数学与创新思维省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

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1、数学与创新思维数学与创新思维北京航空航天大学北京航空航天大学 李心灿李心灿第1页 引言引言 全国科技大会指出：全国科技大会指出：“创创新新是是一一个个民民族族进进步步灵灵魂魂，是是国国家家兴兴旺旺发发达达不不竭竭动动力力。一一一一个个个个没没没没有有有有创创创创新新新新能能能能力力力力民民族难于屹立于世界民族之林。族难于屹立于世界民族之林。”“建立创新型国家。建立创新型国家。”第2页 教育部一个汇报指出：教育部一个汇报指出：“实实施施素素质质教教育育重重点点是是改改变变教教育育观观念念，尤尤其其是是要要以以培培养养学学生生创创新新意意识识和和创创造造精精神神为为主主。”第3页 恩格斯指出：恩格

2、斯指出：“一一个个民民族族要要想想站站在在科科学学最最高高峰峰，就就一一刻刻也不能没有理论思维。也不能没有理论思维。”创创造造性性人人才才创创造造活活动动是是在在对对应应创创造造性性思思维维支支配配下下，所所进进行行一一个个主主动动能能动动活活动动。创创造性思维是一切创造活动关键和灵魂。造性思维是一切创造活动关键和灵魂。第4页n nHG格格拉拉斯斯曼曼说说：“数数学学除除了了锻锻炼炼敏敏锐锐了了解解力力，发发觉觉真真理理外外，它它还还有有另另一一个个训训练练全全方方面面考考查查科科学学系系统统头头脑开发功效。脑开发功效。”n n赫赫巴巴特特说说：“数数学学普普通通经经过过直直接接激激发发创创造

3、造精精神神和和活活跃跃思思维维方方式式来来提提供供最正确服务。最正确服务。”第5页 所以我认为：数学教学不但应该传授数学知识，还应该培养学生创新思维。第6页 讲五个问题讲五个问题一、归纳思维一、归纳思维二、类比思维二、类比思维三、发散思维三、发散思维四、逆（反）向思维四、逆（反）向思维五、（数学）猜测五、（数学）猜测 我我将将结结合合高高等等数数学学和和数数学学史史上上一一些些著著名名问问题来讲题来讲第7页一、归纳思维一、归纳思维 归归纳纳是是人人类类赖赖以以发发觉觉真真理理基基本本、主主要要思思维方法。维方法。著名数学家拉普拉斯指出：著名数学家拉普拉斯指出：“分分析析和和自自然然哲哲学学中中

4、许许多多重重大大发发觉觉，都都归归功功于于归归纳纳方方法法牛牛顿顿二二项项式式定定理理和和万万有有引引力力原原理理，就就是是归归纳纳方方法法结结果果。”“在在数数学学里里，发发觉觉真真理主要工具和伎俩是归纳和类比。理主要工具和伎俩是归纳和类比。”著名数学家高斯曾说：著名数学家高斯曾说：“我许多发觉都是靠归纳取得。我许多发觉都是靠归纳取得。”第8页 著著名名数数学学家家沃沃利利斯斯说说：“我我把把（不不完完全全）归归纳纳和和类类比比看看成成一一个个很很好好考考查查方方法法，因因为为这这种种方方法法确确实实使使我我很很轻轻易易发发觉普通规律觉普通规律”第9页 归归归归纳纳纳纳是是是是在在在在经经经

5、经过过过过各各各各种种种种伎伎伎伎俩俩俩俩（观观观观察察察察、试试试试验验验验、分分分分析析析析、计计计计算算算算）对对对对许许许许多多多多个个个个别别别别事事事事物物物物经经经经验验验验认认认认识识识识基基基基础础础础上上上上，发发发发觉觉觉觉其其其其规规规规律律律律，总总总总结结结结出出出出原原原原理理理理或或或或定定定定理理理理。归归归归纳纳纳纳是是是是从从从从观观观观察察察察到到到到一一一一类类类类事事事事物物物物部部部部分分分分对对对对象象象象含含含含有有有有某某某某一一一一属属属属性性性性，而而而而归归归归纳纳纳纳出出出出该该该该事事事事物物物物都都都都含含含含有有有有这这这这一一

6、一一属属属属性性性性推推推推理理理理方方方方法法法法。或或或或者者者者说说说说，归归归归纳纳纳纳思思思思维维维维就就就就是是是是要要要要从从从从众众众众多多多多事事事事物物物物和和和和现现现现象象象象中中中中找找找找出出出出共共共共性性性性和和和和本本本本质质质质东东东东西西西西抽象化思维。抽象化思维。抽象化思维。抽象化思维。也也也也能能能能够够够够说说说说，归归归归纳纳纳纳是是是是在在在在相相相相同同同同中中中中发发发发觉觉觉觉规规规规律律律律，由由由由个个个个别中发觉普通。别中发觉普通。别中发觉普通。别中发觉普通。第10页 从从数数学学发发展展能能够够看看出出，许许多多新新数数学学概概念念

7、、定定理理、法法则则、形形式式，都都经经历历过过积积累累经经验验过过程程，从从大大量量观观察察、计计算算,然然后后归归纳纳出出其其共共性性和和本本质质东东西西，比比如如：哥哥德德巴巴赫赫猜猜测测，费马猜测，素数定理等。费马猜测，素数定理等。第11页归纳方法哥德巴赫猜测哥德巴赫猜测:3+7=10，3+17=20，13+17=303，7，13，17都是奇素数都是奇素数*。10，20，30都是偶数。都是偶数。是否两个奇素数之和都是偶数呢？是否两个奇素数之和都是偶数呢？这是显然。不过（逆向思维）这是显然。不过（逆向思维）任任何何一一个个偶偶数数，都都能能分分解解为为两两个个奇奇素素数数之之和吗？和吗？

8、第12页6=3+38=3+510=3+712=5+714=3+11=7+716=3+13=5+11这么下去总是正确吗？即这么下去总是正确吗？即任何一个大于任何一个大于4偶数都是两个奇素数之和？偶数都是两个奇素数之和？大于大于4偶数偶数=奇素数奇素数+奇素数？奇素数？(*)（哥德巴赫猜测）（哥德巴赫猜测）第13页60=3+57（57=193，不是素数），不是素数）60=5+55（55=115，不是素数，不是素数)？！？！60=7+53（7和和53都是素数）都是素数）.第14页哥德巴赫猜测。起源，演变 哥德巴赫观察到一些详细例子，哥德巴赫观察到一些详细例子，然后归纳出：然后归纳出：“任何大于任何大

9、于2 2数都是三个素数和数都是三个素数和”。（。（1742.6.71742.6.7写信写信 给欧拉，并附上一些他观察到例子）给欧拉，并附上一些他观察到例子）欧拉（欧拉（1742.6.301742.6.30）回信把它深入明确化为：）回信把它深入明确化为：“每一偶数是两个素数和每一偶数是两个素数和”(*)”(*)（并说：（并说：“我认为它我认为它正确，但给不出证实）正确，但给不出证实）1770 1770（英）华林将（英）华林将(*)(*)发表出来。发表出来。当代标准陈说是（当代标准陈说是（*）这一猜测历这一猜测历200200多年至今仍悬而未决（多年至今仍悬而未决（19661966，陈景润，（，陈景

10、润，（1+21+2）。）。这是数学向人类智慧挑战！这是数学向人类智慧挑战！但对此猜测证实过程中，极大推进了解析数论但对此猜测证实过程中，极大推进了解析数论发展（尤其是筛法，圆法）发展（尤其是筛法，圆法）第15页二项式系数二项式系数(u+v)1=u+v(u+v)2=u2+2uv+v2(u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3(u+v)4=u4+4u3v+6u2v2+4uv3+v4(u+v)5=.(u+v)n=第16页1 12 23 34 45 56 67 78 89 92 21 11 11 11 11 11 11 13 31 12 23 34 45 56 64 41 13 36 6101015

11、155 51 14 4101020206 61 15 515157 71 16 68 81 19 9帕斯卡三角形帕斯卡三角形第17页1 12 23 34 45 56 67 78 89 92 21 11 11 11 11 11 11 13 31 12 23 34 45 56 64 41 13 36 6101015155 51 14 4101020206 61 15 515157 71 16 68 81 19 9帕斯卡三角形帕斯卡三角形第18页111121133114641151010511615201561宋宋朝朝数数学学家家杨杨辉辉1261年年写写详详解解九九章章算算法法*就就解解释释了了上上

12、述述系系数数三三角角形形结结构构法法，并并说说贾贾宪宪用用此术。此术。杨辉三角形杨辉三角形第19页在在高高等等数数学学中中，许许多多主主要要结结果果得得出出，都都用用到了归纳思维。比如：到了归纳思维。比如：求某一函数求某一函数n阶导数，通常方法是求出其一阶导数，通常方法是求出其一阶、二阶（有时还要求出其三阶、四阶）导数，阶、二阶（有时还要求出其三阶、四阶）导数，再归纳出再归纳出n阶导数表示式。阶导数表示式。解解从而归纳出第20页解解因为因为因而归纳得到第21页又又如如：从从一一阶阶、二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次微微分分方方程程通通解解结结构构及及其其求求解解方方法法，能能够够归归纳纳出

13、出n阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次方方程程通通解解结结构构及及其求解方法。其求解方法。再再如如：多多元元函函数数求求条条件件极极值值拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法，从从两两个个自自变变量量、一一个个约约束束条条件件，推推广广到到n个个自自变变量量、m个个约约束束条条件件，也也是是用用归归纳方法得出。纳方法得出。总总之之：在在高高等等数数学学中中，有有不不少少内内容容使使用了归纳思维。用了归纳思维。第22页 科科科科尔尔尔尔莫莫莫莫哥哥哥哥洛洛洛洛夫夫夫夫在在在在我我我我是是是是怎怎怎怎样样样样成成成成为为为为数数数数学学学学家家家家中中中中说说说说：我我我我在在在在6 6、7 7岁岁岁岁时时时

14、时我我我我已已已已经经经经感感感感受受受受到到到到数数数数学学学学归归归归纳纳纳纳发发发发觉觉觉觉乐乐乐乐趣趣趣趣，比比比比如如如如，我我我我注注注注意意意意到到到到下下下下边边边边等式：等式：等式：等式：他这个发觉，以后被登载在春燕杂志上。他这个发觉，以后被登载在春燕杂志上。第23页问题：考查表问题：考查表问题：考查表问题：考查表 按照上述算例找出它们普通规律，并用适当数按照上述算例找出它们普通规律，并用适当数学式子表示出来，而且试证实它。学式子表示出来，而且试证实它。问题：下述结论是否成立？问题：下述结论是否成立？第24页二二、类比思维类比思维 著著著著名名名名日日日日本本本本物物物物理理

15、理理学学学学家家家家、诺诺诺诺贝贝贝贝尔尔尔尔奖奖奖奖取取取取得得得得者者者者汤汤汤汤川川川川秀秀秀秀澍澍澍澍指指指指出出出出：“类类类类比比比比是是是是一一一一个个个个创创创创造造造造性性性性思思思思维维维维形形形形式式式式。”著著著著名名名名哲哲哲哲学学学学家家家家康康康康德德德德指指指指出出出出：“每每每每当当当当理理理理智智智智缺缺缺缺乏乏乏乏可可可可靠靠靠靠论论论论证证证证思思思思绪绪绪绪时，类比这个方法往往能指导我们前进。时，类比这个方法往往能指导我们前进。时，类比这个方法往往能指导我们前进。时，类比这个方法往往能指导我们前进。”类比是依据两个（或多个）对象内部属性、类比是依据两个

16、（或多个）对象内部属性、类比是依据两个（或多个）对象内部属性、类比是依据两个（或多个）对象内部属性、关系一些方面相同，而推出它们在其它方面也可关系一些方面相同，而推出它们在其它方面也可关系一些方面相同，而推出它们在其它方面也可关系一些方面相同，而推出它们在其它方面也可能相同推理。能相同推理。能相同推理。能相同推理。简单地说，类比就是由简单地说，类比就是由简单地说，类比就是由简单地说，类比就是由此此此此去发觉去发觉去发觉去发觉彼彼彼彼（或由（或由（或由（或由彼彼彼彼去发觉去发觉去发觉去发觉此此此此）。）。）。）。第25页 类类比比为为人人们们思思维维过过程程提提供供了了更更辽辽阔阔“自自由由创创

17、造造”天天地地，使使它它成成为为科科学学研研究究中中非非常常有有创创造造性性思思维维形形式式，从从而而受受到到了了很很多多著著名名科学家重视与青睐。比如：科学家重视与青睐。比如：著著名名天天文文学学、数数学学家家开开普普勒勒说说：“我我珍珍视视类类比比胜胜于于任任何何别别东东西西，它它是是我我最最可可信信赖赖老老师师它能揭示自然奥秘它能揭示自然奥秘。”著名数学家、教育学家波利亚著名数学家、教育学家波利亚说：说：“类比是一个伟大引路人，类比是一个伟大引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面求解立体几何问题往往有赖于平面几何中类比问题几何中类比问题。”第26页在平面解析几何中直线截距式是：在平面解析

18、几何中直线截距式是：在平面解析几何中在平面解析几何中,两点距离是：两点距离是：在空间解析几何中在空间解析几何中,两点距离是：两点距离是：在空间解析几何中平面截距式是：在空间解析几何中平面截距式是：第27页在平面解析几何中圆方程是：在平面解析几何中圆方程是：(x-a)2+(y-b)2=R2在空间解析几何中球面方程是在空间解析几何中球面方程是:(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2等等。等等。第28页莱布尼茨公式莱布尼茨公式将他们比较能够看出将他们比较能够看出:把把中右端中右端K次幂换成次幂换成K阶导数阶导数(零阶导数了解为函数本身零阶导数了解为函数本身),把把中中u+v换成换成uv,n次

19、幂换成次幂换成n阶导数既为阶导数既为.(拉格朗日拉格朗日17岁岁)牛顿二项式展开公式牛顿二项式展开公式第29页费马猜测费马猜测：X2+Y2=Z2解：解：X=3,Y=4,Z=5 Z=m2+n2 ,X=m2-n2 Y=2mn,m,n是任一整数，是任一整数，n2是否有正整数解？是否有正整数解？第30页n n ZZ=XX+YY52=32+42Z3=x3+Y3 (X,Y,Z 为正整数)=zxy+公元972年阿拉伯人阿尔科但第（Alkhodjidi)Zn=n+Yn(n2)(Wiles 1994)第31页欧拉猜测：欧拉猜测：下述方程没有整数解：下述方程没有整数解：没有些人能够证实它是正确，不过在他提出这个猜

20、测之后2内大家都相信它是正确.不过在1998年，诺姆艾利克斯举出一个反例：以后人们又发觉了一个更简单例子：第32页多元函数与单元函数多元函数与单元函数 在在学学习习多多元元函函数数微微分分学学和和积积分分课课时时，应应注注意意与与已已经经学学习习过过一一元元函函数数微微积积分分对对应概念、理论、方法进行类比。比如：应概念、理论、方法进行类比。比如：第33页在在 一一 元元 函函 数数 中中，若若 f(x)在在 点点 x0邻邻 域域 内内（n+1）阶阶导导数数，且且x为为此此邻邻域域内内任任意意一一点点，则有一元函数则有一元函数n阶泰勒公式：阶泰勒公式：其中其中第34页在在二二元元函函数数中中，

21、若若f(x,y)在在点点(x0,y0)邻邻域域内内 有有（n+1）阶阶 连连 续续 偏偏 导导 数数，且且(x=x0+h,y=y0+k)为为此此邻邻域域内内任任意意一一点点，则则有有二元函数二元函数n阶泰勒公式：阶泰勒公式：第35页大大家家能能够够将将上上述述一一元元函函数数n阶阶泰泰勒勒公公式式与与二二元元函函数数n阶阶泰泰勒勒公公式式进进行行类类比比（包包含含它它们们成成立条件和公式结构与形式）。立条件和公式结构与形式）。又又如如，在在学学完完了了积积分分学学后后应应将将定定积积分分、二二重重积积分分、三三重重积积分分、曲曲线线积积分分、曲曲面面积积分分进进行行类类比比，包包含含它它们们定

22、定义义、性性质质、计计算算方方法法、物理意义、物理意义、等。等。第36页 尤其应该将牛顿尤其应该将牛顿莱布尼茨公式、格林莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式进行类比。公式、高斯公式、斯托克斯公式进行类比。若将牛顿若将牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 视为，它建立了一元函数视为，它建立了一元函数f f(x)在一个区间在一个区间定积分与其原函数定积分与其原函数F F(x)在区间边界值之间联络；在区间边界值之间联络；第37页经过类比，就可将格林公式经过类比，就可将格林公式 视为，它建立了二元函数在一个平面区域视为，它建立了二元函数在一个平面区域D上上二二重重积积分分与与其其“原原函函数数”在在

23、区区域域边边界界L L曲曲线线积分之间联络；积分之间联络；第38页经过类比，就可将高斯公式经过类比，就可将高斯公式 视视为为，它它建建立立了了三三元元函函数数在在一一个个空空间间区区域域 上上三三重重积积分分与与其其“原原函函数数”在在区区域域边边界界曲曲面面S S上曲面积分之间联络；上曲面积分之间联络；第39页经过类比，就可将斯托克斯公式经过类比，就可将斯托克斯公式 视为，它建立了三元函数在一个空间曲面视为，它建立了三元函数在一个空间曲面S S上曲面积分与其上曲面积分与其“原函数原函数”在区域边界曲线在区域边界曲线L L上上曲线积分之间联络。曲线积分之间联络。第40页 若引入若引入“外微分运

24、算外微分运算”，就可将格林公，就可将格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都看作牛顿式、高斯公式和斯托克斯公式都看作牛顿-莱布尼茨公式高维推广莱布尼茨公式高维推广.并都能够用一个简并都能够用一个简单形式统一表示为单形式统一表示为第41页 实实践践证证实实：在在学学习习过过程程中中，将将新新内内容容与与自自己己已已经经熟熟悉悉知知识识。进进行行类类比比，不不但但易易于于接接收收、了了解解、掌掌握握新新知知识识，更更主主要要是是：培培养养、锻锻炼炼了了自自己己类类比比思思维维，有有利利于于开开发发自己自己创造力创造力。（费马猜测）。（费马猜测）第42页三、发散思维发散思维 所所谓谓含含有有发发散散特特征

25、征思思维维是是指指信信息息处处理理路路径径灵灵活活多多变变，求求结结果果丰丰富富多多样样。它它是是一一个个开开放放性性立立体体思思维维，即即围围绕绕某某一一问问题题，沿沿着着不不一一样样方方向向去去思思索索探探索索，重重组组眼眼前前信信息息和和记记忆忆中中信信息息，产产生生新新信信息息并并取取得得处处理理问问题题各各种种方方案案。所所以以，也也把把发发散散思思维维称称为为求求异异思思维维。它它是是一一个主要创造性思维。个主要创造性思维。用用“一题多解”，“一题多变”等等方方式式，发散式地思索问题。发散式地思索问题。第43页数学王子数学王子高斯高斯 高高斯斯被被誉誉为为：“能能从从九九霄霄云云外

26、外高高度度按按某某种种观观点点掌掌握握星星空空和和深深奥奥数数学学天天才才”和和“数学王子数学王子”。第44页 尤尤其其是是高高斯斯非非常常重重视视培培养养自自己己发发散散思思维维，而而且且善善于于利利用用发发散散思思维维。他他非非常常重重视视“一一题题多多解解”、“一一题题多多变变”。比比如如：他他对对代代数数基基本本定定理理，先先 后后给给出出了了4 4种种不不一一样样证证实实；他他对对数数论论中中二二次次互互反反律律，先先后后给给出出了了8 8种种不不一一样样证证实实（高高斯斯称称二二次次互互反反律律是是数数论论中中一一块块宝宝石石，数论酵母，是黄金定理）。数论酵母，是黄金定理）。欧拉勒

27、让德欧拉勒让德第45页第一个证实是用归纳法；第一个证实是用归纳法；第二个证实是用二次型理论；第二个证实是用二次型理论；第三个和第五个证实是用高斯引理；第三个和第五个证实是用高斯引理；第四个证实是用高斯和；第四个证实是用高斯和；第六个和第七个证实是用分圆理论；第六个和第七个证实是用分圆理论；第八个证实是用高次幂剩下理论。第八个证实是用高次幂剩下理论。他他每每一一个个证证实实思思绪绪都都造造成成数数论论新新方方向向。其其后后19世世纪纪多多位位数数论论大大家家如如狄狄里里克克雷雷、雅雅可可比比、艾艾森森斯斯坦坦、库库默默、戴戴德德金金、希希尔尔伯伯特特等等人人都都给给出出了了新证实并发展了该理论。

28、新证实并发展了该理论。第46页 有有些些人人曾曾问问高高斯斯：“你你为为何何能能对对数数学学作作出出那那样样多多发发觉觉？”高高斯斯答答道道：“假假如如他他人人和和我我一一样样深深刻刻和和持持久久地地思思索索数数学学真真理理，他他也会作出一样发觉。也会作出一样发觉。”高高斯斯还还说说：“绝绝对对不不能能认认为为取取得得一一个个证证实实以以后后，研研究究便便告告结结束束，或或把把另另外外证证实实看看成多出奢侈品成多出奢侈品。”“有有时时候候一一开开始始你你没没有有得得到到最最简简和和最最美美妙妙证证实实，但但恰恰恰恰在在寻寻求求这这么么证证实实中中才才能能深深入入到到真真理理奇奇妙妙联联想想中中

29、去去。这这正正是是吸吸引引我我去去继继续续研研究究主主动动力力，而而且且最最能能使使我我们们有有所所发发觉觉。”高高斯斯这这些些言言行行，很很值值得得我我们们学学习习和和深思。深思。第47页 所所以以，我我们们在在高高等等数数学学教教学学中中，应应利利用用一一题题多多解解、一一题题多多变变来来培培养养训训练练发发散散思思维，下边我们举几个例子：维，下边我们举几个例子：第48页一题多解一题多解：计算：计算解法：解法：第一类换元积分法第49页一题多解：计算一题多解：计算解法：解法：第一类换元积分法第50页一题多解：计算一题多解：计算解法：解法：第一类换元积分法第51页一题多解：计算一题多解：计算解

30、法：令解法：令第一类换元积分法第52页一题多解：计算一题多解：计算解法：令解法：令第二类换元积分法第53页一题多解：计算一题多解：计算解法：解法：令令第二类换元积分法第54页一题多解：计算一题多解：计算解法：解法：分部积分法和第一类换元积分法第55页一题多解：计算一题多解：计算解法：解法：分部积分法和第一类换元积分法第56页一题多解：计算一题多解：计算解法：欧拉代换法，令解法：欧拉代换法，令第57页一题多解：计算一题多解：计算解法解法10：欧拉代换法，令：欧拉代换法，令第58页 经经过过计计算算这这一一个个题题目目，不不但但使使用用了了各各种种计计算算不不定定积积分分方方法法，把把不不定定积积

31、分分法法学学活活了了，更更主主要要是是培培养养、训训练练了了发发散散式式思思索索问问题题思思维方法维方法.第59页又如：求极限又如：求极限n n能够用极限能够用极限n n用三角公式变形；用三角公式变形；n n用洛必达法则；用洛必达法则；n n用无究小量代换；用无究小量代换；n n 用泰勒公式；用泰勒公式；等等。等等。第60页又如：证实不等式又如：证实不等式l能够用函数单调性；能够用函数单调性；l用中值定理；用中值定理；l 用泰勒公式；用泰勒公式；等等。等等。第61页一题多变一题多变：得得知知它它是是全全微微分分方方程程，从从而而用用全全微微分分方方程程解法求出其通解；解法求出其通解；求微分方程

32、求微分方程通解通解变形为：变形为：因为：因为：第62页一题多变一题多变：求微分方程求微分方程通解通解变形为：变形为：得得知知它它是是齐齐次次微微分分方方程程，从从而而用用齐齐次次微微分方程解法求出其通解；分方程解法求出其通解；第63页一题多变一题多变：求微分方程求微分方程通解通解变形为：变形为：发觉它是伯努利方程，从而令发觉它是伯努利方程，从而令z=yz=y2 2，化化为线性微分方程，然后用线性微分方程解法为线性微分方程，然后用线性微分方程解法求出其通解。求出其通解。高等数学一题多解高等数学一题多解200200例选编例选编 （产品：手表、收音机、电视机等）（产品：手表、收音机、电视机等）第64

33、页四、逆向思维 一一位位老老太太太太有有两两个个女女儿儿。大大女女儿儿嫁嫁给给雨雨伞伞店店老老板板，小小女女儿儿当当了了洗洗衣衣作作坊坊女女主主管管。于于是是，老老太太太太整整天天忧忧心心忡忡忡忡，逢逢上上雨雨天天，她她担担心心洗洗衣衣作作坊坊衣衣服服晾晾不不干干；逢逢上上晴晴天天，她她怕怕伞伞店雨伞卖不出去，日子过得很忧郁。店雨伞卖不出去，日子过得很忧郁。以以后后有有一一位位聪聪明明人人劝劝她她：老老太太太太，你你真真好好福福气气，下下雨雨天天，你你大大女女儿儿家家生生意意兴兴隆隆；大大晴晴天天，你你小小女女儿儿家家用用户户盈盈门门，哪哪一一天天你你都都有有好好消消息息啊啊。这这么么一一说说

34、，老老太太太太生生活活色色彩彩竟竟焕然一新。焕然一新。一则小一则小故事故事:第65页 逆逆向向思思维维（又又称称反反向向思思维维）是是相相对对于于习习惯惯性性思思维维另另一一个个思思维维形形式式。它它基基本本特特点点是是从从已已经经有有思思绪绪反反方方向向去去思思索索问问题题。它它对对解解放放思思想想、开开阔阔思思绪绪、处处理理一一些些难难题、开创新方向，往往能起到主动作用。题、开创新方向，往往能起到主动作用。第66页（1）假假如如碰碰到到一一些些问问题题顺顺推推不不行行，能能够够考考虑虑逆推。逆推。（2）假假如如碰碰到到一一些些问问题题直直接接处处理理困困难难，想想法法间接间接处理。处理。（

35、3）正命题研究过后，研究逆命题。）正命题研究过后，研究逆命题。（4）探探讨讨可可能能性性发发生生困困难难时时，转转而而探探讨讨不不可可能性。能性。下面举几个高等数学中例子下面举几个高等数学中例子:第67页求解微分方程：求解微分方程：若若将将x 视视为为自自变变量量，y 视视为为未未知知函函数数，解解此此方方程程就就比比较较困困难难。因因为为它它既既不不是是可可分分离离变变量量方方程程，也也不不是是齐齐次次方方程程，也也不不是是全全微微分分方方程程，也也不不是是线性方程和伯努里方程。线性方程和伯努里方程。不不过过，假假如如利利用用逆逆向向思思维维，即即反反过过来来将将x视视为为未知函数未知函数,

36、y视为自变量，将方程变为视为自变量，将方程变为第68页它就是未知函数x 线性微分方程。很轻易求出其通解。)1(21222Ceyexyy+-=-第69页若直接处理困难，若直接处理困难，想法间接处理。想法间接处理。例例1 1：试求试求解法：用间接方法，即转化为判断级数解法：用间接方法，即转化为判断级数级数收敛必要条件是通项趋向于零，于是级数收敛必要条件是通项趋向于零，于是第70页解法解法:利用夹逼定理利用夹逼定理第71页第72页例3：将y=xarctanx展成x幂级数。若用直接方法，先得求出此函数各阶导数，还得讨论余项Rn(x)。若用间接方法，就很简便。第73页 探讨可能性发生困难时，转而探讨不可

37、能性。探讨可能性发生困难时，转而探讨不可能性。下面我们例举数学史上两个最有名问题：下面我们例举数学史上两个最有名问题：第74页关于非欧几何发觉关于非欧几何发觉 欧几里得几何原本第一卷中给出欧几里得几何原本第一卷中给出了五个公设，其中前四个简单明了，（前了五个公设，其中前四个简单明了，（前三个是作图要求，第四个是三个是作图要求，第四个是“凡直角都相凡直角都相等等”），符合亚里士多德公理），符合亚里士多德公理“自明性自明性”要求，唯独第五公设不但文字烦琐，而且要求，唯独第五公设不但文字烦琐，而且所必定事实也不显著。所必定事实也不显著。而且只有第而且只有第5 5公设包括到无限公设包括到无限,这是人们

38、经验之外东西这是人们经验之外东西.第75页 此公设是此公设是“若若一直线和两条直线一直线和两条直线相交，所组成两同相交，所组成两同旁内角之和小于两旁内角之和小于两直角，那么把这两直角，那么把这两直线延长，它们一直线延长，它们一定在两内角一侧相定在两内角一侧相交交”。第76页 这公设等价于：这公设等价于：“在平面上，过在平面上，过直线外一点，只能作一条直线与这条直线外一点，只能作一条直线与这条直线平行直线平行”。欧欧第77页当两条直线相交于非常遥远地方时，就当两条直线相交于非常遥远地方时，就无法判断这两条直线是否平行，所以不含无法判断这两条直线是否平行，所以不含有直观显著性。所以没有得到公认，于

39、是有直观显著性。所以没有得到公认，于是就有些人提出来把它作为定理来证实。不就有些人提出来把它作为定理来证实。不过许多数学家经历了多年都以失败告终，过许多数学家经历了多年都以失败告终，他们不是证实有错误，就是用另一条等价他们不是证实有错误，就是用另一条等价公理代替了第五公设。公理代替了第五公设。达朗贝尔曾把第五公设证实称为达朗贝尔曾把第五公设证实称为达朗贝尔曾把第五公设证实称为达朗贝尔曾把第五公设证实称为“几何原理中家丑几何原理中家丑几何原理中家丑几何原理中家丑”。第78页直到直到19世纪初，数学家们着手研究它反世纪初，数学家们着手研究它反问题问题欧几里得第五公设不可证。尤其是欧几里得第五公设不

40、可证。尤其是德国高斯、匈牙利鲍耶、俄国罗巴切夫斯基德国高斯、匈牙利鲍耶、俄国罗巴切夫斯基他们各自总结了前人和自己试证第五公设失他们各自总结了前人和自己试证第五公设失败教训。败教训。高斯高斯(1799,1813)(1799,1813)罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基 (1826,1829)(1826,1829)鲍耶鲍耶 （18321832）第79页 罗巴切夫斯基把欧氏几何命题按是否依罗巴切夫斯基把欧氏几何命题按是否依赖于第五公设（平行公设）分为两部分：赖于第五公设（平行公设）分为两部分：不依赖于第五不依赖于第五公设得到证实命题公设得到证实命题（绝对几何）。（绝对几何）。依赖于第五依赖于第五公设才能证实命

41、公设才能证实命题。题。“在一个平面上，过直线在一个平面上，过直线AB外一点最少能够作一条直线与外一点最少能够作一条直线与AB不相交不相交”。1.仅可作一条（第五公设）仅可作一条（第五公设）欧氏几何；欧氏几何；2.可作不止一条，若能由此推出与绝对几何定理相矛盾命可作不止一条，若能由此推出与绝对几何定理相矛盾命题，这就无异于证实了第五公设。题，这就无异于证实了第五公设。可是他不但没有发觉任何矛盾，反而推导出了一连串奇妙可是他不但没有发觉任何矛盾，反而推导出了一连串奇妙结果，组成了逻辑上既无矛盾，又与绝对几何不相冲突，但又结果，组成了逻辑上既无矛盾，又与绝对几何不相冲突，但又和欧氏几何不一样新几何体

42、系。和欧氏几何不一样新几何体系。第80页他们首先必定了欧几里得第五公设是不他们首先必定了欧几里得第五公设是不能用其它公理作出证实，然后用一个与能用其它公理作出证实，然后用一个与它相反命题来代替它。即它相反命题来代替它。即“在平面上，在平面上，过直线外一点过直线外一点最少可引两条直线最少可引两条直线与已知与已知直线平行。直线平行。”罗罗第81页 从而建立了一个与欧几里得不一样新从而建立了一个与欧几里得不一样新几何体系。几何体系。高斯称之为高斯称之为“反欧几里得几何反欧几里得几何”罗巴切夫斯基称之为罗巴切夫斯基称之为“想象几何想象几何”后他又称之为后他又称之为“泛几何泛几何”今天称之为罗巴切夫斯基

43、几何（又称双今天称之为罗巴切夫斯基几何（又称双曲几何）。曲几何）。第82页 以后德国数学家黎曼用一个既与欧以后德国数学家黎曼用一个既与欧几里德第五公设命题相反又与罗巴切夫几里德第五公设命题相反又与罗巴切夫斯基平行公理相反命题来代替它们，即斯基平行公理相反命题来代替它们，即“在平面上，过直线外一点在平面上，过直线外一点不可能引一不可能引一直线直线与已知直线平行与已知直线平行”。黎黎第83页 从而建立了一个与欧从而建立了一个与欧几里得几何、罗巴切夫斯几里得几何、罗巴切夫斯基几何都不一样新几何体基几何都不一样新几何体系，现称为系，现称为“黎曼几何黎曼几何”（又称椭圆几何）。（又称椭圆几何）。现现在在

44、人人们们把把“罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基几几何何与与黎黎曼曼几何统称为几何统称为“非欧几里得几何非欧几里得几何”。黎曼黎曼(1854)(1854)第84页20世纪伟大数学家希尔世纪伟大数学家希尔伯特指出伯特指出:“19世纪最富启世纪最富启发性和最值得注意成就是非发性和最值得注意成就是非欧几里得几何发觉欧几里得几何发觉”。非非欧欧几几里里得得几几何何创创建建是是几几何何学学上上革革命命，它它不不但但使使数数学学家家大大开开眼眼界界，引引发发一一些些主主要要数数学学分分支支产产生生，它它主主要要意意义义还还在在于于使使数数学学哲哲学学研研究究进进入入一一个个崭崭新新历历史史时时期期，它它使使人人们们

45、对对空空间间认认识识更更深深刻刻，更更完完全全了了。比比如如，它它对对爱爱因因斯斯坦坦相相对对论论提提供供了了最最适适当当数数学学工工具具。所所以以许许多多人采取非欧几何学作为宇宙几何模型。人采取非欧几何学作为宇宙几何模型。(太平洋太平洋)第85页 欧几里得：欧几里得：三角形内角和三角形内角和=两直角两直角 ,2r=c，a2+b2=c2 罗巴切夫斯基：三角形内角和罗巴切夫斯基：三角形内角和 两直角两直角,2rc，a2+b2 两直角两直角 ,2rc ，a2+b2c2 以以后后许许多多几几何何理理论论都都建建立立在在改改变变和和推推广广欧欧几几里里得得几几何何概概念念基基础础之之上上。比比如如：1

46、8441844年年格格拉拉斯曼建立斯曼建立n n维仿射空间和度量空间几何。维仿射空间和度量空间几何。18711871年克来因年克来因第86页关于五次及五次以上代数方程根式求解问题在在16世纪之前，数学家们就成功地找到世纪之前，数学家们就成功地找到了普通一次、二次、三次、四次以及一些特了普通一次、二次、三次、四次以及一些特殊五次及五次以上代数方程根式解法。如：殊五次及五次以上代数方程根式解法。如：那么，普通五次及五次以上代数方程是否那么，普通五次及五次以上代数方程是否也存在根式解法呢？也存在根式解法呢？第87页这个问题吸引着众多数学家，他们相信这这个问题吸引着众多数学家，他们相信这种解法一定存在

47、，包含：卡当种解法一定存在，包含：卡当（Cardano）、韦达）、韦达(Viete)、笛卡儿、牛、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、拉格朗日等等，但相继经历顿、莱布尼茨、拉格朗日等等，但相继经历了两百多年努力都未能找到解法。了两百多年努力都未能找到解法。韦达韦达拉格朗日拉格朗日第88页经过无数次失败之后经过无数次失败之后,直到直到19世纪初，一些数学世纪初，一些数学家产生了逆向思维：首先家产生了逆向思维：首先是鲁非尼（是鲁非尼（Ruffini）和拉）和拉格朗日，接着是阿贝尔格朗日，接着是阿贝尔(Abel)，把问题提法倒了，把问题提法倒了过来，去思索它反问题：过来，去思索它反问题：普通五次及五次以上方程普

48、通五次及五次以上方程不存在根式求解法。不存在根式求解法。阿阿 贝贝 尔尔(Abel)第89页 阿贝尔从这种逆向思维出发，终于严阿贝尔从这种逆向思维出发，终于严格地证实了：普通五次及五次以上方程不格地证实了：普通五次及五次以上方程不能用根式求解，不但彻底处理了这桩历史能用根式求解，不但彻底处理了这桩历史悬案，而且进而开创了悬案，而且进而开创了近世代数方程研究研究道路，包含群论和方程超越函数解法。道路，包含群论和方程超越函数解法。几何三大难题：几何三大难题：1.1.三等分任意角三等分任意角;2.2.化圆为方化圆为方;3.3.倍立方倍立方.(只用圆规、直尺只用圆规、直尺)第90页逆向思维基本特点逆向

49、思维基本特点 从已经有思绪反方向去思索问题。顺推不从已经有思绪反方向去思索问题。顺推不行，考虑逆推；直接处理不行，想方法间接行，考虑逆推；直接处理不行，想方法间接处理处理;正命题研究过后，研究逆命题；探讨正命题研究过后，研究逆命题；探讨可能发生困难时，考虑探讨不可能性。它有可能发生困难时，考虑探讨不可能性。它有利于克服思维定势保守性，它对解放思想、利于克服思维定势保守性，它对解放思想、开阔思绪、发觉新生事物，开辟新方向，往开阔思绪、发觉新生事物，开辟新方向，往往能起到主动作用。往能起到主动作用。第91页 比如：比如：毒毒蛇蛇、蝎蝎子子都都令令人人生生畏畏，但但有有些些人人大大胆胆地地逆逆向向思

50、思索索，提提出出了了以以毒毒攻攻毒毒，结结果果制成了许多宝贵药品。制成了许多宝贵药品。英英国国医医师师琴琴纳纳(Jener)(Jener)发发觉觉牛牛痘痘能能够够预防天花，实际上也是使用了逆向思维。预防天花，实际上也是使用了逆向思维。第92页“围魏救赵围魏救赵”(“36(“36计计”中第中第2 2计计)桂陵（今长垣县西边），大梁（今开封）。桂陵（今长垣县西边），大梁（今开封）。第93页“围魏救赵围魏救赵”(“36(“36计计”中第中第2 2计计)桂陵（今长垣县西边），大梁（今开封）。桂陵（今长垣县西边），大梁（今开封）。第94页“围魏救赵围魏救赵”(“36(“36计计”中第中第2 2计计)桂陵