随机变量的数字特征省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

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1、第1页 在第二章讨论知道，离散型随机变量变化规律由其概率分布完全描述，连续型随机变量由其密度函数完全描述。但在实际应用中，概率分布或密度函数获得通常是困难。其次，在应用中，有时并不需要知道概率分布或密度函数，而只需知道该随机变量某些特征。比如，为了对某市高一学生某门课考试成绩作分析，普通比如，为了对某市高一学生某门课考试成绩作分析，普通并不需要全部学生考试成绩，而只需知道每所学校平均成绩，并不需要全部学生考试成绩，而只需知道每所学校平均成绩，或者各所学校成绩相对于平均成绩偏离程度，有了这些指标，或者各所学校成绩相对于平均成绩偏离程度，有了这些指标，就能够作横向和纵向比较。这里平均成绩就是学生成

2、绩这一随就能够作横向和纵向比较。这里平均成绩就是学生成绩这一随机变量特征。机变量特征。用以刻画随机变量某方面特征量，称为随机变量数字特征。用以刻画随机变量某方面特征量，称为随机变量数字特征。惯用数字特征：惯用数字特征：数学期望、方差、矩、众数、中位数、协方差、数学期望、方差、矩、众数、中位数、协方差、相关系数相关系数。第2页第一节第一节 随机变量数学期望随机变量数学期望例例1 1 某工厂生产一批产品，一等品占某工厂生产一批产品，一等品占50%50%，二等，二等品占品占40%40%，次品占，次品占10%10%。假如生产一件次品，工。假如生产一件次品，工厂要损失厂要损失 1 1元钱，生产一件一等品

3、，工厂取得元钱，生产一件一等品，工厂取得2 2元元钱利润，生产一件二等品，工厂取得钱利润，生产一件二等品，工厂取得 1 1 元钱利润。元钱利润。假设生产了大量这么产品，问工厂每件产品取得假设生产了大量这么产品，问工厂每件产品取得期望利润是多少？期望利润是多少？设设X X表示每件产品取得利润，则它是随机变量，表示每件产品取得利润，则它是随机变量，其概率分布为其概率分布为解：解：第3页解：解：假设工厂一共生产了假设工厂一共生产了N N件产品，其中一等品件产品，其中一等品 n n1 1件，件，二等品二等品 n n2 2件，次品件，次品 n n3 3件件这这N N 件产品取得平均利润为件产品取得平均利

4、润为或者写为第4页而在大量重复试验下当而在大量重复试验下当N N无限增大时，频率稳无限增大时，频率稳定值即为概率，所以，每件产品平均利润将趋定值即为概率，所以，每件产品平均利润将趋近于近于或者说，假如工厂生产了大量该产品，可期望每或者说，假如工厂生产了大量该产品，可期望每件产品取得件产品取得1.31.3元利润。元利润。数值数值1.31.3称为随机变量称为随机变量X X数学期望数学期望或或均值均值。第5页 一、离散型随机变量数学期望一、离散型随机变量数学期望第一节第一节 随机变量数学期望随机变量数学期望定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量 概率分布为：概率分布为：若若 绝对收敛，则称绝对收

5、敛，则称 为随机变量为随机变量 数数学期望或均值，记为学期望或均值，记为 ，即，即 注：注：u 度量了随机变量度量了随机变量 取值加权平均！取值加权平均！u 为权重！为权重！第6页第一节第一节 随机变量数学期望随机变量数学期望例例 甲乙二人射击，X：甲击中环数；Y：乙击中环数。他们命中环数分布律分别为试问哪一个人射击水平较高?第7页 二、连续型随机变量数学期望二、连续型随机变量数学期望定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量 概率分布为：概率分布为：若若 ，则称，则称 为随机变量为随机变量 数数学期望或均值。学期望或均值。离离 散散连连 续续概率概率密度函数密度函数定义定义 设随机变量设随机

6、变量 密度函数为密度函数为 ,若若 绝对收敛，则绝对收敛，则称称 为随机变量为随机变量 数学期望或均数学期望或均值，记为值，记为 第8页例例3.3 设随机变量设随机变量 密度函数为密度函数为求求 数学期望数学期望 。解解 由连续型随机变量数学期望定义，有由连续型随机变量数学期望定义，有第9页 三、随机变量函数数学期望三、随机变量函数数学期望定理定理 设设 为随机变量，为随机变量，为实函数，为实函数，为求为求 数学期望，能够无须经过求数学期望，能够无须经过求 概率分布（离散）或密度函数概率分布（离散）或密度函数（连续），而只需直接利用（连续），而只需直接利用 概率分布或密度函数。概率分布或密度函

7、数。若若 绝对收敛，则绝对收敛，则 存在，且存在，且（1）设）设 为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为（2）设）设 为连续型随机变量，密度函数为为连续型随机变量，密度函数为 ，若，若 则则 存在，存在，且且绝对收敛，绝对收敛，第10页解解 解解 例例3.4 设随机变量设随机变量 概率分布为概率分布为求求例例3.5 对例对例3.3中随机变量中随机变量 ，求，求第11页 四、数学期望性质四、数学期望性质（1）若）若 ，则，则 ，尤其地，尤其地（3）（2）（4）第12页第二节第二节 随机变量方差随机变量方差p 有可能产品寿命均集中在有可能产品寿命均集中在9501050小时！小时！

8、p 有可能二分之一产品寿命集中在有可能二分之一产品寿命集中在700小时，另二分之一产品寿命小时，另二分之一产品寿命集集 中在中在1300小时！小时！对随机变量对随机变量 ，知道了它数学期望，知道了它数学期望 ，即使对该随，即使对该随机变量有了一定了解，但还不够！机变量有了一定了解，但还不够！例：为评定一批灯泡质量好坏，从某种路径已知其平均寿命例：为评定一批灯泡质量好坏，从某种路径已知其平均寿命为为1000小时，即小时，即 ，但不能完全必定质量好，但不能完全必定质量好坏！坏！质量稳定！质量稳定！质量相对不稳定！质量相对不稳定！有必要找一个量，能够度量随机变量有必要找一个量，能够度量随机变量 相对

9、于相对于 偏离程度。偏离程度。第13页 什么量，能够度量随机变量什么量，能够度量随机变量 相对于相对于 偏离程度？偏离程度？不能！不能！是随机变量是随机变量不能！不能！（正负偏差相互抵消）（正负偏差相互抵消）不便于计算！不便于计算！定义定义 设随机变量设随机变量 数学期望为数学期望为 ，则称，则称 为随机变量为随机变量 方差，记为方差，记为 ，或，或 ，并称，并称 为为 标准差。标准差。第14页 方差计算：方差计算：考虑到方差实际上为随机变量函数数学期望：考虑到方差实际上为随机变量函数数学期望：，所以，所以 若若 为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为 ，则，则 若若 为连续

10、型随机变量，概率密度函数为为连续型随机变量，概率密度函数为 ，则，则 在很多场所，计算方差经惯用到以下公式：在很多场所，计算方差经惯用到以下公式：第15页 方差性质：方差性质：（1）（2）（3）例例3.6 设随机变量设随机变量 密度函数为密度函数为解解 由例由例3.3结果，结果，求求 方差方差第16页例例3.7 对任意随机变量对任意随机变量 ，设，设 ，令，令 ，求求 解解 称称 为为 标准化标准化，它是一个无量纲随机变量，将原，它是一个无量纲随机变量，将原分布中心分布中心 移至原点，且方差为移至原点，且方差为1个单位。个单位。第17页 证证 例例3.8 对随机变量对随机变量 ，设，设 存在存

11、在，令，令 ，证实，证实当当 时，时，到达最小值，且最小到达最小值，且最小值为值为所以当所以当 时，时，到达最小值，且到达最小值，且最小值为最小值为第18页第三节第三节 惯用分布数学期望和方差惯用分布数学期望和方差 一、惯用离散型分布数学期望和方差一、惯用离散型分布数学期望和方差1.退化分布：退化分布：离散型随机变量离散型随机变量 只取常数只取常数 ，即，即 ，2.0-1分布：分布：离散型随机变量离散型随机变量 概率分布为概率分布为所以所以所以所以第19页3.个点上均匀分布：个点上均匀分布：4.二项分布：二项分布：离散型随机变量离散型随机变量 概率分布为概率分布为 ，即离散型随机变量，即离散型

12、随机变量 概率分布为概率分布为所以所以第20页则则第21页5.几何分布：几何分布：随机变量随机变量 概率分布为概率分布为6.超几何分布：超几何分布：随机变量随机变量 概率分布为概率分布为第22页（证实略）（证实略）7.泊松分布：泊松分布：随机变量随机变量 概率分布为概率分布为第23页 二、惯用连续型分布数学期望和方差二、惯用连续型分布数学期望和方差1.均匀分布：均匀分布：密度函数为密度函数为连续型随机变量连续型随机变量 服从区间服从区间 上均匀分布，上均匀分布，则则而而从而从而第24页2.指数分布：指数分布：连续型随机变量连续型随机变量 服从参数为服从参数为 指数分布，指数分布，密度函数为密度

13、函数为则则而而从而从而第25页3.正态分布：正态分布：则数学期望为则数学期望为随机变量随机变量 ，其密度函数为其密度函数为 （令（令 ）第26页 方差为方差为 （令（令 ）第27页 惯用离散型分布数学期望和方差惯用离散型分布数学期望和方差 分布名称分布名称 概率分布概率分布 数学期望数学期望 方差方差 退化分布退化分布 0-1分布分布 个点个点均匀分布均匀分布 二项分布二项分布 几何分布几何分布 超几何分布超几何分布 泊松分布泊松分布第28页 惯用连续型分布数学期望和方差惯用连续型分布数学期望和方差 分布名称分布名称 密度函数密度函数 数学期望数学期望 方差方差 均匀分布均匀分布 指数分布指数

14、分布 正态分布正态分布第29页第四节第四节 随机变量矩和切比雪夫不等式随机变量矩和切比雪夫不等式 一、矩一、矩 矩是数学期望和方差推广，在数理统计中有主要应用。矩是数学期望和方差推广，在数理统计中有主要应用。定义：定义：对随机变量对随机变量 ，设，设 为正整数，假如为正整数，假如 存在存在 即为数学期望即为数学期望 。即为方差即为方差 。定义：定义：对随机变量对随机变量 ，设，设 为正整数，假如为正整数，假如 存在，存在，则称则称 为为 阶阶中心矩中心矩。（即（即 ），则称），则称 为为 阶阶原点矩原点矩。第30页 矩计算：矩计算：则则（1）若）若 为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量

15、，概率分布为（2）若）若 为连续型随机变量，密度函数为为连续型随机变量，密度函数为 ，则，则第31页 二、切比雪夫不等式二、切比雪夫不等式定理：定理：对随机变量对随机变量 ，设，设 均存在，则对任意均存在，则对任意 ，有有 或者或者切比雪夫不等式切比雪夫不等式n 切比雪夫不等式给出了随机变量对其数学期望绝对偏差概率切比雪夫不等式给出了随机变量对其数学期望绝对偏差概率预计。预计。n 不等式表明，不等式表明，越小，事件越小，事件 概率越小，这表明方差用来刻画随机变量概率越小，这表明方差用来刻画随机变量 取值相对于取值相对于 偏离程度。偏离程度。（证实略）（证实略）第32页例例3.9 设随机变量设随机变量 数学期望为数学期望为 ，均方差，均方差为为 ，预计，预计 在在700800概率。概率。解解 因为因为 等价于等价于 ，所以，所以推论：推论：随机变量随机变量 方差为方差为 0，当且仅当存在常数，当且仅当存在常数 ，使得，使得第33页