数值微积分专题培训市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

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1、第四章数值微积分第四章数值微积分Newton-Cotes 型求积公式型求积公式复化求积公式复化求积公式Gauss 型求积公式型求积公式数值微分数值微分第1页1.1.引言引言 求求函函数数在在给给定定区区间间上上定定积积分分，在在高高等等数数学学教教程程中中已已给给出出了了许许多多有有效效方方法法。但但在在实实际际问问题题中中，往往往往仅仅给给出出函函数数在在一一些些离离散散点点值值，它它解解析析表表示示式式没没有有显显著著给给出出；或或者者，即即使使给给出出解解析析表表示示式式，但但却极难求得其原函数。却极难求得其原函数。这时，我们就需要利用函数在这些节点上信这时，我们就需要利用函数在这些节点

2、上信息求出函数积分近似值，由此，导出了数值积分息求出函数积分近似值，由此，导出了数值积分概念和方法。概念和方法。第2页关于积分关于积分假如已知假如已知则依据牛顿则依据牛顿-莱布尼兹公式能够得到：莱布尼兹公式能够得到：不过，在计算中会碰到以下情况：不过，在计算中会碰到以下情况：都不宜直接用都不宜直接用Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式计算。这时能够考虑近似求解。公式计算。这时能够考虑近似求解。1 1）.原函数无法求出，如：原函数无法求出，如：2 2）.y=f(x)由离散数据给出：由离散数据给出：3 3）.F(x)能够求出，但太复杂，如能够求出，但太复杂，如第3页 采取近

3、似解法或数值解法思想是先找出被积函数采取近似解法或数值解法思想是先找出被积函数f(x)f(x)近似函数近似函数 p(x)p(x),即：即：则能够得到：则能够得到：本章，我们将给出两种计算方法：本章，我们将给出两种计算方法：1 1）.等距节点牛顿等距节点牛顿-柯特斯型求积公式。柯特斯型求积公式。2 2）.非等距节点高斯型求积公式。非等距节点高斯型求积公式。第4页1.1.Newton-Cotes型求积公式型求积公式则能够结构出则能够结构出n n次次Lagrange插值多项式插值多项式：对应函数值为：对应函数值为：对于定积分对于定积分将区间将区间aa，bn bn 等分等分,节点为：节点为：第5页对下

4、式两端积分：对下式两端积分：得到：得到：令：令：忽略忽略便能够得到积分近似表示式：便能够得到积分近似表示式：第6页误差为：误差为：为了给出详细计算公式，令为了给出详细计算公式，令得到得到则由则由第7页从而从而误差由：误差由：及及得到得到第8页对于：对于：令：令：则得定积分近似计算公式：则得定积分近似计算公式：第9页我们称此公式为我们称此公式为 Newton-Cotes Newton-Cotes 型求积公式型求积公式。其误差为：其误差为：再总结一下再总结一下Newton-Cotes Newton-Cotes 型求积公式型求积公式得推理过程。得推理过程。第10页针对等距分点处函数值：针对等距分点处

5、函数值：对于积分对于积分得到：得到：第11页两边积分得到两边积分得到由变换：由变换：得到得到第12页从而得到从而得到Newton-CotesNewton-Cotes型求积公式型求积公式第13页 在详细计算时，能够取定在详细计算时，能够取定 n=1n=1，2 2，3 3，4 4。此时，。此时，还有专用名称称呼，分别为梯形公式、抛物线公式、还有专用名称称呼，分别为梯形公式、抛物线公式、CotesCotes公式等，下面给出详细计算格式。公式等，下面给出详细计算格式。第14页一、梯形公式（一、梯形公式（n=1）由系数由系数得到得到于是于是第15页即：即：关于误差可由关于误差可由得到得到设设则由积分中值

6、定理得则由积分中值定理得第16页于是，得到梯形求积公式及其误差为于是，得到梯形求积公式及其误差为为了预计误差限，设为了预计误差限，设则得到则得到第17页二、抛物线二、抛物线二、抛物线二、抛物线(辛普森辛普森辛普森辛普森-Simpson)-Simpson)-Simpson)-Simpson)公式（公式（公式（公式（n=2n=2n=2n=2）由系数由系数得到得到第18页得到得到即即设设则可得抛物型公式误差为则可得抛物型公式误差为若记若记则有则有第19页抛物线抛物线(simpson)求积公式及误差为求积公式及误差为第20页三、三、Cotes公式及误差（公式及误差（n=4）将三组公式及误差表示整理以下

7、：将三组公式及误差表示整理以下：第21页抛物线公式抛物线公式梯形公式梯形公式Cotes求积公式求积公式第22页例例 3.1 用梯形公式，用梯形公式，Simpson公式和公式和 Cotes 公式求积分公式求积分解解:利用梯形公式利用梯形公式利用利用 Simpson 公式公式得得第23页利用利用CotesCotes公式得公式得而原积分为而原积分为相对而言，相对而言，CotesCotes求积公式精度最高，梯形求积公式求积公式精度最高，梯形求积公式精度最低。精度最低。第24页例例 3.2 用梯形公式和用梯形公式和Simpson公式公式 计算积分计算积分解解:由梯形公式得由梯形公式得由由Simpson公

8、式得公式得第25页 因为因为CotesCotes型求积公式是将积分区间型求积公式是将积分区间4 4等分，而梯等分，而梯形公式是将区间形公式是将区间1 1等分，可见分点越多，积分越准确。等分，可见分点越多，积分越准确。这么，就启发我们能够将积分区间愈加细分，从而得这么，就启发我们能够将积分区间愈加细分，从而得到愈加准确数值解。到愈加准确数值解。这么就能够得到下面复化求积公式。这么就能够得到下面复化求积公式。第26页2.复化求积公式 考虑到数值计算稳定性，用增大考虑到数值计算稳定性，用增大n n方法来提升数方法来提升数值积分代数精度方法是不可取。类似于分段插值，值积分代数精度方法是不可取。类似于分

9、段插值，为了降低数值积分误差，把积分区间分成若干个小为了降低数值积分误差，把积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采取低阶数值积分公式，然区间，在每个小区间上采取低阶数值积分公式，然后把这些小区间上数值积分结果加起来作为函数在后把这些小区间上数值积分结果加起来作为函数在整个区间上近似，这就是复化数值积分。整个区间上近似，这就是复化数值积分。在区间在区间a,b上，取等距节点上，取等距节点又由定积分区间可加性，有又由定积分区间可加性，有第27页由此，能够得到对应复化梯形公式和复化抛物线公式由此，能够得到对应复化梯形公式和复化抛物线公式由此，能够得到对应复化梯形公式和复化抛物线公式由此，能够得到对

10、应复化梯形公式和复化抛物线公式即即第28页一、复化梯形公式已知已知在每一个小区间上利用梯形公式在每一个小区间上利用梯形公式得到得到第29页令令得到得到我我们们称称上上式式为为复复化化梯梯形形公公式式。下下面面分分析析复复化化梯梯形形公公式式误差。误差。第30页已知已知依据梯形公式误差依据梯形公式误差可得可得这时这时第31页即即假如假如则一定存在实数则一定存在实数m、M使得使得第32页于是，依据连续函数介值定理可知，存在于是，依据连续函数介值定理可知，存在使得使得这时这时第33页令令则得到复化梯形公式及其误差则得到复化梯形公式及其误差也就是也就是第34页假如记假如记上式说明复化梯形公式是收敛。上

11、式说明复化梯形公式是收敛。利用误差预计式利用误差预计式,能够对积分计算进行精度控制，能够对积分计算进行精度控制，从而确定出需要将积分区间多少等分。比如，假如从而确定出需要将积分区间多少等分。比如，假如我们需要将积分值误差控制在我们需要将积分值误差控制在 范围内，只需范围内，只需则有则有解出解出第35页例例 3.3 用四点复化梯形公式计算用四点复化梯形公式计算解：四点复化梯形公式就是将区间解：四点复化梯形公式就是将区间0，1三等分得到三等分得到01而梯形公式结果为而梯形公式结果为第36页例例 3.4 用复化梯形公式计算积分用复化梯形公式计算积分 应将区间应将区间0，1多少等分，才能够使其截断误差

12、不超出多少等分，才能够使其截断误差不超出解：依据复化梯形公式误差解：依据复化梯形公式误差得知得知从而从而令令 于是，只要将区间最少于是，只要将区间最少68等分，就能够到达需要等分，就能够到达需要精度要求。精度要求。第37页本节关键本节关键点点：1.等距节点等距节点(Newton-Cotes)积分公式怎样结构？积分公式怎样结构？第38页2.N点等距节点积分公式及其误差式怎么表示？点等距节点积分公式及其误差式怎么表示？3.怎样由上式给出梯形公式、抛物线公式及其误差怎样由上式给出梯形公式、抛物线公式及其误差？第39页 4.怎样由梯形公式及其误差推导出复化梯形公式怎样由梯形公式及其误差推导出复化梯形公

13、式及及 其误差？其误差？5.练习：分别用梯形、抛物型公式、三点、五点、练习：分别用梯形、抛物型公式、三点、五点、九点复化梯形公式计算以下积分并预计误差限九点复化梯形公式计算以下积分并预计误差限第40页二、复化抛物线公式已知定积分抛物线公式及其误差为已知定积分抛物线公式及其误差为假如对于积分假如对于积分在在每每个个小小区区间间上上都都采采取取Simpson公公式式，则则得得到到复复化化Simpson公式。公式。第41页这时由这时由得到得到令令第42页即即其中其中这时这时第43页由介值定理，若由介值定理，若而且误差为而且误差为则有则有设设有预计式有预计式第44页于是，我们得到复化抛物线公式及其误差

14、为：于是，我们得到复化抛物线公式及其误差为：这时，做近似计算用：这时，做近似计算用：四点公式四点公式(n=3)节点如：节点如：bax1x2做误差限预计用：做误差限预计用：第45页最终，给出抛物线公式和复化抛物线公式最终，给出抛物线公式和复化抛物线公式1.抛物线公式及其误差抛物线公式及其误差2.复化抛物线公式及其误差复化抛物线公式及其误差第46页 例例3-53-5 试利用函数试利用函数 数据表（表数据表（表4 4-1）分别用复化梯形公式、复化分别用复化梯形公式、复化Simpson公式计算以下积分公式计算以下积分近似值。近似值。表表4-1 数据表数据表015/80.93615561/80.9973

15、9783/40.90885171/40.98961587/80.87719263/80.976726710.84147101/20.9588511第47页也就是也就是解解:两种复化公式分别计算以下：两种复化公式分别计算以下：依据已知点数据，需要用到九点复化梯形公式：依据已知点数据，需要用到九点复化梯形公式：第48页以以上上两两种种算算法法对对区区间间采采取取不不一一样样等等分分，计计算算量量大大致致一一致致，定定积积分分准准确确到到小小数数点点后后七七位位值值是是0.9460831，Simpson公式精度要高一些。公式精度要高一些。对于复化抛物型公式：对于复化抛物型公式：在这里在这里 n=4,

16、步长步长第49页 例例3-6 利用复化梯形公式和复化利用复化梯形公式和复化Simpson公式分公式分别求以下定积分别求以下定积分，若要使精度，若要使精度 到达到达 ，问各，问各需将区间需将区间0,1多少等分？多少等分？解解 因为因为从而从而于是有于是有第50页由复化梯形公式和复化由复化梯形公式和复化Simpson公式误差表示式公式误差表示式得到得到依据上面预计分别取依据上面预计分别取则只要则只要可分别解出可分别解出可可见见满满足足一一样样精精度度要要求求复复化化梯梯形形公公式式需需将将区区 间间167等等分分复复化化抛抛物物线线公公式式只只需需将将区区间间 3等等分分第51页复化复化Simps

17、onSimpson算法算法 本算法为计算定积分本算法为计算定积分 近似值复化近似值复化Simpson公式公式其中其中 输入：输入：端点端点a、b，正整数，正整数 n输出：积分输出：积分 近似值近似值 Sn第52页 1 置置 2 3 对对 循环执行步循环执行步4至步至步5停机停机5 假如假如 j 是偶数，则是偶数，则 ，4 置置不然不然6 置置7 输出输出SN第53页本节本节(3)(3)(3)(3)小结小结2.复化抛物线公式及其误差复化抛物线公式及其误差1.复化梯形公式及其误差复化梯形公式及其误差第54页44 Gauss型求积公式型求积公式关于数值积分公式关于数值积分公式除了用误差来分析其准确度

18、以外，还能够用除了用误差来分析其准确度以外，还能够用代数精代数精度度来判断其精度高低来判断其精度高低。为了掌握这一方法，下面先为了掌握这一方法，下面先给出代数精度概念。给出代数精度概念。第55页定义：假如求积公式定义：假如求积公式而对于而对于 不准确成立，即不准确成立，即则称积分公式（则称积分公式（4.14.1）含有）含有n n阶代数精度。阶代数精度。即即准确成立，准确成立，对于对于第56页比如，对于比如，对于Newton-CotesNewton-Cotes型求积公式：型求积公式：当当 f(x)为不超出为不超出n n次多项式时，即次多项式时，即对于其误差式对于其误差式时，都有时，都有 。可见可

19、见Newton-CotesNewton-Cotes型求积公式最少含有型求积公式最少含有n n阶代数精度。深阶代数精度。深入证实能够得出：入证实能够得出：当当n n为奇数时，为奇数时，Newton-CotesNewton-Cotes型求积公式代型求积公式代数精度为数精度为n n，当，当n n为偶数时，为偶数时，Newton-CotesNewton-Cotes型求积公式代数精度型求积公式代数精度为为n+1n+1。在含有一样计算量情况下，假如需要深入提升数值积分代在含有一样计算量情况下，假如需要深入提升数值积分代数精度，下面介绍数精度，下面介绍GaussGauss型求积公式就能够实现这一目标。型求积

20、公式就能够实现这一目标。第57页 由前面讨论知道，含有由前面讨论知道，含有n+1n+1个节点插值型求积公个节点插值型求积公式最少含有式最少含有n n次代数精度。普通地，若对随机选取次代数精度。普通地，若对随机选取n+1n+1个节点作插值型求积公式也仅有个节点作插值型求积公式也仅有n n次代数精度。次代数精度。不过假如我们适当选取求积节点来结构求积公式，不过假如我们适当选取求积节点来结构求积公式，就能够提升数值积分代数精度，这正是就能够提升数值积分代数精度，这正是GaussGauss型求积型求积公式特点。公式特点。为了详细给出为了详细给出GaussGauss型求积公式，需要以下几个型求积公式，需

21、要以下几个方面去掌握：方面去掌握：一、正交多项式一、正交多项式二、常见正交多项式二、常见正交多项式三、三、GaussGauss型求积公式普通理论型求积公式普通理论四、几个常见四、几个常见GaussGauss型求积公式型求积公式第58页一、正交多项式及其性质比如：比如：假如函数假如函数 满足条件：满足条件：1 1、权函数、权函数 则称则称 为区间为区间a,ba,b上权函数。上权函数。第59页2 2、正交多项式、正交多项式 对于多项式序列对于多项式序列 及权函数及权函数 假如：假如：则称多项式族则称多项式族 在在a,ba,b上带权上带权 正交，并称正交，并称 为为a,ba,b上带权上带权 n n次

22、正交多项式。次正交多项式。比如：比如：令：令：则称其为首项系数为一多项式。则称其为首项系数为一多项式。而且而且也是正交多项式族。也是正交多项式族。第60页3.3.正交多项式性质正交多项式性质定理定理2 2：n n次正交多项式次正交多项式 在在a,ba,b内含有内含有n n个互异实根。个互异实根。定理定理1 1：正交多项式序列含有递推关系式：正交多项式序列含有递推关系式定理定理3 3：与与 根相互隔离，即，假如根相互隔离，即，假如n n个根为个根为则有则有第61页二、惯用正交多项式是区间是区间 上关于权函数上关于权函数 正交多项式。正交多项式。1.勒让德（勒让德（Legende）多项式）多项式而

23、且含有性质：而且含有性质：（1 1）正交性）正交性（2 2）递推性）递推性第62页2.2.ChebyshevChebyshev（契比晓夫）多项式（契比晓夫）多项式是区间是区间-1-1，11上关于权函数上关于权函数 正交多项式。正交多项式。而且能够计算而且能够计算 首项系数为首项系数为（1 1）正交性）正交性含有下面性质：含有下面性质：第63页（3 3）在在-1-1，11上含有上含有n n个零点个零点（2 2）三项递推关系）三项递推关系这其实很轻易由这其实很轻易由 计算出来计算出来令令则有则有第64页3 3LaguereLaguere（拉盖尔）多项式（拉盖尔）多项式为区间为区间 上关于权函数上关

24、于权函数 正交多项式。正交多项式。而且而且 首项系数为首项系数为 。含有性质：含有性质：第65页4 4HermiteHermite多项式多项式是区间是区间 上关于权函数上关于权函数 正交多项式。正交多项式。而且而且 首项系数为首项系数为 。含有性质：含有性质：第66页三、三、Gauss型求积公式普通理论型求积公式普通理论Newton-CotesNewton-Cotes 型求积公式结构，利用是等距节点型求积公式结构，利用是等距节点关于积分关于积分 为了得到代数精度更高积分公式，我们考虑带有权函数为了得到代数精度更高积分公式，我们考虑带有权函数定积分：定积分：代数精度是代数精度是 n-1n-1,最

25、多是最多是 n n.得到积分公式：得到积分公式：第67页得到得到n-1n-1次插值多项式及误差：次插值多项式及误差：在积分区间在积分区间a,ba,b上任取上任取n n个插值节点个插值节点两端积分得到：两端积分得到：对于带权定积分对于带权定积分第68页记：记：下面我们分析这个公式代数精度。对于误差式：下面我们分析这个公式代数精度。对于误差式：在上式中去掉这一项，则得近似积分计算公式及误差：在上式中去掉这一项，则得近似积分计算公式及误差：第69页其中其中 是是 n n 阶差商。阶差商。假如我们取定假如我们取定 为次数不超出为次数不超出 2n-12n-1 次多项式，次多项式，则由差商性质知道：则由差

26、商性质知道：是次数不超出是次数不超出 n-1n-1 次多项式。次多项式。既然既然 是次数不超出是次数不超出 n-1 n-1 次多项式，次多项式，则能够由多项式空间中一组基线性表示。则能够由多项式空间中一组基线性表示。n-1 n-1 次多项式空间中基很多，我们选取关于权函数次多项式空间中基很多，我们选取关于权函数 正交多项式族正交多项式族 作为基函数。这么能够得到：作为基函数。这么能够得到：带入误差式得到：带入误差式得到：第70页考虑和式中每一项积分：考虑和式中每一项积分：已知已知是待定。是待定。是关于权函数是关于权函数 正交多项式族，而正交多项式族，而 n 次多项式次多项式 则能够得到：则能够

27、得到：这时假如我们选取这时假如我们选取第71页这么便得到积分公式误差这么便得到积分公式误差也就是这时积分公式含有也就是这时积分公式含有 2n-1 阶代数精度。阶代数精度。说明这时积分公式说明这时积分公式准确成立，即准确成立，即可知，代数插值节点可知，代数插值节点 恰好是正交多项式恰好是正交多项式 零点。零点。第72页也就是说对于积分公式也就是说对于积分公式假如我们取插值节点假如我们取插值节点 为关于权函数为关于权函数 正交正交多项式多项式 零点，则所得到求积公式含有零点，则所得到求积公式含有 2n-1 阶代数精度。阶代数精度。这时称上面公式为这时称上面公式为Gauss型求积公式，并称型求积公式

28、，并称 为为 Gauss 点。点。下面给出结构下面给出结构Gauss型求积公式步骤。型求积公式步骤。第73页第三步：求出求积公式系数：第三步：求出求积公式系数：第一步第一步：求出关于权函数：求出关于权函数 正交多项式正交多项式 第四步：给出第四步：给出 Gauus Gauus 型求积公式并计算积分近似值：型求积公式并计算积分近似值：第二步：求出第二步：求出 n 个零点：个零点：对于积分对于积分结构结构 Gauss Gauss 型求积公式步骤以下：型求积公式步骤以下：第74页四 几个惯用Gauss型求积公式1 1、Gauss-Legendre（勒让德）（勒让德）求积公式求积公式 结结构构Gaus

29、sGauss型型求求积积公公式式除除需需要要求求出出正正交交多多项项式式外外，还还需需求求出出正正交交多多项项式式零零点点和和求求积积系系数数，当当 n3 n3 时时，这这些些工工作作均均很很困难，下面给出几个惯用困难，下面给出几个惯用GaussGauss型求积公式型求积公式.假如假如a,b=-1a,b=-1，1,(x)=1,1,(x)=1,则有则有关于定积分关于定积分这时，称这时，称Gauss型求积公式为型求积公式为Gauss-Legendre求积公式。计求积公式。计算公式为：算公式为：Gauss点点 为为Legendre多项式多项式 零点。零点。第75页 其实，其实，Gauss-Legen

30、dre求积公式中各阶求积公式中各阶Gauss点点及求积系数已经算出，使用时只需要查表即可，看下及求积系数已经算出，使用时只需要查表即可，看下表。表。Gauss-Legendre求积公式系数求积公式系数第76页nxAnxA10260.93246951420.6612093865+1.23861918160.17132449240.36076157300.467913934620.5773502692130.7745966692000.55555555560.888888888970.94910791230.74153118560.4058451514000.12948496620.2797053

31、9150.38183005050.417959183440.86113631160.33998104360.34785484510.652145154950.90617984590.5384693101000.23692688510.47862867050.568888888980.96028985650.79666647740.52553240990.18343464250.10122853630.22238103450.31370664590.3626837834表表4-1 Gauss-Legendre求积公式求积公式系数表系数表第77页 例例3 3-6 用含有用含有5次代数精度次代数精度

32、Gauss型求积公式计算型求积公式计算 。解解：含含有有5次次代代数数精精度度Gauss型型求求积积公公式式就就是是3点点Gauss型型求求积积公式，由表公式，由表3-1得得实际上实际上x1=-0.7745966692,x2=0,x3=0.7745966692于是由计算公式于是由计算公式 得到：得到：A1=A3=0.5555555556,A2=0.8888888889第78页 可见相同个数节点求积公式，可见相同个数节点求积公式，Gauss型求积公式精度要高。型求积公式精度要高。权权 函函 数数(x)=1积积 分分 就就 是是 通通 常常 碰碰 到到 积积 分分，然然 而而 Gauss-Lege

33、ndre求求积积公公式式积积分分区区间间为为-1，1，而而对对于于更更普普通通区区间间a，b上积分上积分若采取等距节点若采取等距节点 x0=-1,x1=0,x2=1 Simpson公式，则有公式，则有需要作变量替换需要作变量替换得到：得到：第79页从而，从而，a,b上权函数为上权函数为 Gauss型求积公式为型求积公式为例例3-6 用用3点点Gauss公式求积分公式求积分 近似值。近似值。解：令解：令得到得到相比较，远比相比较，远比3点点 Simpson 公式结果准确。公式结果准确。第80页2 2 2 2、Gauss-Gauss-Gauss-Gauss-拉盖尔拉盖尔拉盖尔拉盖尔 求积公式求积公

34、式求积公式求积公式 积积分分区区间间为为0，权权函函数数为为 Gauss型型求求积积公公式式称称为为Gauss-Laguerre求求积积公公式式，其其Gauss点点为为Laguerre多多项项式式零点，零点，Gauss-Laguerre求积公式为求积公式为其中其中Gauss-Laguerre求积公式求积公式Gauss点和求积系数见表点和求积系数见表3 3-2。第81页n xkAknxkAk20.5888643763.41421356230.85355339050.146446609450.26356031971.41340305913.59642577107.085810005812.6408

35、0084420.52175561050.39866681100.07594244970.00361175870.000023370030.41577455672.29428036026.28994508290.71109300990.27851773350.010389256560.22284660411.18893210162.99273632605.77514356919.837467418315.98287398060.45896467930.41700083070.11337338200.01039919750.00026101720.000000898540.32254768961.

36、74576110114.53662029699.39507091230.60315410430.35741869240.03888790850.0005392947表表4-2 Gauss-Gauss-拉盖尔拉盖尔 求积公式求积公式 系数表系数表第82页普通对积分普通对积分 ，可改写为以下形式，可改写为以下形式Gauss-Laguerre Gauss-Laguerre 求积公式写为求积公式写为 第83页3 3、Gauss-HermiteGauss-Hermite求积公式求积公式求积公式求积公式 积分区间为（积分区间为（-，+）、权函数为）、权函数为 Gauss型型求积公式称作为求积公式称作为Ga

37、uss-Hermite求积公式，其求积公式，其GaussGauss点就是点就是HermiteHermite正交多项式正交多项式 零点。零点。Gauss-Hermite求积公式为求积公式为或或第84页其求积系数和余项分别是其求积系数和余项分别是 其其Gauss点及求积系数见表点及求积系数见表4-3。第85页表表4-3 Gauss-Hermite求积公式求积公式求积系数表求积系数表 nxkAk n xk Ak 20.70710678110.8886226925460.43607741191.33584907042.35060497360.72462959520.15706732030.004530

38、009930.1.224744871300.29540897511.816359000640.52464762321.65068012380.80491409000.081312835470.81628788281.67355162872.651961356300.42560725260.05451558280.00097178120.810264617550.95857246462.0287040.39361932310.01995324210.94530872040.5688888889第86页 例例3 3-7 分别用两点分别用两点GaussGauss型求积公式计算以下积分：型求积公式计算

39、以下积分：解：由解：由GaussGauss公式系数、节点表能够求得：公式系数、节点表能够求得：第87页第88页 例例3 3-7 用两点用两点GaussGauss型求积公式计算：型求积公式计算：解：先作变换解：先作变换 用两点求积公式，得到：用两点求积公式，得到：假如用复化梯形公式计算，需要将假如用复化梯形公式计算，需要将0,10,1区间区间10241024等分。准等分。准确值为确值为 0.9460830.946083。第89页本节本节本节本节(4444)问问问问 题题题题 1.Gauss1.Gauss型求积公式是怎样结构？为何型求积公式是怎样结构？为何n n点点GaussGauss型求型求 积

40、公式含有积公式含有2n-12n-1阶代数精度？阶代数精度？2.Gauss 2.Gauss 型求积公式都有哪几个类型？怎样查表使用？型求积公式都有哪几个类型？怎样查表使用？3.3.用两点用两点Gauss Gauss 型求积公式计算以下积分型求积公式计算以下积分 4.4.实习题实习题 1）.编写复化梯形、复化编写复化梯形、复化SimpsonSimpson求积公式程序计算积分；求积公式程序计算积分；2）.编写编写GaussGauss型求积公式计算各种积分。型求积公式计算各种积分。第90页5 5 数值微分数值微分 用函数用函数 离散数据离散数据近似求出函数在节点处微分值，称作近似求出函数在节点处微分值

41、，称作数值微分数值微分。一、一、Taylor展开法展开法 为求出为求出 在某点在某点 x0 处导数值处导数值 能够利用函数在此点以及前后两点函数值能够利用函数在此点以及前后两点函数值 经过经过Taylor展式进行近似计算。展式进行近似计算。第91页这时这时得到得到这么能够得到一阶向前差商数值微分公式这么能够得到一阶向前差商数值微分公式 误差为误差为这么能够得到一阶向后差商数值微分公式这么能够得到一阶向后差商数值微分公式由由 误差也为误差也为第92页再由再由Taylor展示展示得到一阶中心差商数值微分公式得到一阶中心差商数值微分公式 误差为误差为二阶中心差商数值微分公式为二阶中心差商数值微分公式

42、为 误差为误差为第93页 例例3 3-8 对于函数对于函数 y=f(x)在以下点函数值在以下点函数值 xi -0.1 0 0.1 yi 0.9048 1 1.1052试分别用一阶向前、向后、中心差商公式计算试分别用一阶向前、向后、中心差商公式计算 ,解：三种公式计算一阶导数值分别为解：三种公式计算一阶导数值分别为 用二阶中心差商公式计算用二阶中心差商公式计算 .第94页用二阶中心差分公式计算用二阶中心差分公式计算上表数据表示是由函数上表数据表示是由函数 给出给出,其准确值其准确值为：为：可见，用一阶中心差商公式求一阶导数更准确一些。可见，用一阶中心差商公式求一阶导数更准确一些。下面再看另一个求

43、导数方法。下面再看另一个求导数方法。第95页 二、插值法求微商二、插值法求微商两边关于两边关于 x 求导数，得到求导数，得到 用函数用函数 离散数据离散数据先求出先求出n次次 Lagrange Lagrange 插值多项式插值多项式将节点将节点 xk 带入，并由：带入，并由：第96页于是，便能够得到函数在节点处一阶导数近似值于是，便能够得到函数在节点处一阶导数近似值误差为误差为得到得到第97页由由及及对于对于可知可知可知当分点越多时，用以下公式求数值微商越准确可知当分点越多时，用以下公式求数值微商越准确第98页对于插值型数值微商公式对于插值型数值微商公式依据插值节点不一样，能够给出不一样计算公

44、式：依据插值节点不一样，能够给出不一样计算公式：1.1.一阶两点微商公式一阶两点微商公式(n=1)由由及及得到得到第99页于是于是我们称我们称为一阶两点微商公式。为一阶两点微商公式。误差为误差为第100页2.2.一阶三点微商公式一阶三点微商公式(n=2 n=2)由由得到得到误差均为误差均为第101页3.3.二阶三点微商公式二阶三点微商公式(n=2 n=2)由由得到得到误差分别为误差分别为总结一下，两点、三点数值微商公式：总结一下，两点、三点数值微商公式：第102页一阶两点微商公式一阶两点微商公式一阶三点微商公式一阶三点微商公式二阶三点微商公式二阶三点微商公式第103页 例例3 3-9 对于函数

45、对于函数y=f(x)在以下点函数值在以下点函数值 试分别用两点、三点数值微分公式计算试分别用两点、三点数值微分公式计算x=2.7 处函数一、处函数一、二阶导数值。二阶导数值。解：解：h=0.2 时时 xi2.52.62.72.82.9 yi12.182513.463714.879716.4446 18.1741或者或者或者或者第104页h=0.1 时时 或者或者或者或者以上导数值均求是函数以上导数值均求是函数 在在x=2.7x=2.7处一、二阶处一、二阶导数近似值，真值为：导数近似值，真值为：第105页本节本节(55)问问 题题一阶两点微商公式一阶两点微商公式一阶三点微商公式一阶三点微商公式二阶三点微商公式二阶三点微商公式第106页课程实习汇报课程实习汇报实习汇报一实习汇报一关于代数插值内容：关于代数插值内容：page 55 2-1page 55 2-1实习汇报二实习汇报二关于多项式拟和内容：关于多项式拟和内容：page 71 3-1page 71 3-1实习汇报三实习汇报三 关于数值积分内容：编写复化关于数值积分内容：编写复化SimpsonSimpson公式通用公式通用程序，参考程序，参考 page106 4-1.page106 4-1.实习汇报四实习汇报四 依据你专业作一个利用数值计算处理实际问题。依据你专业作一个利用数值计算处理实际问题。第107页