人大版微积分最大值最小值问题市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

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1、微积分莫兴德莫兴德广西大学广西大学数信学院数信学院Email:微微 积积 分分第1页微积分链接目录第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章 中值定理,导数应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数(不要求不要求)第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习第2页微积分参考书参考书1赵树嫄赵树嫄.微积分微积分.中国人民出版社中国人民出版社2同济大学同济大学.高等数学高等数学.高等教育出版高等教育出版社社第3页微积分第四章第四章最大值、最小值问题最大值、最小值问题第4页微积分

2、最大值、最小值问题最大值、最小值问题 在生产实践中，为了提升经济效益，必须要在生产实践中，为了提升经济效益，必须要考虑在一定条件下，怎样才能是考虑在一定条件下，怎样才能是2用料最省，费用料最省，费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在数学上统统归结为求函数最大值或最小值问题。在数学上统统归结为求函数最大值或最小值问题。最值问题主要讨论问题两个方面：最值存在性最值问题主要讨论问题两个方面：最值存在性；最值求法。；最值求法。假定假定f(x)在在 a,b 上连续，除去有限个点上连续，除去有限个点外处处可导，且至多有有限个点处导数为外处处可导，且至多有有

3、限个点处导数为0。我。我们就在这么条件下讨论们就在这么条件下讨论f(x)在在 a,b 上最值上最值求法。求法。第5页微积分一、最值求法一、最值求法 首先由闭区间上连续函数性质首先由闭区间上连续函数性质f(x)在在 a,b 上必存在最大值和最小值上必存在最大值和最小值 其次，若最大值（或最小值）在开区间内取得，其次，若最大值（或最小值）在开区间内取得，则这个最值一定是则这个最值一定是 极值，由假定，这个点一定是极值，由假定，这个点一定是驻点或不可导点；另外最值也可能在区间端点处驻点或不可导点；另外最值也可能在区间端点处取得，故求连续函数在闭区间上最值方法是取得，故求连续函数在闭区间上最值方法是第

4、6页微积分步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点函数值求区间端点及驻点和不可导点函数值,比较比较大小大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意:假如区间内只有一个极值假如区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)第7页微积分二、应用举例二、应用举例例例1 1解解计算计算例例2解解第8页微积分得驻点得驻点这些点处函数值为：这些点处函数值为：比较以上各点处函数值可知比较以上各点处函数值可知第9页微积分 在求函数最值时，尤其值得指出是下述情况：在求函数最值时

5、，尤其值得指出是下述情况：f(x)在一个区间内可导，且只有一个驻点在一个区间内可导，且只有一个驻点x0，而且，而且 这这个驻点个驻点x0同时也是同时也是f(x)极值点，则当极值点，则当f(x0)是极大（小）是极大（小）值时，值时，f(x0)是函数是函数 f(x)在该区间上最大（小）值。在该区间上最大（小）值。这是因为此时在这是因为此时在 x0 左、右两侧左、右两侧符号符号必定相反，亦即在必定相反，亦即在 x0 左、右两侧左、右两侧f(x)单调性单调性必定相反。必定相反。第10页微积分敌人乘汽车从河北岸敌人乘汽车从河北岸A处以处以1千米千米/分钟速度分钟速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河南岸向正

6、北逃窜，同时我军摩托车从河南岸B处向正处向正东追击速度为东追击速度为2千米千米/分钟问我军摩托车何时射分钟问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？击最好（相距最近射击最好）？例例3 3解解(1)建立敌我相距函数关建立敌我相距函数关系系敌我相距函数敌我相距函数第11页微积分得唯一驻点得唯一驻点实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;第12页微积分例例4 4 某房地产企业有某房地产企业有50套公寓要出租，当租金定为套公寓要出租，当租金定为每个月每个月180元时，公寓会全部租出去当租金每元时，公寓会全部租出去当租金每个月增加个月增加10元时

7、，就有一套公寓租不出去，而元时，就有一套公寓租不出去，而租出去房子每个月需花费租出去房子每个月需花费20元整修维护费试元整修维护费试问房租定为多少可取得最大收入？问房租定为多少可取得最大收入？解解 设房租为每个月设房租为每个月 元，元，租出去房子有租出去房子有 套，套，每个月总收入每个月总收入为为第13页微积分（唯一驻点）（唯一驻点）故每个月每套租金为故每个月每套租金为350元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为第14页微积分例例5 5解解如图如图,第15页微积分解得解得第16页微积分例例6求使不等式求使不等式成立最小正数成立最小正数 A解解将不等式改写为将不等式改写为则问题转化为：则问题转化为：求函数求函数最大值最大值易见易见第17页微积分三、小结三、小结注意最值与极值区分注意最值与极值区分.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值步骤实际问题求最值步骤.第18页微积分思索题思索题第19页微积分思索题解答思索题解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点.例例在在 有最小值，但有最小值，但第20页