曲线积分与曲面积分市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

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1、Xiamen University厦门大学第厦门大学第厦门大学第厦门大学第九九九九届届届届“景润杯景润杯景润杯景润杯”数学竞赛数学竞赛数学竞赛数学竞赛系列讲座系列讲座系列讲座系列讲座厦门大学数学科学学院厦门大学数学科学学院 林建华林建华第1页 第八讲第八讲第八讲第八讲 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 第2页 三部分内容三部分内容三部分内容三部分内容 1.1.1.1.空间空间空间空间积分曲线积分曲线积分曲线积分曲线参数化参数化参数化参数化 2.2.2.2.曲线积分曲线积分曲线积分曲线积分对称性、格林公式对称性、格林公式对称性、格林公式对称性、格林公式 3

2、.3.3.3.曲面积分曲面积分曲面积分曲面积分对称性、高斯公式对称性、高斯公式对称性、高斯公式对称性、高斯公式 第3页两类曲线积分两类曲线积分计算计算公式为公式为一、空间曲线参数化一、空间曲线参数化若积分曲线若积分曲线 参数方程参数方程 第4页计算关键是怎样将计算关键是怎样将空间空间积分曲线积分曲线 参数化。参数化。下面将给出积分曲线下面将给出积分曲线 参数化参数化一一些些常见常见方法。方法。由由计算计算公式能够看出公式能够看出第5页1.设积分曲线设积分曲线 ,从中消去某个自从中消去某个自变量变量,比如比如 ，得到，得到 在在xoy平面投影曲线，这些投平面投影曲线，这些投影曲线经常是园或是椭圆

3、，先影曲线经常是园或是椭圆，先利用熟知参数方程利用熟知参数方程将将它们表示成参数方程它们表示成参数方程 然后将它们代然后将它们代入到入到 ，解出，解出由此得到：由此得到：以下以下 参数方程参数方程：第6页例例1 将曲线将曲线 ，(其中其中 )用参数方程表示。用参数方程表示。第7页第8页2.2.若若 方程方程组组中含有园、椭圆或球方程时，中含有园、椭圆或球方程时，可可充分利用园、椭圆或球充分利用园、椭圆或球大家大家所熟知所熟知 园园参数方程参数方程 x=rcost，y=rsint，椭圆参数方程椭圆参数方程 x=acost，y=bsint，球坐标球坐标 先将其参数化，再代入先将其参数化，再代入 另

4、一方程，求出另一另一方程，求出另一变量参数表示式。变量参数表示式。第9页比如：将球面上三角形曲线参数化比如：将球面上三角形曲线参数化利用球坐标：利用球坐标：第10页例例2 2 将曲线将曲线 ，(其中其中 )用参数方程表示。用参数方程表示。第11页第12页例例3 3 将曲线将曲线 (其中其中 )用参数方程表示。用参数方程表示。第13页例例3 3 将曲线将曲线 (其中其中 )用参数方程表示。用参数方程表示。故故第14页举一反三练习举一反三练习 将曲线将曲线 用参数方程表示。用参数方程表示。（1 1）（2 2）第15页1.注意到曲线积分被积函数注意到曲线积分被积函数 是定义在积分曲线是定义在积分曲线

5、上，所以它自变量应满足积分曲线方程上，所以它自变量应满足积分曲线方程，所以所以计算计算曲线积分之前，曲线积分之前，首先首先要要用积分曲线方程用积分曲线方程 去化简被积函数去化简被积函数 。二、二、曲线积分计算曲线积分计算第16页（1）曲线曲线 关于关于x轴对称，是指轴对称，是指 换句话说，若换句话说，若 则它对称点则它对称点 ；（2）曲线曲线 关于关于y轴对称，是指轴对称，是指 换句话说，若换句话说，若 则它对称点则它对称点 ；2.对称性应用对称性应用(以第一类平面曲线积分为例以第一类平面曲线积分为例)第17页（3）曲线曲线 关于原点对称，是指关于原点对称，是指 换句话说，若换句话说，若 则它

6、对称点则它对称点 ；（4）曲线曲线 关于直线关于直线 对称对称(或或 对称对称)，是指，是指 (或或 ),换句话说，换句话说，互为对称点互为对称点，互互为为对称点。对称点。第18页若曲线积分若曲线积分 被积函数被积函数 在任意对称在任意对称点处函数值互为相反数，则点处函数值互为相反数，则 ；在任意对称点处函数值都相等，则在任意对称点处函数值都相等，则其中其中 是对应对称积分曲线二分之一。是对应对称积分曲线二分之一。第19页例例1 计算计算 (1),(1),其中其中 ;(2)(2)其中其中 ,周长为周长为a。第20页解：解：(1)因为因为L关于关于y轴对称，被积函数轴对称，被积函数x在对在对称点

7、处函数值互为相反数，所以称点处函数值互为相反数，所以 。因为因为L关于直线关于直线 y=x对称，函数对称，函数 在对在对称称点处互为相反数点处互为相反数,所以所以 .即即 .从而有从而有第21页因为因为L参数方程为参数方程为所以所以第22页(2)(2)因为因为L关于关于x轴对称，且轴对称，且2xy在对称点处值互在对称点处值互为相反数，所以为相反数，所以第23页例例2 2 设设 ，求，求对对弧长弧长曲线积分曲线积分 ，其中其中 为正方形为正方形 边界。边界。解：如图解：如图 ,因为折线因为折线ABEFG 对关于直线对关于直线 y=-x对称对称,且在对称且在对称点上有点上有 ,所以所以第24页原式

8、原式第25页例例3 3 计算计算 其中其中 。解：因为在解：因为在 上上y=x,所以所以第26页由例由例1 参数方程为参数方程为 则则 所以所以第27页定理定理其中其中 是是 在在xoy平面上投影曲线，其方向与平面上投影曲线，其方向与 方向一方向一致。致。一类特殊空间曲线积分计算方法一类特殊空间曲线积分计算方法第28页例例4 4解解:由由第29页（1）若积分曲线不是封闭，则可添加若干条直线若积分曲线不是封闭，则可添加若干条直线(或曲线或曲线)使之组成封闭曲线，再应用格林公式；使之组成封闭曲线，再应用格林公式；3.格林公式应用格林公式应用第30页（2）若封闭曲线若封闭曲线L所围成区域所围成区域D

9、内有内有“奇点奇点”,则在则在 奇点外成立奇点外成立 等式条件下，有等式条件下，有 成立，其中成立，其中L 是围绕奇点是围绕奇点且同且同L含有相含有相向向方向方向简单闭简单闭曲线，通常是园或椭圆等。曲线，通常是园或椭圆等。第31页例例1 设设 ，记记 为它为它 正向边界曲线。证实：正向边界曲线。证实：解：由格林公式得解：由格林公式得第32页类似可证类似可证其中其中 是因为是因为 是关于直线是关于直线 y=x对称对称.第33页例例2 计算计算 ，其中，其中 是以是以(1,0)为中心为中心 R(R1)为半径正向圆周。为半径正向圆周。因为因为所以所以第34页例例3 已知关于坐标曲线积分已知关于坐标曲

10、线积分 (常数常数)，其中函数其中函数 可导，且可导，且 是围绕是围绕(0,0)(0,0)任一分段光滑正向闭曲线，求（任一分段光滑正向闭曲线，求（1 1）函数）函数 表表达式；（达式；（2 2）A A值。值。第35页解：（解：（1）为了应用格林公式求出）为了应用格林公式求出 ，首先，首先证实对于任一不包含原点分段光滑正向闭证实对于任一不包含原点分段光滑正向闭曲线曲线C，都有都有 .因为因为 未知，所以原点有可能是被积函数不未知，所以原点有可能是被积函数不连续点，故连续点，故第36页由此可知对由此可知对 有：有：成立，整理即得成立，整理即得解此微分方程得解此微分方程得 .因为因为所以所以C=1=

11、1，所求，所求 .第37页(2)(2)取取L1为正向圆周为正向圆周,则则第38页（1）柱面）柱面 被曲面被曲面 截下部截下部分面积。分面积。计算公式为计算公式为 ，其中，其中 在在xoy面上面上投影曲线投影曲线.4利用曲线积分来计算曲面面积利用曲线积分来计算曲面面积第39页例例1 求柱面求柱面 位于球面位于球面 之内侧面之内侧面 面积面积 。解：因为解：因为 关于三个坐标面都对称关于三个坐标面都对称,所以所以(S0是是S位于第一卦限部分面积位于第一卦限部分面积)。由对弧长曲。由对弧长曲线积分几何意义，知道线积分几何意义，知道第40页所以所以 第41页举一反三练习举一反三练习 计算圆柱面计算圆柱

12、面 被球面被球面截下那部分面积。截下那部分面积。第42页（2）由坐标面上平面曲线绕某轴旋转一周而成旋转）由坐标面上平面曲线绕某轴旋转一周而成旋转 曲面面积。曲面面积。比如比如yoz平面上曲线平面上曲线 绕绕y轴轴 旋转一周而成旋转曲面面积旋转一周而成旋转曲面面积.计算公式为计算公式为 第43页例例2 2 设设 ，求求 表面位于表面位于 内部分内部分 面积。面积。解：解：表面位于表面位于 内部分曲面内部分曲面,能够看成是由能够看成是由AB绕绕z轴旋转一周而成旋转侧面，轴旋转一周而成旋转侧面，其中其中 ,所以所以第44页 三、曲面积分计算三、曲面积分计算第45页（1）曲面曲面 关于关于xoy平面对

13、称，是指若平面对称，是指若 则它关于则它关于xoy平面对称点平面对称点 ；（2）曲面曲面 关于原点对称，是指关于原点对称，是指 则它对称点则它对称点 ；(3)曲面曲面 关于平面关于平面 对称，是指对称，是指 则它对称点则它对称点 ；1.第一类曲面积分第一类曲面积分 对称性对称性第46页 若被积函数若被积函数 在对称点处函数值互为相反在对称点处函数值互为相反 数，则数，则 ；在对称点处函数值相等，则在对称点处函数值相等，则 其中其中 是对应对称积分曲面二分之一。是对应对称积分曲面二分之一。与曲线积分类似，可用边界曲面方程来简化被积函数，与曲线积分类似，可用边界曲面方程来简化被积函数，以到达化简曲

14、面积分计算目标。以到达化简曲面积分计算目标。第47页例例1 求以下曲面积分求以下曲面积分（1），其中其中 ；（2），其中其中 .第48页解：解：(1)(1)因为因为 关于平面关于平面 z=R 对称对称,且函数且函数 z-R在对称在对称点处值互为相反数点处值互为相反数,故故第49页解：解：(2)(2)故故第50页（1）设曲面）设曲面 关于关于xoy平面对称，若被积函数平面对称，若被积函数 在对称点处函数值互为相反数，则在对称点处函数值互为相反数，则 ；在对称点处函数值相等，则在对称点处函数值相等，则 ，其中其中 是对应对称积分曲面二分之一。是对应对称积分曲面二分之一。2.第二类曲面积分第二类曲面

15、积分 对称性及高斯公式对称性及高斯公式对称性类似。对称性类似。第51页若若x与与y交换，交换，方程及侧不变，则方程及侧不变，则 若若x与与z交换，交换，方程及侧不变，则方程及侧不变，则第52页（2）当）当 不是闭曲面时，适当添上一块外侧曲面不是闭曲面时，适当添上一块外侧曲面 ,使得使得 组成闭曲面组成闭曲面(所围成闭区域为所围成闭区域为 )，于是高，于是高斯公式为斯公式为 第53页（3）当）当 是外侧闭曲面，是外侧闭曲面，是它所围闭区域，是它所围闭区域，在在 内部内部 有不连续点有不连续点 时，能时，能够作位于够作位于 内部外侧闭曲面内部外侧闭曲面 ,将点将点 包围包围起来，这个闭曲面起来，这

16、个闭曲面 经常是小球面、小椭球面，于是经常是小球面、小椭球面，于是高斯公式为高斯公式为 第54页当在当在 上除点上除点 外处处有外处处有 时，时，第55页 例例2 其中其中 是上半椭球面是上半椭球面 外侧。外侧。解：解：第56页因为因为x与与y交换，交换，方程及侧不变，且方程及侧不变，且 关于关于yoz平面对称，且被积函数在对称点处值平面对称，且被积函数在对称点处值互为相反数，所以互为相反数，所以其中其中 是是 部分，前侧，部分，前侧，是是 在在yoz平面上投影平面上投影.第57页故原式故原式其中其中 是椭球是椭球 体积体积.第58页例例3.3.计算曲面积分计算曲面积分 其中其中 是球面是球面

17、 外侧。外侧。第59页解：因为解：因为 关于关于zox平面对称平面对称,函数函数 在对称点在对称点处值相等，所以处值相等，所以 。当。当x与与z交换时，交换时，方程及侧不变，所以方程及侧不变，所以第60页其中其中 是是 部分部分,且且在对称点处值互为相反数，所以有在对称点处值互为相反数，所以有第61页例例4 4 计算计算 其中其中 是柱面是柱面 及两平面及两平面 所围立体所围立体 表面外侧。表面外侧。第62页解：解：是外侧曲面，但原点在是外侧曲面，但原点在 内部，内部，都不连续都不连续(没定义没定义),),从而不能利用高斯公式从而不能利用高斯公式.又又 关于关于xoy平面对称，平面对称，在对称

18、点处在对称点处值相等值相等,所以所以第63页于是于是其中其中由积分性质，有由积分性质，有又又 关于关于yoz平面对称，平面对称，在对称点处在对称点处值互为相反值互为相反,所以所以第64页其中其中 是是 部分部分,前侧前侧,是是 在在yoz平面投影。平面投影。第65页例例5 5 求曲面积分求曲面积分 ，其中其中 是上半球是上半球 上侧。上侧。第66页解：令解：令 ，则，则 成为上半球面成为上半球面上侧。上侧。其中添加其中添加(下侧下侧)使使闭曲面闭曲面,应用高斯公式计算。应用高斯公式计算。是外侧是外侧第67页例例6 6 计算计算 其中其中 是曲面是曲面 外侧。外侧。第68页解：因为解：因为 在原点不连续，所以不能直接应用高斯公式。在原点不连续，所以不能直接应用高斯公式。为此作小球面为此作小球面使之含在使之含在 中中并取外侧并取外侧.因为除原点外，都有因为除原点外，都有成立成立,故故第69页