C.若coscosaAbB=，则ABC为等腰三角形 D.若sincoscosABCabc=，则ABC为等腰直角三角形【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦定理逐项进行边角互化即可判断.【详解】对于 A，若222sinsinsinABC+=，由正弦定理得222+=abc，所以2C=，所以ABC为直角三角形，故 A 正确；对于 B，若sinsinaAbB=，由正弦定理得22ab=，所以ab=，所以ABC为等腰三角形，故 B正确；对于 C，若coscosaAbB=，由正弦定理得sincossincosAABB=，即11

19、sin2sin222AB=，所以22AB=或22AB+=，即AB=或2AB+=，则ABC是等腰或直角三角形，故 C错误；对于 D，若sincoscosABCabc=，由正弦定理得sincoscossinsinsinABCABC=，所以cossin,cossinBBCC=，即,44BC=，所以ABC为等腰直角三角形，故 D正确；故选：ABD.10.已知 a，b，c为三条直线，为三个平面下列命题为真命题的是（）A.若ac，bc，则ab B.若a，a，b=，则ab 第6页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 C.若a，a，则 D.若，a=，则a【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，由空间中直线与

20、平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于 A选项，令a，b，若c，则一定有ac，bc，而在同一平面的 a，b两条直线可以平行，也可以相交，故 A错误；对于 B选项，这是线面平行的性质定理，故 B正确；对于 C选项，这是面面垂直的判定定理，故 C正确；对于 D项，设m=，l=，过平面内一点 A，分别作ABm，ACl，如图所示，因为，m=，AB，ABm，所以AB，又因为a，所以ABa，同理：ACa，又因为ABACA=，AB、AC，所以a，故 D项正确.故选：BCD.11.一个袋子中有大小和质地相同的 4个球，其中有 2个红色球（标号为 1和 2），2个白色球（标号为

21、3和 4），从袋中不放回地依次随机摸出 2个球设事件A=“两个球颜色不同”，B=“两个球标号的和为奇数”，C=“两个球标号都不小于 2”，则（）A.A与 B 互斥 B.A 与 C相互独立 C.()()()P ABP ACP A+=D.()()()()P ABCP A P B P C=【答案】BC【解析】【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析 A，由相互独立事件的定义分析 B，由古典概型的计算公式分析C、D，综合可得答案【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球，则 第7页/共17页 学科网（北京）股份有限公司()()()()()()=1213142 32 43 4，、，、，、，、，

22、、，()()()()()()()()=13142 32 4=12142 33 4AB，、，、，、，、，、，、，()()()=2 32 43 4C，、，、，()()()()()()=142 3=2 32 4=2 33 4ABACBC，、，、，、，()=2 3ABC，所以有()()()424231636362P AP BP C=，()()()2121163636P ABP ACP ABC=，对于 A，()()=142 3AB，、，事件 A、B可以同时发生，则 A、B不互斥，A 错误；对于 B，()()()=P A P CP AC，A、C 相互独立，B 正确；对于 C，()()()+=P ABP A

23、CP A，C 正确；对于 D，()()()()P ABCP A P B P C，D错误 故选：BC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.样本数据 7，8，10，11，12，13，15，17 的第 40 百分位数为_【答案】11【解析】【分析】根据百分数的定义就可求得第 40百分位数.【详解】首先对数据从小到大进行排序：7，8，10，11，12，13，15，17，共有 8 个数据 8 40%3.2=，所以这个样本数据的第 40百分位数为第四位，即 11，故答案为：11.13.已知向量a，b满足2b=，向量a在b上的投影向量为12b

24、，则a b=_【答案】2【解析】【分析】首先利用投影向量的定义求出cos,1aa b=，再利用数量积的定义求出a b 即可.第8页/共17页 学科网（北京）股份有限公司【详解】由已知向量a在b上的投影向量为12b，则1cos,2baa bbb=，又因为即2b=，所以cos,1aa b=.所以()cos,cos,2a ba ba baa bb=故答案为：2 14.以棱长为 2 的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为4该多面体的体积为_，其面数为_【答案】.16 .24【解析】【分析】根据正四棱锥的侧面与底面所成的角为4，求出正四棱

25、锥的高，从而求体积.【详解】根据题意，如图，以棱长为 2的正方体的一个面为底面的正四棱锥PABCD，取底面中心O，CD中点E，因为PO平面ABCD，CD 平面ABCD，所以CDPO，又CDPE，,POPEP PO PE=平面POE，所以CD 平面POE，则4PEO=，所以1hPO=，从而该多面体的体积为12 2 262 2 1163V=+=，其面数为4 624=.故答案为：16；24.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5小题，共小题，共 77分分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，22

26、22acbac+=+（1）求 B；第9页/共17页 学科网（北京）股份有限公司（2）若2 2ca=，求tanC【答案】（1）4B=（2）12【解析】【分析】（1）根据余弦定理得到2cos2B=，得到4B=；（2）设,2 2at ct=，代入2222acbac+=+，求出5bt=，再由余弦定理得到cosC，进而得到正弦和正切 【小问 1 详解】22222222acbacacbac+=+=，故22222cos222acbacBacac+=，因为()0,B，所以4B=；【小问 2 详解】设,2 2at ct=，代入2222acbac+=+中，222822 2ttbtt+=+，故225bt=，解得5b

27、t=，由余弦定理得222222585cos2525abctttCabtt+=，则22 5sin1 cos5CC=，故5sin15tancos22 55CCC=.16.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA 平面ABCD，,E F分别是棱,BC AP的中点.第10页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：PCBD；（2）证明：/EF平面PCD【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接,AC BD交于点O，由已知证明BD平面PAC，又PC 平面PAC，即可证明BDPC；（2）连接,OE OF，证明出平面/EFO平面PCD，结合面面平行的性质即可证

28、明【小问 1 详解】连接,AC BD交于点O，由四边形ABCD是菱形得ACBD，因为PA 平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD，因为PABD，ACBD，PAACA=，,PA AC 平面PAC，所以BD平面PAC，又PC 平面PAC，所以BDPC【小问 2 详解】连接,OE OF，因为四边形ABCD是菱形，所以点O为,AC BD中点，又,E F分别是棱,BC AP的中点，所以/,/FO PC OE CD，因为PC 平面PCD，FO 平面PCD，所以/FO平面PCD，同理可得/EO平面PCD，因为,EO FO 平面EFO，且EOFOO=，第11页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 所以

29、平面/EFO平面PCD，又EF 平面EFO,所以/EF平面PCD 17.某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下：分组 7，7.5）7.5，8）8，8.5）8.5，9 频数 4 x 20 y 频率 a b 0.4 0.12 （1）计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）用比例分配分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在)7,7.5和8.5,9的学生中抽取 5人再从抽取的 5人中随机抽取 2人，求 2人中至少有 1 人的日睡眠时间在7，7.5）的概率【答案】（1）8.03h （2）710【解析】【分析】（1）先求出,n x y的值，再求平均数；（2）由比例

30、分配的分层随机抽样方法，分别从)7,7.5和8.5,9两组的学生中抽取 2 人，3 人，再由古典概率求解.【小问 1 详解】因为容量200.450n=，所以50 0.12650(4206)20,yx=+=，所以该班学生的平均日睡眠时间为()17.25 47.75 208.25 208.75 650+()()129 155 16552.58.03 h50=+=；【小问 2 详解】的 第12页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 由（1）知，该班日睡眠时间在)7,7.5和8.5,9频率比为2:3，由比例分配的分层随机抽样方法，分别从)7,7.5和8.5,9两组的学生中抽取 2人，3 人，记)7,

31、7.5中抽取的 2人为,a b，8.5,9中抽取的 3 人为,c d e，设“2 人中至少有 1 人的睡眠时间在)7,7.5”为事件A，则(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,)a ba ca da eb c b db ec dc ed e=，(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,)Aa ba ca da eb c b db e=，所以A发生的概率()710P A=，所以 2 人中至少有 1人的日睡眠时间在7，7.5）的概率为710.18.已知ABC的面积为 9，点 D在 BC边上，2CDDB=（1）若4cos5BAC=，ADDC=，证明：sin

32、2sinABDBAD=；求 AC；（2）若ABBC=，求 AD的最小值【答案】（1）证明见解析 （2）4 6【解析】【分析】（1）ABD中，由正弦定理可得sinsinADBDABDBAD=，从而得证；在ABD中，利 用 三 角 函 数 恒 等 变 换 可 得 所 以263ACDABCSS=，在ACD中，由211717sin621617ACDSADACAC=，可解问题；（2）由2133ADABAC=+，两边平方的222414cos999ADcbbcBAC=+，再借助余弦定理和三角形面积公式，将上式表示为412cossincossinBACADBACBACBAC=+，化简利用基本不等式求最值.【小

33、问 1 详解】因为2CDDB=，ADDC=，所以2ADDB=，在ABD中，由正弦定理可得sinsinADBDABDBAD=，在 第13页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 所以sinsin2sinADABDBADBADBD=；设BAC=，则4cos5=，因为0，所以23sin1 cos5=，设C=，因为ADDC=，所以CCAD=，在ABD中，,BBAD=，由知sin2sinABDBAD=，所以sin()2sin()+=，所以sincoscos sin2sincos2cos sin+=，整理得cos4sin=，又因为22sincos1+=，0，所以174 17sin,cos1717=，因为2

34、CDDB=，所以263ACDABCSS=，在ACD中，因为ADDC=，C=，所以cos2ACAD=，所以172cos8ACADAC=，则211717sin621617ACDSADACAC=，所以4 6AC=；【小问 2 详解】记ABC的内角为,A B C，所对边为,a b c，因为2CDDB=，所以()22213333ADACCDACCBACABACABAC=+=+=+=+，所以222414cos999ADcbbcBAC=+，在ABC中，因为ABBC=，所以由余弦定理可得2222cosccbbcBAC=+，第14页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 整理得2 cos,2cosbcBACb

35、cBAC=，因为1sin92ABCSbcBAC=，所以18sinbcBAC=，所以222236cos9,sin4coscossinBACbbcBACBACBACBAC=，所以 22412cos4 12cossincossinsincosBACBACADBACBACBACBACBAC+=+=224sin16cossincosBACBACBACBAC+=sin4cos416cossinBACBACBACBAC=+，当且仅当2 55sin,cos55BACBAC=时取等号，所以 AD 的最小值为 4.【点 睛】关 键 点 点 睛：第（2）问 中，由 平 面 向 量 得2133ADABAC=+，两 边

36、 平 方 的222414cos999ADcbbcBAC=+，再 借 助 余 弦 定 理 和 三 角 形 面 积 公 式，将 上 式 表 示 为412cossincossinBACADBACBACBAC=+，利用三角函数恒等变换化简，并利用基本不等式求最值.19.如图，等腰梯形 ABCD为圆台1OO的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且 B，E，D，F 四点共面 （1）证明：BFDE；（2）已知2AD=，4BC=，四棱锥 C-BEDF的体积为 3 求三棱锥 B-ADE的体积；当母线与下底面所成的角最小时，求二面角 C-BF-D的正弦值【答案】（1）证明见解析 第15页/共17页 学科网（北

37、京）股份有限公司（2）12；33【解析】【分析】（1）由面面平行的性质定理即可证明；（2）将圆台1OO的母线延长交于一点P，连接PE，延长PE交底面于点Q，连接BQ，CQ，可推得2BDFBDESS=，从而得14B ADEC BDFVV=，求得结论；在等腰梯形ABCD中，过点D作边BC的垂线DG，垂足为G，可证DCG为母线与下底面所成角，由tanDCGDG=可知，要使DCG最小，只要DG最小即可，进而求得DG的最小值，即可求得结论【小问 1 详解】证明：在圆台1OO中，平面/ADE平面BFC，因为平面BEDF 平面=ADEDE，平面BEDF 平面BFCBF=，所以/BFDE；【小问 2 详解】将

38、圆台1OO的母线延长交于一点P，连接PE，延长PE交底面于点Q，连接BQ，CQ，在圆台1OO中，平面/ADE平面BFC，因为平面PCQ平面=ADEDE，平面PCQ平面BFCCQ=，所以/EDCQ，又由（1）可知/BFED，所以/BFCQ，又CFBF，BQCQ，BF，CF，BQ，CQ平面BFC，所以/BQCF，所以四边形BFCQ为平行四边形，所以BFCQ=，第16页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 在圆台1OO中，2AD=，4BC=，所以12DEADCQBC=，所以12DEADBFBC=，所以2BDFBDESS=，所以223D BFCC BDFC BEDFVVV=，连接AC，交BD于点T，

39、所以12ATADTCBC=，所以A，C到平面BEDF距离之比12，所以111242B ADEA BDEC BEDC BDFVVVV=；在等腰梯形ABCD中，过点D作边BC的垂线DG，垂足为G，在平面BFC内过点G作CF的平行线GH交BF于点H，连接DH，易得1/DGOO，因为1OO 平面BFC，所以DG 平面BFC，所以DCG为母线与下底面所成角，因为2AD=，4BC=，所以1CG=，所以tanDCGDG=，要使DCG最小，只要DG最小即可，因为2D BFCV=，所以123D BFCBFCVSDG=，所以6BFCDGS=，设CBF=，因为BC为圆1O的直径，所以BFFC，所以4sinFC=，4

40、cosFB=，所以14sin242BFCSFC FB=，当且仅当4=，即2 2CFBF=时取等号，所以DG的最小值为32，因为CFBF，/CFGH，所以GHBF，因为DG 平面BCF，BF平面BCF，所以DGBF，因为DGHGG=，DG，HG 平面DGH，所以BF 平面DGH，所以BFDH，因此DHG为二面角CBFD的平面角，在BCF中，因为342 2HGBGBC=，所以3 22HG=，因为DG 平面BFC，HG 平面BFC，所以DGHG，的 第17页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 在Rt DGH中，由勾股定理得332DH=，所以3sin3DHG=，所以二面角CBFD的正弦值为33【点睛】关键点点睛：第（2）小题第问的关键是，根据二面角的平面角的定义，做辅助线找到DCG为母线与下底面所成角，并且发现tanDCGDG=，等价于使DCG最小，只要DG最小即可，从而得解.