数学物理方程(2)省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

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1、数学物理方程数学物理方程任课教师：李栋任课教师：李栋航空学院流体系航空学院流体系翼型叶栅空气动力学重点试验室翼型叶栅空气动力学重点试验室中楼中楼303室室Tel：88460290Mail:第1页定义定义:主要是指从物理学及其它各门自然科学、技术 科学中所产生偏微分方程(有时也包含积分 方程、微分积分方程等),比如特点特点:反应了相关未知变量关于时间导数和关于 空间变量导数之间制约关系。范围范围:连续介质力学连续介质力学、电磁学电磁学、量子力学量子力学等方面基 本方程都属于数学物理方程范围。数学物理方程数学物理方程第2页“一切科学理论，总是从实践中来从实践中来，又回到实践中去到实践中去，接收检验

2、，指导实践，同时在实践中丰富和发展自己。”力学问题弦线振动问题流体运动、弹性体振动、热传导、电磁作用、原子核原子核-电子作用、化学反应电子作用、化学反应偏微分方程偏微分方程（基本规律）偏微分方程偏微分方程（基本规律）求解数学物理方程数学物理方程定解问题预测自然现象改变（气象预报等）各种工程设计（机械强度计算等）第3页物理问题物理问题数学问题（方程）数学问题（方程）求解方法求解方法分离变量法分离变量法特殊函数特殊函数边界与初始边界与初始泛定方程与定解条件泛定方程与定解条件第4页数学数学物理方程偏微分方程理论理论偏微分方程理论新课题、新方法自然现象实际问题历史悠久对象、内容、方法纯粹数学纯粹数学泛

3、函分析复变函数微分几何计算数学多样复杂处理问题工具纯粹数学、分支自然科学、技术科学数学物理方程数学物理方程分支第5页课 程 概 览二、二、热传导方程热传导方程（抛物型抛物型）三、三、调和方程调和方程 （椭圆型椭圆型）四、二阶方程分类总结五、一阶偏微分方程组七、偏微分方程数值解一、一、波动方程波动方程 （双曲型双曲型）1.方程导出、定解条件方程导出、定解条件2.初值问题求解3.初边值问题求解第6页第一章第一章 波动方程波动方程物理背景物理背景：波传输和弹性体振动。1-1 1-1 一维波动方程导出、定解条件一维波动方程导出、定解条件 首先，考查下面物理问题：给定一根两端固定拉紧均匀柔软弦线，设其长

4、度为给定一根两端固定拉紧均匀柔软弦线，设其长度为 l，它在外力作用下在平衡位置附近作微小横振动，求它在外力作用下在平衡位置附近作微小横振动，求弦上各点运动规律。弦上各点运动规律。第7页基本假设基本假设：1.弦是均匀均匀，弦截面直径与长度相比能够忽略。弦能够视为一条曲线，线密度为常数。2.弦在某平面内作微小横振动微小横振动。弦位置一直在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂直于该直线方向上作微小振动。基本规律基本规律：牛顿第二定律 F=m*a冲量定理 Ft=m*(v1-v2)3.弦是柔软柔软，它在形变时不抵抗弯曲。弦上各质点张力方向与弦切线方向一致，而弦伸长变形 与张力关系服从虎克定律。Ft=m*

5、a*t第8页用用u(x,t)表示弦点在时刻表示弦点在时刻t沿垂直于沿垂直于x轴位移。轴位移。由基本假设由基本假设2可知，可知，与与1相比能够忽略不计，所以相比能够忽略不计，所以 所以，能够认为弦在振动过程中并未伸长，即可认为所以，能够认为弦在振动过程中并未伸长，即可认为张力大小与时间无关张力大小与时间无关 T(x,t)T(x)（2 2）因为弦只在因为弦只在x轴垂直方向作横振动，所以水平方向协力为零，即轴垂直方向作横振动，所以水平方向协力为零，即 由基本假设由基本假设2可知，可知，所以，所以 所所以以，弦弦张张力力大大小小与与空空间间变变量量x无无关关，能能够够把把弦弦线线张张力力T(x)在在x

6、轴轴方方向向分分量量看成看成常数常数。（1 1）任取一弦段任取一弦段(x,x+x)，它弧长为它弧长为 第9页（3 3）对于图中选取弦段而言，张力在x轴垂直 方向上协力为：在时间段(t,t+t)内该协力产生冲量协力产生冲量为：（4）其次，在时间段(t,t+t)内弦段(x,x+x)动量变化为：第10页（5 5）所以，依据冲量定理冲量定理，得到：从而有从而有第11页深入由t，x 任意性，有 假定有垂直于x轴方向外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则弦段(x,x+x)上外力为：它在时间段(t,t+t)内冲量为：于是有：深入由t，x 任意性，有下面弦振动方程弦振动方程（一维波动方程一维波动方程）：第1

7、2页二维波动方程（如薄膜振动）二维波动方程（如薄膜振动）三维波动方程（如电磁波三维波动方程（如电磁波、声波传输）声波传输）第13页 弦弦振振动动方方程程描描述述是是弦弦作作微微小小横横振振动动时时位位移移函函数数u(x,t)所所应应满满足足普普通通性性规规律律。仅仅仅仅利利用用它它并并不不能能完完全全确确定定一一条条弦弦详详细细运运动动情情况况。这这是是因因为为弦弦运运动动还与其初始状态以及边界所处情况相关系。还与其初始状态以及边界所处情况相关系。在前面推导中，弦两端被固定在在前面推导中，弦两端被固定在x=0和和x=l两点，即两点，即 u(0,t)=0，u(l,t)=0，这两个等式称为这两个等

8、式称为边界条件边界条件。另外，设弦在初始时刻。另外，设弦在初始时刻t=0时位置和速度为时位置和速度为这两个等式称为这两个等式称为初始条件初始条件。边界条件和初始条件总称为。边界条件和初始条件总称为定解条件定解条件。把微分方程。把微分方程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应定解问题。和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应定解问题。2.定解条件定解条件第14页对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题能够描述为：对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题能够描述为：要在区域要在区域上（见右上图）求上述定解问题解，就是上（见右上图）求上述定解问题解，就是要求这么连续

9、函数要求这么连续函数u(x,t)，它在区域，它在区域0 x0中满足波动方程中满足波动方程(1.19)；在；在x轴轴上区间上区间 0,l 上满足初始条件上满足初始条件(1.20)；并在边界；并在边界x=0和和x=l上满足边界条件上满足边界条件(1.21)和和(1.22)。普普通通称称形形如如(1.21)和和(1.22)边边界界条条件件为为第第一一类类边边界界条条件件，也也叫叫狄狄利利克克雷雷（DirichletDirichlet）边界条件。）边界条件。第15页弦振动方程边界条件通常还能够有以下两种：弦振动方程边界条件通常还能够有以下两种：（a）设设弦弦一一端端（x=0）处处于于自自由由状状态态，

10、即即能能够够在在垂垂直直于于x轴轴直直线线上上自自由由滑滑动，且未受到垂直方向外力。因为在边界右端张力垂直方向分量是动，且未受到垂直方向外力。因为在边界右端张力垂直方向分量是于是边界处应有于是边界处应有考虑更普通情况，上述边界条件能够写为考虑更普通情况，上述边界条件能够写为（b）弦弦一一端端（x=l）处处于于固固定定在在伸伸缩缩符符合合胡胡克克定定律律弹弹性性支支承承上上，假假如如支支承承初始位置为（初始位置为（u=0），那么在端点），那么在端点u值表示支承伸长量，于是值表示支承伸长量，于是这种边界条件称为这种边界条件称为第二类边界条件第二类边界条件，又称，又称诺依曼诺依曼（Neumann）边

11、界条件）边界条件数学上，能够考虑更普通情况，上述边界条件写为数学上，能够考虑更普通情况，上述边界条件写为（第三类边界条件第三类边界条件）第16页偏微分方程分类 第17页 分类依据分类依据：阶数阶数、线性性质线性性质、齐次性齐次性。阶阶：偏微分方程所含有未知函数最高阶导数阶数：偏微分方程所含有未知函数最高阶导数阶数 线性方程线性方程：方程对于未知函数及其各阶导数总体来说是线性。：方程对于未知函数及其各阶导数总体来说是线性。方程（方程（1）,（2）,（3）拟线性方程拟线性方程：方程对未知函数最高阶导数总体来说是线性。：方程对未知函数最高阶导数总体来说是线性。方程（方程（4）,（5）完全非线性方程完

12、全非线性方程：方程对未知函数最高阶导数不是线性。：方程对未知函数最高阶导数不是线性。方程（方程（6）齐次性齐次性：以方程（：以方程（1）为例，函数）为例，函数 f(x,y,z,t)与未知函与未知函 数无关（自由项），若该项恒为零，则该数无关（自由项），若该项恒为零，则该 方程为齐次方程。反之，为非齐次方程。方程为齐次方程。反之，为非齐次方程。边界条件和初始条件也有齐次和非齐次之分边界条件和初始条件也有齐次和非齐次之分。第18页3.定解问题适定性概念定解问题适定性概念解解存在性存在性：定解问题解是否一定存在？：定解问题解是否一定存在？解解唯一性唯一性：定解问题解是否只有一个？：定解问题解是否只有

13、一个？解解稳定性稳定性：当定解条件或自由项作很小改变时，问题解是否也作很小改变？：当定解条件或自由项作很小改变时，问题解是否也作很小改变？定解问题存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题定解问题存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题适定性适定性。假如一个定解问。假如一个定解问题解是存在，唯一，而且是稳定，我们就称这个问题是适定，即认为这么定题解是存在，唯一，而且是稳定，我们就称这个问题是适定，即认为这么定解问题提法是适当。解问题提法是适当。除了研究定解问题适定性外，数理方程中还经常研究问题包含：解正则性除了研究定解问题适定性外，数理方程中还经常研究问题包含：解正则性（光滑性）、解渐近性（包含衰减性）

14、和定解问题求解方法（准确解、渐近（光滑性）、解渐近性（包含衰减性）和定解问题求解方法（准确解、渐近解、数值解）等。解、数值解）等。定解问题提法是否适当？定解问题提法是否适当？第19页1-2 1-2 达朗贝尔（达朗贝尔（dAlembertdAlembert）公式、波传输）公式、波传输1.1.叠加原理叠加原理 从本节开始我们讨论弦振动方程各类定解问题。先介绍叠加原理。从本节开始我们讨论弦振动方程各类定解问题。先介绍叠加原理。在物理学研究中经常出现这么现象：几个不一样原因综合所产生效果等于在物理学研究中经常出现这么现象：几个不一样原因综合所产生效果等于这些不一样原因单独（假设其它原因不存在）产生效果

15、累加。这就是叠加这些不一样原因单独（假设其它原因不存在）产生效果累加。这就是叠加原理。它对于用原理。它对于用线性方程线性方程和和线性定解条件线性定解条件描述物理现象来说，都是成立。描述物理现象来说，都是成立。比如：若比如：若u1 1(x,t)是方程是方程解，而解，而u2 2(x,t)是方程是方程解，则对于任意常数解，则对于任意常数C1、C2，函数，函数是方程是方程解。解。经典例子：声学中把弦线振动时所发出复杂声音分解成各种单音叠加。经典例子：声学中把弦线振动时所发出复杂声音分解成各种单音叠加。第20页2.2.弦振动方程达朗贝尔解法弦振动方程达朗贝尔解法 为了考查波动方程定解问题，先从最简单情形

16、入手，即首先考查边界影为了考查波动方程定解问题，先从最简单情形入手，即首先考查边界影响能够忽略不计情况。假如所考查物体（弦线）长度很长，而我们所关注响能够忽略不计情况。假如所考查物体（弦线）长度很长，而我们所关注又只是在又只是在较短时间内较短时间内且且距离边界较远距离边界较远一段范围中运动情况，那么边界条件一段范围中运动情况，那么边界条件影响就能够忽略，并不妨把所考查物体长度视为无限长。这么情况下，定影响就能够忽略，并不妨把所考查物体长度视为无限长。这么情况下，定解问题归结为以下形式：解问题归结为以下形式：在这个定解问题中，定解条件只有初始条件，故通常称为在这个定解问题中，定解条件只有初始条件

17、，故通常称为初值问题初值问题(也称也称柯西（柯西（Cauchy）问题）问题）。对应地，前一节中定解问题）。对应地，前一节中定解问题(1.19)(1.22)因为现有因为现有初始条件，又有边界条件，故称为初始条件，又有边界条件，故称为初边值问题初边值问题或或混合问题混合问题。方程方程(2.5)中自由项中自由项f(x,t)是因为外力作用产生，所以方程是因为外力作用产生，所以方程(2.5)中中f(x,t)恒为恒为零零情况对应于自由振动；情况对应于自由振动；f(x,t)不为零不为零情况对应于强迫振动。情况对应于强迫振动。第21页 下面，我们求解上述初值问题。首先注意到微分方程及定解条件都下面，我们求解上

18、述初值问题。首先注意到微分方程及定解条件都是线性。对于这种定解问题，一样存在叠加原理，即是线性。对于这种定解问题，一样存在叠加原理，即若若u1 1(x,t)和和u2 2(x,t)分别是下述初值问题分别是下述初值问题和和解，那么解，那么u=u1 1(x,t)+u2 2(x,t)就一定是原初值问题就一定是原初值问题(2.5)、(2.6)解。这么求解解。这么求解初值初值问题问题(2.5)、(2.6)就转化为分别求解齐次方程带非齐次边界条件初值问题就转化为分别求解齐次方程带非齐次边界条件初值问题(I I)和和非齐次方程带齐次初始条件初值问题非齐次方程带齐次初始条件初值问题(IIII)单独初始振动状态对

19、单独初始振动状态对振动过程影响。振动过程影响。单独考虑外力原因对单独考虑外力原因对振动过程影响。振动过程影响。第22页 首先，考查初值问题首先，考查初值问题(I I)，它能够经过，它能够经过自变量变换自变量变换方法求解。方法求解。引入新自变量：引入新自变量：=x-at，=x+at，有，有类似地，类似地，代回原来自变量，得通解为代回原来自变量，得通解为 u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)（2.14）从而，得到从而，得到其通解为其通解为 u(,)=F()+G()，其中，其中，F和和G是任意可微分单变量函数。是任意可微分单变量函数。第23页 利用这个通解表示式，就能够利用初始条件利用这个通

20、解表示式，就能够利用初始条件(2.8)来决定函数来决定函数F和和G，进，进而求出初值问题而求出初值问题(I I)解。把上述通解表示式代入解。把上述通解表示式代入初始条件初始条件(2.8)，得到：，得到：(2.16)式是一个简单常微分方程，求解它得到式是一个简单常微分方程，求解它得到由由(2.15)和和(2.17)式联立求解能够得出函数式联立求解能够得出函数F和和G把它们代入方程把它们代入方程(2.7)通解表示式通解表示式(2.14)就得到了就得到了初值问题初值问题(I I)解解第24页 这个公式这个公式(2.19)称为达朗贝尔公式。从以上推导过程能够看出：假如称为达朗贝尔公式。从以上推导过程能

21、够看出：假如初值问题初值问题(I I)有解，则解一定能够依据初始条件由有解，则解一定能够依据初始条件由达朗贝尔公式表示出来，达朗贝尔公式表示出来，所以该问题解是所以该问题解是唯一唯一。同时，若函数同时，若函数(x)在求解区域内含有二阶连续偏导数，在求解区域内含有二阶连续偏导数，(x)在求解区在求解区域内含有一阶连续偏导数，那么能够验证公式域内含有一阶连续偏导数，那么能够验证公式(2.19)给出确实是初值问题给出确实是初值问题(I I)解。解。存在性存在性 另外，另外，初值问题初值问题(I I)解关于初始条件连续依赖性也能够很轻易地从解关于初始条件连续依赖性也能够很轻易地从达朗达朗贝尔公式中看出

22、。贝尔公式中看出。稳定性稳定性定理定理2.1 设设，那么初值问题，那么初值问题(2.7),(2.8)存在唯一存在唯一解解u(x,t)，它由达朗贝尔公式，它由达朗贝尔公式(2.19)给出。给出。第25页 如如右右图图所所表表示示，在在t=0时时，(x,0)=F(x)，它它对对应应于于初初始始振振动动状状态态（弦弦在在初初始始时时刻刻各各点点位位移移状状态态）。经经过过时时刻刻t0后后，(x,t0)=F(x-at0)，在在(x,u)平平面面上上，它它相相当当于于原原来来图图形形向向右右平平移移了了一一段段距距离离at0。这这说说明明振振动动波波形形以以常常速速度度a向向右右传传输输。所所以以，齐齐

23、次次波波动动方方程程形形如如F(x-at)解解所所描描述述运运动动规规律律称称为为右右传传输输波波，一一样样形形如如G(x+at)解解称称为为左左传传输输波波。而而且且，我我们们知知道道了了方方程程(2.5)中中常常数数a实实际际上上表表示示了了波波动动传传输输速度速度。（行波法）。（行波法）3.3.传输波传输波 由前文中推导可见，自由振动情况下波动方程由前文中推导可见，自由振动情况下波动方程解能够表示为形如解能够表示为形如F(x-at)和和G(x+at)两个函数和。由此能够尤其清楚地看出波动传输性质。两个函数和。由此能够尤其清楚地看出波动传输性质。考查考查(x,t)=F(x-at)(a0)，

24、显然它是齐次波动方程解。给出不一样，显然它是齐次波动方程解。给出不一样t值值就能够看出作一维振动物体在各个时刻对应位置。就能够看出作一维振动物体在各个时刻对应位置。自己思索、讨论第26页4.4.依赖区间、决定区域和影响区域依赖区间、决定区域和影响区域 从从达达朗朗贝贝尔尔公公式式马马上上能能够够看看出出，初初值值问问题题(I I)解解在在上上半半平平面面(t0)上上点点(x,t)处处值值u(x,t)由由初初始始资资料料(x)和和(x)在在x轴轴区区间间x-at，x+at上上值值所所唯唯一一确确定定,而与而与(x)和和(x)在该区间以外值无关。这个区间称为点在该区间以外值无关。这个区间称为点(x

25、,t)依赖区间依赖区间。对初始轴对初始轴t=0上一个区间上一个区间x1,x2，过点，过点x1作斜率为作斜率为1/a直线直线x=x1+at，过点，过点x2作斜率为作斜率为-1/a直线直线x=x2-at，它们和区间，它们和区间x1,x2一起组成一个三角形区域。一起组成一个三角形区域。显然，这个三角形区域内任意一点依赖区间都在区间显然，这个三角形区域内任意一点依赖区间都在区间x1,x2内部，所以，解内部，所以，解在此三角形区域内部数值完全由区间在此三角形区域内部数值完全由区间x1,x2上初始条件决定，与该区间外初上初始条件决定，与该区间外初始条件无关。这个三角形区域称为区间始条件无关。这个三角形区域

26、称为区间x1,x2决定区域决定区域。第27页 其次，如果在初始时刻t=0，初始资料(x)和(x)值在区间x1,x2上有变动(初始扰动)。那么，经过时间t后该扰动所影响到范围就由不等式 所所限限定定，而而在在此此范范围围外外区区域域则则感感受受不不到到区区间间x1,x2上上初初始始影影响响。在在(x,t)平平面面上上，上上式式所所表表示示区区域域(以以下下列列图图所所表表示示)称称为为区区间间x1,x2影影响响区区域域。区区间间x1,x2上上初初始始条条件件只只能能对对上上述述区区间间影影响响区区域域中中初初值值问问题题(I I)解解u(x,t)产产生生影影响响，而而不不会会影影响响到到此此区区

27、域域外外 u(x,t)数数值值。尤尤其其地地，假假如如区区间间x1,x2收收缩缩为为一一点点，那么就得到了点那么就得到了点影响区域影响区域。第28页 在在前前面面讨讨论论中中，我我们们看看到到在在(x,t)平平面面上上斜斜率率为为1/a直直线线x=x0-at和和x=x0+at对对波波动动方方程程研研究究起起着着主主要要作作用用，它它们们称称为为波波动动方方程程特特征征线线。我我们们看看到到，扰扰动动实实际际上上沿沿特特征征线线传传输输。扰扰动动以以有有限限速速率率传传输输，是是弦弦振振动动方方程程一一个主要特点。个主要特点。例题例题：利用行波法来讨论一端固定半无界弦自由振动问题：利用行波法来讨

28、论一端固定半无界弦自由振动问题 为为了了求求解解此此问问题题，我我们们能能够够构构想想在在x=0左左侧侧依依然然有有弦弦存存在在,只只是是在在振振动动过过程程中中x=0点点一一直直不不动动。问问题题于于是是转转化化为为：怎怎样样将将x0上上已已知知初初始始函函数数延延拓拓为为整整个个直直线线-x0,=0以以及及0而不一样，下面分以上三种情况讨论。而不一样，下面分以上三种情况讨论。情况情况A A 当当0时，方程时，方程(3.10)通解为通解为第37页要使它满足边界条件要使它满足边界条件X(0)=0和和 X(l)=0，就必，就必有有从而推知从而推知C1=C2=0。故在。故在0时，方程时，方程(3.

29、10)通解为通解为要使此解满足边界条件要使此解满足边界条件X(0)=0，则，则C1=0。再由。再由X(l)=0，可知，可知为了使为了使C20，就必须有，就必须有,于是能够确定于是能够确定取值为取值为这么就找到了一族非零解这么就找到了一族非零解：第38页数数学学上上，称称(3.13)右右端端函函数数为为常常微微分分方方程程(3.10)满满足足边边界界条条件件X(0)=0和和 X(l)=0固有函数固有函数（或（或特征函数特征函数），而），而=k22/l2 称为对应称为对应固有值固有值或或特征值特征值。将固有值将固有值k带入带入方程方程(3.9)中中，可求得其通解为，可求得其通解为上上式式中中Ak，

30、Bk 为为任任意意待待定定常常数数。这这么么我我们们就就得得到到了了方方程程(3.4)满满足足边边界界条条件件u(0,t)=0和和 u(l,t)=0分离变量形式特解分离变量形式特解:现现在在我我们们设设法法作作出出这这种种特特解解适适当当线线性性组组合合，以以得得出出初初边边值值问问题题()解解。也也就是说，要确定出常数就是说，要确定出常数Ak 和和Bk 使使满足初始条件满足初始条件(3.14)第39页在在(3.15)式中级数能够逐项求导时，我们得到式中级数能够逐项求导时，我们得到：结合初始条件，应有结合初始条件，应有将将由由(3.16)式式表表示示Ak，Bk 代代入入(3.15)式式中中，就

31、就得得到到了了用用级级数数形形式式表表示示初初边边值问题值问题()()解。解。观观察察发发觉觉Ak 和和Bkka/l分分别别是是(x)和和(x)在在区区间间0,l上上正正弦弦展展开开傅傅立立叶叶级级数数系数，即系数，即第40页前前面面推推导导说说明明了了初初边边值值问问题题()()假假如如有有解解，那那么么它它解解能能够够表表示示为为(3.15)式式级数形式，现在问题是：什么条件下，级数形式，现在问题是：什么条件下，初边值问题初边值问题()()解一定存在？解一定存在？定定理理3.1：若若函函数数(x)在在求求解解区区域域内内含含有有三三阶阶连连续续偏偏导导数数，(x)在在求求解解区域内含有二阶

32、连续偏导数，而且区域内含有二阶连续偏导数，而且则则弦弦振振动动方方程程初初边边值值问问题题()()解解是是存存在在，它它能能够够由由级级数数(3.15)给给出出，Ak和和Bk 由由(3.16)式确定。通常我们称式确定。通常我们称(3.17)式为式为 相容性条件相容性条件。假如假如(x)和和(x)不满足以上定理条件，我们能够把不满足以上定理条件，我们能够把(x)和和(x)看成函数列看成函数列平平均均收收敛敛极极限限，当当n很很大大时时，因因为为方方程程和和边边界界条条件件都都已已满满足足，初初始始条条件件也也近似得到了满足，由此能够把近似得到了满足，由此能够把un(x,t)看成问题近似解看成问题

33、近似解。第41页2.2.解物理意义解物理意义由级数由级数(3.15)可知，初边值问题可知，初边值问题()()解是解是叠加，上式又能够写成叠加，上式又能够写成物物理理上上，Nk称称为为波波振振幅幅，k称称为为波波初初相相位位，k称称为为圆圆频频率率，它它只只与与弦弦本本身性质相关，所以也称为身性质相关，所以也称为固有频率固有频率。于于是是(3.19)代代表表这这么么振振动动波波：在在所所考考虑虑弦弦上上各各点点均均以以同同一一频频率率作作简简谐谐振振动动；它它们们相相位位相相同同，而而振振幅幅依依赖赖于于点点x位位置置。弦弦上上位位于于xml/k（m0，1，k）处处点点在在振振动动过过程程中中保

34、保持持不不动动，称称为为节节点点。弦弦这这种种振振动动状状态态叫叫做做 驻驻波波。第42页 由由此此可可见见，初初边边值值问问题题()()解解是是由由一一系系列列频频率率成成倍倍增增加加，且且相相位位不不一样、振幅不一样驻波叠加而成，所以一样、振幅不一样驻波叠加而成，所以分离变量法分离变量法又称为又称为驻波法驻波法。弦弦所所发发出出声声音音，其其音音调调由由其其振振动动频频率率决决定定，而而声声音音强强度度则则决决定定于于振振动动振振幅幅。弦弦所所能能发发出出最最低低音音所所对对应应圆圆频频率率就就是是其其最最低低固固有有频频率率1 a/l，这这个个音音称称为为弦弦基基音音。其其余余圆圆频频率

35、率是是1 整整数数倍倍，称称为为泛泛音音。通通常常弦弦所所发发出出声声音音即即由由基基音音和和泛泛音音叠叠加加而而成成，物物理理上上这这一一事事实实与与分分离离变变量量法法得得到到结结果是相符。果是相符。3.3.非齐次方程情形非齐次方程情形现在讨论非齐次方程初边值问题现在讨论非齐次方程初边值问题第43页 与与前前一一节节中中非非齐齐次次波波动动方方程程初初值值问问题题情情形形完完全全类类似似，此此时时也也成成立立着着以下齐次化原理。若以下齐次化原理。若W(x,t;)是初边值问题是初边值问题解解(其中其中是参数是参数)，则初边值问题，则初边值问题(IIII)解能够表示为解能够表示为为为了了写写出

36、出W(x,t;)详详细细表表示示式式，在在初初值值问问题题(2.28)中中作作变变换换t=t-，于于是是有有3.27第44页(3.28)与与和和初初边边值值问问题题()属属于于同同一一类类，直直接接利利用用前前面面分分离离变变量量法法结结果果我我们们得得到：到：于是依据齐次化原理于是依据齐次化原理，初边值问题，初边值问题(II)(II)解为解为 能能够够证证实实，在在f(x,t)二二阶阶连连续续可可导导，且且在在边边界界满满足足f(0,t)=f(l,t)=0假假设设下下，上上面级数确实是面级数确实是初边值问题初边值问题(II)(II)解。解。3.31(3.30)(3.29)而而(3.31)应用

37、初始条件可得第45页4.4.非齐次边界条件情形非齐次边界条件情形 最终讨论弦振动方程含有非齐次边界条件最终讨论弦振动方程含有非齐次边界条件初边值问题，即初边值问题，即假设连续性条件和边界假设连续性条件和边界取值条件满足取值条件满足利用叠加原理，这一问题能够分解为利用叠加原理，这一问题能够分解为初边值问题初边值问题(I)(I)、(II)(II)和下面和下面(3.32)(3.33)(3.34)(3.35)(3.36)(3.37)第46页 初初边边值值问问题题(III)(III)也也能能够够归归结结为为初初边边值值问问题题(I)(I)和和(II)(II)求求解解，为为此此只只要要经经过过未未知知函函数数适适当当变变换换把把边边界界条条件件齐齐次次化化即即可可。首首先先找找到到一一个个满满足足非非齐齐次次边边界界条条件件已知函数已知函数再作变换再作变换 V=u3-U，所以，初边值问题所以，初边值问题(III)(III)解为：解为：(3.38)(3.39)对于新未知函数对于新未知函数 V，很轻易推知它是以下定解问题解：，很轻易推知它是以下定解问题解：（第一章（第一章 完）完）第47页第48页