江苏省扬州市2024年高一下学期6月期末数学试题含答案.pdf

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1、第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司20232024 学年高一第二学期期末检测学年高一第二学期期末检测数学数学 2024.06 一一单项选择题（本大题共单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）一项符合要求）1.设复数z满足i1 iz =+，则iz=（）A.2i+B.2iC.iD.i2.方程2ln50 xx+=的解所在区间为（）A.()4,5B.()3,4C.()2,3D.()1,23.数据63,65,70,73,76,78,80,84,88,90的 45百分位数为（）A.73

2、B.76C.77D.784.已知平面向量()()1,0,1,2ab=，则a在b上的投影向量为（）A.12,55B.1 2,5 5C.5 2 5,55D.52 5,555.如图，为了测量河对岸,A B两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点,C D E.从D点测得67.5ADC=，从C点测得45,75ACDBCE=，从E点测得60BEC=.若测得3,2 2DCCE=（单位：百米），则,A B两点的距离为（）百米.A2 6B.2 3C.6 D.36.在正方体1111ABCDABC D中，,E F G H分别是棱111,AA AB BC C D的中点，下列结论正确的是（）.A.EF1GDB.

3、1D EFG.江苏省扬州市2024年高一下学期6月期末数学试题 第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 C.FG 平面11BB D D D.平面1D EF平面1GHC 7.如图，在ABC中，,D E是BC上的两个三等分点，12,9,60ABACBAC=，则AD AE 的值为（）A.50 B.80 C.86 D.110 8.已知cos cossin cos36+=，则tan24+的值（）A.33 B.3 C.23 D.23+二二多项选择题（本大题共多项选择题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符合题目

4、要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分）分，部分选对的得部分分）9.在ABC中，角A B C所对的边为a b c，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（）A.4,5,6abc=B.30,45,5ABc=C.3,2,45abA=D.3,2,60abC=10.连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上点数小于 3”记为事件 A，“第二次抛掷，结果向上的点数是偶数”记为事件 B，“两次拋掷，结果向上的点数之和为奇数”记为事件C，则下列叙述中正确的有（）A.A与B互斥 B.A 与C相互独立 C.B与C对立 D.()23P AB+=11.如

5、图，正方形ABCD中心为O，边长为 4，将其沿对角线AC折成直二面角DACB，设M为AD的中点，N为BC的中点，则下列结论正确的有（）的的 第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 A.三棱锥DABC的外接球表面积为32 B.直线MN与平面ABC所成角正切值为12 C.点C到平面OMN的距离为2 63 D.三角形MON沿直线MN旋转一周得到的旋转体的体积为2 33 三三填空题（本大题共填空题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）12.已知一个正四棱台的体积为3152cm，上下底面边长分别为4cm 6cm，则棱台的高为_cm.13.若复数z满足2i1z=，则

6、z的最小值是_.14.已知ABC面积为S满足条件()32AB ACS=，则A=_.；若2BC=，延长CB至点D，使得BDAC=，则tan ADC=_.四四解答题（本大题共解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤）15.已知()()0,1,1,2ab=.设()2,ABab BCab=+=+R .（1）若,A B C三点共线，求的值；（2）若ABBC，求的值.16.某保险公司为了给年龄在 2070岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000 名参保人员中随机抽取 100名进行分

7、析，并按年龄段)20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示：的的 第4页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 年龄)20,30)30,40)40,50)50,60 60,70 保费（单位：元）x 2x 3x 5x 7x （1）若采用分层抽样的方法，从年龄段在)30,40和)40,50内的参保人员中共抽取 6人进行问卷调查，再从中选取 2人进行调查对该种保险的满意度，求这 2人中恰好有 1 人年龄段在)30,40内的概率.（2）由于 10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为 200万元

8、.为使公司不亏本，则年龄段)50,60的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？17.已知函数()2sin 2sin 22cos233f xxxx=+.（1）当0,2x时，求函数()f x的值域；（2）求函数()f x在区间0,2上的所有零点之和.18.如图，在斜三棱柱111ABCABC中，侧面11ABB A为菱形，1160,22A ABABACBC=，90,ACBM=为AB中点，1AC与1AC的交点为N.（1）求证：MN/平面11BCC B；（2）求证：1AM 平面ABC；第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司（3）求二面角1BAAC的正弦值.19.如图所示，已知ABC是以AB为斜边

9、的等腰直角三角形，在ABD中，6,3ADBD=，2DEEB=.（1）若135ADB=，求ABC的面积；（2）求26cosABABABD的值；求2CE的最大值.第1页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 20232024 学年高一第二学期期末检测学年高一第二学期期末检测 数学数学 2024.06 一一单项选择题（本大题共单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）一项符合要求）1.设复数z满足i1 iz =+，则iz=（）A 2i+B.2i C.i D.i【答案】B【解析】【分析】根据

10、复数的四则运算法则计算可得结果.【详解】由i1 iz =+可得12zi=+，所以()2212i i12ii2ii22iiii1z+=+=.故选：B 2.方程2ln50 xx+=的解所在区间为（）A.()4,5 B.()3,4 C.()2,3 D.()1,2【答案】C【解析】【分析】利用零点存在性定理分析判断即可.【详解】令()2ln5f xxx=+，()f x在(0,)+上连续，且单调递增，对于 A，因为(4)8ln453ln40f=+=+，(5)10ln555ln50f=+=+，所以()f x的零点不在()4,5内，所以 A错误，对于 B，因为(4)0f，(3)6ln351 ln30f=+=

11、+，所以()f x的零点不在()3,4内，所以 B错误，对于 C，因为(3)0f，(2)4ln25ln2 10f=+=，所以()f x的零点在()2,3内，所以方程2ln50 xx+=的解所在区间为()2,3，所以 C正确，.第2页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 对于 D，因为(2)0f，(1)2ln1 530f=+=，则BA,因62sin32B=，结合正弦函数的图象可知角B有两解，故 C错误；对于 D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即 D正确.故选：ABD.10.连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上的点数小于 3”记为事件 A，“第二

12、次抛掷，结果向上的点 第8页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 数是偶数”记为事件 B，“两次拋掷，结果向上的点数之和为奇数”记为事件C，则下列叙述中正确的有（）A.A与B互斥 B.A 与C相互独立 C.B与C对立 D.()23P AB+=【答案】BD【解析】【分析】AC选项，列举出事件 A，B和事件 C 中的基本事件，得到AB，BC，判断出 AC错误；B选项，利用()()()P ACP A P C=作出判断；D 选项，列举出事件AB+中的基本事件，求出概率.【详解】A选项，事件 A中的基本事件有()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()(

13、)2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6 事件 B中的基本事件有()()()()()()1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,2，()()()()()()1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,4，()()()()()()1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,6，故AB，事件 A和事件 B 不互斥，A错误；B选项，连续抛掷两次骰子，共有 36种情况，其中事件 A中的基本事件数为 12，故()121363P A=，事件 C中的基本事件有()()()()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,3,2,5,3,2,3,4,3,6,4,1,4,3,4

14、,5，()()()()()()5,2,5,4,5,6,6,1,6,3,6,5，共 18种情况，故()181362P C=，事件 AC 中的基本事件有()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,3,2,5，共 9种情况，故()61366P AC=，由于()()()P ACP A P C=，故 A与C相互独立，B正确；C选项，由 AB选项知，BC，事件 B 与事件 C不互斥，故不对立，C错误；D选项，事件AB+中的基本事件有()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6，()()()()

15、3,2,4,2,5,2,6,2，()()()()3,4,4,4,5,4,6,4，()()()()3,6,4,6,5,6,6,6，共 24 种情况，第9页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 故()242363P AB+=，D正确.故选：BD 11.如图，正方形ABCD的中心为O，边长为 4，将其沿对角线AC折成直二面角DACB，设M为AD的中点，N为BC的中点，则下列结论正确的有（）A.三棱锥DABC的外接球表面积为32 B.直线MN与平面ABC所成角的正切值为12 C.点C到平面OMN距离为2 63 D.三角形MON沿直线MN旋转一周得到的旋转体的体积为2 33【答案】ACD【解析】【分析

16、】对于 A，找到球心即可；对于 B，可利用几何法快速解决；对于 C，可利用等体积法；对于 D，旋转体为两个底面重合的圆锥构成的组合体.【详解】对于 A，由于OAOCOBOD=，所以 O为三棱锥DABC的球心，表面积为24(2 2)32=，A 正确；对于 B，过 M作 MHAC于 H，则 MH平面 ABC，所以MNH 即为直线 MN与平面 ABC 所成的角；易知 MH=2，NH=10，所以25tan510MNH=，B错误；对于 C，由MONCC MONVV=，所以112233OMNh S=，又222 3MNMHHN=+=，所以的 第10页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 1cos2MON=

17、，3sin2MON=，所以1322322OMNS=，所以 C 到平面 OMN 的距离2 22 633h=，C 正确;对于 D，过 O作 OTMN于 T，则旋转体体积是以 OT 为底面半径，以 TM 为高的圆锥的体积的两倍，所以12 32333V=，D正确；故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查立体几何的综合问题，解决本题中的问题涉及的思路主要有：(1)利用球的定义找球心，并求球的体积；(2)运用几何法求线面角的大小；(3)利用等体积法求三棱锥的高；(4)掌握常见的几何体的体积公式.三三填空题（本大题共填空题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）12.已知一

18、个正四棱台的体积为3152cm，上下底面边长分别为4cm 6cm，则棱台的高为_cm.【答案】6【解析】【分析】根据棱台的体积公式计算即可.【详解】设棱台高为h，由棱台的体积公式知()222213 152634646Vh SSSSh=+=，其中SS、分别为上下底面面积.故答案为：6 13.若复数z满足2i1z=，则z的最小值是_.【答案】1【解析】第11页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【分析】利用复数的模的几何意义，理解等式表示的动点轨迹图形为圆形，由图易得动点到原点的距离最小值即得.【详解】如图，设复数z对应的点为Z,则由2i1z=可知点Z到点(0,2)A的距离为 1，即点Z的轨迹为

19、以点(0,2)A为圆心，以 1 为半径的圆，而z则表示动点Z到原点的距离，由图可知，圆上与原点距离最小的点为1(0,1)Z,故z的最小值是 1.故答案为：1.14.已知ABC的面积为S满足条件()32AB ACS=，则A=_.；若2BC=，延长CB至点D，使得BDAC=，则tan ADC=_.【答案】.3 .33【解析】【分析】化简23SAB AC=即可求得A，结合A的度数以及2BC=即可求得4299BC=，通过设ABx=即可用 x表示出各边长度，结合三角恒等变换化简即可求得tanADC的值；【详解】由题得12sin3cos2bcAbcA=，tan3A=，因为0A，所以3A=；由,23ABC=

20、可得4299BC=，设ABx=，由正弦定理可知sinsinACABBC=，所以4sin92sin9ACxBD=，如图所示：过 A作AEBC，交 BC的于 E点，第12页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 4sin249sinsinsin299sin9AEACCxx=，4coscos9BEABABCx=，所以4sin49cos29sin9DEBDBEACBExx=+=+=+在Rt ADE中可算得444sinsinsin999tan42455sin2coscos2sincos499918186cos29sin9xAEADCDExx=+444sinsinsin399945335353sin3si

21、nsincos9186218218=+，故答案为：3，33.四四解答题（本大题共解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤）15.已知()()0,1,1,2ab=.设()2,ABab BCab=+=+R .（1）若,A B C三点共线，求值；（2）若ABBC，求的值.【答案】（1）12=（2）125=.的 第13页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示计算可得12=；（2）根据向量垂直的坐标表示可求得125=.【小问 1 详解】因为()()()20,121

22、,22,5ABab=+=+=，()()()0,1,21,2BCab=+=+=+，又因为,A B C三点共线，所以AB BC，则()221 5+=，解得12=.【小问 2 详解】由ABBC，可得0AB BC=，即()()()12520+=解得125=.16.某保险公司为了给年龄在 2070岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000 名参保人员中随机抽取 100名进行分析，并按年龄段)20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示：年龄)20,30)30,40)40,50)50,60

23、 60,70 保费（单位：元）x 2x 3x 5x 7x 第14页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 （1）若采用分层抽样的方法，从年龄段在)30,40和)40,50内的参保人员中共抽取 6人进行问卷调查，再从中选取 2人进行调查对该种保险的满意度，求这 2人中恰好有 1 人年龄段在)30,40内的概率.（2）由于 10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为 200万元.为使公司不亏本，则年龄段)50,60的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？【答案】（1）815 （2）250元.【解析】【分析】（1）先由概率和为 1 求出 a 的值，再利用分层随机抽样的概念确定在

24、)30,40和在)40,50内的抽取人数，结合古典概型知识即可求得答案.（2）求出保险公司每年收取的保费为10000 4x，所以要使公司不亏本，则10000 42000000 x，解不等式即可求得答案.【小问 1 详解】由()0.0070.0160.0250.02101a+=得0.032a=，设“抽取 2人中恰好有 1 人年龄段在)30,40内”为事件M.由题设可知，年龄在)30,40和)40,50内的频率分别为 0.16和 0.32，则抽取的 6人中，年龄在)30,40内的有 2人，年龄在)40,50内的有 4人.记年龄在)30,40内 2位参保人员为,a b，年龄在)40,50的 4 位参

25、保人员为,A B C D，则从 6人中任取2 人，样本空间()()()()()()()()(),a ba Aa Ba Ca Db Ab Bb Cb D=，()()()()()(),A BA CA DB CB DC D共包含 15 个样本点，()()()()()()()(),Ma Aa Ba Ca Db Ab Bb Cb D=共包含 8个样本点，所以()815P M=.【小问 2 详解】保险公司每年收取的保费为：()10000 0.070.16 20.32 30.25 50.2 710000 4xxxxxx+=，所以要使公司不亏本，则10000 42000000 x，即4200 x，解得50 x

26、，所以年龄段)50,60需要缴纳的保费至少为 250 元.第15页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 17.已知函数()2sin 2sin 22cos233f xxxx=+.（1）当0,2x时，求函数()f x的值域；（2）求函数()f x在区间0,2上的所有零点之和.【答案】（1）2,21；（2）92.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得()2sin 214f xx=+，再根据正弦函数单调性可得其值域；（2）求出函数()f x在区间0,2上的所有零点即可得结果.【小问 1 详解】易知()2sin 2sin 22cos233f xxxx=+sin2 coscos2 sinsin2

27、 coscos2 sincos213333xxxxx=+sin2cos212sin 214xxx=+=+因为0,2x，所以 52,444x+，由正弦函数单调性可得2sin 2,142x+，则()f x的值域为2,21【小问 2 详解】因为0,2x，所以 172,444x+，由()0f x=得2sin 242x+=所以 3 9 11 172,444444x+=，解得50,244x=，第16页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 所以函数()f x在区间0,2上的所有零点之和为5902442+=.18.如图，在斜三棱柱111ABCABC中，侧面11ABB A为菱形，1160,22A ABABAC

28、BC=，90,ACBM=为AB中点，1AC与1AC的交点为N.（1）求证：MN/平面11BCC B；（2）求证：1AM 平面ABC；（3）求二面角1BAAC的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）2 1313.【解析】分析】（1）利用线线平行推得线面平行即得；（2）由等边三角形1AAB证1AMAB，再由勾股定理逆定理证1AMMC，由线线垂直推导线面垂直即得；（3）作CHAB，证CH 平面1A AB，作1HKAA，证1AACK，得HKC为二面角1BAAC的平面角，由题设求得,CH HK即得.【小问 1 详解】【第17页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 如图（1），连接1

29、BC.由三棱柱111ABCABC可知侧面11AAC C为平行四边形，所以N为1AC中点；又因为M为AB中点，所以MN/1BC，又MN平面111,BBC C BC 平面11BBC C，所以MN/平面11BBC C；【小问 2 详解】如图（2），连接1,MC AB.由菱形11ABB A可知12A AAB=，因为160A AB=，可得1AAB为等边三角形；因M是AB中点，则1AMAB，且13AM=；由90ACB=可得，112MCAB=；因为12AC=，则有22211AMMCAC+=，即1AMMC，又,MCABM MC=平面,ABC AB平面ABC，故1AM 平面ABC；【小问 3 详解】由（2）可知

30、1AM 平面ABC，因为1AM 平面1A AB，所以平面1A AB 平面ABC；如图（3），过点C作CHAB，垂足为H，过H作1HKAA，垂足为K，连接CK.因为CH 平面,ABC平面1A AB平面ABCAB=，所以CH 平面1A AB，第18页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 因为1AA 平面1,A AB HK 平面1A AB，所以1,CHAA CHHK；因为1,HKAA HKCHH CH=平面,CHK HK 平面CHK，所以1AA 平面CHK，又CK 平面CHK，所以1AACK，所以HKC为二面角1BAAC的平面角.在RtABC中，90,2,1ACBABBC=，可得33,22CHAH

31、=，在Rt AHK中，1,60HKAAHAK=，可得3sin34HKAHHAK=，在RtCHK中，CHHK，可得2tan3CHHKCHK=，因为0,2HKC，所以2 13sin13HKC=，即二面角1BAAC的正弦值为2 1313.【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和应用，以及运用几何法求解二面角，属于较难题.解题关键在于深刻把握线面垂直的判定定理，执果索因，寻找线线垂直条件；求二面角的关键在于找到一个平面中的一点在另一个平面的射影，为作出平面角奠定基础.19.如图所示，已知ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，在ABD中，6,3ADBD=，2DEEB=.（1）若135ADB=，求

32、ABC的面积；（2）求26cosABABABD的值；求2CE的最大值.【答案】（1）459 242+第19页/共20页 学科网（北京）股份有限公司（2）27；416 52+.【解析】【分析】(1)利用余弦定理求解边长，再利用等腰三角形的性质求解面积即可;(2)利用余弦定理求解即可；在ABD中，由正弦定理可得22BCAB=，在BCE中，由余弦定理得()241=6 5sin2CE+，结合三角函数求解最值即可.【小问 1 详解】在ABD中，由余弦定理得，23692 6 3cos13545 18 2AB=+=+，且ABC是等腰直角三角形，则22111459 222442ABCSAC CBACAB=+【

33、小问 2 详解】设,0ADB=，因为6,3ADBD=，由余弦定理可得，2222936cos26ABBDADABABDAB BDAB+=，227cos6ABABABD=，即26cos27ABABABD=；在ABD中，2222cos4536cosABADBDAD BDADB=+=，由正弦定理可得sinsinADABABD=，则sinsin6sinABABDAD=，2,1DEEBEB=，又22BCAB=，在BCE中，由余弦定理得()2222cos 45CEBCBEBC BEABD=+()22122121cossin222ABABABDABD=+()22211271cossin16sin226ABABABABDABABDAB=+=+第20页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 2111416sin6sin12cos322AB=+=+()416 5sin2=+（其中为锐角，且tan2=），由0可得，所以当2=时，即2=+时，2CE取得最大值416 52+.